1. 下列各式中,是不等式的是 (
A.$x=3$
B.$x-1$
C.$x+y=1$
D.$x+5>0$
D
)A.$x=3$
B.$x-1$
C.$x+y=1$
D.$x+5>0$
答案
1.D
解析
【分析】
解这道题首先要明确不等式的判定标准:用不等号(>、<、≥、≤、≠)连接、表示不相等关系的式子叫做不等式。解题时我们先牢记这个判定规则,再逐一分析每个选项是否符合规则,排除不符合的选项就能得到正确答案。
【解析】
根据不等式的定义逐一判断选项:
A. 式子$x=3$用等号连接,属于等式,不是不等式;
B. 式子$x-1$是代数式,没有不等号或等号连接,不属于不等式;
C. 式子$x+y=1$用等号连接,属于等式,不是不等式;
D. 式子$x+5>0$用大于号(不等号)连接,表示不相等关系,符合不等式的定义。
综上,本题选D。
【答案】
D
【知识点】
不等式的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题,只要准确掌握不等式的核心特征是用不等号连接,就能快速选出正确答案,难度很低。
【难度系数】
0.9
解这道题首先要明确不等式的判定标准:用不等号(>、<、≥、≤、≠)连接、表示不相等关系的式子叫做不等式。解题时我们先牢记这个判定规则,再逐一分析每个选项是否符合规则,排除不符合的选项就能得到正确答案。
【解析】
根据不等式的定义逐一判断选项:
A. 式子$x=3$用等号连接,属于等式,不是不等式;
B. 式子$x-1$是代数式,没有不等号或等号连接,不属于不等式;
C. 式子$x+y=1$用等号连接,属于等式,不是不等式;
D. 式子$x+5>0$用大于号(不等号)连接,表示不相等关系,符合不等式的定义。
综上,本题选D。
【答案】
D
【知识点】
不等式的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题,只要准确掌握不等式的核心特征是用不等号连接,就能快速选出正确答案,难度很低。
【难度系数】
0.9
2. 为了保证学生能正常学习,学校的噪音一般不得超过50分贝.设学校的噪音为x(分贝),则x应满足 (
A.$x>50$
B.$x≥50$
C.$x<50$
D.$x≤50$
D
)A.$x>50$
B.$x≥50$
C.$x<50$
D.$x≤50$
答案
2.D
解析
【分析】
解题时首先提取题干中的关键限定信息“不得超过50分贝”,先明确生活表述对应的数学含义:“不得超过”指的是最大可以等于50分贝,不可以比50分贝更大,对应的不等关系为“小于等于”。再结合题干给出的噪音变量x,即可列出对应的不等式,匹配选项得出答案。
【解析】
题干中“噪音一般不得超过50分贝”的含义是:噪音最高为50分贝,可以等于50分贝,但不能高于50分贝,对应的不等符号为“≤”,因此可列出不等式:$x≤50$,对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
列不等式;不等号的实际含义
【点评】
本题是不等式的基础实际应用题,解题核心是准确掌握“不超过”“至少”“至多”这类生活常用表述对应的不等符号,即可快速完成求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先提取题干中的关键限定信息“不得超过50分贝”,先明确生活表述对应的数学含义:“不得超过”指的是最大可以等于50分贝,不可以比50分贝更大,对应的不等关系为“小于等于”。再结合题干给出的噪音变量x,即可列出对应的不等式,匹配选项得出答案。
【解析】
题干中“噪音一般不得超过50分贝”的含义是:噪音最高为50分贝,可以等于50分贝,但不能高于50分贝,对应的不等符号为“≤”,因此可列出不等式:$x≤50$,对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
列不等式;不等号的实际含义
【点评】
