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1. 下列$y$关于$x$的函数中，一定为二次函数的有(
①$y=\sqrt{5}x^2 - x + 1$；
②$y=(2x - 1)(1 - x)$；
③$y=3x^2 + \frac{1}{x}$；④$y=(2x + 3)^2 - 4x^2$；
⑤$y=(m^2 - 1)x^2$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
)①$y=\sqrt{5}x^2 - x + 1$；
②$y=(2x - 1)(1 - x)$；
③$y=3x^2 + \frac{1}{x}$；④$y=(2x + 3)^2 - 4x^2$；
⑤$y=(m^2 - 1)x^2$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1.B
2.已知二次函数$y=(k-1)x^{k^2 -3k +4}+2x-1$，当$x=\frac{1}{2}$时，$y$的值为________。
答案
2.$\frac{1}{4}$
3.在同一平面直角坐标系中，画出直线$y=ax+b$与抛物线$y=ax^2+bx$，这个图形可能是（
D
）答案
3.D
4.[2026福州模拟]已知抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，当$y≥t$时，$-m-2≤x≤-m+4$。若$A(-m-3,p),B(3m,q)$是抛物线$y=ax^2+bx+c$上的两点，且$p＞q$，则$m$的取值范围为（
A.$-\frac{5}{2}＜m＜\frac{4}{3}$
B.$m＜-\frac{3}{4}$或$m＞\frac{5}{4}$
C.$m＜-\frac{5}{2}$或$m＞\frac{4}{3}$
D.$-\frac{4}{3}＜m＜\frac{5}{2}$
B
）A.$-\frac{5}{2}＜m＜\frac{4}{3}$
B.$m＜-\frac{3}{4}$或$m＞\frac{5}{4}$
C.$m＜-\frac{5}{2}$或$m＞\frac{4}{3}$
D.$-\frac{4}{3}＜m＜\frac{5}{2}$
答案
4.B 【点拨】
∵当$y≥t$时，$-m-2≤x≤-m+4$，
∴$a＜0$，抛物线开口向下，且当$y=t$时，$x_1=-m-2,x_2=-m+4$，
∴抛物线的对称轴为直线$x=\frac{-m-2+(-m+4)}{2}=-m+1$，
∴$A(-m-3,p)$关于对称轴的对称点为$(-m+5,p).\because A(-m-3,p),B(3m,q)$是抛物线$y=ax^2+bx+c$上的两点，且$p＞q,\therefore 3m＜-m-3$或$3m＞-m+5$,解得$m＜-\frac{3}{4}$或$m＞\frac{5}{4}$.
∵当$y≥t$时，$-m-2≤x≤-m+4$，
∴$a＜0$，抛物线开口向下，且当$y=t$时，$x_1=-m-2,x_2=-m+4$，
∴抛物线的对称轴为直线$x=\frac{-m-2+(-m+4)}{2}=-m+1$，
∴$A(-m-3,p)$关于对称轴的对称点为$(-m+5,p).\because A(-m-3,p),B(3m,q)$是抛物线$y=ax^2+bx+c$上的两点，且$p＞q,\therefore 3m＜-m-3$或$3m＞-m+5$,解得$m＜-\frac{3}{4}$或$m＞\frac{5}{4}$.
5. :: [2025福建]在平面直角坐标系中,二次函数$y=ax^2+bx-2$的图象过点$A(1,t),B(2,t)$.
(1)求$\frac{b}{a}$的值;
(2)已知二次函数$y=ax^2+bx-2$的最大值为$1-\frac{3}{4}a^2$.
①求该二次函数的表达式;
②若$M(x_1,m),N(x_2,m)$为该二次函数图象上的不同两点,且$m≠0$,求证:$\frac{(x_1-1)^2}{m}=\frac{x_2-2}{x_1-2}$.
(1)求$\frac{b}{a}$的值;
(2)已知二次函数$y=ax^2+bx-2$的最大值为$1-\frac{3}{4}a^2$.
①求该二次函数的表达式;
②若$M(x_1,m),N(x_2,m)$为该二次函数图象上的不同两点,且$m≠0$,求证:$\frac{(x_1-1)^2}{m}=\frac{x_2-2}{x_1-2}$.
答案
5.(1)【解】
∵二次函数$y=ax^2+bx-2$的图象的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$.
