10.如图7,已知△ABC为直角三角形,∠B=90°.若沿图中虚线剪去∠B,则∠1+∠2等于（）


A.90°
B.135°
C.270°
D.315°

10.C

【分析】
要计算∠1+∠2的度数，我们可以先利用直角三角形的内角和求出∠A和∠C的度数和，再根据剪去∠B后得到的四边形内角和为360°，用四边形内角和减去∠A与∠C的和，就能得到∠1+∠2的结果。
【解析】
解：
∵△ABC是直角三角形，∠B=90°，
根据三角形内角和为180°，得：
∠A + ∠C = 180° - ∠B = 180° - 90° = 90°，
沿虚线剪去∠B后，剩余图形是四边形，
根据四边形内角和为(4-2)×180°=360°，得：
∠1 + ∠2 + ∠A + ∠C = 360°，
将∠A + ∠C = 90°代入上式，得：
∠1 + ∠2 = 360° - 90° = 270°。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理、四边形内角和定理
【点评】
本题是内角和定理的基础应用，解题的突破口是明确剪去直角后剩余图形为四边形，再结合直角三角形两锐角和为90°即可快速计算，解题时注意不要混淆三角形和四边形的内角和数值。
【难度系数】
0.8

11. 如图8,在△ABC中,CD,BE分别是AB,AC边上的高,并且CD,BE交于点P.若∠A=62°,则∠BPC等于（）


A.116°
B.118°
C.120°
D.122°

11.B

【分析】
解题时先从已知条件“CD、BE分别是AB、AC边上的高”入手，可得到两个90°的直角，再结合给出的∠A=62°，先在含∠A的直角三角形中求出一个锐角的度数，再在另一个直角三角形中利用三角形内角和算出相关角，最后通过邻补角的性质就能求出∠BPC的度数，全程用已学的三角形相关性质即可求解，无需超纲知识。
【解析】
解：
∵BE是AC边上的高，
∴∠AEB=90°，
在△ABE中，三角形内角和为180°，已知∠A=62°，
∴∠ABE=180°-∠A-∠AEB=180°-62°-90°=28°，
又
∵CD是AB边上的高，
∴∠BDP=90°，
在△BDP中，三角形内角和为180°，
∴∠BPD=180°-∠BDP-∠ABE=180°-90°-28°=62°，
∵D、P、C三点共线，∠BPD和∠BPC互为邻补角，
∴∠BPC=180°-∠BPD=180°-62°=118°。
【答案】
B
【知识点】
三角形高的定义，三角形内角和，邻补角性质
【点评】
本题属于基础角度计算题，核心是利用三角形高的性质得到直角，再结合三角形内角和、邻补角的性质逐步推导角度，熟练掌握基础几何性质就能快速解题。
【难度系数】
0.7

12. 如图9，在△ABC中，∠ABC=∠C，∠A=56°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC=。

12.87°

【分析】
解题时先根据三角形内角和为180°，结合已知∠A的度数以及∠ABC=∠C的条件，先求出∠ABC和∠C的度数；再根据角平分线的定义算出∠DBC的度数；最后在△BDC中再次运用三角形内角和定理，就能求出∠BDC的度数。
【解析】
1. 在△ABC中，三角形内角和为180°，已知∠A=56°，∠ABC=∠C，因此：
$∠ ABC=∠ C=(180°-∠ A)÷2=(180°-56°)÷2=62°$
2. 因为BD是∠ABC的平分线，所以：
$∠ DBC=∠ ABC÷2=62°÷2=31°$
3. 在△BDC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ BDC=180°-∠ DBC-∠ C=180°-31°-62°=87°$
【答案】
$87°$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题型，核心是灵活运用三角形内角和定理和角平分线的性质，计算时注意角度运算的准确性即可轻松解答。
【难度系数】
0.85

13.如图10,已知点D是AB上的一点,点E是AC上的一点,BE,CD相交于点F,∠A=62°,∠ACD=33°,∠ABE=29°,则∠CFE的度数为.

