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1 如图，$△ ABC$的边$AC$与$\odot O$相交于$C$、$D$两点，且经过圆心$O$，边$AB$与$\odot O$相切，切点为点$B$，若$∠ C=28°$，则$∠ A$的度数为(
A.$38°$
B.$36°$
C.$34°$
D.$32°$
C
)。A.$38°$
B.$36°$
C.$34°$
D.$32°$
答案
1.C
解析
【分析】
遇到切线相关的角度计算问题，首先考虑切线的性质：切线垂直于过切点的半径，因此优先连接辅助线OB，得到直角∠ABO；再结合OB、OC都是圆的半径，长度相等，可得△OBC为等腰三角形，可推出∠OBC的度数；再利用三角形外角的性质求出∠AOB的度数，最后在直角△ABO中利用两锐角互余即可求出∠A的度数。
【解析】
解：连接OB，
∵AB与⊙O相切，切点为B，
∴OB⊥AB，即∠ABO=90°，
∵OB=OC，∠C=28°，
∴∠OBC=∠C=28°，
∵∠AOB是△OBC的外角，
∴∠AOB=∠C+∠OBC=28°+28°=56°，
在Rt△ABO中，∠A+∠AOB=90°，
∴∠A=90°-56°=34°。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是切线性质应用的基础题型，解题的关键是熟练掌握“见切线，连半径，得垂直”的辅助线做法，结合三角形角度相关性质计算即可。
【难度系数】
0.8
遇到切线相关的角度计算问题，首先考虑切线的性质：切线垂直于过切点的半径，因此优先连接辅助线OB，得到直角∠ABO；再结合OB、OC都是圆的半径，长度相等，可得△OBC为等腰三角形，可推出∠OBC的度数；再利用三角形外角的性质求出∠AOB的度数，最后在直角△ABO中利用两锐角互余即可求出∠A的度数。
【解析】
解：连接OB，
∵AB与⊙O相切，切点为B，
∴OB⊥AB，即∠ABO=90°，
∵OB=OC，∠C=28°，
∴∠OBC=∠C=28°，
∵∠AOB是△OBC的外角，
∴∠AOB=∠C+∠OBC=28°+28°=56°，
在Rt△ABO中，∠A+∠AOB=90°，
∴∠A=90°-56°=34°。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是切线性质应用的基础题型，解题的关键是熟练掌握“见切线，连半径，得垂直”的辅助线做法，结合三角形角度相关性质计算即可。
【难度系数】
0.8
2 如图，已知点A、B在$\odot O$上，$∠ AOB=72°$，直线MN与$\odot O$相切，切点为C，且C为AB的中点，则$∠ ACM$等于（
A.$18°$
B.$30°$
C.$36°$
D.$72°$
A
）。A.$18°$
B.$30°$
C.$36°$
D.$72°$
答案
2.A
解析
【分析】
解题时首先结合切线的性质分析：直线MN是⊙O的切线，切点为C，因此OC垂直于MN，得到∠OCM=90°；再结合C是弧AB中点的条件，可知OC平分∠AOB，可求出∠AOC的度数；接下来由OA、OC都是圆的半径，可得△AOC是等腰三角形，计算出底角∠OCA的度数；最后用∠OCM减去∠OCA即可得到∠ACM的度数。
【解析】
解：
∵直线MN与⊙O相切于点C，根据切线的性质可得：
$OC⊥ MN$，即$∠ OCM=90°$。
∵C为$\overset{\frown}{AB}$的中点，$∠ AOB=72°$，
∴$∠ AOC=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×72°=36°$。
∵OA、OC均为⊙O的半径，
∴$OA=OC$，即$△ AOC$为等腰三角形，
∴$∠ OCA=\frac{180°-∠ AOC}{2}=\frac{180°-36°}{2}=72°$。
∴$∠ ACM=∠ OCM-∠ OCA=90°-72°=18°$。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质；圆心角与弧的关系；等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆相关的基础角度计算题，解题的核心是熟练运用切线垂直于过切点的半径这一性质，再结合圆心角和等腰三角形的相关知识求解即可，解题时注意理清各个角度之间的关系，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合切线的性质分析：直线MN是⊙O的切线，切点为C，因此OC垂直于MN，得到∠OCM=90°；再结合C是弧AB中点的条件，可知OC平分∠AOB，可求出∠AOC的度数；接下来由OA、OC都是圆的半径，可得△AOC是等腰三角形，计算出底角∠OCA的度数；最后用∠OCM减去∠OCA即可得到∠ACM的度数。
【解析】
解：
∵直线MN与⊙O相切于点C，根据切线的性质可得：
$OC⊥ MN$，即$∠ OCM=90°$。
∵C为$\overset{\frown}{AB}$的中点，$∠ AOB=72°$，
