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1. 如图1，BE，CF是$△ ABC$的角平分线，$∠ A=65°$，那么$∠ BDC$等于 （
A.$122.5°$
B.$130°$
C.$178.5°$
D.$115°$
A
）A.$122.5°$
B.$130°$
C.$178.5°$
D.$115°$
答案
1.A
解析
【分析】
要计算∠BDC的度数，首先观察∠BDC是△BDC的内角，我们可以利用三角形内角和定理求解，先求出△BDC中另外两个内角∠DBC与∠DCB的和。已知BE、CF是△ABC的角平分线，所以∠DBC是∠ABC的一半，∠DCB是∠ACB的一半，因此先根据△ABC的内角和以及已知的∠A的度数，求出∠ABC+∠ACB的和，再除以2得到∠DBC+∠DCB的和，最后用180°减去这个和就能得到∠BDC的度数。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 180° - 65° = 115°$
∵BE、CF是△ABC的角平分线
∴$∠ DBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ DCB = \frac{1}{2}∠ ACB$
∴$∠ DBC + ∠ DCB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{1}{2}×115° = 57.5°$
在△BDC中，再次利用三角形内角和为180°：
$∠ BDC = 180° - (∠ DBC + ∠ DCB) = 180° - 57.5° = 122.5°$
【答案】
A
【知识点】
1.三角形内角和定理 2.角平分线的定义
【点评】
本题是三角形角平分线与内角和结合的典型题型，解题核心是利用角平分线的性质将所求三角形的内角和与原三角形内角建立联系，熟练掌握基础定理即可快速求解，是三角形章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
要计算∠BDC的度数，首先观察∠BDC是△BDC的内角，我们可以利用三角形内角和定理求解，先求出△BDC中另外两个内角∠DBC与∠DCB的和。已知BE、CF是△ABC的角平分线，所以∠DBC是∠ABC的一半，∠DCB是∠ACB的一半，因此先根据△ABC的内角和以及已知的∠A的度数，求出∠ABC+∠ACB的和，再除以2得到∠DBC+∠DCB的和，最后用180°减去这个和就能得到∠BDC的度数。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 180° - 65° = 115°$
∵BE、CF是△ABC的角平分线
∴$∠ DBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ DCB = \frac{1}{2}∠ ACB$
∴$∠ DBC + ∠ DCB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{1}{2}×115° = 57.5°$
在△BDC中，再次利用三角形内角和为180°：
$∠ BDC = 180° - (∠ DBC + ∠ DCB) = 180° - 57.5° = 122.5°$
【答案】
A
【知识点】
1.三角形内角和定理 2.角平分线的定义
【点评】
本题是三角形角平分线与内角和结合的典型题型，解题核心是利用角平分线的性质将所求三角形的内角和与原三角形内角建立联系，熟练掌握基础定理即可快速求解，是三角形章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
2. 将一副三角板按如图2所示放置，则∠BFD的度数为（
A.$105°$
B.$95°$
C.$85°$
D.$75°$
A
）A.$105°$
B.$95°$
C.$85°$
D.$75°$
答案
2.A
解析
【分析】
首先明确一副三角板的固定角度分别为30°、60°、90°和45°、45°、90°。要求∠BFD的度数，可先找与∠BFD相等的对顶角∠AFE，再求出∠AFE所在△AEF的另外两个内角的度数，最后利用三角形内角和为180°计算即可，解题关键是准确找到已知角和待求角的关系。
【解析】
根据三角板的角度特征可得：∠BAC=45°，∠DEF=30°，∠BAE=90°，
先计算∠EAF的度数：$∠ EAF = ∠ BAE - ∠ BAC = 90° - 45° = 45°$，
在△AEF中，由三角形内角和为$180°$，得：
$∠ AFE = 180° - ∠ EAF - ∠ DEF = 180° - 45° - 30° = 105°$，
因为∠BFD与∠AFE是对顶角，根据对顶角相等，可得$∠ BFD=∠ AFE=105°$。
【答案】
A
【知识点】
三角板角度特征；三角形内角和定理；对顶角的性质
【点评】
本题属于几何基础题，结合三角板的固定角度，运用三角形内角和与对顶角的性质即可快速求解，解题时要注意准确识别图中角的和差关系与位置关系。