13.56°

【分析】
要求∠CFE的度数，可先利用三角形外角的性质求出△CFE中∠FEC的度数，再结合三角形内角和为180°计算结果。首先观察到∠BEC是△ABE的外角，可通过已知的∠A和∠ABE求出∠BEC，再结合已知的∠ACD，用三角形内角和即可算出∠CFE；也可以先求对顶角∠BFD的度数，再利用对顶角相等得到结果。
【解析】
解：
∵∠BEC是△ABE的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和
∴∠BEC = ∠A + ∠ABE = 62° + 29° = 91°
在△CFE中，根据三角形内角和为180°
∴∠CFE = 180° - ∠BEC - ∠ACD = 180° - 91° - 33° = 56°
【答案】
56°
【知识点】
三角形内角和定理，三角形外角的性质，对顶角的性质
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题关键是结合已知角的位置，灵活运用三角形角度相关性质，建立已知角和所求角之间的联系，是三角形角度计算的常考题型。
【难度系数】
0.7

14.在$△ ABC$中，$∠ A=2∠ B=3∠ C$，则这个三角形中最小的角是°。

14.$\frac{360}{11}$

【分析】
解题思路如下：首先回忆三角形内角和为180°这一核心定理；其次根据题目给出的∠A=2∠B=3∠C的倍分关系，可判断出最小的角是∠C（因为∠A是∠C的3倍，是∠B的2倍，∠C的倍数最小，对应的角度最小）；接下来设最小的角∠C为未知数，将∠A、∠B都用含这个未知数的式子表示，最后根据内角和列方程求解即可。
【解析】
解：设最小的角∠C = x°
由∠A=3∠C，得∠A = 3x°
由∠A=2∠B，得∠B = $\frac{3x}{2}$°
根据三角形内角和等于180°，可列方程：
$3x + \frac{3x}{2} + x = 180$
通分合并同类项得：$\frac{11x}{2}=180$
解得：$x=\frac{360}{11}$
【答案】
$\frac{360}{11}$
【知识点】
三角形内角和定理；列方程解几何问题
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，解题的关键是根据角的倍分关系合理设未知数，将三个内角统一为同一未知数的表达式，再结合三角形内角和定理列方程求解，计算时要注意分数运算的准确性。
【难度系数】
0.7

15.如图11,在直角三角形ABC中,$∠ ACB=90°$,$AB=10$,$AC=8$,$BC=6$,点D是边AB上一动点,作直线MN经过点C,D,过点A作AF与MN垂直,过点B作BE与MN垂直,垂足分别为点F,E.设线段BE,AF的长度分别为$d_1,d_2$,则$d_1+d_2$的最大值为.

15.10

【分析】
要解决这个问题，我们可以先利用三角形面积的和差关系建立$d_1+d_2$与线段$CD$的联系。首先$△ ABC$的面积是固定值，它等于$△ BCD$和$△ ACD$的面积之和，而这两个小三角形的底都是$CD$，高分别是$d_1$和$d_2$，由此可推出$d_1+d_2$与$CD$成反比，要让$d_1+d_2$最大，只需让$CD$最短。再根据垂线段最短的性质，找到$CD$的最小值，代入即可求出$d_1+d_2$的最大值。
【解析】
第一步：计算$△ ABC$的面积
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=8$，$BC=6$，
所以$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × 8 × 6 = 24$。
第二步：建立$d_1+d_2$与$CD$的关系
因为点$D$在$AB$上，所以$S_{△ ABC}=S_{△ BCD}+S_{△ ACD}$。
已知$BE⊥ MN$，$AF⊥ MN$，所以：
$S_{△ BCD}=\frac{1}{2} × CD × BE = \frac{1}{2} × CD × d_1$，
$S_{△ ACD}=\frac{1}{2} × CD × AF = \frac{1}{2} × CD × d_2$，
代入面积和公式得：
$\frac{1}{2} × CD × d_1 + \frac{1}{2} × CD × d_2 = 24$，
整理得：$\frac{1}{2} × CD × (d_1 + d_2) =24$，即$d_1 + d_2 = \frac{48}{CD}$。
第三步：求$CD$的最小值
根据“点到直线的垂线段最短”，当$CD⊥ AB$时，$CD$的长度最小，此时$CD$是$AB$边上的高。
由$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × CD$，$AB=10$，代入面积得：
$24=\frac{1}{2} × 10 × CD$，解得$CD=\frac{24}{5}$。
第四步：计算$d_1+d_2$的最大值
将$CD=\frac{24}{5}$代入$d_1 + d_2 = \frac{48}{CD}$，得：
$d_1 + d_2 = \frac{48}{\frac{24}{5}} = 10$，即$d_1+d_2$的最大值为10。
【答案】
10
【知识点】
三角形面积计算，垂线段最短，和差法求面积
【点评】
本题考查了三角形面积的灵活应用和最值问题的求解，核心是通过面积和的关系将所求代数式转化为与单条线段相关的表达式，再结合垂线段最短的性质求最值，渗透了转化的数学思想，需要学生熟练掌握三角形面积公式，能灵活处理面积的和差关系。
【难度系数】
0.6