本题是不等式的基础实际应用题,解题核心是准确掌握“不超过”“至少”“至多”这类生活常用表述对应的不等符号,即可快速完成求解。
【难度系数】
0.9
3. 不等关系在生活中广泛存在. 如图,$a,b$分别表示两位同学的身高,$c$表示台阶的高度. 图中两人的对话体现的数学原理是 (

A.若$a>b$,则$a+c>b+c$
B.若$a>b,b>c$,则$a>c$
C.若$a>b,c>0$,则$ac>bc$
D.若$a>b,c>0$,则$\frac{a}{c}>\frac{b}{c}$
A
)A.若$a>b$,则$a+c>b+c$
B.若$a>b,b>c$,则$a>c$
C.若$a>b,c>0$,则$ac>bc$
D.若$a>b,c>0$,则$\frac{a}{c}>\frac{b}{c}$
答案
3.A
解析
【分析】
首先提取图中的信息:左图中男孩身高为a,女孩身高为b,由男孩的话可知初始不等关系为$a>b$;右图中两人站在相同高度c的台阶上,两人的总高度分别为$a+c$和$b+c$,由女孩的话可知此时仍然有$a+c>b+c$。接下来结合不等式的性质,判断该过程对应的原理,再匹配选项即可得到答案。
【解析】
解:第一步,分析左图的不等关系:
由男孩“我比你高”的表述,可得$a > b$。
第二步,分析右图的不等关系:
两人都站在高度为c的台阶上,男孩总高度为$a + c$,女孩总高度为$b + c$,由女孩“你还是比我高”的表述,可得$a + c > b + c$。
第三步,匹配不等式性质和选项:
上述过程符合“不等式两边同时加上同一个正数,不等号方向不变”的性质,对应选项A的内容。
其他选项分析:B选项为不等式的传递性,本题未涉及a、b和c的大小比较;C、D分别为不等式两边同乘、同除正数的性质,本题是加法运算,均不符合。
故本题选A。
【答案】
A
【知识点】
不等式的基本性质;不等关系的实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查不等式基础性质的应用,解题的核心是将生活中的对话转化为数学不等关系,再对应性质判断,注重对基础知识的理解和场景转化能力的考查。
【难度系数】
0.8
首先提取图中的信息:左图中男孩身高为a,女孩身高为b,由男孩的话可知初始不等关系为$a>b$;右图中两人站在相同高度c的台阶上,两人的总高度分别为$a+c$和$b+c$,由女孩的话可知此时仍然有$a+c>b+c$。接下来结合不等式的性质,判断该过程对应的原理,再匹配选项即可得到答案。
【解析】
解:第一步,分析左图的不等关系:
由男孩“我比你高”的表述,可得$a > b$。
第二步,分析右图的不等关系:
两人都站在高度为c的台阶上,男孩总高度为$a + c$,女孩总高度为$b + c$,由女孩“你还是比我高”的表述,可得$a + c > b + c$。
第三步,匹配不等式性质和选项:
上述过程符合“不等式两边同时加上同一个正数,不等号方向不变”的性质,对应选项A的内容。
其他选项分析:B选项为不等式的传递性,本题未涉及a、b和c的大小比较;C、D分别为不等式两边同乘、同除正数的性质,本题是加法运算,均不符合。
故本题选A。
【答案】
A
【知识点】
不等式的基本性质;不等关系的实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查不等式基础性质的应用,解题的核心是将生活中的对话转化为数学不等关系,再对应性质判断,注重对基础知识的理解和场景转化能力的考查。
【难度系数】
0.8
4. 关于不等式的解和解集,下列说法正确的是 (
A.$x=-3$ 是不等式 $x+3<-2$ 的解
B.$x>4$ 是不等式 $x+3>6$ 的解集
C.$x=\frac{1}{2}$ 是不等式 $6x≥3$ 的解集
D.$x<-5$ 是不等式 $-3x>15$ 的解集
D
)A.$x=-3$ 是不等式 $x+3<-2$ 的解
B.$x>4$ 是不等式 $x+3>6$ 的解集