【难度系数】
0.7
首先明确一副三角板的固定角度分别为30°、60°、90°和45°、45°、90°。要求∠BFD的度数，可先找与∠BFD相等的对顶角∠AFE，再求出∠AFE所在△AEF的另外两个内角的度数，最后利用三角形内角和为180°计算即可，解题关键是准确找到已知角和待求角的关系。
【解析】
根据三角板的角度特征可得：∠BAC=45°，∠DEF=30°，∠BAE=90°，
先计算∠EAF的度数：$∠ EAF = ∠ BAE - ∠ BAC = 90° - 45° = 45°$，
在△AEF中，由三角形内角和为$180°$，得：
$∠ AFE = 180° - ∠ EAF - ∠ DEF = 180° - 45° - 30° = 105°$，
因为∠BFD与∠AFE是对顶角，根据对顶角相等，可得$∠ BFD=∠ AFE=105°$。
【答案】
A
【知识点】
三角板角度特征；三角形内角和定理；对顶角的性质
【点评】
本题属于几何基础题，结合三角板的固定角度，运用三角形内角和与对顶角的性质即可快速求解，解题时要注意准确识别图中角的和差关系与位置关系。
【难度系数】
0.7
3.为估计池塘两岸A,B间的距离,如图3,小明在池塘一侧选取了一点O,测得OA=16 m,OB=12 m,那么AB的距离不可能是 (
A.5 m
B.15 m
C.20 m
D.30 m
D
)A.5 m
B.15 m
C.20 m
D.30 m
答案
3.D
解析
【分析】
要判断AB的距离不可能是哪个选项，需先利用三角形三边关系确定AB的取值范围。点O、A、B可构成三角形，根据三角形的三边特征：第三边的长度一定大于另外两边的差，小于另外两边的和，我们先结合已知的OA、OB长度算出AB的取值范围，再对比四个选项，超出范围的即为不可能的取值。
【解析】
解：
∵点A、B、O构成三角形，根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边
∴$OA-OB ＜ AB ＜ OA+OB$
已知$OA=16\ \mathrm{m}$，$OB=12\ \mathrm{m}$，代入得：
$16-12 ＜ AB ＜ 16+12$
即$4\ \mathrm{m} ＜ AB ＜ 28\ \mathrm{m}$
对比选项：
A选项$5\ \mathrm{m}$在$4\ \mathrm{m} ∼ 28\ \mathrm{m}$范围内，取值可能；
B选项$15\ \mathrm{m}$在$4\ \mathrm{m} ∼ 28\ \mathrm{m}$范围内，取值可能；
C选项$20\ \mathrm{m}$在$4\ \mathrm{m} ∼ 28\ \mathrm{m}$范围内，取值可能；
D选项$30\ \mathrm{m}＞28\ \mathrm{m}$，不在取值范围内，不可能。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的实际应用类题目，解题核心是熟练掌握三角形三边的大小关系，从而确定未知边的取值范围，再结合选项排查即可，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.8
要判断AB的距离不可能是哪个选项，需先利用三角形三边关系确定AB的取值范围。点O、A、B可构成三角形，根据三角形的三边特征：第三边的长度一定大于另外两边的差，小于另外两边的和，我们先结合已知的OA、OB长度算出AB的取值范围，再对比四个选项，超出范围的即为不可能的取值。
【解析】
解：
∵点A、B、O构成三角形，根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边
∴$OA-OB ＜ AB ＜ OA+OB$
已知$OA=16\ \mathrm{m}$，$OB=12\ \mathrm{m}$，代入得：
$16-12 ＜ AB ＜ 16+12$
即$4\ \mathrm{m} ＜ AB ＜ 28\ \mathrm{m}$
对比选项：
A选项$5\ \mathrm{m}$在$4\ \mathrm{m} ∼ 28\ \mathrm{m}$范围内，取值可能；
B选项$15\ \mathrm{m}$在$4\ \mathrm{m} ∼ 28\ \mathrm{m}$范围内，取值可能；
C选项$20\ \mathrm{m}$在$4\ \mathrm{m} ∼ 28\ \mathrm{m}$范围内，取值可能；
D选项$30\ \mathrm{m}＞28\ \mathrm{m}$，不在取值范围内，不可能。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的实际应用类题目，解题核心是熟练掌握三角形三边的大小关系，从而确定未知边的取值范围，再结合选项排查即可，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.8
4.用7根长度相同的火柴棒首尾顺次连接摆成一个三角形，能摆成
2