点$A(1,t),B(2,t)$在该函数的图象上，
$\therefore -\frac{b}{2a}=\frac{1+2}{2},\therefore \frac{b}{a}=-3$.
(2)①【解】由(1)可得,$b=-3a$,$\therefore$该函数的表达式为$y=ax^2-3ax-2=a(x-\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}a-2$,
函数图象的顶点坐标为$(\frac{3}{2},-\frac{9}{4}a-2)$.
$\because$函数的最大值为$1-\frac{3}{4}a^2$,
$\therefore a＜0$,且$-\frac{9}{4}a-2=1-\frac{3}{4}a^2$,
解得$a=-1$或$a=4$(舍去).
$\therefore$该二次函数的表达式为$y=-x^2+3x-2$.
②【证明】$\because$点$M(x_1,m)$在函数$y=-x^2+3x-2$的图象上,$\therefore m=-x_1^2+3x_1-2$.
易知,点$M(x_1,m),N(x_2,m)$关于直线$x=\frac{3}{2}$对称,不妨设$x_1＜x_2$,则$x_2-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}-x_1$,即$x_1+x_2=3$.
$\therefore \frac{(x_1-1)^2}{m}-\frac{x_2-2}{x_1-2}=\frac{(x_1-1)^2(x_1-2)-m(x_2-2)}{m(x_1-2)}=\frac{(x_1-1)(x_1-2)(x_1-1)-m(x_2-2)}{m(x_1-2)}=\frac{(x_1^2-3x_1+2)(x_1-1)-m(x_2-2)}{m(x_1-2)}=\frac{-m(x_1-1)-m(x_2-2)}{m(x_1-2)}=\frac{-m(x_1+x_2-3)}{m(x_1-2)}=0$,
所以$\frac{(x_1-1)^2}{m}=\frac{x_2-2}{x_1-2}$.
∵二次函数$y=ax^2+bx-2$的图象的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$.
点$A(1,t),B(2,t)$在该函数的图象上，
$\therefore -\frac{b}{2a}=\frac{1+2}{2},\therefore \frac{b}{a}=-3$.
(2)①【解】由(1)可得,$b=-3a$,$\therefore$该函数的表达式为$y=ax^2-3ax-2=a(x-\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}a-2$,
函数图象的顶点坐标为$(\frac{3}{2},-\frac{9}{4}a-2)$.
$\because$函数的最大值为$1-\frac{3}{4}a^2$,
$\therefore a＜0$,且$-\frac{9}{4}a-2=1-\frac{3}{4}a^2$,
解得$a=-1$或$a=4$(舍去).
$\therefore$该二次函数的表达式为$y=-x^2+3x-2$.
②【证明】$\because$点$M(x_1,m)$在函数$y=-x^2+3x-2$的图象上,$\therefore m=-x_1^2+3x_1-2$.
易知,点$M(x_1,m),N(x_2,m)$关于直线$x=\frac{3}{2}$对称,不妨设$x_1＜x_2$,则$x_2-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}-x_1$,即$x_1+x_2=3$.
$\therefore \frac{(x_1-1)^2}{m}-\frac{x_2-2}{x_1-2}=\frac{(x_1-1)^2(x_1-2)-m(x_2-2)}{m(x_1-2)}=\frac{(x_1-1)(x_1-2)(x_1-1)-m(x_2-2)}{m(x_1-2)}=\frac{(x_1^2-3x_1+2)(x_1-1)-m(x_2-2)}{m(x_1-2)}=\frac{-m(x_1-1)-m(x_2-2)}{m(x_1-2)}=\frac{-m(x_1+x_2-3)}{m(x_1-2)}=0$,
所以$\frac{(x_1-1)^2}{m}=\frac{x_2-2}{x_1-2}$.
6.如图，抛物线$y=ax^2+c$与直线$y=mx+n$交于$A(-1,p),B(3,q)$两点，则不等式$ax^2 - mx + c ＜ n$的解集为 （
A.$x＞-1$
B.$x＜3$
C.$-1＜x＜3$
D.$x＜-3$或$x＞1$
C
）A.$x＞-1$
B.$x＜3$
C.$-1＜x＜3$
D.$x＜-3$或$x＞1$
答案
6.C
