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8. 如图,已知△PMN,OA垂直平分MP,交MN于点E,交MP于点Q,OB垂直平分PN,交MN于点F,交PN于点R,连接OP,PE,PF.
(1)若MN=15,求△PEF的周长;
(2)若PM=PN,求证:OP平分∠AOB.
(1)若MN=15,求△PEF的周长;
(2)若PM=PN,求证:OP平分∠AOB.
答案
8.解:(1)
∵ OA 垂直平分 MP,
∴ ME = PE. 同理,得 FN = PF.
∴ EP+FP+EF = ME+EF+FN = MN = 15,即△PEF 的周长为 15.
(2)证明:
∵ PN=PM,OA 垂直平分 MP,OB 垂直平分 PN,
∴ OA ⊥ MP,OB ⊥ PN, QP = $\frac{1}{2}PM$, PR = $\frac{1}{2}PN$.
∴ PQ = PR.
∴ OP 平分∠AOB.
∵ OA 垂直平分 MP,
∴ ME = PE. 同理,得 FN = PF.
∴ EP+FP+EF = ME+EF+FN = MN = 15,即△PEF 的周长为 15.
(2)证明:
∵ PN=PM,OA 垂直平分 MP,OB 垂直平分 PN,
∴ OA ⊥ MP,OB ⊥ PN, QP = $\frac{1}{2}PM$, PR = $\frac{1}{2}PN$.
∴ PQ = PR.
∴ OP 平分∠AOB.
解析
【分析】
(1) 求解△PEF的周长时，首先观察到已知条件中存在线段垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，可将PE转化为ME，PF转化为FN，那么△PEF的周长即可转化为MN的长度，直接代入MN的数值即可求解。
(2) 要证明OP平分∠AOB，可利用角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上。首先根据线段垂直平分线的定义得到OA⊥MP、OB⊥PN，再结合PM=PN，可推出点P到OA、OB的距离QP和PR相等，即可证明OP是∠AOB的角平分线。
【解析】
(1) 解：
∵ OA垂直平分MP，根据线段垂直平分线的性质，得ME = PE。
同理，OB垂直平分PN，得FN = PF。
∴ △PEF的周长 = EP + FP + EF = ME + EF + FN = MN。
已知MN=15，故△PEF的周长为15。
(2) 证明：
∵ PM=PN，OA垂直平分MP，OB垂直平分PN，
∴ OA⊥MP，OB⊥PN，且$QP = \frac{1}{2}PM$，$PR = \frac{1}{2}PN$，
∴ QP = PR，即点P到OA、OB的距离相等，
根据角平分线的判定定理，可得OP平分∠AOB。
【答案】
(1) △PEF的周长为15；
(2) OP平分∠AOB，证明成立。
【知识点】
线段垂直平分线的性质，角平分线的判定，等腰三角形的性质
【点评】
本题是几何基础题，核心考查线段垂直平分线和角平分线相关定理的应用，解题的关键是熟练掌握相关定理的适用条件，灵活进行线段的等量转化，这类题型是几何部分的常考基础题型，需要牢固掌握。
【难度系数】
0.8
(1) 求解△PEF的周长时，首先观察到已知条件中存在线段垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，可将PE转化为ME，PF转化为FN，那么△PEF的周长即可转化为MN的长度，直接代入MN的数值即可求解。
(2) 要证明OP平分∠AOB，可利用角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上。首先根据线段垂直平分线的定义得到OA⊥MP、OB⊥PN，再结合PM=PN，可推出点P到OA、OB的距离QP和PR相等，即可证明OP是∠AOB的角平分线。
【解析】
(1) 解：
∵ OA垂直平分MP，根据线段垂直平分线的性质，得ME = PE。
同理，OB垂直平分PN，得FN = PF。
∴ △PEF的周长 = EP + FP + EF = ME + EF + FN = MN。
已知MN=15，故△PEF的周长为15。
(2) 证明：
∵ PM=PN，OA垂直平分MP，OB垂直平分PN，
∴ OA⊥MP，OB⊥PN，且$QP = \frac{1}{2}PM$，$PR = \frac{1}{2}PN$，
∴ QP = PR，即点P到OA、OB的距离相等，
根据角平分线的判定定理，可得OP平分∠AOB。
【答案】
(1) △PEF的周长为15；
(2) OP平分∠AOB，证明成立。
【知识点】
线段垂直平分线的性质，角平分线的判定，等腰三角形的性质
【点评】
本题是几何基础题，核心考查线段垂直平分线和角平分线相关定理的应用，解题的关键是熟练掌握相关定理的适用条件，灵活进行线段的等量转化，这类题型是几何部分的常考基础题型，需要牢固掌握。
【难度系数】
0.8
9. 如图，AD是$△ ABC$的角平分线，DE，DF分别是$△ ABD$和$△ ACD$的高.
