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1 [2025 宿城期中]下列四组数据中,能作为直角三角形三边长的是 （
A.$3^2,4^2,5^2$
B.$1,\frac{4}{3},\frac{5}{3}$
C.$\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5}$
D.$7,12,13$
B
）A.$3^2,4^2,5^2$
B.$1,\frac{4}{3},\frac{5}{3}$
C.$\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5}$
D.$7,12,13$
答案
1. B
解析
【分析】
要判断一组数能否作为直角三角形的三边长，需运用勾股定理的逆定理。解题思路如下：第一步先找出每组数据中的最大边，第二步计算两个较小边的平方和，同时计算最大边的平方，第三步对比两个结果，若相等则满足直角三角形三边关系，否则不满足。注意不要受常见勾股数的惯性思维影响，要逐一计算验证。
【解析】
根据勾股定理的逆定理：若三角形三边$a$、$b$、$c$（$c$为最长边）满足$a^2+b^2=c^2$，则该三角形为直角三角形。我们逐一验证选项：
选项A：三边长为$3^2=9$，$4^2=16$，$5^2=25$，最长边为25。
两短边平方和：$9^2+16^2=81+256=337$，最长边平方：$25^2=625$，$337≠625$，不能构成直角三角形。
选项B：三边长为$1$，$\frac{4}{3}$，$\frac{5}{3}$，最长边为$\frac{5}{3}$。
两短边平方和：$1^2+(\frac{4}{3})^2=1+\frac{16}{9}=\frac{25}{9}$，最长边平方：$(\frac{5}{3})^2=\frac{25}{9}$，$\frac{25}{9}=\frac{25}{9}$，可以构成直角三角形。
选项C：三边长为$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{5}$，最长边为$\frac{1}{3}$。
两短边平方和：$(\frac{1}{4})^2+(\frac{1}{5})^2=\frac{1}{16}+\frac{1}{25}=\frac{41}{400}$，最长边平方：$(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，$\frac{41}{400}≠\frac{1}{9}$，不能构成直角三角形。
选项D：三边长为7，12，13，最长边为13。
两短边平方和：$7^2+12^2=49+144=193$，最长边平方：$13^2=169$，$193≠169$，不能构成直角三角形。
综上，只有选项B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的逆定理、有理数乘方运算
【点评】
本题是勾股定理逆定理的基础应用题型，设置了常见的惯性思维陷阱（如A选项是勾股数的平方而非勾股数本身），解题时严格按照“找最长边→算平方和→对比验证”的步骤即可准确判断，是考查勾股逆定理掌握情况的典型题。
【难度系数】
0.7
要判断一组数能否作为直角三角形的三边长，需运用勾股定理的逆定理。解题思路如下：第一步先找出每组数据中的最大边，第二步计算两个较小边的平方和，同时计算最大边的平方，第三步对比两个结果，若相等则满足直角三角形三边关系，否则不满足。注意不要受常见勾股数的惯性思维影响，要逐一计算验证。
【解析】
根据勾股定理的逆定理：若三角形三边$a$、$b$、$c$（$c$为最长边）满足$a^2+b^2=c^2$，则该三角形为直角三角形。我们逐一验证选项：
选项A：三边长为$3^2=9$，$4^2=16$，$5^2=25$，最长边为25。
两短边平方和：$9^2+16^2=81+256=337$，最长边平方：$25^2=625$，$337≠625$，不能构成直角三角形。
选项B：三边长为$1$，$\frac{4}{3}$，$\frac{5}{3}$，最长边为$\frac{5}{3}$。
两短边平方和：$1^2+(\frac{4}{3})^2=1+\frac{16}{9}=\frac{25}{9}$，最长边平方：$(\frac{5}{3})^2=\frac{25}{9}$，$\frac{25}{9}=\frac{25}{9}$，可以构成直角三角形。
