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9.学校举行作文比赛，共设一、二、三等奖三个奖项。获一、二等奖的人数占获奖总人数的$\frac{3}{8}$，获二、三等奖的人数占获奖总人数的$\frac{5}{6}$，获二等奖的人数占获奖总人数的几分之几？
答案
$\frac{3}{8}+\frac{5}{6}-1=\frac{5}{24}$
解析
【分析】
我们首先把获奖总人数看作单位“1”。已知获一、二等奖的人数占总人数的$\frac{3}{8}$，这个占比里包含了二等奖的占比；获二、三等奖的人数占总人数的$\frac{5}{6}$，这个占比里也包含了二等奖的占比。把这两个占比相加，得到的结果是“一等奖占比+二等奖占比+二等奖占比+三等奖占比”，也就是总人数的占比（即单位“1”）加上被多算了一次的二等奖占比。因此要求二等奖的占比，只需要用两个占比的和减去单位“1”即可。
【解析】
将获奖总人数看作单位“1”，计算过程如下：
1. 先对两个分数通分：8和6的最小公倍数是24，因此$\frac{3}{8}=\frac{9}{24}$，$\frac{5}{6}=\frac{20}{24}$
2. 计算两个占比的和：$\frac{3}{8}+\frac{5}{6}=\frac{9}{24}+\frac{20}{24}=\frac{29}{24}$
3. 减去总占比1，得到多算的一次二等奖占比：$\frac{29}{24}-1=\frac{29}{24}-\frac{24}{24}=\frac{5}{24}$
【答案】
$\frac{5}{24}$
【知识点】
分数加减法、单位“1”应用、重叠占比问题
【点评】
本题是分数加减法的典型实际应用题，解题核心是找准单位“1”，明确两个部分占比相加时，重叠的二等奖占比被重复计算了一次，用和减去总占比即可得到所求的二等奖占比。
【难度系数】
0.7
我们首先把获奖总人数看作单位“1”。已知获一、二等奖的人数占总人数的$\frac{3}{8}$，这个占比里包含了二等奖的占比；获二、三等奖的人数占总人数的$\frac{5}{6}$，这个占比里也包含了二等奖的占比。把这两个占比相加，得到的结果是“一等奖占比+二等奖占比+二等奖占比+三等奖占比”，也就是总人数的占比（即单位“1”）加上被多算了一次的二等奖占比。因此要求二等奖的占比，只需要用两个占比的和减去单位“1”即可。
【解析】
将获奖总人数看作单位“1”，计算过程如下：
1. 先对两个分数通分：8和6的最小公倍数是24，因此$\frac{3}{8}=\frac{9}{24}$，$\frac{5}{6}=\frac{20}{24}$
2. 计算两个占比的和：$\frac{3}{8}+\frac{5}{6}=\frac{9}{24}+\frac{20}{24}=\frac{29}{24}$
3. 减去总占比1，得到多算的一次二等奖占比：$\frac{29}{24}-1=\frac{29}{24}-\frac{24}{24}=\frac{5}{24}$
【答案】
$\frac{5}{24}$
【知识点】
分数加减法、单位“1”应用、重叠占比问题
【点评】
本题是分数加减法的典型实际应用题，解题核心是找准单位“1”，明确两个部分占比相加时，重叠的二等奖占比被重复计算了一次，用和减去总占比即可得到所求的二等奖占比。
【难度系数】
0.7
10. (1)算一算。
$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=$ $\frac{1}{4}+\frac{1}{5}=$ $\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=$ $\frac{1}{4}-\frac{1}{5}=$
(2)你能根据上面的规律直接写出下面各题的结果吗？
$\frac{1}{5}+\frac{1}{6}=$ $\frac{1}{4}+\frac{1}{7}=$ $\frac{1}{5}-\frac{1}{6}=$
$\frac{1}{8}-\frac{1}{9}=$ $\frac{1}{10}-\frac{1}{11}=$ $\frac{1}{3}-\frac{1}{7}=$
(3)观察下列式子,找出规律并计算。
$\frac{1}{2}=\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}$ $\frac{1}{6}=\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$ $\frac{1}{12}=\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$ $\frac{1}{20}=\frac{1}{4×5}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$ ……
$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}+\frac{1}{56}+\frac{1}{72}$
$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=$ $\frac{1}{4}+\frac{1}{5}=$ $\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=$ $\frac{1}{4}-\frac{1}{5}=$
(2)你能根据上面的规律直接写出下面各题的结果吗？
$\frac{1}{5}+\frac{1}{6}=$ $\frac{1}{4}+\frac{1}{7}=$ $\frac{1}{5}-\frac{1}{6}=$
$\frac{1}{8}-\frac{1}{9}=$ $\frac{1}{10}-\frac{1}{11}=$ $\frac{1}{3}-\frac{1}{7}=$
(3)观察下列式子,找出规律并计算。
$\frac{1}{2}=\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}$ $\frac{1}{6}=\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$ $\frac{1}{12}=\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$ $\frac{1}{20}=\frac{1}{4×5}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$ ……
$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}+\frac{1}{56}+\frac{1}{72}$
答案
(1)$\frac{5}{6}$ $\frac{9}{20}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{20}$
(2)$\frac{11}{30}$ $\frac{11}{28}$ $\frac{1}{30}$ $\frac{1}{72}$ $\frac{1}{110}$ $\frac{4}{21}$
(3)$\frac{8}{9}$