C.$x=\frac{1}{2}$ 是不等式 $6x≥3$ 的解集
D.$x<-5$ 是不等式 $-3x>15$ 的解集
答案
4.D
解析
【分析】
本题考查不等式的解与解集的概念区分,解题思路为:首先明确不等式的解是使不等式成立的单个未知数取值,解集是使不等式成立的所有未知数取值的集合;接下来逐个分析选项,要么代入数值验证是否满足不等式,要么先解出对应不等式的正确解集,再对比选项表述判断正误,注意解不等式时除以负数要改变不等号方向。
【解析】
我们逐个判断选项:
A. 解不等式$x+3<-2$,移项得$x<-5$,$x=-3$不满足$x<-5$,代入得左边为$-3+3=0$,$0<-2$不成立,因此$x=-3$不是该不等式的解,A错误。
B. 解不等式$x+3>6$,移项得$x>3$,$x>4$只是该不等式解集的一部分,不是全部解集(例如$x=3.5$也满足不等式,但不属于$x>4$),因此B错误。
C. 解不等式$6x≥3$,两边同时除以6得$x≥\frac{1}{2}$,$x=\frac{1}{2}$只是该不等式的其中一个解,不是所有解组成的解集,因此C错误。
D. 解不等式$-3x>15$,两边同时除以$-3$,不等号方向改变,得$x<-5$,与选项表述一致,因此D正确。
【答案】
D
【知识点】
不等式的解与解集;解一元一次不等式;不等式的基本性质
【点评】
本题属于基础概念类题目,核心是区分单个解和全体解集的差异,同时要熟练掌握一元一次不等式的解法,尤其注意不等式两边同时乘除负数时,不等号方向必须改变,这是此类题目的常见易错点。
【难度系数】
0.8
本题考查不等式的解与解集的概念区分,解题思路为:首先明确不等式的解是使不等式成立的单个未知数取值,解集是使不等式成立的所有未知数取值的集合;接下来逐个分析选项,要么代入数值验证是否满足不等式,要么先解出对应不等式的正确解集,再对比选项表述判断正误,注意解不等式时除以负数要改变不等号方向。
【解析】
我们逐个判断选项:
A. 解不等式$x+3<-2$,移项得$x<-5$,$x=-3$不满足$x<-5$,代入得左边为$-3+3=0$,$0<-2$不成立,因此$x=-3$不是该不等式的解,A错误。
B. 解不等式$x+3>6$,移项得$x>3$,$x>4$只是该不等式解集的一部分,不是全部解集(例如$x=3.5$也满足不等式,但不属于$x>4$),因此B错误。
C. 解不等式$6x≥3$,两边同时除以6得$x≥\frac{1}{2}$,$x=\frac{1}{2}$只是该不等式的其中一个解,不是所有解组成的解集,因此C错误。
D. 解不等式$-3x>15$,两边同时除以$-3$,不等号方向改变,得$x<-5$,与选项表述一致,因此D正确。
【答案】
D
【知识点】
不等式的解与解集;解一元一次不等式;不等式的基本性质
【点评】
本题属于基础概念类题目,核心是区分单个解和全体解集的差异,同时要熟练掌握一元一次不等式的解法,尤其注意不等式两边同时乘除负数时,不等号方向必须改变,这是此类题目的常见易错点。
【难度系数】
0.8
5. 下列不等式变形正确的是 (
A.由$a>b$, 得$a^2>b^2$
B.由$a>b$, 得$a-2026<b-2026$
C.由$ab>ac$, 得$b<c$
D.由$\dfrac{b}{a^2+1}>\dfrac{c}{a^2+1}$, 得$b>c$
D
)A.由$a>b$, 得$a^2>b^2$
B.由$a>b$, 得$a-2026<b-2026$
C.由$ab>ac$, 得$b<c$
D.由$\dfrac{b}{a^2+1}>\dfrac{c}{a^2+1}$, 得$b>c$
答案
5.D
解析
【分析】
本题考查不等式基本性质的应用,解题时需逐一验证每个选项的变形是否正确:首先回忆不等式的三条核心性质:①不等式两边加/减同一个数(或式子),不等号方向不变;②不等式两边乘/除以同一个正数,不等号方向不变;③不等式两边乘/除以同一个负数,不等号方向改变。对于不易直接判断的选项,可通过举符合条件的特殊反例快速排除错误选项。