选项C：三边长为$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{5}$，最长边为$\frac{1}{3}$。
两短边平方和：$(\frac{1}{4})^2+(\frac{1}{5})^2=\frac{1}{16}+\frac{1}{25}=\frac{41}{400}$，最长边平方：$(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，$\frac{41}{400}≠\frac{1}{9}$，不能构成直角三角形。
选项D：三边长为7，12，13，最长边为13。
两短边平方和：$7^2+12^2=49+144=193$，最长边平方：$13^2=169$，$193≠169$，不能构成直角三角形。
综上，只有选项B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的逆定理、有理数乘方运算
【点评】
本题是勾股定理逆定理的基础应用题型，设置了常见的惯性思维陷阱（如A选项是勾股数的平方而非勾股数本身），解题时严格按照“找最长边→算平方和→对比验证”的步骤即可准确判断，是考查勾股逆定理掌握情况的典型题。
【难度系数】
0.7
2 新情境 数学文化 我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目:有一块三角形沙田,三条边的长分别为5里、12里、13里,这块沙田的面积有多大?其中,1里=500米,则该沙田的面积为（
A.7.5平方千米
B.15平方千米
C.75平方千米
D.750平方千米
A
）A.7.5平方千米
B.15平方千米
C.75平方千米
D.750平方千米
答案
2. A
解析
【分析】
拿到题目首先观察给出的三角形三边长为5里、12里、13里，首先可以通过勾股定理的逆定理判断三角形的形状：若两条短边的平方和等于最长边的平方，说明这个三角形是直角三角形，两条短边就是直角边。确定形状后，先将边长的单位从里换算为千米，再代入直角三角形面积公式计算即可得到结果，要注意单位换算不能出错。
【解析】
1. 判断三角形形状：
计算三边平方可得：$5^2+12^2=25+144=169$，$13^2=169$，即$5^2+12^2=13^2$，根据勾股定理的逆定理，该三角形为直角三角形，直角边长度为5里和12里。
2. 单位换算：
已知1里=500米=0.5千米，因此：
5里$=5×0.5=2.5$千米，12里$=12×0.5=6$千米。
3. 计算沙田面积：
直角三角形面积$=\frac{1}{2}×$直角边$×$直角边$=\frac{1}{2}×2.5×6=7.5$平方千米。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的逆定理、直角三角形面积计算、单位换算
【点评】
本题结合我国古代数学文化设置情境，考查基础知识点的应用，解题的关键是先正确判断三角形形状，同时要注意单位换算的准确性，避免因单位换算失误丢分。
【难度系数】
0.7
拿到题目首先观察给出的三角形三边长为5里、12里、13里，首先可以通过勾股定理的逆定理判断三角形的形状：若两条短边的平方和等于最长边的平方，说明这个三角形是直角三角形，两条短边就是直角边。确定形状后，先将边长的单位从里换算为千米，再代入直角三角形面积公式计算即可得到结果，要注意单位换算不能出错。
【解析】
1. 判断三角形形状：
计算三边平方可得：$5^2+12^2=25+144=169$，$13^2=169$，即$5^2+12^2=13^2$，根据勾股定理的逆定理，该三角形为直角三角形，直角边长度为5里和12里。
2. 单位换算：
已知1里=500米=0.5千米，因此：
5里$=5×0.5=2.5$千米，12里$=12×0.5=6$千米。
3. 计算沙田面积：
直角三角形面积$=\frac{1}{2}×$直角边$×$直角边$=\frac{1}{2}×2.5×6=7.5$平方千米。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的逆定理、直角三角形面积计算、单位换算
【点评】
本题结合我国古代数学文化设置情境，考查基础知识点的应用，解题的关键是先正确判断三角形形状，同时要注意单位换算的准确性，避免因单位换算失误丢分。
【难度系数】
0.7
3 在下列横线上填上一个数，使各组中的三个数成为勾股数.
