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9 如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长都是1个单位长度,点A,B,C,D,E均在小正方形的顶点上,线段AB,CD交于点F.若∠CFB=α,则∠ABE的大小为 (
A.$180° - α$
B.$180° - 2α$
C.$90° + α$
D.$90° + 2α$
C
)A.$180° - α$
B.$180° - 2α$
C.$90° + α$
D.$90° + 2α$
答案
9. C 【解析】如图,过点B作$BG// CD$,连接EG.由$BG// CD$,得$∠ ABG=∠ CFB=α$. 根据勾股定理,得$BG^2=17$,$BE^2=17$,$EG^2=34$,则$BG^2+BE^2=EG^2$,
$\therefore ∠ GBE=90°$,$\therefore ∠ ABE=∠ GBE+∠ ABG=90°+α$.
解析
【分析】
要求∠ABE的大小，已知∠CFB=α，首先需建立α与∠ABE的关联：考虑作平行线转移角，过点B作BG//CD，利用平行线的性质可将α转化为∠ABG；接下来求∠GBE的度数，结合网格特征，可通过勾股定理计算△BEG三边长度的平方，再用勾股定理的逆定理判断△BEG为直角三角形，得到∠GBE=90°，最后将∠GBE与∠ABG相加即可得到∠ABE的度数。
【解析】
如图，过点B作$BG// CD$，连接EG。
$\because BG// CD$，根据两直线平行，内错角相等，可得$∠ ABG=∠ CFB=α$。
根据勾股定理计算各边长度的平方：
$BG^2=1^2+4^2=17$，$BE^2=1^2+4^2=17$，$EG^2=3^2+5^2=34$，
$\therefore BG^2+BE^2=17+17=34=EG^2$，
根据勾股定理的逆定理，可知$△ BEG$是直角三角形，且$∠ GBE=90°$，
$\therefore ∠ ABE=∠ GBE+∠ ABG=90°+α$。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题结合网格考查几何知识的综合应用，解题的关键是合理作辅助线实现角的转化，再利用勾股定理及其逆定理判断直角，有效锻炼了学生的作图能力、知识整合能力和数形结合思维。
【难度系数】
0.6
要求∠ABE的大小，已知∠CFB=α，首先需建立α与∠ABE的关联：考虑作平行线转移角，过点B作BG//CD，利用平行线的性质可将α转化为∠ABG；接下来求∠GBE的度数，结合网格特征，可通过勾股定理计算△BEG三边长度的平方，再用勾股定理的逆定理判断△BEG为直角三角形，得到∠GBE=90°，最后将∠GBE与∠ABG相加即可得到∠ABE的度数。
【解析】
如图，过点B作$BG// CD$，连接EG。
$\because BG// CD$，根据两直线平行，内错角相等，可得$∠ ABG=∠ CFB=α$。
根据勾股定理计算各边长度的平方：
$BG^2=1^2+4^2=17$，$BE^2=1^2+4^2=17$，$EG^2=3^2+5^2=34$，
$\therefore BG^2+BE^2=17+17=34=EG^2$，
根据勾股定理的逆定理，可知$△ BEG$是直角三角形，且$∠ GBE=90°$，
$\therefore ∠ ABE=∠ GBE+∠ ABG=90°+α$。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题结合网格考查几何知识的综合应用，解题的关键是合理作辅助线实现角的转化，再利用勾股定理及其逆定理判断直角，有效锻炼了学生的作图能力、知识整合能力和数形结合思维。
【难度系数】
0.6
10 如图，在$△ ABC$中，$AB=10$，$AC=8$，$BC=6$，$DE$是$AC$的垂直平分线，$DE$交$AB$于点$D$，连接$CD$，则$CD$的长为
5
。答案
10. 5
解析
【分析】
解题时首先观察△ABC的三边长，发现是常见的勾股数，可先用勾股定理的逆定理判断△ABC为直角三角形；再结合DE是AC的垂直平分线的性质，可得DE垂直AC、AD=CD且E为AC中点，进而推出DE平行于BC，得到D是AB的中点；最后利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可求出CD的长度。
【解析】
1. 判定△ABC的形状：
已知AC=8，BC=6，AB=10，
计算得：$AC^2+BC^2=8^2+6^2=64+36=100$，$AB^2=10^2=100$，
因此$AC^2+BC^2=AB^2$，根据勾股定理的逆定理可得$△ ABC$是直角三角形，且$∠ ACB=90°$，即$BC⊥ AC$。