∴$∠ AOC=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×72°=36°$。
∵OA、OC均为⊙O的半径，
∴$OA=OC$，即$△ AOC$为等腰三角形，
∴$∠ OCA=\frac{180°-∠ AOC}{2}=\frac{180°-36°}{2}=72°$。
∴$∠ ACM=∠ OCM-∠ OCA=90°-72°=18°$。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质；圆心角与弧的关系；等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆相关的基础角度计算题，解题的核心是熟练运用切线垂直于过切点的半径这一性质，再结合圆心角和等腰三角形的相关知识求解即可，解题时注意理清各个角度之间的关系，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
3 如图,在$△ ABC$中,$AB=BC$,以$AB$为直径的圆交$AC$于点$D$,过点$D$的$\odot O$的切线交$BC$于点$E$,若$CD=5$,$CE=4$,则$\odot O$的半径是(
A.3
B.4
C.$\frac{5}{6}$
D.$\frac{25}{8}$
D
)。A.3
B.4
C.$\frac{5}{6}$
D.$\frac{25}{8}$
答案
3.D
解析
【分析】
解题时先利用直径的性质构造直角：AB是直径，连接BD可得BD⊥AC，结合AB=BC的等腰三角形特征，能推出D是AC中点；再利用切线性质连接圆心O和切点D，得OD⊥DE，通过角的等量代换推导OD//BC，进而得到DE⊥BC；此时△CDE和△CBD有公共角∠C且均为直角三角形，可判定相似，利用相似三角形对应边成比例求出BC的长度，再由AB=BC即可求出圆的半径。
【解析】
解：连接BD、OD。
1. 因为AB是$\odot O$的直径，根据直径所对圆周角为直角，得$∠ ADB=90°$，即$BD⊥ AC$。
又$AB=BC$，由等腰三角形三线合一可得D为AC中点，已知$CD=5$，故$AC=2CD=10$。
2. 因为DE是$\odot O$的切线，根据切线性质，得$OD⊥ DE$。
因为$OA=OD$，所以$∠ A=∠ ODA$；又$AB=BC$，所以$∠ A=∠ C$，因此$∠ ODA=∠ C$，可推出$OD// BC$（同位角相等，两直线平行）。
所以$DE⊥ BC$，即$∠ CED=90°$。
3. 在$△ CDE$和$△ CBD$中：
$∠ C=∠ C$，$∠ CED=∠ CDB=90°$，故$△ CDE∽△ CBD$（AA相似判定）。
由相似三角形对应边成比例得：$\frac{CD}{CB}=\frac{CE}{CD}$，即$CD^2=CE· CB$。
4. 代入$CD=5$，$CE=4$，得$5^2=4· CB$，解得$CB=\frac{25}{4}$。
因为$AB=BC$，所以$AB=\frac{25}{4}$，$\odot O$的半径为$\frac{1}{2}AB=\frac{25}{8}$。
【答案】
D
【知识点】
切线的性质；相似三角形判定与性质；等腰三角形性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的典型题型，解题核心是正确作出辅助线：连接直径对应的圆周角、连接切点与圆心，再结合相似三角形的性质求解线段长度，能很好地考查学生对几何综合知识点的运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时先利用直径的性质构造直角：AB是直径，连接BD可得BD⊥AC，结合AB=BC的等腰三角形特征，能推出D是AC中点；再利用切线性质连接圆心O和切点D，得OD⊥DE，通过角的等量代换推导OD//BC，进而得到DE⊥BC；此时△CDE和△CBD有公共角∠C且均为直角三角形，可判定相似，利用相似三角形对应边成比例求出BC的长度，再由AB=BC即可求出圆的半径。
【解析】
解：连接BD、OD。
1. 因为AB是$\odot O$的直径，根据直径所对圆周角为直角，得$∠ ADB=90°$，即$BD⊥ AC$。
又$AB=BC$，由等腰三角形三线合一可得D为AC中点，已知$CD=5$，故$AC=2CD=10$。
2. 因为DE是$\odot O$的切线，根据切线性质，得$OD⊥ DE$。
因为$OA=OD$，所以$∠ A=∠ ODA$；又$AB=BC$，所以$∠ A=∠ C$，因此$∠ ODA=∠ C$，可推出$OD// BC$（同位角相等，两直线平行）。
所以$DE⊥ BC$，即$∠ CED=90°$。
3. 在$△ CDE$和$△ CBD$中：
$∠ C=∠ C$，$∠ CED=∠ CDB=90°$，故$△ CDE∽△ CBD$（AA相似判定）。
由相似三角形对应边成比例得：$\frac{CD}{CB}=\frac{CE}{CD}$，即$CD^2=CE· CB$。