(1) 6，
(2) 7，24，
(3) 8，
(4)
(1) 6，
8
，10；(2) 7，24，
25
；(3) 8，
15
，17；(4)
9
，40，41.答案
3. (1)8 (2)25 (3)15 (4)9
解析
【分析】
要解决勾股数填空问题，首先明确勾股数的定义：三个正整数中，若两个较小数的平方和等于最大数的平方，则这三个数为勾股数。解题思路如下：①先判断已知两个数的大小，分两种情况讨论：若待填数是最大数，则待填数的平方等于两个已知数的平方和；若已知数中已有最大数，则待填数的平方等于最大数的平方减去另一个已知数的平方；②计算后验证结果是否为正整数，符合要求的即为答案。
【解析】
根据勾股数的定义，正整数$a、b、c$（$c$为最大数）满足$a^2+b^2=c^2$，分别计算如下：
(1) 已知6和10，10为较大数。若10是最大数，设待填数为$x$，则$x^2=10^2-6^2=100-36=64$，解得$x=8$（勾股数为正整数，舍去负根）；若$x$为最大数，则$x^2=6^2+10^2=136$，136不是完全平方数，不符合要求，故填8。
(2) 已知7和24，设待填数为最大数$c$，则$c^2=7^2+24^2=49+576=625$，解得$c=25$，符合要求，故填25。
(3) 已知8和17，17为较大数，设待填数为$x$，则$x^2=17^2-8^2=289-64=225$，解得$x=15$，符合要求，故填15。
(4) 已知40和41，41为较大数，设待填数为$x$，则$x^2=41^2-40^2=1681-1600=81$，解得$x=9$，符合要求，故填9。
【答案】
(1)8；(2)25；(3)15；(4)9
【知识点】
1.勾股数的定义；2.勾股定理的应用
【点评】
本题属于基础题，主要考查勾股数的识别与计算，解题时需注意勾股数必须是正整数，先确定最大边再代入勾股定理计算即可，熟记常见勾股数可加快解题速度。
【难度系数】
0.9
要解决勾股数填空问题，首先明确勾股数的定义：三个正整数中，若两个较小数的平方和等于最大数的平方，则这三个数为勾股数。解题思路如下：①先判断已知两个数的大小，分两种情况讨论：若待填数是最大数，则待填数的平方等于两个已知数的平方和；若已知数中已有最大数，则待填数的平方等于最大数的平方减去另一个已知数的平方；②计算后验证结果是否为正整数，符合要求的即为答案。
【解析】
根据勾股数的定义，正整数$a、b、c$（$c$为最大数）满足$a^2+b^2=c^2$，分别计算如下：
(1) 已知6和10，10为较大数。若10是最大数，设待填数为$x$，则$x^2=10^2-6^2=100-36=64$，解得$x=8$（勾股数为正整数，舍去负根）；若$x$为最大数，则$x^2=6^2+10^2=136$，136不是完全平方数，不符合要求，故填8。
(2) 已知7和24，设待填数为最大数$c$，则$c^2=7^2+24^2=49+576=625$，解得$c=25$，符合要求，故填25。
(3) 已知8和17，17为较大数，设待填数为$x$，则$x^2=17^2-8^2=289-64=225$，解得$x=15$，符合要求，故填15。
(4) 已知40和41，41为较大数，设待填数为$x$，则$x^2=41^2-40^2=1681-1600=81$，解得$x=9$，符合要求，故填9。
【答案】
(1)8；(2)25；(3)15；(4)9
【知识点】
1.勾股数的定义；2.勾股定理的应用
【点评】
本题属于基础题，主要考查勾股数的识别与计算，解题时需注意勾股数必须是正整数，先确定最大边再代入勾股定理计算即可，熟记常见勾股数可加快解题速度。
【难度系数】
0.9
4[2024泗阳期末]一个三角形的三边长分别为5,12,13,则这个三角形最长边上的中线长为
$\frac{13}{2}$
.答案
4. $\frac{13}{2}$
解析
【分析】
解题时首先观察三角形三边长度，5、12、13是常见的勾股数，首先通过勾股定理的逆定理判断三角形的形状：先计算较小两边的平方和，与最长边的平方比较，若相等则该三角形为直角三角形，且最长边为斜边。再结合直角三角形斜边中线的性质，即可直接求出最长边上的中线长度。
【解析】
解：
∵ $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$，$13^2 = 169$
∴ $5^2 + 12^2 = 13^2$
根据勾股定理的逆定理可得，该三角形是直角三角形，且斜边长为13（即最长边为斜边）