个不同的三角形。答案
4.2
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要结合两个核心条件分析：①7根等长火柴摆三角形，因此三角形三边的长度之和为7，且每边长度均为正整数；②三角形需满足三边关系：任意两边之和大于第三边。为了避免重复计数，我们可以先确定最长边的取值范围，再有序枚举符合要求的三边组合。首先根据三边关系，最长边必须小于周长的一半，也就是小于7÷2=3.5，因此最长边最多为3，再依次验证可能的组合即可。
【解析】
设每根火柴棒的长度为1，三角形三边长分别为a、b、c（规定a≤b≤c，a、b、c均为正整数），可得：
1. 周长条件：$a + b + c = 7$
2. 三边关系：$a + b ＞ c$
将$a + b = 7 - c$代入三边关系，得$c ＜ 7 - c$，解得$c ＜ 3.5$。
又因为c是最长边，因此$c ≥ \frac{7}{3} \approx 2.33$，所以正整数c只能取3。
当c=3时，$a + b = 7 - 3 = 4$，结合$a ≤ b ≤ 3$的条件枚举：
若b=3，则a=4-3=1，三边为1、3、3，满足$1+3＞3$，符合要求；
若b=2，则a=4-2=2，三边为2、2、3，满足$2+2＞3$，符合要求。
没有其他符合条件的组合，因此共有2种不同的三角形。
【答案】
2
【知识点】
三角形三边关系；分类枚举
【点评】
本题是几何性质与整数组合结合的基础题型，解题关键是利用三角形三边关系先确定最长边的取值范围，再有序枚举，可有效避免漏解和重复计数。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们需要结合两个核心条件分析：①7根等长火柴摆三角形，因此三角形三边的长度之和为7，且每边长度均为正整数；②三角形需满足三边关系：任意两边之和大于第三边。为了避免重复计数，我们可以先确定最长边的取值范围，再有序枚举符合要求的三边组合。首先根据三边关系，最长边必须小于周长的一半，也就是小于7÷2=3.5，因此最长边最多为3，再依次验证可能的组合即可。
【解析】
设每根火柴棒的长度为1，三角形三边长分别为a、b、c（规定a≤b≤c，a、b、c均为正整数），可得：
1. 周长条件：$a + b + c = 7$
2. 三边关系：$a + b ＞ c$
将$a + b = 7 - c$代入三边关系，得$c ＜ 7 - c$，解得$c ＜ 3.5$。
又因为c是最长边，因此$c ≥ \frac{7}{3} \approx 2.33$，所以正整数c只能取3。
当c=3时，$a + b = 7 - 3 = 4$，结合$a ≤ b ≤ 3$的条件枚举：
若b=3，则a=4-3=1，三边为1、3、3，满足$1+3＞3$，符合要求；
若b=2，则a=4-2=2，三边为2、2、3，满足$2+2＞3$，符合要求。
没有其他符合条件的组合，因此共有2种不同的三角形。
【答案】
2
【知识点】
三角形三边关系；分类枚举
【点评】
本题是几何性质与整数组合结合的基础题型，解题关键是利用三角形三边关系先确定最长边的取值范围，再有序枚举，可有效避免漏解和重复计数。
【难度系数】
0.7
5.如图4，AB⊥BD，AC⊥CD，∠A=28°，则∠D的度数为
28°
.答案
5.28°
解析
【分析】
解题时先从已知的垂直条件入手，可得两个直角相等；再观察图形可知两个三角形有一组对顶角相等；最后结合三角形内角和为180°，就能推导出∠D和∠A的等量关系，代入已知∠A的度数即可求出∠D的度数。
【解析】
解：
∵AB⊥BD，AC⊥CD，
∴∠B=∠C=90°（垂直的定义）。
∵∠AEB与∠DEC是对顶角，
∴∠AEB=∠DEC（对顶角相等）。
根据三角形内角和为180°，在△ABE中：$∠ A+∠ B+∠ AEB=180°$，在△DCE中：$∠ D+∠ C+∠ DEC=180°$，
∴$∠ A+90°+∠ AEB=∠ D+90°+∠ DEC$，
等式两边同时减去相等的量，可得$∠ D=∠ A$。
∵$∠ A=28°$，
∴$∠ D=28°$。
【答案】
$28°$
【知识点】
三角形内角和，对顶角相等，垂直的定义
【点评】
本题是几何基础常考题，核心是利用三角形内角和与对顶角的性质推导等角，解题时只需找准两个三角形中的相等角即可快速得出结论，计算量小。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的垂直条件入手，可得两个直角相等；再观察图形可知两个三角形有一组对顶角相等；最后结合三角形内角和为180°，就能推导出∠D和∠A的等量关系，代入已知∠A的度数即可求出∠D的度数。
【解析】
解：
∵AB⊥BD，AC⊥CD，
∴∠B=∠C=90°（垂直的定义）。
∵∠AEB与∠DEC是对顶角，
∴∠AEB=∠DEC（对顶角相等）。
根据三角形内角和为180°，在△ABE中：$∠ A+∠ B+∠ AEB=180°$，在△DCE中：$∠ D+∠ C+∠ DEC=180°$，
∴$∠ A+90°+∠ AEB=∠ D+90°+∠ DEC$，