2. 结合垂直平分线的性质推导：
∵DE是AC的垂直平分线，
∴$DE⊥ AC$，$AD=CD$，且E是AC的中点。
∵$DE⊥ AC$，$BC⊥ AC$，
∴$DE// BC$（垂直于同一条直线的两条直线互相平行）。
3. 确定D的位置并计算CD：
∵E是AC中点，$DE// BC$，
∴D是AB的中点。
∵在$Rt△ ABC$中，D是斜边AB的中点，
∴$CD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$。
【答案】
5
【知识点】
勾股定理的逆定理，线段垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题是基础几何综合题，将勾股逆定理、垂直平分线性质、直角三角形的性质结合考查，解题的关键是先判断出三角形为直角三角形，再通过平行关系确定D是AB的中点，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察△ABC的三边长，发现是常见的勾股数，可先用勾股定理的逆定理判断△ABC为直角三角形；再结合DE是AC的垂直平分线的性质，可得DE垂直AC、AD=CD且E为AC中点，进而推出DE平行于BC，得到D是AB的中点；最后利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可求出CD的长度。
【解析】
1. 判定△ABC的形状：
已知AC=8，BC=6，AB=10，
计算得：$AC^2+BC^2=8^2+6^2=64+36=100$，$AB^2=10^2=100$，
因此$AC^2+BC^2=AB^2$，根据勾股定理的逆定理可得$△ ABC$是直角三角形，且$∠ ACB=90°$，即$BC⊥ AC$。
2. 结合垂直平分线的性质推导：
∵DE是AC的垂直平分线，
∴$DE⊥ AC$，$AD=CD$，且E是AC的中点。
∵$DE⊥ AC$，$BC⊥ AC$，
∴$DE// BC$（垂直于同一条直线的两条直线互相平行）。
3. 确定D的位置并计算CD：
∵E是AC中点，$DE// BC$，
∴D是AB的中点。
∵在$Rt△ ABC$中，D是斜边AB的中点，
∴$CD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$。
【答案】
5
【知识点】
勾股定理的逆定理，线段垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题是基础几何综合题，将勾股逆定理、垂直平分线性质、直角三角形的性质结合考查，解题的关键是先判断出三角形为直角三角形，再通过平行关系确定D是AB的中点，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
11 新情境 数学文化 [2025 扬州]清代数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”。法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献。由此法则写出了下列几组勾股数：① 3，4，5；② 5，12，13；③ 7，24，25；④ 9，40，41；…。根据上述规律，第⑤组勾股数为
11,60,61
。答案
11. 11,60,61 【解析】通过观察,根据前4组勾股数的规律,可设第⑤组勾股数为$11,x,x+1$,由$11^2+x^2=(x+1)^2$,得$x=60$,因此第⑤组勾股数为11,60,61.
解析
【分析】
解题时先观察已知4组勾股数的数字特征：首先看每组的第一个数，依次为3、5、7、9，是从3开始的连续奇数，每后一组的第一个数比前一组大2，可推出第⑤组的第一个数为11；再观察每组后两个数的关系，发现每组的第二个数和第三个数是连续正整数，且第三个数比第二个数大1，因此可设第⑤组的第二个数为x，第三个数为x+1；最后根据勾股数满足“较小两数的平方和等于最大数的平方”这一特征，列方程求解即可得到x的值，进而得到第⑤组勾股数。
【解析】
第一步：找规律确定第⑤组勾股数的第一个数
已知前4组勾股数的第一个数依次为3、5、7、9，是公差为2的奇数列，因此第⑤组的第一个数为$9+2=11$。
第二步：分析每组后两个数的数量关系
观察可知每组勾股数的后两个数为连续正整数，第三个数比第二个数大1，设第⑤组勾股数的第二个数为$x$，则第三个数为$x+1$。
第三步：根据勾股定理列方程求解
勾股数满足勾股定理，即较小两数的平方和等于最大数的平方，因此列方程：
$11^2 + x^2 = (x+1)^2$
展开等式右边得：$121 + x^2 = x^2 + 2x + 1$
两边同时减去$x^2$得：$121 = 2x + 1$
