4. [黄冈自主招生]如图,已知抛物线的表达式为$y=-\dfrac{3}{4}x^2-\dfrac{9}{4}x+3$,抛物线与$x$轴交于点$A$和点$B$,与$y$轴交于点$C$.
(1)求出点$A,B,C$的坐标和抛物线的对称轴;
(2)连接$AC,BC$,将$△ ABC$绕点$B$顺时针旋转$90°$,点$A,C$的对应点分别为$M,N$,求点$M,N$的坐标;
(3)若点$P$为该抛物线上一动点,在(2)的条件下,请求出使$|NP-BP|$最大时点$P$的坐标,并求出$|NP-BP|$的最大值.$(B,P$不重合)

(1)
∵$y=-\dfrac{3}{4}x^2-\dfrac{9}{4}x+3=-\dfrac{3}{4}(x+4)(x-1)=-\dfrac{3}{4}(x+\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{75}{16}$,当$x=0$时,$y=3$,
∴$A(-4,0)$,$B(1,0)$,$C(0,3)$,对称轴为直线$x=-\dfrac{3}{2}$.
(2)如图,过N作$NQ⊥ x$轴于点Q,则$∠ NQB=90°$.
由(1)得$OA=4$,$OB=1$,$OC=3$,
∴$AB=5$.
由旋转的性质得$MB⊥ x$轴,$∠ CBN=90°$,$BM=AB=5$,$BN=BC$,
∴$M(1,5)$,$∠ OBC+∠ QBN=90°$.
∵$∠ OBC+∠ BCO=90°$,
∴$∠ BCO=∠ QBN$.
又
∵$∠ BOC=∠ NQB=90°$,$CB=BN$,
∴$△ OBC≌△ QNB$.
∴$BQ=OC=3$,$NQ=OB=1$.
∴$OQ=1+3=4$.
∴$N(4,1)$.
(3)设直线NB的表达式为$y=kx+b$.
∵$B(1,0)$,$N(4,1)$在直线NB上,
∴$\begin{cases}k+b=0,\\4k+b=1,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=\dfrac{1}{3},\\b=-\dfrac{1}{3}.\end{cases}$
∴直线NB的表达式为$y=\dfrac{1}{3}x-\dfrac{1}{3}$.
当点P,N,B在同一直线上时,$|NP-BP|=NB=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$;
当点P,N,B不在同一直线上时,$|NP-BP|＜NB$.
∴当点P,N,B在同一直线上时,$|NP-BP|$的值最大,最大值为$\sqrt{10}$.
此时点P为直线NB与抛物线的交点.
联立方程组$\begin{cases}y=\dfrac{1}{3}x-\dfrac{1}{3},\\y=-\dfrac{3}{4}x^2-\dfrac{9}{4}x+3,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x_1=1,\\y_1=0\end{cases}$(舍去)或$\begin{cases}x_2=-\dfrac{40}{9},\\y_2=-\dfrac{49}{27}.\end{cases}$
∴点P的坐标为$(-\dfrac{40}{9},-\dfrac{49}{27})$.
点技巧 线段之差最大问题:当两定点和动点共线时,线段之差最大,所以动点在两定点所在的直线上,求解时可过两定点作直线.

5. 新视角 存在性探究题 如图，已知抛物线的顶点坐标为$(1,\frac{9}{2})$，与$x$轴交于$A,B$两点(点$A$在点$B$左侧)，与$y$轴交于点$C(0,4)$。
(1)求抛物线的表达式.
(2)若点$P$是抛物线上$B,C$两点之间的一个动点(不与点$B,C$重合)，是否存在点$P$，使得四边形$COBP$的面积最大？若存在，求出点$P$的坐标及四边形$COBP$面积的最大值；若不存在，请说明理由.

(1)
∵抛物线的顶点坐标为$(1,\dfrac{9}{2})$,
∴设抛物线的表达式为$y=a(x-1)^2+\dfrac{9}{2}$.
又
∵抛物线过点$C(0,4)$,
∴$a+\dfrac{9}{2}=4$.
∴$a=-\dfrac{1}{2}$.
∴抛物线的表达式为$y=-\dfrac{1}{2}(x-1)^2+\dfrac{9}{2}$.
(2)存在.如图,连接OP.
令$y=-\dfrac{1}{2}(x-1)^2+\dfrac{9}{2}=0$,
解得$x=-2$或$x=4$.
∴$B(4,0)$.
∴$OB=4$.
∵$C(0,4)$,
∴$OC=4$.
设$P(m,-\dfrac{1}{2}(m-1)^2+\dfrac{9}{2})(0＜m＜4)$,
∴$S_{四边形COBP}=S_{△ OBP}+S_{△ OCP}=\dfrac{1}{2}OB·[-\dfrac{1}{2}(m-1)^2+\dfrac{9}{2}]+\dfrac{1}{2}OC· m=-(m-1)^2+9+2m=-(m-2)^2+12$.
∵$-1＜0$,$0＜m＜4$,
∴当$m=2$时,$S_{四边形COBP}$取得最大值,最大值为12,此时$P(2,4)$.