(1)求证:AD垂直平分EF；
(2)若$AB+AC=10$，$S_{△ ABC}=15$，$∠ EAF=60°$，求AD的长.
(1)求证:AD垂直平分EF；
(2)若$AB+AC=10$，$S_{△ ABC}=15$，$∠ EAF=60°$，求AD的长.
答案
9.解:(1)证明:
∵ AD 是△ABC 的角平分线,$DE ⊥ AB, DF ⊥ AC$,
∴ DE = DF. 在 Rt△AED 和 Rt△AFD 中, $\begin{cases} AD=AD, \\ DE=DF, \end{cases}$
∴ Rt△AED ≌ Rt△AFD(HL).
∴ AE = AF.
∵ DE = DF,
∴ AD 垂直平分 EF.
(2)$\because DE=DF,\therefore S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD} = \frac{1}{2}AB · ED + \frac{1}{2}AC · DF = \frac{1}{2}DE(AB+AC) = 15$. $\because AB + AC = 10, \therefore \frac{1}{2} × 10 · DE = 15$.
$\therefore DE=3. \because ∠ EAF=60°,\therefore ∠ DAF=∠ EAD=30°. \therefore AD=2DE=6$.
∵ AD 是△ABC 的角平分线,$DE ⊥ AB, DF ⊥ AC$,
∴ DE = DF. 在 Rt△AED 和 Rt△AFD 中, $\begin{cases} AD=AD, \\ DE=DF, \end{cases}$
∴ Rt△AED ≌ Rt△AFD(HL).
∴ AE = AF.
∵ DE = DF,
∴ AD 垂直平分 EF.
(2)$\because DE=DF,\therefore S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD} = \frac{1}{2}AB · ED + \frac{1}{2}AC · DF = \frac{1}{2}DE(AB+AC) = 15$. $\because AB + AC = 10, \therefore \frac{1}{2} × 10 · DE = 15$.
$\therefore DE=3. \because ∠ EAF=60°,\therefore ∠ DAF=∠ EAD=30°. \therefore AD=2DE=6$.
解析
【分析】
(1) 要证AD垂直平分EF，需证明A、D两点都在EF的垂直平分线上：首先根据角平分线的性质可得DE=DF，说明点D在EF的垂直平分线上；再通过HL证明Rt△AED≌Rt△AFD，得到AE=AF，说明点A也在EF的垂直平分线上，两点确定一条直线，即可得到结论。
(2) 求AD的长，先将△ABC的面积拆分为△ABD和△ACD的面积和，结合DE=DF、AB+AC=10的条件求出DE的长度；再根据角平分线定义得到∠EAD=30°，利用含30°角的直角三角形的性质即可求出AD的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在Rt△AED和Rt△AFD中，
$\begin{cases} AD=AD \\ DE=DF \end{cases}$
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF。
又
∵DE=DF，
∴点A、D均在EF的垂直平分线上，即AD垂直平分EF。
(2) 解：
∵DE=DF，
∴$S_{△ABC}=S_{△ABD}+S_{△ACD}=\frac{1}{2}AB·DE+\frac{1}{2}AC·DF=\frac{1}{2}DE(AB+AC)$，
将$S_{△ABC}=15$，$AB+AC=10$代入得：
$\frac{1}{2}×DE×10=15$，
解得$DE=3$。
∵AD是△ABC的角平分线，∠EAF=60°，
∴$∠ EAD=\frac{1}{2}∠ EAF=30°$，
在Rt△AED中，30°角所对直角边等于斜边的一半，
∴$AD=2DE=2×3=6$。
【答案】
(1) AD垂直平分EF，得证；(2) AD的长为6。
【知识点】
1. 角平分线的性质