移项计算得：$2x = 120$，解得$x = 60$
则第三个数为$x+1 = 60+1=61$
因此第⑤组勾股数为11,60,61。
【答案】
11,60,61
【知识点】
勾股数的概念，勾股定理，数字规律探究
【点评】
本题以中国传统数学文化中的“罗士琳法则”为背景，既考查了学生观察归纳数字规律的能力，也结合勾股定理考查了方程思想的应用，兼具文化性和探究性。
【难度系数】
0.8
解题时先观察已知4组勾股数的数字特征：首先看每组的第一个数，依次为3、5、7、9，是从3开始的连续奇数，每后一组的第一个数比前一组大2，可推出第⑤组的第一个数为11；再观察每组后两个数的关系，发现每组的第二个数和第三个数是连续正整数，且第三个数比第二个数大1，因此可设第⑤组的第二个数为x，第三个数为x+1；最后根据勾股数满足“较小两数的平方和等于最大数的平方”这一特征，列方程求解即可得到x的值，进而得到第⑤组勾股数。
【解析】
第一步：找规律确定第⑤组勾股数的第一个数
已知前4组勾股数的第一个数依次为3、5、7、9，是公差为2的奇数列，因此第⑤组的第一个数为$9+2=11$。
第二步：分析每组后两个数的数量关系
观察可知每组勾股数的后两个数为连续正整数，第三个数比第二个数大1，设第⑤组勾股数的第二个数为$x$，则第三个数为$x+1$。
第三步：根据勾股定理列方程求解
勾股数满足勾股定理，即较小两数的平方和等于最大数的平方，因此列方程：
$11^2 + x^2 = (x+1)^2$
展开等式右边得：$121 + x^2 = x^2 + 2x + 1$
两边同时减去$x^2$得：$121 = 2x + 1$
移项计算得：$2x = 120$，解得$x = 60$
则第三个数为$x+1 = 60+1=61$
因此第⑤组勾股数为11,60,61。
【答案】
11,60,61
【知识点】
勾股数的概念，勾股定理，数字规律探究
【点评】
本题以中国传统数学文化中的“罗士琳法则”为背景，既考查了学生观察归纳数字规律的能力，也结合勾股定理考查了方程思想的应用，兼具文化性和探究性。
【难度系数】
0.8
12 [2024 沭阳期末]如图，AD是$△ ABC$的中线，$DE⊥ AC$于点E，DF是$△ ABD$的中线，且$CE=2$，$DE=4$，$AE=8$。
（1）求证：$∠ ADC=90°$；
（2）求DF的长。
（1）求证：$∠ ADC=90°$；
（2）求DF的长。
答案
12. (1) $\because DE⊥ AC$于点E，$\therefore ∠ AED=∠ CED=90°$. 在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$∠ AED=90°$，$\therefore AD^2=AE^2+DE^2=8^2+4^2=80$. 同理，可得$CD^2=20$. $\therefore AD^2+CD^2=100$. $\because AC=AE+CE=8+2=10$，$\therefore AC^2=100$，$\therefore AD^2+CD^2=AC^2$. $\therefore △ ADC$是直角三角形，且$∠ ADC=90°$
(2) $\because AD$是$△ ABC$的中线，$∠ ADC=90°$，$\therefore AD$垂直平分$BC$. $\therefore AB=AC=10$. $\because ∠ ADC=90°$，$\therefore ∠ ADB=90°$. $\because DF$是$△ ABD$的中线，即F是边AB的中点，$\therefore DF=\frac{1}{2}AB=5$
(2) $\because AD$是$△ ABC$的中线，$∠ ADC=90°$，$\therefore AD$垂直平分$BC$. $\therefore AB=AC=10$. $\because ∠ ADC=90°$，$\therefore ∠ ADB=90°$. $\because DF$是$△ ABD$的中线，即F是边AB的中点，$\therefore DF=\frac{1}{2}AB=5$
解析
【分析】
（1）要证明$∠ ADC=90°$，可通过勾股定理的逆定理判断$△ ADC$为直角三角形。首先利用$DE⊥ AC$的垂直条件，分别在$\mathrm{Rt}△ ADE$和$\mathrm{Rt}△ CDE$中用勾股定理计算$AD^2$、$CD^2$，再求出$AC$的长度得到$AC^2$，验证$AD^2+CD^2$是否等于$AC^2$即可得证。
（2）求$DF$的长时，先由$AD$是$△ ABC$的中线且$∠ ADC=90°$，可得$AD$垂直平分$BC$，推出$AB=AC$；再结合$∠ ADB=90°$，$DF$是$\mathrm{Rt}△ ABD$斜边$AB$上的中线，利用直角三角形斜边中线的性质即可求出$DF$的长度。