4. 代入$CD=5$，$CE=4$，得$5^2=4· CB$，解得$CB=\frac{25}{4}$。
因为$AB=BC$，所以$AB=\frac{25}{4}$，$\odot O$的半径为$\frac{1}{2}AB=\frac{25}{8}$。
【答案】
D
【知识点】
切线的性质；相似三角形判定与性质；等腰三角形性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的典型题型，解题核心是正确作出辅助线：连接直径对应的圆周角、连接切点与圆心，再结合相似三角形的性质求解线段长度，能很好地考查学生对几何综合知识点的运用能力。
【难度系数】
0.6
④ 如图，在$△ ABC$中，以AB为直径的$\odot O$交BC于点D，与AC相切于点A，连接OD。若$∠ AOD=80°$，则$∠ C$的度数为
$50°$
。答案
4.$50°$
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：①AC是⊙O的切线，根据切线的性质可推出AC⊥AB，得到Rt△ABC，因此要求∠C，只需要求出∠B的度数即可；②已知圆心角∠AOD=80°，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，可求出∠B的度数；最后利用直角三角形两锐角互余计算∠C即可。
【解析】
解：
∵AC是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，
∴AC⊥AB，即∠BAC=90°，
∵同弧AD所对的圆周角∠B是圆心角∠AOD的一半，
∴∠B = $\frac{1}{2}$∠AOD = $\frac{1}{2}$×80° = 40°，
在Rt△ABC中，∠C + ∠B = 90°，
∴∠C = 90° - 40° = 50°。
【答案】
50°
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；直角三角形性质
【点评】
本题属于基础题，综合考查圆的相关性质，解题关键是熟练掌握切线垂直于过切点的半径、同弧所对圆周角等于圆心角的一半这两个核心性质，计算时注意角度关系不要混淆。
【难度系数】
0.75
解题时先从已知条件入手：①AC是⊙O的切线，根据切线的性质可推出AC⊥AB，得到Rt△ABC，因此要求∠C，只需要求出∠B的度数即可；②已知圆心角∠AOD=80°，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，可求出∠B的度数；最后利用直角三角形两锐角互余计算∠C即可。
【解析】
解：
∵AC是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，
∴AC⊥AB，即∠BAC=90°，
∵同弧AD所对的圆周角∠B是圆心角∠AOD的一半，
∴∠B = $\frac{1}{2}$∠AOD = $\frac{1}{2}$×80° = 40°，
在Rt△ABC中，∠C + ∠B = 90°，
∴∠C = 90° - 40° = 50°。
【答案】
50°
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；直角三角形性质
【点评】
本题属于基础题，综合考查圆的相关性质，解题关键是熟练掌握切线垂直于过切点的半径、同弧所对圆周角等于圆心角的一半这两个核心性质，计算时注意角度关系不要混淆。
【难度系数】
0.75
5 如图，AB是$\odot O$的直径，BC切$\odot O$于点B，$∠ ACB$的平分线交AB于点P，若$AC=5$，$BC=3$，则OP的长为
$\frac{1}{2}$
。答案
5.$\frac{1}{2}$
解析
【分析】
首先根据切线的性质可知AB⊥BC，得到△ABC是直角三角形，先用勾股定理计算AB的长度，从而得到⊙O的半径OB的长度；再利用三角形角平分线定理，得到AP与PB的比值，结合AB的总长度求出PB的长；最后用OB的长度减去PB的长度即可求出OP的长度。
【解析】
∵AB是$\odot O$的直径，BC切$\odot O$于点B，
∴$AB⊥ BC$，即$∠ ABC=90°$，
在$Rt△ ABC$中，$AC=5$，$BC=3$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$，
∴$\odot O$的半径$OB=\frac{1}{2}AB=2$，
∵CP平分$∠ ACB$，交AB于点P，根据三角形角平分线定理可得：
$\frac{AP}{PB}=\frac{AC}{BC}=\frac{5}{3}$，
又
∵$AP+PB=AB=4$，
∴$PB=4×\frac{3}{5+3}=\frac{3}{2}$，
∴$OP=OB-PB=2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
切线的性质；勾股定理；角平分线定理
【点评】