2. 全等三角形的判定与性质
3. 含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，将角平分线、全等三角形、特殊直角三角形的性质结合考查，解题的关键是灵活运用角平分线得到等线段，结合面积公式和特殊角的性质逐步推导，有助于锻炼学生的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
(1) 要证AD垂直平分EF，需证明A、D两点都在EF的垂直平分线上：首先根据角平分线的性质可得DE=DF，说明点D在EF的垂直平分线上；再通过HL证明Rt△AED≌Rt△AFD，得到AE=AF，说明点A也在EF的垂直平分线上，两点确定一条直线，即可得到结论。
(2) 求AD的长，先将△ABC的面积拆分为△ABD和△ACD的面积和，结合DE=DF、AB+AC=10的条件求出DE的长度；再根据角平分线定义得到∠EAD=30°，利用含30°角的直角三角形的性质即可求出AD的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在Rt△AED和Rt△AFD中，
$\begin{cases} AD=AD \\ DE=DF \end{cases}$
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF。
又
∵DE=DF，
∴点A、D均在EF的垂直平分线上，即AD垂直平分EF。
(2) 解：
∵DE=DF，
∴$S_{△ABC}=S_{△ABD}+S_{△ACD}=\frac{1}{2}AB·DE+\frac{1}{2}AC·DF=\frac{1}{2}DE(AB+AC)$，
将$S_{△ABC}=15$，$AB+AC=10$代入得：
$\frac{1}{2}×DE×10=15$，
解得$DE=3$。
∵AD是△ABC的角平分线，∠EAF=60°，
∴$∠ EAD=\frac{1}{2}∠ EAF=30°$，
在Rt△AED中，30°角所对直角边等于斜边的一半，
∴$AD=2DE=2×3=6$。
【答案】
(1) AD垂直平分EF，得证；(2) AD的长为6。
【知识点】
1. 角平分线的性质
2. 全等三角形的判定与性质
3. 含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，将角平分线、全等三角形、特殊直角三角形的性质结合考查，解题的关键是灵活运用角平分线得到等线段，结合面积公式和特殊角的性质逐步推导，有助于锻炼学生的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
10. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=10,BC=12$.
(1)尺规作图,不写作法,保留作图痕迹.
①作$△ ABC$的角平分线$AD$;
②作$△ ABC$的高线$BH$.
(2)求$AD$和$BH$的长;
(3)若$P$为$AD$上一动点,则$PH+PC$的最小值为
(1)尺规作图,不写作法,保留作图痕迹.
①作$△ ABC$的角平分线$AD$;
②作$△ ABC$的高线$BH$.
(2)求$AD$和$BH$的长;
(3)若$P$为$AD$上一动点,则$PH+PC$的最小值为
$\frac{48}{5}$
.答案
10.解:(1)①$△ABC$ 的角平分线 $AD$,如图所示.
②$△ABC$ 的高线 $BH$ 如图所示.
(2)$\because AB = AC = 10, BC = 12, AD$ 平分$∠ BAC,\therefore AD ⊥ BC,BD = DC = \frac{1}{2}BC = 6$. 在Rt△ABD 中,由勾股定理,得 $AD = \sqrt{AB^2-BD^2} = \sqrt{10^2-6^2} = \sqrt{64} = 8$. $\because S_{△ ABC} = \frac{1}{2}BC · AD = \frac{1}{2} × 12 × 8 = 48$, 又$\because S_{△ ABC} = \frac{1}{2}AC · BH,\therefore \frac{1}{2} × 10 × BH = 48$, 解得 $BH = \frac{48}{5}$.