【解析】
我们逐个分析选项:
选项A:举反例,取$a=1$,$b=-2$,满足$a>b$,但$a^2=1$,$b^2=4$,此时$a^2<b^2$,变形错误。
选项B:根据不等式性质1,不等式两边同时减2026,不等号方向不变,应得到$a-2026>b-2026$,变形错误。
选项C:式子$ab>ac$中$a$的符号不确定:若$a>0$,两边除以$a$得$b>c$;若$a<0$,两边除以$a$得$b<c$;若$a=0$,原式$ab>ac$不成立,因此无法直接推出$b<c$,变形错误。
选项D:由平方的非负性可知$a^2≥0$,因此$a^2+1≥1>0$,根据不等式性质2,不等式两边同时乘正数$a^2+1$,不等号方向不变,可推出$b>c$,变形正确。
【答案】
D
【知识点】
不等式的基本性质,平方的非负性
【点评】
本题是不等式性质的基础考查题,解题关键是注意不等式两边乘除含字母的式子时,必须先判断该式子的正负性,举反例是快速排除错误选项的常用方法。
【难度系数】
0.8
本题考查不等式基本性质的应用,解题时需逐一验证每个选项的变形是否正确:首先回忆不等式的三条核心性质:①不等式两边加/减同一个数(或式子),不等号方向不变;②不等式两边乘/除以同一个正数,不等号方向不变;③不等式两边乘/除以同一个负数,不等号方向改变。对于不易直接判断的选项,可通过举符合条件的特殊反例快速排除错误选项。
【解析】
我们逐个分析选项:
选项A:举反例,取$a=1$,$b=-2$,满足$a>b$,但$a^2=1$,$b^2=4$,此时$a^2<b^2$,变形错误。
选项B:根据不等式性质1,不等式两边同时减2026,不等号方向不变,应得到$a-2026>b-2026$,变形错误。
选项C:式子$ab>ac$中$a$的符号不确定:若$a>0$,两边除以$a$得$b>c$;若$a<0$,两边除以$a$得$b<c$;若$a=0$,原式$ab>ac$不成立,因此无法直接推出$b<c$,变形错误。
选项D:由平方的非负性可知$a^2≥0$,因此$a^2+1≥1>0$,根据不等式性质2,不等式两边同时乘正数$a^2+1$,不等号方向不变,可推出$b>c$,变形正确。
【答案】
D
【知识点】
不等式的基本性质,平方的非负性
【点评】
本题是不等式性质的基础考查题,解题关键是注意不等式两边乘除含字母的式子时,必须先判断该式子的正负性,举反例是快速排除错误选项的常用方法。
【难度系数】
0.8
6. 下面是两位同学在讨论一个不等式.

根据上面对话提供的信息,他们讨论的不等式可能是 (
A.$3x ≤ -9$
B.$3x ≤ 9$
C.$-3x ≥ -9$
D.$-3x > -9$
根据上面对话提供的信息,他们讨论的不等式可能是 (
C
)A.$3x ≤ -9$
B.$3x ≤ 9$
C.$-3x ≥ -9$
D.$-3x > -9$
答案
6.C
解析
【分析】
解题时先提取题中的两个关键条件:①解该不等式时,需要两边同除以一个负数,不等号方向改变;②从数轴可知不等式的解集为x≤3(3处为实心点,方向向左,代表包含3且小于等于3)。接下来逐一求解四个选项的不等式,判断哪个选项同时满足上述两个条件即可。
【解析】
首先根据数轴确定解集:数轴上3处为实心圆点,方向向左,因此不等式的解集为$ x ≤ 3 $。
接下来逐个分析选项:
选项A:解$ 3x ≤ -9 $,两边同除以正数3,不等号方向不变,得$ x ≤ -3 $,解集不符合,排除;
选项B:解$ 3x ≤ 9 $,两边同除以正数3,不等号方向不变,得$ x ≤ 3 $,但求解时除以的是正数,不需要改变不等号方向,不符合第一个条件,排除;
选项C:解$ -3x ≥ -9 $,两边同除以负数-3,根据不等式性质,不等号方向改变,得$ x ≤ 3 $,两个条件都满足,符合要求;
选项D:解$ -3x > -9 $,两边同除以负数-3,不等号方向改变,得$ x < 3 $,解集无等号,不符合数轴表示的解集,排除。