又
∵ 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半
∴ 最长边上的中线长 = $\frac{1}{2} × 13 = \frac{13}{2}$
【答案】
$\frac{13}{2}$
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是先利用勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，再结合直角三角形的特殊性质求解，熟记常见勾股数可快速判断三角形形状，提升解题速度。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察三角形三边长度，5、12、13是常见的勾股数，首先通过勾股定理的逆定理判断三角形的形状：先计算较小两边的平方和，与最长边的平方比较，若相等则该三角形为直角三角形，且最长边为斜边。再结合直角三角形斜边中线的性质，即可直接求出最长边上的中线长度。
【解析】
解：
∵ $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$，$13^2 = 169$
∴ $5^2 + 12^2 = 13^2$
根据勾股定理的逆定理可得，该三角形是直角三角形，且斜边长为13（即最长边为斜边）
又
∵ 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半
∴ 最长边上的中线长 = $\frac{1}{2} × 13 = \frac{13}{2}$
【答案】
$\frac{13}{2}$
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是先利用勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，再结合直角三角形的特殊性质求解，熟记常见勾股数可快速判断三角形形状，提升解题速度。
【难度系数】
0.8
5 若一个三角形三边的长分别为15 cm,20 cm,25 cm,则这个三角形最长边上的高为
12
cm.答案
5. 12
解析
【分析】
拿到题目首先观察三边长度，可先通过勾股定理的逆定理判断三角形形状：计算较短两边的平方和与最长边的平方，若二者相等则该三角形为直角三角形，最长边为斜边。要求最长边上的高，可利用三角形面积的两种计算方式（两条直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半）建立等量关系，即可求解高的长度。
【解析】
首先判断三角形的形状：
∵ $15^2=225$，$20^2=400$，$25^2=625$
∴ $15^2+20^2=225+400=625=25^2$
根据勾股定理的逆定理可知，该三角形是直角三角形，两条直角边长为15cm、20cm，最长边为斜边，长度25cm。
设最长边上的高为$h$ cm，根据三角形面积相等可得：
$\frac{1}{2} × 15 × 20 = \frac{1}{2} × 25 × h$
化简得：$300=25h$
解得：$h=12$
【答案】
12
【知识点】
勾股定理的逆定理；三角形面积公式
【点评】
本题是勾股定理逆定理的典型应用题型，解题核心是先判定三角形为直角三角形，再借助等面积法建立等式求高，掌握面积法的使用是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.7
拿到题目首先观察三边长度，可先通过勾股定理的逆定理判断三角形形状：计算较短两边的平方和与最长边的平方，若二者相等则该三角形为直角三角形，最长边为斜边。要求最长边上的高，可利用三角形面积的两种计算方式（两条直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半）建立等量关系，即可求解高的长度。
【解析】
首先判断三角形的形状：
∵ $15^2=225$，$20^2=400$，$25^2=625$
∴ $15^2+20^2=225+400=625=25^2$
根据勾股定理的逆定理可知，该三角形是直角三角形，两条直角边长为15cm、20cm，最长边为斜边，长度25cm。
设最长边上的高为$h$ cm，根据三角形面积相等可得：
$\frac{1}{2} × 15 × 20 = \frac{1}{2} × 25 × h$
化简得：$300=25h$
解得：$h=12$