【解析】
（1）证明：$\because DE⊥ AC$于点$E$，$\therefore ∠ AED=∠ CED=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，由勾股定理得：$AD^2=AE^2+DE^2=8^2+4^2=80$，
在$\mathrm{Rt}△ CDE$中，由勾股定理得：$CD^2=CE^2+DE^2=2^2+4^2=20$，
$\therefore AD^2+CD^2=80+20=100$，
又$\because AC=AE+CE=8+2=10$，$\therefore AC^2=10^2=100$，
$\therefore AD^2+CD^2=AC^2$，
根据勾股定理的逆定理可得$△ ADC$是直角三角形，且$∠ ADC=90°$。
（2）解：$\because AD$是$△ ABC$的中线，$∠ ADC=90°$，
$\therefore AD$垂直平分$BC$，$\therefore AB=AC=10$，
$\because ∠ ADC=90°$，$\therefore ∠ ADB=180°-∠ ADC=90°$，即$△ ABD$是直角三角形，
又$\because DF$是$△ ABD$的中线，$F$为$AB$的中点，
根据直角三角形斜边中线的性质，得$DF=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$。
【答案】
（1）$∠ ADC=90°$得证；（2）$DF=5$
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题综合考查了勾股定理及其逆定理、直角三角形的相关性质，解题的关键是先通过勾股逆定理证明直角，再结合中线的性质推导边的关系，整体逻辑清晰，对定理的灵活运用有一定要求。
【难度系数】
0.7
（1）要证明$∠ ADC=90°$，可通过勾股定理的逆定理判断$△ ADC$为直角三角形。首先利用$DE⊥ AC$的垂直条件，分别在$\mathrm{Rt}△ ADE$和$\mathrm{Rt}△ CDE$中用勾股定理计算$AD^2$、$CD^2$，再求出$AC$的长度得到$AC^2$，验证$AD^2+CD^2$是否等于$AC^2$即可得证。
（2）求$DF$的长时，先由$AD$是$△ ABC$的中线且$∠ ADC=90°$，可得$AD$垂直平分$BC$，推出$AB=AC$；再结合$∠ ADB=90°$，$DF$是$\mathrm{Rt}△ ABD$斜边$AB$上的中线，利用直角三角形斜边中线的性质即可求出$DF$的长度。
【解析】
（1）证明：$\because DE⊥ AC$于点$E$，$\therefore ∠ AED=∠ CED=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，由勾股定理得：$AD^2=AE^2+DE^2=8^2+4^2=80$，
在$\mathrm{Rt}△ CDE$中，由勾股定理得：$CD^2=CE^2+DE^2=2^2+4^2=20$，
$\therefore AD^2+CD^2=80+20=100$，
又$\because AC=AE+CE=8+2=10$，$\therefore AC^2=10^2=100$，
$\therefore AD^2+CD^2=AC^2$，
根据勾股定理的逆定理可得$△ ADC$是直角三角形，且$∠ ADC=90°$。
（2）解：$\because AD$是$△ ABC$的中线，$∠ ADC=90°$，
$\therefore AD$垂直平分$BC$，$\therefore AB=AC=10$，
$\because ∠ ADC=90°$，$\therefore ∠ ADB=180°-∠ ADC=90°$，即$△ ABD$是直角三角形，
又$\because DF$是$△ ABD$的中线，$F$为$AB$的中点，
根据直角三角形斜边中线的性质，得$DF=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$。
【答案】
（1）$∠ ADC=90°$得证；（2）$DF=5$
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题综合考查了勾股定理及其逆定理、直角三角形的相关性质，解题的关键是先通过勾股逆定理证明直角，再结合中线的性质推导边的关系，整体逻辑清晰，对定理的灵活运用有一定要求。
【难度系数】
0.7
13 如图，P 是等边三角形 ABC 内的一点，PA=6，PB=8，PC=10. 若 P'是△ABC 外的一点，且△P'AB≌△PAC，求点 P 与点 P'之间的距离及∠APB 的度数. 