【答案】
C
【知识点】
不等式的性质,不等式解集的数轴表示
【点评】
本题结合数轴考察不等式的相关知识,解题关键是先从题干和数轴中提取两个限制条件,再逐一验证选项,注意不等式两边乘除负数时不等号方向要改变,数轴上实心点对应不等号含等号,空心点对应不含等号。
【难度系数】
0.7
解题时先提取题中的两个关键条件:①解该不等式时,需要两边同除以一个负数,不等号方向改变;②从数轴可知不等式的解集为x≤3(3处为实心点,方向向左,代表包含3且小于等于3)。接下来逐一求解四个选项的不等式,判断哪个选项同时满足上述两个条件即可。
【解析】
首先根据数轴确定解集:数轴上3处为实心圆点,方向向左,因此不等式的解集为$ x ≤ 3 $。
接下来逐个分析选项:
选项A:解$ 3x ≤ -9 $,两边同除以正数3,不等号方向不变,得$ x ≤ -3 $,解集不符合,排除;
选项B:解$ 3x ≤ 9 $,两边同除以正数3,不等号方向不变,得$ x ≤ 3 $,但求解时除以的是正数,不需要改变不等号方向,不符合第一个条件,排除;
选项C:解$ -3x ≥ -9 $,两边同除以负数-3,根据不等式性质,不等号方向改变,得$ x ≤ 3 $,两个条件都满足,符合要求;
选项D:解$ -3x > -9 $,两边同除以负数-3,不等号方向改变,得$ x < 3 $,解集无等号,不符合数轴表示的解集,排除。
【答案】
C
【知识点】
不等式的性质,不等式解集的数轴表示
【点评】
本题结合数轴考察不等式的相关知识,解题关键是先从题干和数轴中提取两个限制条件,再逐一验证选项,注意不等式两边乘除负数时不等号方向要改变,数轴上实心点对应不等号含等号,空心点对应不含等号。
【难度系数】
0.7
7. 某快递货车要通过一座桥,该桥的限重标志如图所示. 若该货车重(包含货物)4.5 t,则该货车
能
(填“能”或“不能”)通过这座桥. 答案
7.能
解析
【分析】
要判断货车能否通过该桥,首先需明确限重标志的含义:“5t”表示该桥允许通行的车辆最大总质量为5t,即满足“车辆总质量≤5t”的不等关系时即可通行。接下来只需将货车总重4.5t与限重5t比较大小,若4.5t≤5t则能通过,反之不能。
【解析】
1. 解读限重标志:图中“5t”表示这座桥允许通过的车辆的最大总质量为5t,即车辆总质量不超过5t时可正常通行。
2. 大小比较:已知货车总重(包含货物)为4.5t,因为$4.5<5$,即货车总重小于桥的限重,符合通行要求。
因此该货车可以通过这座桥。
【答案】
能
【知识点】
不等式的实际应用,有理数大小比较
【点评】
本题结合生活中的交通标志场景,考查基础的不等关系应用,解题关键是正确理解限重标志的含义,再通过简单的数值大小比较即可得出结论,贴合生活实际,难度较低。
【难度系数】
0.9
要判断货车能否通过该桥,首先需明确限重标志的含义:“5t”表示该桥允许通行的车辆最大总质量为5t,即满足“车辆总质量≤5t”的不等关系时即可通行。接下来只需将货车总重4.5t与限重5t比较大小,若4.5t≤5t则能通过,反之不能。
【解析】
1. 解读限重标志:图中“5t”表示这座桥允许通过的车辆的最大总质量为5t,即车辆总质量不超过5t时可正常通行。
2. 大小比较:已知货车总重(包含货物)为4.5t,因为$4.5<5$,即货车总重小于桥的限重,符合通行要求。
因此该货车可以通过这座桥。
【答案】
能
【知识点】
不等式的实际应用,有理数大小比较
【点评】
本题结合生活中的交通标志场景,考查基础的不等关系应用,解题关键是正确理解限重标志的含义,再通过简单的数值大小比较即可得出结论,贴合生活实际,难度较低。
【难度系数】
0.9
8. 请写出一个关于x的不等式,使-2,1都是它的解:
x-2<0(答案不唯一)
.答案
8.x-2<0(答案不唯一)
解析
【分析】