本题是基础综合题，将圆的性质与三角形的相关定理结合考查，解题的关键是熟练掌握切线的性质、勾股定理及角平分线定理，逐步推导所求线段的长度即可。
【难度系数】
0.7
首先根据切线的性质可知AB⊥BC，得到△ABC是直角三角形，先用勾股定理计算AB的长度，从而得到⊙O的半径OB的长度；再利用三角形角平分线定理，得到AP与PB的比值，结合AB的总长度求出PB的长；最后用OB的长度减去PB的长度即可求出OP的长度。
【解析】
∵AB是$\odot O$的直径，BC切$\odot O$于点B，
∴$AB⊥ BC$，即$∠ ABC=90°$，
在$Rt△ ABC$中，$AC=5$，$BC=3$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$，
∴$\odot O$的半径$OB=\frac{1}{2}AB=2$，
∵CP平分$∠ ACB$，交AB于点P，根据三角形角平分线定理可得：
$\frac{AP}{PB}=\frac{AC}{BC}=\frac{5}{3}$，
又
∵$AP+PB=AB=4$，
∴$PB=4×\frac{3}{5+3}=\frac{3}{2}$，
∴$OP=OB-PB=2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
切线的性质；勾股定理；角平分线定理
【点评】
本题是基础综合题，将圆的性质与三角形的相关定理结合考查，解题的关键是熟练掌握切线的性质、勾股定理及角平分线定理，逐步推导所求线段的长度即可。
【难度系数】
0.7
6 如图，AB为$\odot O$的直径，PB、PC分别与$\odot O$相切于点B、C，过点C作AB的垂线，垂足为E，交$\odot O$于点D。若$∠ BPC=60°$，$CD=2\sqrt{3}$，则线段PB的长为
$2\sqrt{3}$
。答案
6.$2\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题时首先连接OC、OP，利用切线的性质可得OC⊥PC、OB⊥PB，结合切线长定理可知PC=PB，且OP平分∠BPC，得到∠OPB=30°；再根据垂径定理，由CD⊥AB可得CE=1/2CD，通过四边形内角和求出∠COB的度数，进而得到Rt△COE中∠COE=60°，解直角三角形求出半径OC的长度；最后在Rt△OPC中利用特殊角的三角函数求出PC的长度，即为PB的长度。
【解析】
连接OC、OP：
1. 因为PB、PC分别与$\odot O$相切于点B、C，根据切线的性质，得$OC⊥ PC$，$OB⊥ PB$；根据切线长定理，得$PC=PB$，且OP平分$∠ BPC$，故$∠ OPC=∠ OPB=\frac{1}{2}∠ BPC=30°$。
2. 四边形PCOB内角和为$360°$，则$∠ COB=360°-90°-90°-60°=120°$，因此$∠ COE=180°-∠ COB=60°$。
3. 因为$CD⊥ AB$，AB是$\odot O$的直径，根据垂径定理，得$CE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
4. 在$Rt△ COE$中，$\sin∠ COE=\frac{CE}{OC}$，代入数值得$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{OC}$，解得$OC=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2$，即$\odot O$的半径为2。
5. 在$Rt△ OPC$中，$∠ OPC=30°$，$\tan∠ OPC=\frac{OC}{PC}$，则$PC=\frac{OC}{\tan30°}=\frac{2}{\frac{1}{\sqrt{3}}}=2\sqrt{3}$，又因为$PC=PB$，所以$PB=2\sqrt{3}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
切线的性质，垂径定理，切线长定理
【点评】
本题是圆的综合基础题，解题的关键是合理添加辅助线，结合切线、垂径定理的性质构造直角三角形，利用特殊角的三角函数值求解，是圆类计算题的常考题型。
【难度系数】
0.6
解题时首先连接OC、OP，利用切线的性质可得OC⊥PC、OB⊥PB，结合切线长定理可知PC=PB，且OP平分∠BPC，得到∠OPB=30°；再根据垂径定理，由CD⊥AB可得CE=1/2CD，通过四边形内角和求出∠COB的度数，进而得到Rt△COE中∠COE=60°，解直角三角形求出半径OC的长度；最后在Rt△OPC中利用特殊角的三角函数求出PC的长度，即为PB的长度。
【解析】
连接OC、OP：
1. 因为PB、PC分别与$\odot O$相切于点B、C，根据切线的性质，得$OC⊥ PC$，$OB⊥ PB$；根据切线长定理，得$PC=PB$，且OP平分$∠ BPC$，故$∠ OPC=∠ OPB=\frac{1}{2}∠ BPC=30°$。
