13 如图,在四边形ABCD中,$∠ D = 90°$,连接对角线AC,$\odot O$是$△ ABC$的外接圆,BC是$\odot O$的直径,点E是AB的中点,连接OE,$∠ AOE = ∠ CAD$。
(1) 求证:CD为$\odot O$的切线。
(2) 若$\odot O$的直径为10,$OE = 3$,求CD的长。

13 （1）因为$OA=OB$,点E是AB的中点,所以$OE ⊥ AB$。因为BC是$\odot O$的直径,所以$∠BEO=∠BAC=90°$,所以$OE // AC$。因为$OA=OC$,所以$∠AOE=∠OAC=∠ACB$。因为$∠AOE=∠CAD$,所以$∠ACB=∠CAD$,所以$OC // AD$,所以$∠D+∠OCD=180°$。因为$∠D=90°$,所以$∠OCD=180°-∠D=90°$。因为OC是$\odot O$的半径,且$CD ⊥ OC$,所以CD为$\odot O$的切线。
（2）因为$∠BAC=∠D=90°$,$∠ACB=∠CAD$,所以$\frac{CD}{CA}=\sin∠CAD=\sin∠ACB=\frac{AB}{BC}$。因为$BE=AE$,$BO=CO$,$OE=3$,所以$CA=2OE=6$。因为$\odot O$的直径$BC=10$,所以$AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$,所以$CD=\frac{CA·AB}{BC}=\frac{6×8}{10}=\frac{24}{5}$,所以CD的长为$\frac{24}{5}$。

14 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$O$为$BC$上一点，以$O$为圆心，$OB$为半径作$\odot O$交$AB$于另一点$D$，$E$为$AC$上一点，且$AE=DE$。
（1）判断$DE$与$\odot O$的位置关系，说明理由。
（2）若$BO=2$，$OC=1$，$AC=2BC$，求$AE$的长。

14 （1）DE是$\odot O$的切线,理由如下:连接OD。因为$∠ACB=90°$,所以$∠A+∠B=90°$。因为$AE=DE$,所以$∠A=∠EDA$。又因为$OB=OD$,所以$∠B=∠ODB$,所以$∠ODB+∠EDA=90°$,所以$∠ODE=90°$,所以$OD ⊥ DE$。因为OD是圆的半径,所以DE是$\odot O$的切线。
（2）连接OE、OD。因为$OB=2$,$OC=1$,所以$BC=3$,因为$AC=2BC$,所以$AC=6$。设$AE=DE=x$,则$CE=6-x$。因为$∠OCE=∠ODE=90°$,由勾股定理,得$OC^2+CE^2=OE^2$,$OD^2+DE^2=OE^2$,所以$1^2+(6-x)^2=2^2+x^2$,解得$x=\frac{11}{4}$,所以$AE=\frac{11}{4}$。

15 如图，AB 是$\odot O$的直径，CD 是$\odot O$的一条弦，$AB ⊥ CD$，连接 AC、OD。
（1）求证：$∠ BOD = 2∠ CAB$。
（2）连接 DB，过点 C 作$CE ⊥ DB$，交 DB 的延长线于点 E，延长 DO，交 AC 于点 F。
若 F 为 AC 的中点，求证：直线 CE 为$\odot O$的切线。

15 （1）连接AD。因为AB是$\odot O$的直径,$AB ⊥ CD$,所以$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$,所以$∠CAB=∠BAD=\frac{1}{2}∠BOD$,所以$∠BOD=2∠CAB$。
（2）连接OC,因为F为AC的中点,所以$DF ⊥ AC$,所以$AD=CD$,所以$∠ADF=∠CDF$。因为$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$,所以$∠CAB=∠DAB$。因为$OA=OD$,所以$∠OAD=∠ODA$,所以$∠CDF=∠CAB$。因为$OC=OD$,所以$∠CDF=∠OCD$,所以$∠OCD=∠CAB$。因为$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC}$,所以$∠CAB=∠CDE$,所以$∠CDE=∠OCD$,所以$OC // BD$。因为$CE ⊥ DE$,所以$OC ⊥ CE$。因为OC为$\odot O$的半径,所以直线CE为$\odot O$的切线。