等式两边同时减去相等的量，可得$∠ D=∠ A$。
∵$∠ A=28°$，
∴$∠ D=28°$。
【答案】
$28°$
【知识点】
三角形内角和，对顶角相等，垂直的定义
【点评】
本题是几何基础常考题，核心是利用三角形内角和与对顶角的性质推导等角，解题时只需找准两个三角形中的相等角即可快速得出结论，计算量小。
【难度系数】
0.8
6.如图5,在△ABC中,BD平分∠ABC,CD平分∠ACE.请你写出∠A与∠D的关系：
∠A=2∠D
。答案
6.∠A=2∠D
解析
【分析】
要推导∠A与∠D的数量关系，我们可以结合已知的角平分线条件和三角形外角的性质来思考：第一步，根据角平分线的定义，得到被角平分线分成的两个小角等于对应大角的一半；第二步，利用三角形外角的性质，分别写出△ABC的外角∠ACE、△DBC的外角∠DCE和各自不相邻内角的关系；第三步，将角平分线得到的等量关系代入外角的表达式中，通过等量代换消去公共的角，就能得到∠A和∠D的关系。
【解析】
解：
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE（已知）
∴$∠ DBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ DCE = \frac{1}{2}∠ ACE$（角平分线的定义）
∵∠ACE是△ABC的外角
∴$∠ ACE = ∠ A + ∠ ABC$（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
∵∠DCE是△DBC的外角
∴$∠ DCE = ∠ D + ∠ DBC$（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
将$∠ DBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ DCE = \frac{1}{2}∠ ACE$代入$∠ DCE = ∠ D + ∠ DBC$，可得：
$\frac{1}{2}∠ ACE = ∠ D + \frac{1}{2}∠ ABC$
等式两边同时乘2得：$∠ ACE = 2∠ D + ∠ ABC$
联立$∠ ACE = ∠ A + ∠ ABC$，可得：
$∠ A + ∠ ABC = 2∠ D + ∠ ABC$
两边同时减去∠ABC，得：$∠ A = 2∠ D$
【答案】
$∠ A=2∠ D$
【知识点】
角平分线的定义；三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形角度推导的典型题型，解题的核心是利用角平分线得到等角关系，再结合三角形外角的性质建立角度之间的联系，通过等量代换即可推导出结论，熟练掌握基础性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要推导∠A与∠D的数量关系，我们可以结合已知的角平分线条件和三角形外角的性质来思考：第一步，根据角平分线的定义，得到被角平分线分成的两个小角等于对应大角的一半；第二步，利用三角形外角的性质，分别写出△ABC的外角∠ACE、△DBC的外角∠DCE和各自不相邻内角的关系；第三步，将角平分线得到的等量关系代入外角的表达式中，通过等量代换消去公共的角，就能得到∠A和∠D的关系。
【解析】
解：
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE（已知）
∴$∠ DBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ DCE = \frac{1}{2}∠ ACE$（角平分线的定义）
∵∠ACE是△ABC的外角
∴$∠ ACE = ∠ A + ∠ ABC$（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
∵∠DCE是△DBC的外角
∴$∠ DCE = ∠ D + ∠ DBC$（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
将$∠ DBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ DCE = \frac{1}{2}∠ ACE$代入$∠ DCE = ∠ D + ∠ DBC$，可得：
$\frac{1}{2}∠ ACE = ∠ D + \frac{1}{2}∠ ABC$
等式两边同时乘2得：$∠ ACE = 2∠ D + ∠ ABC$
联立$∠ ACE = ∠ A + ∠ ABC$，可得：
$∠ A + ∠ ABC = 2∠ D + ∠ ABC$
两边同时减去∠ABC，得：$∠ A = 2∠ D$
【答案】
$∠ A=2∠ D$
【知识点】
角平分线的定义；三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形角度推导的典型题型，解题的核心是利用角平分线得到等角关系，再结合三角形外角的性质建立角度之间的联系，通过等量代换即可推导出结论，熟练掌握基础性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