2. 四边形PCOB内角和为$360°$，则$∠ COB=360°-90°-90°-60°=120°$，因此$∠ COE=180°-∠ COB=60°$。
3. 因为$CD⊥ AB$，AB是$\odot O$的直径，根据垂径定理，得$CE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
4. 在$Rt△ COE$中，$\sin∠ COE=\frac{CE}{OC}$，代入数值得$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{OC}$，解得$OC=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2$，即$\odot O$的半径为2。
5. 在$Rt△ OPC$中，$∠ OPC=30°$，$\tan∠ OPC=\frac{OC}{PC}$，则$PC=\frac{OC}{\tan30°}=\frac{2}{\frac{1}{\sqrt{3}}}=2\sqrt{3}$，又因为$PC=PB$，所以$PB=2\sqrt{3}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
切线的性质，垂径定理，切线长定理
【点评】
本题是圆的综合基础题，解题的关键是合理添加辅助线，结合切线、垂径定理的性质构造直角三角形，利用特殊角的三角函数值求解，是圆类计算题的常考题型。
【难度系数】
0.6
7 如图，AB是$\odot O$的切线，点A为切点，连接OB交$\odot O$于点C，半径$OD// AC$，若$∠ B=28°$，则$∠ DAC$的度数是
$29.5°$
。答案
7.$29.5°$
解析
【分析】
解题时首先根据切线的性质得到OA与AB垂直，在直角三角形OAB中求出∠AOC的度数；再结合半径相等得到△OAC是等腰三角形，求出∠OCA的度数；接着利用平行线的内错角相等得到∠DOC的度数；最后根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求出∠DAC的度数。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的切线，A为切点，
∴$OA⊥ AB$，即$∠ OAB=90°$，
在$Rt△ OAB$中，$∠ B=28°$，
∴$∠ AOC=90°-∠ B=90°-28°=62°$，
∵OA、OC都是$\odot O$的半径，即$OA=OC$，
∴$∠ OAC=∠ OCA=\frac{180°-∠ AOC}{2}=\frac{180°-62°}{2}=59°$，
∵$OD// AC$，
∴$∠ DOC=∠ OCA=59°$（两直线平行，内错角相等），
又
∵$∠ DAC$是弧DC所对的圆周角，$∠ DOC$是弧DC所对的圆心角，
∴$∠ DAC=\frac{1}{2}∠ DOC=\frac{1}{2}×59°=29.5°$。
【答案】
$29.5°$
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，平行线的性质
【点评】
本题是基础综合题，将圆的性质与三角形、平行线的性质结合考查，解题的关键是理清角度之间的转化关系，熟练掌握各基础性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.65
解题时首先根据切线的性质得到OA与AB垂直，在直角三角形OAB中求出∠AOC的度数；再结合半径相等得到△OAC是等腰三角形，求出∠OCA的度数；接着利用平行线的内错角相等得到∠DOC的度数；最后根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求出∠DAC的度数。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的切线，A为切点，
∴$OA⊥ AB$，即$∠ OAB=90°$，
在$Rt△ OAB$中，$∠ B=28°$，
∴$∠ AOC=90°-∠ B=90°-28°=62°$，
∵OA、OC都是$\odot O$的半径，即$OA=OC$，
∴$∠ OAC=∠ OCA=\frac{180°-∠ AOC}{2}=\frac{180°-62°}{2}=59°$，
∵$OD// AC$，
∴$∠ DOC=∠ OCA=59°$（两直线平行，内错角相等），
又
∵$∠ DAC$是弧DC所对的圆周角，$∠ DOC$是弧DC所对的圆心角，
∴$∠ DAC=\frac{1}{2}∠ DOC=\frac{1}{2}×59°=29.5°$。
【答案】
$29.5°$
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，平行线的性质
【点评】
本题是基础综合题，将圆的性质与三角形、平行线的性质结合考查，解题的关键是理清角度之间的转化关系，熟练掌握各基础性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.65