（第13题）
（第13题）答案
13. 如图，连接$PP'$. $\because △ P'AB ≌ △ PAC$，
$\therefore ∠ BAP'=∠ CAP$，$AP'=AP=6$，$P'B=PC=10$.
$\because △ ABC$是等边三角形，$\therefore ∠ BAC=∠ CAP+∠ PAB=60°$，$\therefore ∠ P'AP=∠ BAP'+∠ PAB=60°$，
$\therefore △ P'AP$是等边三角形，$\therefore AP=AP'=P'P=6$，$∠ APP'=60°$，$\therefore$ 点P与点$P'$之间的距离为6.
$\because P'P^2+PB^2=6^2+8^2=100$，$P'B^2=10^2=100$，
$\therefore P'P^2+PB^2=P'B^2$，$\therefore ∠ P'PB=90°$，$\therefore ∠ APB=∠ P'PB+∠ APP'=90°+60°=150°$
解析
【分析】
解题时先从已知的全等三角形入手，利用全等三角形的性质得到对应边、对应角相等的关系；再结合等边三角形△ABC的内角为60°，推导得到∠P'AP=60°，即可判定△P'AP是等边三角形，求出PP'的长度；之后观察△P'PB的三边长，利用勾股定理的逆定理判断该三角形为直角三角形，得到直角的度数，最后通过角的和差关系计算出∠APB的度数即可。
【解析】
连接$PP'$，
$\because △ P'AB ≌ △ PAC$，
$\therefore ∠ BAP'=∠ CAP$，$AP'=AP=6$，$P'B=PC=10$，
$\because △ ABC$是等边三角形，
$\therefore ∠ BAC=∠ CAP+∠ PAB=60°$，
$\therefore ∠ P'AP=∠ BAP'+∠ PAB=∠ CAP+∠ PAB=60°$，
$\therefore △ P'AP$是等边三角形，
$\therefore P'P=AP=6$，$∠ APP'=60°$，即点P与点$P'$之间的距离为6。
$\because P'P^2+PB^2=6^2+8^2=100$，$P'B^2=10^2=100$，
$\therefore P'P^2+PB^2=P'B^2$，
$\therefore △P'PB$是直角三角形，且$∠ P'PB=90°$，
$\therefore ∠ APB=∠ P'PB+∠ APP'=90°+60°=150°$。
【答案】
点P与点P'之间的距离为6，∠APB的度数为150°。
【知识点】
全等三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于几何综合类基础题，通过全等三角形实现边角的转化，构造出等边三角形和直角三角形来求解，解题的核心是利用全等性质推导角的等量关系，再结合特殊三角形的性质得到所求结论，有助于锻炼学生的转化思维和几何综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知的全等三角形入手，利用全等三角形的性质得到对应边、对应角相等的关系；再结合等边三角形△ABC的内角为60°，推导得到∠P'AP=60°，即可判定△P'AP是等边三角形，求出PP'的长度；之后观察△P'PB的三边长，利用勾股定理的逆定理判断该三角形为直角三角形，得到直角的度数，最后通过角的和差关系计算出∠APB的度数即可。
【解析】
连接$PP'$，
$\because △ P'AB ≌ △ PAC$，
$\therefore ∠ BAP'=∠ CAP$，$AP'=AP=6$，$P'B=PC=10$，
$\because △ ABC$是等边三角形，
$\therefore ∠ BAC=∠ CAP+∠ PAB=60°$，
$\therefore ∠ P'AP=∠ BAP'+∠ PAB=∠ CAP+∠ PAB=60°$，
$\therefore △ P'AP$是等边三角形，
$\therefore P'P=AP=6$，$∠ APP'=60°$，即点P与点$P'$之间的距离为6。
$\because P'P^2+PB^2=6^2+8^2=100$，$P'B^2=10^2=100$，
$\therefore P'P^2+PB^2=P'B^2$，
$\therefore △P'PB$是直角三角形，且$∠ P'PB=90°$，
$\therefore ∠ APB=∠ P'PB+∠ APP'=90°+60°=150°$。
【答案】
点P与点P'之间的距离为6，∠APB的度数为150°。
【知识点】
全等三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于几何综合类基础题，通过全等三角形实现边角的转化，构造出等边三角形和直角三角形来求解，解题的核心是利用全等性质推导角的等量关系，再结合特殊三角形的性质得到所求结论，有助于锻炼学生的转化思维和几何综合运用能力。
【难度系数】
0.6