16. 如图12，AD是$△ ABC$的角平分线，$DE// AC$，$DE$交$AB$于点$E$. $DF// AB$，$DF$交$AC$于点$F$. 图中$∠1$与$∠2$有什么关系？请说明理由.

16.∠1=∠2,理由略.

【分析】
要判断∠1和∠2的关系，我们可结合已知条件逐步推导：首先由AD是角平分线可得∠BAD=∠CAD；再结合两组平行线的条件，利用“两直线平行，内错角相等”的性质，分别把∠1和∠CAD、∠2和∠BAD建立相等关系，最后通过等量代换就能得到∠1和∠2的关系。
【解析】
解：∠1=∠2，理由如下：
1. 因为AD是△ABC的角平分线，根据角平分线的定义，可得$∠ BAD=∠ CAD$；
2. 因为$DE// AC$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ 1=∠ CAD$；
3. 因为$DF// AB$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ 2=∠ BAD$；
4. 结合上述结论，通过等量代换，可得$∠ 1=∠ 2$。
【答案】
$∠ 1=∠ 2$
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等量代换
【点评】
本题是几何基础应用题，解题核心是利用平行线的内错角相等的性质，将待判断关系的两个角与角平分线分出的等角建立关联，进而推导得到结论，考查基础的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8

17. 如图13,在$△ ABC$中,AD平分$∠ BAC$交BC于点D,BE平分$∠ ABC$交AD于点E.
(1)若$∠ C=80°,∠ BAC=60°$,求$∠ ADB$的度数;
(2)若$∠ BED=65°$,求$∠ C$的度数.

17.(1)∠ADB=110°
(2)∠C=50°

【分析】
(1) 求∠ADB的度数可利用三角形外角性质求解：首先根据角平分线的定义求出∠CAD的度数，再结合“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和”，代入已知∠C的度数即可计算出结果。
(2) 求∠C的度数时，先观察到∠BED是△ABE的外角，可得∠BED=∠ABE+∠BAD；再结合AD、BE是角平分线，可推出∠BED等于∠BAC与∠ABC和的一半；最后根据三角形内角和为180°，将∠BAC+∠ABC替换为180°-∠C，建立等式即可求解。
【解析】
(1) 解：
∵ AD平分∠BAC，∠BAC=60°
∴ $∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×60°=30°$
∵ ∠ADB是△ADC的外角
∴ $∠ ADB=∠ C+∠ CAD$
将∠C=80°，∠CAD=30°代入得：
$∠ ADB=80°+30°=110°$
(2) 解：
∵ ∠BED是△ABE的外角
∴ $∠ BED=∠ ABE+∠ BAD$
∵ AD平分∠BAC，BE平分∠ABC
∴ $∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ ABE=\frac{1}{2}∠ ABC$
∴ $∠ BED=\frac{1}{2}∠ BAC+\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}(∠ BAC+∠ ABC)$
在△ABC中，$∠ BAC+∠ ABC+∠ C=180°$，即$∠ BAC+∠ ABC=180°-∠ C$
又
∵ $∠ BED=65°$
∴ $65°=\frac{1}{2}(180°-∠ C)$
解得：$∠ C=50°$
【答案】
(1) $\boxed{110°}$
(2) $\boxed{50°}$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的典型题型，解题核心是灵活运用角平分线性质、三角形外角和内角和定理，建立已知角和未知角的数量关系，解题思路清晰，规律性较强。
【难度系数】
0.7