要构造出-2和1都是解的不等式,首先要明确不等式的解的定义:能让不等式成立的未知数的值就是不等式的解。我们可以先观察-2和1的数值范围,找到这两个数共同满足的大小关系,比如-2和1都小于2,那么只要让x小于2,这两个数就都符合要求;也可以找比-2更小的数,让x大于这个数,同样满足条件,构造完后代入两个数验证是否成立即可。
【解析】
我们先选取一个比-2和1都大的数,比如2,可得x的取值范围为x<2,根据不等式的性质1,不等式两边同时减2,不等号方向不变,得到x-2<0。
验证:把x=-2代入不等式,左边=-2-2=-4<0,不等式成立;把x=1代入不等式,左边=1-2=-1<0,不等式成立,符合题意。
除此之外,构造x+3>0、x<3等不等式,只要代入x=-2和x=1后不等式成立都属于正确答案。
【答案】
x-2<0(答案不唯一)
【知识点】
1. 不等式的解的概念 2. 不等式的性质
【点评】
本题属于开放性试题,答案不固定,核心考查对不等式解的含义的理解,只需将给出的两个数值代入后不等式成立即为正确答案,出题形式较为灵活。
【难度系数】
0.8
要构造出-2和1都是解的不等式,首先要明确不等式的解的定义:能让不等式成立的未知数的值就是不等式的解。我们可以先观察-2和1的数值范围,找到这两个数共同满足的大小关系,比如-2和1都小于2,那么只要让x小于2,这两个数就都符合要求;也可以找比-2更小的数,让x大于这个数,同样满足条件,构造完后代入两个数验证是否成立即可。
【解析】
我们先选取一个比-2和1都大的数,比如2,可得x的取值范围为x<2,根据不等式的性质1,不等式两边同时减2,不等号方向不变,得到x-2<0。
验证:把x=-2代入不等式,左边=-2-2=-4<0,不等式成立;把x=1代入不等式,左边=1-2=-1<0,不等式成立,符合题意。
除此之外,构造x+3>0、x<3等不等式,只要代入x=-2和x=1后不等式成立都属于正确答案。
【答案】
x-2<0(答案不唯一)
【知识点】
1. 不等式的解的概念 2. 不等式的性质
【点评】
本题属于开放性试题,答案不固定,核心考查对不等式解的含义的理解,只需将给出的两个数值代入后不等式成立即为正确答案,出题形式较为灵活。
【难度系数】
0.8
9. “x的3倍与4的差是正数”用不等式表示为
3x-4>0
. 第7题图答案
9.3x-4>0
解析
【分析】
遇到这类将文字描述转化为不等式的题目,可逐句拆解题干信息:首先,“x的3倍”是乘法运算,可表示为3x;其次,“与4的差”是减法运算,用前面得到的3x减去4,得到3x-4;最后,“是正数”说明所得的差大于0,将以上部分组合即可得到对应的不等式。
【解析】
第一步:表示x的3倍,列代数式为$3x$;
第二步:表示3x与4的差,列代数式为$3x - 4$;
第三步:“正数”是指大于0的数,因此该差满足大于0的关系,可得不等式:$3x - 4 > 0$。
【答案】
$3x-4>0$
【知识点】
列不等式、代数式表示、正数的定义
【点评】
本题是基础题型,考查文字语言向数学不等式的转化能力,解题核心是准确理解“倍”“差”“正数”等关键词的数学含义,避免出现代数式列反、不等号误用的问题。
【难度系数】
0.9
遇到这类将文字描述转化为不等式的题目,可逐句拆解题干信息:首先,“x的3倍”是乘法运算,可表示为3x;其次,“与4的差”是减法运算,用前面得到的3x减去4,得到3x-4;最后,“是正数”说明所得的差大于0,将以上部分组合即可得到对应的不等式。
【解析】
第一步:表示x的3倍,列代数式为$3x$;
第二步:表示3x与4的差,列代数式为$3x - 4$;
第三步:“正数”是指大于0的数,因此该差满足大于0的关系,可得不等式:$3x - 4 > 0$。
【答案】
$3x-4>0$
【知识点】
列不等式、代数式表示、正数的定义
【点评】
本题是基础题型,考查文字语言向数学不等式的转化能力,解题核心是准确理解“倍”“差”“正数”等关键词的数学含义,避免出现代数式列反、不等号误用的问题。
【难度系数】
0.9
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