【答案】
12
【知识点】
勾股定理的逆定理；三角形面积公式
【点评】
本题是勾股定理逆定理的典型应用题型，解题核心是先判定三角形为直角三角形，再借助等面积法建立等式求高，掌握面积法的使用是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.7
6 教材P96习题T1变式 已知$△ ABC$的三边长分别为$a=m^2 - n^2$，$b=2mn$，$c=m^2 + n^2$，其中，$m$，$n$是正整数，且$m＞n$。求证：$△ ABC$是直角三角形。
答案
6. $\because a^2=(m^2-n^2)^2=m^4-2m^2n^2+n^4$，$b^2=(2mn)^2=4m^2n^2$，$c^2=(m^2+n^2)^2=m^4+2m^2n^2+n^4$，
$\therefore a^2+b^2=m^4+2m^2n^2+n^4=c^2$，$\therefore △ ABC$是直角三角形
$\therefore a^2+b^2=m^4+2m^2n^2+n^4=c^2$，$\therefore △ ABC$是直角三角形
解析
【分析】
要证明△ABC是直角三角形，可利用勾股定理的逆定理：若三角形两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形。首先判断三边长中的最长边为$c=m^2+n^2$，接下来只需分别计算$a^2$、$b^2$的和，验证是否等于$c^2$即可完成证明。
【解析】
证明：
$\because a=m^2 - n^2$，$b=2mn$，$c=m^2 + n^2$，
$\therefore a^2=(m^2-n^2)^2=m^4-2m^2n^2+n^4$，
$b^2=(2mn)^2=4m^2n^2$，
$c^2=(m^2+n^2)^2=m^4+2m^2n^2+n^4$，
$\therefore a^2+b^2=m^4-2m^2n^2+n^4 + 4m^2n^2 = m^4+2m^2n^2+n^4 = c^2$，
根据勾股定理的逆定理，可得△ABC是直角三角形。
【答案】
△ABC是直角三角形
【知识点】
勾股定理的逆定理，完全平方公式
【点评】
本题是勾股定理逆定理的基础应用题型，解题时需熟练掌握完全平方公式的运算，准确计算三边的平方并验证平方和关系即可得解。
【难度系数】
0.8
要证明△ABC是直角三角形，可利用勾股定理的逆定理：若三角形两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形。首先判断三边长中的最长边为$c=m^2+n^2$，接下来只需分别计算$a^2$、$b^2$的和，验证是否等于$c^2$即可完成证明。
【解析】
证明：
$\because a=m^2 - n^2$，$b=2mn$，$c=m^2 + n^2$，
$\therefore a^2=(m^2-n^2)^2=m^4-2m^2n^2+n^4$，
$b^2=(2mn)^2=4m^2n^2$，
$c^2=(m^2+n^2)^2=m^4+2m^2n^2+n^4$，
$\therefore a^2+b^2=m^4-2m^2n^2+n^4 + 4m^2n^2 = m^4+2m^2n^2+n^4 = c^2$，
根据勾股定理的逆定理，可得△ABC是直角三角形。
【答案】
△ABC是直角三角形
【知识点】
勾股定理的逆定理，完全平方公式
【点评】
本题是勾股定理逆定理的基础应用题型，解题时需熟练掌握完全平方公式的运算，准确计算三边的平方并验证平方和关系即可得解。
【难度系数】
0.8
7 一题多解 如图，AD为$△ ABC$的中线，且$AC=13$，$BC=10$，$AD=12$，求$△ ABD$的周长。
（第7题）
（第7题）答案
7. 解法一:$\because AD$为$△ ABC$的中线，$BC=10$，$\therefore BD=CD=5$.$\because AC=13$，$AD=12$，$\therefore AD^2+CD^2=12^2+5^2=169$，$AC^2=13^2=169$，$\therefore AD^2+CD^2=AC^2$，$\therefore ∠ ADC=90°$.$\because ∠ ADC+∠ ADB=180°$，$\therefore ∠ ADB=90°$，$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ ADB$中，$AD^2+BD^2=AB^2$，即$12^2+5^2=AB^2$，$\therefore AB^2=169$，$\therefore AB=13$，$\therefore △ ABD$的周长为$5+12+13=30$