(2)$\frac{11}{30}$ $\frac{11}{28}$ $\frac{1}{30}$ $\frac{1}{72}$ $\frac{1}{110}$ $\frac{4}{21}$
(3)$\frac{8}{9}$
解析
【分析】
(1) 第一小题是异分母分数加减法，解题时先通分把分数转化为同分母分数，再按照“分母不变，分子相加减”的同分母分数加减法规则计算即可。
(2) 先观察第一小题的计算结果可总结规律：分子都是1、分母互质的两个分数，相加的结果分母是两个分母的乘积，分子是两个分母的和；相减的结果分母是两个分母的乘积，分子是两个分母的差，直接用该规律计算第二小题即可。
(3) 第三小题先参照给出的式子，把每个分数拆成两个分数的差，再相加后中间的分数会两两抵消，只需计算首尾剩余分数的差就能得到结果，无需逐个通分，大幅简化计算。
【解析】
(1) 计算过程：
$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$
$\frac{1}{4}+\frac{1}{5}=\frac{5}{20}+\frac{4}{20}=\frac{9}{20}$
$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{3}{6}-\frac{2}{6}=\frac{1}{6}$
$\frac{1}{4}-\frac{1}{5}=\frac{5}{20}-\frac{4}{20}=\frac{1}{20}$
(2) 根据规律直接计算：
$\frac{1}{5}+\frac{1}{6}=\frac{5+6}{5×6}=\frac{11}{30}$
$\frac{1}{4}+\frac{1}{7}=\frac{4+7}{4×7}=\frac{11}{28}$
$\frac{1}{5}-\frac{1}{6}=\frac{6-5}{5×6}=\frac{1}{30}$
$\frac{1}{8}-\frac{1}{9}=\frac{9-8}{8×9}=\frac{1}{72}$
$\frac{1}{10}-\frac{1}{11}=\frac{11-10}{10×11}=\frac{1}{110}$
$\frac{1}{3}-\frac{1}{7}=\frac{7-3}{3×7}=\frac{4}{21}$
(3) 拆分计算：
$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}+\frac{1}{56}+\frac{1}{72}$
$=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{6})+(\frac{1}{6}-\frac{1}{7})+(\frac{1}{7}-\frac{1}{8})+(\frac{1}{8}-\frac{1}{9})$
$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+\frac{1}{8}-\frac{1}{9}$
$=1-\frac{1}{9}$
$=\frac{8}{9}$
【答案】
(1)$\frac{5}{6}$；$\frac{9}{20}$；$\frac{1}{6}$；$\frac{1}{20}$
(2)$\frac{11}{30}$；$\frac{11}{28}$；$\frac{1}{30}$；$\frac{1}{72}$；$\frac{1}{110}$；$\frac{4}{21}$
(3)$\frac{8}{9}$
【知识点】
1.异分母分数加减法
2.裂项相消巧算
3.规律探究计算
【点评】
本题从基础分数运算出发，逐步引导学生归纳运算规律，再运用规律进行简便计算，既巩固了基础运算能力，又锻炼了观察归纳和灵活运算的能力，是梯度性很强的训练题。
【难度系数】
0.7
(1) 第一小题是异分母分数加减法，解题时先通分把分数转化为同分母分数，再按照“分母不变，分子相加减”的同分母分数加减法规则计算即可。
(2) 先观察第一小题的计算结果可总结规律：分子都是1、分母互质的两个分数，相加的结果分母是两个分母的乘积，分子是两个分母的和；相减的结果分母是两个分母的乘积，分子是两个分母的差，直接用该规律计算第二小题即可。
(3) 第三小题先参照给出的式子，把每个分数拆成两个分数的差，再相加后中间的分数会两两抵消，只需计算首尾剩余分数的差就能得到结果，无需逐个通分，大幅简化计算。
【解析】
(1) 计算过程：
$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$
$\frac{1}{4}+\frac{1}{5}=\frac{5}{20}+\frac{4}{20}=\frac{9}{20}$
$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{3}{6}-\frac{2}{6}=\frac{1}{6}$
$\frac{1}{4}-\frac{1}{5}=\frac{5}{20}-\frac{4}{20}=\frac{1}{20}$
(2) 根据规律直接计算：
$\frac{1}{5}+\frac{1}{6}=\frac{5+6}{5×6}=\frac{11}{30}$
$\frac{1}{4}+\frac{1}{7}=\frac{4+7}{4×7}=\frac{11}{28}$
$\frac{1}{5}-\frac{1}{6}=\frac{6-5}{5×6}=\frac{1}{30}$
$\frac{1}{8}-\frac{1}{9}=\frac{9-8}{8×9}=\frac{1}{72}$
$\frac{1}{10}-\frac{1}{11}=\frac{11-10}{10×11}=\frac{1}{110}$
$\frac{1}{3}-\frac{1}{7}=\frac{7-3}{3×7}=\frac{4}{21}$
(3) 拆分计算：
$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}+\frac{1}{56}+\frac{1}{72}$
$=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{6})+(\frac{1}{6}-\frac{1}{7})+(\frac{1}{7}-\frac{1}{8})+(\frac{1}{8}-\frac{1}{9})$
$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+\frac{1}{8}-\frac{1}{9}$
$=1-\frac{1}{9}$
$=\frac{8}{9}$
【答案】
(1)$\frac{5}{6}$；$\frac{9}{20}$；$\frac{1}{6}$；$\frac{1}{20}$
(2)$\frac{11}{30}$；$\frac{11}{28}$；$\frac{1}{30}$；$\frac{1}{72}$；$\frac{1}{110}$；$\frac{4}{21}$
(3)$\frac{8}{9}$
【知识点】
1.异分母分数加减法
2.裂项相消巧算
3.规律探究计算
【点评】
本题从基础分数运算出发，逐步引导学生归纳运算规律，再运用规律进行简便计算，既巩固了基础运算能力，又锻炼了观察归纳和灵活运算的能力，是梯度性很强的训练题。
【难度系数】
0.7