(3)$\frac{48}{5}$
解析
【分析】
1. 第(1)问为尺规作图：①作角平分线AD，可按照角平分线尺规作图方法操作，也可利用等腰三角形三线合一的性质，作BC的垂直平分线得到AD；②作高线BH，过点B作AC的垂线段，垂足为H即可。
2. 第(2)问求线段长度：先利用等腰三角形三线合一的性质，得到AD⊥BC且BD为BC的一半，再在直角三角形ABD中用勾股定理计算AD的长；之后用两种方式表示△ABC的面积，通过面积相等建立方程求解BH的长度。
3. 第(3)问求线段和的最小值：AD是等腰△ABC的对称轴，点C关于AD的对称点是点B，因此PH+PC可转化为PH+PB，根据两点之间线段最短，当B、P、H三点共线时，线段和取得最小值，即为BH的长度。
【解析】
(1) ①△ABC的角平分线AD、②△ABC的高线BH作图如下：
(2) $\because AB=AC=10,BC=12$，AD平分$∠ BAC$，根据等腰三角形三线合一的性质，$\therefore AD⊥ BC,BD=DC=\frac{1}{2}BC=6$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$。
$△ ABC$的面积$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AD=\frac{1}{2}×12×8=48$，
又$\because S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BH$，代入得$\frac{1}{2}×10× BH=48$，解得$BH=\frac{48}{5}$。
(3) $\because AD$是等腰$△ ABC$的对称轴，点$C$关于$AD$的对称点为点$B$，$\therefore PC=PB$，则$PH+PC=PH+PB$。
当B、P、H三点共线时，$PH+PB$取得最小值，最小值为$BH$的长度$\frac{48}{5}$。
【答案】
(1) ①②作图见；
(2) $AD=8$，$BH=\frac{48}{5}$；
(3) $\frac{48}{5}$
【知识点】
等腰三角形性质；勾股定理；最短路径问题
【点评】
本题综合考查了尺规作图、等腰三角形的性质、勾股定理的应用以及利用轴对称求线段和的最小值，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的对称性，灵活运用面积法求解三角形的高，是几何部分的典型基础综合题。
【难度系数】
0.7
1. 第(1)问为尺规作图：①作角平分线AD，可按照角平分线尺规作图方法操作，也可利用等腰三角形三线合一的性质，作BC的垂直平分线得到AD；②作高线BH，过点B作AC的垂线段，垂足为H即可。
2. 第(2)问求线段长度：先利用等腰三角形三线合一的性质，得到AD⊥BC且BD为BC的一半，再在直角三角形ABD中用勾股定理计算AD的长；之后用两种方式表示△ABC的面积，通过面积相等建立方程求解BH的长度。
3. 第(3)问求线段和的最小值：AD是等腰△ABC的对称轴，点C关于AD的对称点是点B，因此PH+PC可转化为PH+PB，根据两点之间线段最短，当B、P、H三点共线时，线段和取得最小值，即为BH的长度。
【解析】
(1) ①△ABC的角平分线AD、②△ABC的高线BH作图如下：
(2) $\because AB=AC=10,BC=12$，AD平分$∠ BAC$，根据等腰三角形三线合一的性质，$\therefore AD⊥ BC,BD=DC=\frac{1}{2}BC=6$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$。
$△ ABC$的面积$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AD=\frac{1}{2}×12×8=48$，
又$\because S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BH$，代入得$\frac{1}{2}×10× BH=48$，解得$BH=\frac{48}{5}$。
(3) $\because AD$是等腰$△ ABC$的对称轴，点$C$关于$AD$的对称点为点$B$，$\therefore PC=PB$，则$PH+PC=PH+PB$。
当B、P、H三点共线时，$PH+PB$取得最小值，最小值为$BH$的长度$\frac{48}{5}$。
【答案】
(1) ①②作图见
；(2) $AD=8$，$BH=\frac{48}{5}$；
(3) $\frac{48}{5}$
【知识点】
等腰三角形性质；勾股定理；最短路径问题
【点评】
本题综合考查了尺规作图、等腰三角形的性质、勾股定理的应用以及利用轴对称求线段和的最小值，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的对称性，灵活运用面积法求解三角形的高，是几何部分的典型基础综合题。
【难度系数】
0.7