解法二:同解法一，得$∠ ADC=90°$.$\therefore AD$垂直平分$BC$，$\therefore AB=AC=13$，$\therefore △ ABD$的周长为$5+12+13=30$
解法二:同解法一，得$∠ ADC=90°$.$\therefore AD$垂直平分$BC$，$\therefore AB=AC=13$，$\therefore △ ABD$的周长为$5+12+13=30$
解析
【分析】
解题先从已知条件入手：首先根据“AD是△ABC的中线”，利用中线定义可求出BD、CD的长度；接下来观察AD=12、CD=5、AC=13这三个数值，符合勾股数的特征，可通过勾股定理的逆定理判断△ADC是直角三角形，得到∠ADC=90°，进而推出∠ADB=90°，同时可知AD垂直平分BC；之后既可以用勾股定理计算AB的长度，也可以用线段垂直平分线的性质直接得到AB=AC，最后将△ABD的三条边长度相加即可得到周长。
【解析】
解法一：
∵AD为△ABC的中线，$BC=10$，
∴$BD=CD=\frac{1}{2}BC=5$。
∵$AC=13$，$AD=12$，
∴$AD^2+CD^2=12^2+5^2=169$，$AC^2=13^2=169$，
∴$AD^2+CD^2=AC^2$，
∴$∠ADC=90°$。
∵$∠ADC+∠ADB=180°$，
∴$∠ADB=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ADB$中，由勾股定理得$AD^2+BD^2=AB^2$，
即$12^2+5^2=AB^2$，解得$AB=13$（边长为正，舍去负值），
∴$△ABD$的周长为$BD+AD+AB=5+12+13=30$。
解法二：
∵AD为△ABC的中线，$BC=10$，
∴$BD=CD=\frac{1}{2}BC=5$。
∵$AC=13$，$AD=12$，
∴$AD^2+CD^2=12^2+5^2=169$，$AC^2=13^2=169$，
∴$AD^2+CD^2=AC^2$，
∴$∠ADC=90°$，即$AD⊥BC$，
又
∵$BD=CD$，
∴AD垂直平分BC，
∴$AB=AC=13$，
∴$△ABD$的周长为$BD+AD+AB=5+12+13=30$。
【答案】
30
【知识点】
三角形中线的定义，勾股定理的逆定理，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题综合考查三角形中线、勾股定理及逆定理、垂直平分线性质的应用，解题的突破口是先通过中线转化线段长度，再用勾股逆定理判断直角，求解AB时可选择不同方法，灵活性较强，是勾股定理应用的典型习题。
【难度系数】
0.7
解题先从已知条件入手：首先根据“AD是△ABC的中线”，利用中线定义可求出BD、CD的长度；接下来观察AD=12、CD=5、AC=13这三个数值，符合勾股数的特征，可通过勾股定理的逆定理判断△ADC是直角三角形，得到∠ADC=90°，进而推出∠ADB=90°，同时可知AD垂直平分BC；之后既可以用勾股定理计算AB的长度，也可以用线段垂直平分线的性质直接得到AB=AC，最后将△ABD的三条边长度相加即可得到周长。
【解析】
解法一：
∵AD为△ABC的中线，$BC=10$，
∴$BD=CD=\frac{1}{2}BC=5$。
∵$AC=13$，$AD=12$，
∴$AD^2+CD^2=12^2+5^2=169$，$AC^2=13^2=169$，
∴$AD^2+CD^2=AC^2$，
∴$∠ADC=90°$。
∵$∠ADC+∠ADB=180°$，
∴$∠ADB=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ADB$中，由勾股定理得$AD^2+BD^2=AB^2$，
即$12^2+5^2=AB^2$，解得$AB=13$（边长为正，舍去负值），
∴$△ABD$的周长为$BD+AD+AB=5+12+13=30$。
解法二：
∵AD为△ABC的中线，$BC=10$，
∴$BD=CD=\frac{1}{2}BC=5$。
∵$AC=13$，$AD=12$，
∴$AD^2+CD^2=12^2+5^2=169$，$AC^2=13^2=169$，