7.已知a,b,c是三角形的三边长,化简:|a−b+c|+|a−b−c|=
2c
.答案
7.2c
解析
【分析】
要化简含绝对值的式子，首先要结合三角形三边关系判断每个绝对值内代数式的正负，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后合并同类项得到结果。具体思考逻辑：1. 先回忆三角形三边关系：任意两边之和大于第三边；2. 将绝对值内的式子变形，结合三边关系判断正负；3. 依据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”去掉绝对值；4. 合并同类项计算最终结果。
【解析】
解：
∵a、b、c是三角形的三边长
∴根据三角形三边关系可得：$a+c＞b$，$b+c＞a$
∴$a-b+c=(a+c)-b＞0$，$a-b-c=a-(b+c)＜0$
根据绝对值的性质：
$|a-b+c|=a-b+c$
$|a-b-c|=-(a-b-c)=-a+b+c$
∴原式$=(a-b+c)+(-a+b+c)$
$=a-b+c-a+b+c$
$=2c$
【答案】
$2c$
【知识点】
三角形三边关系、绝对值的化简、整式的加减
【点评】
本题是几何性质与代数运算结合的基础题，核心考点是三角形三边关系的应用和绝对值的化简规则，解题的关键是正确判断绝对值内式子的正负，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.8
要化简含绝对值的式子，首先要结合三角形三边关系判断每个绝对值内代数式的正负，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后合并同类项得到结果。具体思考逻辑：1. 先回忆三角形三边关系：任意两边之和大于第三边；2. 将绝对值内的式子变形，结合三边关系判断正负；3. 依据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”去掉绝对值；4. 合并同类项计算最终结果。
【解析】
解：
∵a、b、c是三角形的三边长
∴根据三角形三边关系可得：$a+c＞b$，$b+c＞a$
∴$a-b+c=(a+c)-b＞0$，$a-b-c=a-(b+c)＜0$
根据绝对值的性质：
$|a-b+c|=a-b+c$
$|a-b-c|=-(a-b-c)=-a+b+c$
∴原式$=(a-b+c)+(-a+b+c)$
$=a-b+c-a+b+c$
$=2c$
【答案】
$2c$
【知识点】
三角形三边关系、绝对值的化简、整式的加减
【点评】
本题是几何性质与代数运算结合的基础题，核心考点是三角形三边关系的应用和绝对值的化简规则，解题的关键是正确判断绝对值内式子的正负，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.8
8. 如图6,在△ABC中,AD是高线,AE,BF是角平分线,它们相交于点O,∠BAC=60°,∠C=70°,求∠DAC与∠BOA的度数.
答案
8.∠DAC=20°,∠BOA=125°.
解析
【分析】
解题思路分为两部分：①求∠DAC：AD是△ABC的高线，可得△ADC是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余，结合已知∠C的度数即可计算∠DAC；②求∠BOA：先利用三角形内角和定理求出∠ABC的度数，再根据角平分线的定义分别求出∠BAO、∠ABO的度数，最后在△ABO中再次利用三角形内角和定理即可求出∠BOA的度数。
【解析】
解：①求∠DAC的度数：
∵AD是△ABC的高线，
∴∠ADC=90°，
在△ADC中，根据三角形内角和为180°，得：
∠DAC=180°-∠ADC-∠C=180°-90°-70°=20°。
②求∠BOA的度数：
先在△ABC中，根据三角形内角和为180°，得：
∠ABC=180°-∠BAC-∠C=180°-60°-70°=50°，
∵AE是∠BAC的角平分线，BF是∠ABC的角平分线，
∴∠BAO=½∠BAC=½×60°=30°，∠ABO=½∠ABC=½×50°=25°，
在△ABO中，根据三角形内角和为180°，得：
∠BOA=180°-∠BAO-∠ABO=180°-30°-25°=125°。
【答案】
∠DAC=20°，∠BOA=125°
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是三角形基础性质的综合应用题，解题时需要理清所求角和已知角之间的关联，正确运用高线、角平分线的性质以及三角形内角和定理逐步推导即可。
【难度系数】
0.8
解题思路分为两部分：①求∠DAC：AD是△ABC的高线，可得△ADC是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余，结合已知∠C的度数即可计算∠DAC；②求∠BOA：先利用三角形内角和定理求出∠ABC的度数，再根据角平分线的定义分别求出∠BAO、∠ABO的度数，最后在△ABO中再次利用三角形内角和定理即可求出∠BOA的度数。
