7. [2025 济南] 已知二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $（$ a,b,c $ 为常数，$ a≠0 $）图象的顶点坐标是$(-1,n)$，且经过$(1,0),(0,m)$两点，$3＜m＜4$。有下列结论：
①关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + c - n + 1 = 0$（$a≠0$）有两个不相等的实数根；
②当$x ＞ -1$时，$y$的值随$x$值的增大而减小；
③$-\dfrac{4}{3} ＜ a ＜ -1$；④$4a - 2b + c ＞ 0$；
⑤对于任意实数$t$，总有$(t+1)(at - a + b) ≤ 0$。
以上结论正确的有（）

A.5个
B.4个
C.3个
D.2个

7.A 【点拨】
∵二次函数$y=ax^2+bx+c$($a,b,c$为常数，$a≠0$)图象的顶点坐标是$(-1,n)$，且经过$(1,0),(0,m)$两点，$3＜m＜4$，
∴二次函数图象开口向下，对称轴为直线$x=-1$，
∴$a＜0$，二次函数图象与$x$轴的交点为$(1,0)$和$(-3,0)$，画出图象如图，令$y=n-1$，即把直线$y=n$向下平移1个单位长度可得直线$y=n-1$，再结合函数图象可知$ax^2+bx+c=n-1(a≠0)$有两个不相等的实数根，故关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c-n+1=0(a≠0)$有两个不相等的实数根，故①正确.
∵二次函数图象开口向下，对称轴为直线$x=-1$，
∴当$x＞-1$时，$y$的值随$x$值的增大而减小，故②正确.
∵二次函数图象与$x$轴的交点为$(1,0)$和$(-3,0)$，
∴二次函数为$y=a(x-1)(x+3)=a(x^2+2x-3)=ax^2+2ax-3a$，
∴$m=-3a$.
∵$3＜m＜4$，
∴$3＜-3a＜4$，解得$-\frac{4}{3}＜a＜-1$，故③正确.结合函数图象可知，当$x=-2$时，$y=4a-2b+c＞0$，故④正确.
∵对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-1$，
∴$b=2a$，$\therefore (t+1)(at-a+b)=(t+1)(at-a+2a)=(t+1)(at+a)=a(t+1)^2$，
∵$a＜0$，$(t+1)^2≥0$，$\therefore a(t+1)^2≤0$，即对于任意实数$t$，$(t+1)(at-a+b)≤0$，故⑤正确.综上所述，①②③④⑤均正确.

8.[2025达州]为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品.已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件.
(1)设该款巴小虎吉祥物降价$ x $元，则每天售出的数量是件(用含$ x $的代数式表示).
(2)为更多让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元？
(3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为$ W $元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？

8.【解】(1)$(60+10x)$
(2)根据题意可得$(40-30-x)(60+10x)=630$，
整理可得$x^2-4x+3=0$，解得$x_1=1,x_2=3$，
∵要更多让利于游客，
∴$x=1$舍去.
∴该款巴小虎吉祥物应降价3元，文旅公司每天的利润是630元.
(3)根据题意得$W=(40-30-x)(60+10x)=(10-x)(60+10x)=-10x^2+40x+600=-10(x-2)^2+640$，
∵$-10＜0$，
∴当$x=2$时，$W$取最大值为640，此时售价为38元.
答:当售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元.

9.[2025陕西]某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部$L_1$，左、右门洞$L_2$，$L_3$均呈抛物线形，水平横梁$AC=16\ \mathrm{m}$，$L_1$的最高点$B$到$AC$的距离$BO=4\ \mathrm{m}$，$L_2$，$L_3$关于$BO$所在直线对称.$MN$，$MP$，$NQ$为框架，点$M$，$N$在$L_1$上，点$P$，$Q$分别在$L_2$，$L_3$上，$MN// AC$，$MP⊥ AC$，$NQ⊥ AC$.以$O$为原点，以$AC$所在直线为$x$轴，以$BO$所在直线为$y$轴，建立平面直角坐标系.
(1)求抛物线$L_1$的函数表达式；
(2)已知抛物线$L_3$的函数表达式为$y=-\frac{3}{16}(x-4)^2$，$NQ=\frac{5}{2}\ \mathrm{m}$，求$MN$的长.

9.【解】(1)$\because BO=4\ \mathrm{m}$，
$\therefore$抛物线$L_1$的顶点$B$的坐标为$(0,4)$.
设抛物线$L_1$的函数表达式为$y=a(x-0)^2+4$，
$\because AC=16\ \mathrm{m}$，
$\therefore$结合二次函数的对称性得$A(-8,0),C(8,0)$.
将$C(8,0)$的坐标代入$y=a(x-0)^2+4$，得$0=64a+4$，
则$a=-\frac{1}{16}$，$\therefore$抛物线$L_1$的函数表达式为$y=-\frac{1}{16}x^2+4$.
(2)由(1)得抛物线$L_1$的函数表达式为$y=-\frac{1}{16}x^2+4$，
$\because MN// AC,MP⊥ AC,NQ⊥ AC,NQ=\frac{5}{2}\ \mathrm{m}$，且抛物线$L_3$的函数表达式为$y=-\frac{3}{16}(x-4)^2$，
$\therefore$设$x_N=x_Q=x$，
$\therefore NQ=y_N-y_Q=-\frac{1}{16}x^2+4-[-\frac{3}{16}(x-4)^2]=\frac{5}{2}$，
整理得$x^2-12x+36=0$，解得$x_1=x_2=6$，
$\therefore MN=2×6=12(\mathrm{m})$.