∴$AD^2+CD^2=AC^2$，
∴$∠ADC=90°$，即$AD⊥BC$，
又
∵$BD=CD$，
∴AD垂直平分BC，
∴$AB=AC=13$，
∴$△ABD$的周长为$BD+AD+AB=5+12+13=30$。
【答案】
30
【知识点】
三角形中线的定义，勾股定理的逆定理，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题综合考查三角形中线、勾股定理及逆定理、垂直平分线性质的应用，解题的突破口是先通过中线转化线段长度，再用勾股逆定理判断直角，求解AB时可选择不同方法，灵活性较强，是勾股定理应用的典型习题。
【难度系数】
0.7
8 在$△ ABC$中，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$的对边长分别是$a$，$b$，$c$，下列条件不能判断$△ ABC$为直角三角形的是（
A.$a+b＞c$
B.$c^2=b^2-a^2$
C.$(c-a)(c+a)=b^2$
D.$∠ A=∠ B-∠ C$
A
）A.$a+b＞c$
B.$c^2=b^2-a^2$
C.$(c-a)(c+a)=b^2$
D.$∠ A=∠ B-∠ C$
答案
8. A
解析
【分析】
要判断△ABC是否为直角三角形，可从两个角度分析：一是利用勾股定理的逆定理，验证三边是否满足两边平方和等于第三边的平方；二是利用三角形内角和性质，判断是否存在内角为90°。本题要求选出“不能判断”的选项，因此需要逐一分析每个选项是否符合直角三角形的判定条件。
【解析】
结合直角三角形的判定规则逐一分析选项：
1. 分析选项A：$a+b＞c$是所有三角形都满足的三边关系（两边之和大于第三边），不是直角三角形特有的性质，无法判断△ABC是否为直角三角形。
2. 分析选项B：对$c^2=b^2-a^2$移项可得$a^2+c^2=b^2$，符合勾股定理的逆定理，说明$∠B$为直角，可判定△ABC是直角三角形。
3. 分析选项C：将$(c-a)(c+a)=b^2$展开得$c^2-a^2=b^2$，整理得$a^2+b^2=c^2$，符合勾股定理的逆定理，说明$∠C$为直角，可判定△ABC是直角三角形。
4. 分析选项D：由$∠A=∠B-∠C$可得$∠A+∠C=∠B$，结合三角形内角和为180°，即$∠A+∠B+∠C=180°$，代入得$2∠B=180°$，解得$∠B=90°$，可判定△ABC是直角三角形。
综上，只有选项A不能判断△ABC为直角三角形。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形的判定、勾股定理的逆定理、三角形内角和定理
【点评】
本题核心考查直角三角形的两类判定方法，解题时要注意区分三角形的通用性质和直角三角形的特有性质，避免将普通三角形的三边关系误认为直角三角形的判定依据。
【难度系数】
0.8
要判断△ABC是否为直角三角形，可从两个角度分析：一是利用勾股定理的逆定理，验证三边是否满足两边平方和等于第三边的平方；二是利用三角形内角和性质，判断是否存在内角为90°。本题要求选出“不能判断”的选项，因此需要逐一分析每个选项是否符合直角三角形的判定条件。
【解析】
结合直角三角形的判定规则逐一分析选项：
1. 分析选项A：$a+b＞c$是所有三角形都满足的三边关系（两边之和大于第三边），不是直角三角形特有的性质，无法判断△ABC是否为直角三角形。
2. 分析选项B：对$c^2=b^2-a^2$移项可得$a^2+c^2=b^2$，符合勾股定理的逆定理，说明$∠B$为直角，可判定△ABC是直角三角形。
3. 分析选项C：将$(c-a)(c+a)=b^2$展开得$c^2-a^2=b^2$，整理得$a^2+b^2=c^2$，符合勾股定理的逆定理，说明$∠C$为直角，可判定△ABC是直角三角形。
4. 分析选项D：由$∠A=∠B-∠C$可得$∠A+∠C=∠B$，结合三角形内角和为180°，即$∠A+∠B+∠C=180°$，代入得$2∠B=180°$，解得$∠B=90°$，可判定△ABC是直角三角形。
综上，只有选项A不能判断△ABC为直角三角形。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形的判定、勾股定理的逆定理、三角形内角和定理
【点评】
本题核心考查直角三角形的两类判定方法，解题时要注意区分三角形的通用性质和直角三角形的特有性质，避免将普通三角形的三边关系误认为直角三角形的判定依据。
【难度系数】
0.8