【解析】
解：①求∠DAC的度数：
∵AD是△ABC的高线，
∴∠ADC=90°，
在△ADC中，根据三角形内角和为180°，得：
∠DAC=180°-∠ADC-∠C=180°-90°-70°=20°。
②求∠BOA的度数：
先在△ABC中，根据三角形内角和为180°，得：
∠ABC=180°-∠BAC-∠C=180°-60°-70°=50°，
∵AE是∠BAC的角平分线，BF是∠ABC的角平分线，
∴∠BAO=½∠BAC=½×60°=30°，∠ABO=½∠ABC=½×50°=25°，
在△ABO中，根据三角形内角和为180°，得：
∠BOA=180°-∠BAO-∠ABO=180°-30°-25°=125°。
【答案】
∠DAC=20°，∠BOA=125°
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是三角形基础性质的综合应用题，解题时需要理清所求角和已知角之间的关联，正确运用高线、角平分线的性质以及三角形内角和定理逐步推导即可。
【难度系数】
0.8
9.若一个三角形的三边长是三个连续的自然数,其周长m满足$10＜m＜22$,则这样的三角形有 （
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
C
）A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
9.C
解析
【分析】
我们可以先设未知数表示三个连续的边长，再根据周长的范围列出不等式，求出边长的可能取值，最后结合三角形三边关系（两边之和大于第三边）验证所有取值是否能构成三角形，统计符合条件的三角形个数即可。
【解析】
解：设三角形最短的边长为$x$（$x$为自然数），则另外两边长分别为$x+1$、$x+2$。
三角形周长$m = x + (x+1) + (x+2) = 3x + 3$
根据题意$10 ＜ m ＜ 22$，代入周长公式得：
$10 ＜ 3x + 3 ＜ 22$
不等式各边同时减3，得：$7 ＜ 3x ＜ 19$
不等式各边同时除以3，得：$\frac{7}{3} ＜ x ＜ \frac{19}{3}$，即$2.33 ＜ x ＜ 6.33$
因为$x$是自然数，所以$x$的可能取值为3、4、5、6。
再根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，最小两边之和需大于最大边，即$x + (x+1) ＞ x + 2$，解得$x＞1$，上述$x$的取值均满足该条件：
$x=3$时，三边长为3、4、5，周长12，符合要求；
$x=4$时，三边长为4、5、6，周长15，符合要求；
$x=5$时，三边长为5、6、7，周长18，符合要求；
$x=6$时，三边长为6、7、8，周长21，符合要求。
综上共有4个符合条件的三角形。
【答案】
C
【知识点】
1. 三角形三边关系
2. 一元一次不等式的应用
3. 三角形周长计算
【点评】
本题属于基础应用型题目，解题关键是正确设未知数表示三边长，结合周长范围列不等式求解，注意不要遗漏三角形三边关系的隐含约束条件。
【难度系数】
0.7
我们可以先设未知数表示三个连续的边长，再根据周长的范围列出不等式，求出边长的可能取值，最后结合三角形三边关系（两边之和大于第三边）验证所有取值是否能构成三角形，统计符合条件的三角形个数即可。
【解析】
解：设三角形最短的边长为$x$（$x$为自然数），则另外两边长分别为$x+1$、$x+2$。
三角形周长$m = x + (x+1) + (x+2) = 3x + 3$
根据题意$10 ＜ m ＜ 22$，代入周长公式得：
$10 ＜ 3x + 3 ＜ 22$
不等式各边同时减3，得：$7 ＜ 3x ＜ 19$
不等式各边同时除以3，得：$\frac{7}{3} ＜ x ＜ \frac{19}{3}$，即$2.33 ＜ x ＜ 6.33$
因为$x$是自然数，所以$x$的可能取值为3、4、5、6。
再根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，最小两边之和需大于最大边，即$x + (x+1) ＞ x + 2$，解得$x＞1$，上述$x$的取值均满足该条件：
$x=3$时，三边长为3、4、5，周长12，符合要求；
$x=4$时，三边长为4、5、6，周长15，符合要求；
$x=5$时，三边长为5、6、7，周长18，符合要求；
$x=6$时，三边长为6、7、8，周长21，符合要求。
综上共有4个符合条件的三角形。
【答案】
C
【知识点】
1. 三角形三边关系
2. 一元一次不等式的应用
3. 三角形周长计算
【点评】
本题属于基础应用型题目，解题关键是正确设未知数表示三边长，结合周长范围列不等式求解，注意不要遗漏三角形三边关系的隐含约束条件。
【难度系数】
0.7
