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13 如图,在四边形ABCD中,$∠ D = 90°$,连接对角线AC,$\odot O$是$△ ABC$的外接圆,BC是$\odot O$的直径,点E是AB的中点,连接OE,$∠ AOE = ∠ CAD$。
(1) 求证:CD为$\odot O$的切线。
(2) 若$\odot O$的直径为10,$OE = 3$,求CD的长。
(1) 求证:CD为$\odot O$的切线。
(2) 若$\odot O$的直径为10,$OE = 3$,求CD的长。
答案
13 （1）因为$OA=OB$,点E是AB的中点,所以$OE ⊥ AB$。因为BC是$\odot O$的直径,所以$∠BEO=∠BAC=90°$,所以$OE // AC$。因为$OA=OC$,所以$∠AOE=∠OAC=∠ACB$。因为$∠AOE=∠CAD$,所以$∠ACB=∠CAD$,所以$OC // AD$,所以$∠D+∠OCD=180°$。因为$∠D=90°$,所以$∠OCD=180°-∠D=90°$。因为OC是$\odot O$的半径,且$CD ⊥ OC$,所以CD为$\odot O$的切线。
（2）因为$∠BAC=∠D=90°$,$∠ACB=∠CAD$,所以$\frac{CD}{CA}=\sin∠CAD=\sin∠ACB=\frac{AB}{BC}$。因为$BE=AE$,$BO=CO$,$OE=3$,所以$CA=2OE=6$。因为$\odot O$的直径$BC=10$,所以$AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$,所以$CD=\frac{CA·AB}{BC}=\frac{6×8}{10}=\frac{24}{5}$,所以CD的长为$\frac{24}{5}$。
（2）因为$∠BAC=∠D=90°$,$∠ACB=∠CAD$,所以$\frac{CD}{CA}=\sin∠CAD=\sin∠ACB=\frac{AB}{BC}$。因为$BE=AE$,$BO=CO$,$OE=3$,所以$CA=2OE=6$。因为$\odot O$的直径$BC=10$,所以$AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$,所以$CD=\frac{CA·AB}{BC}=\frac{6×8}{10}=\frac{24}{5}$,所以CD的长为$\frac{24}{5}$。
解析
【分析】
(1) 要证明CD是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，需证明CD垂直于半径OC，即证$∠ OCD=90°$。首先利用等腰三角形三线合一得$OE⊥ AB$，结合BC是直径推出$∠ BAC=90°$，可得$OE// AC$，进而推导角的等量关系，结合已知$∠ AOE=∠ CAD$证得$∠ ACB=∠ CAD$，推出$OC// AD$，最后结合$∠ D=90°$即可证得$∠ OCD=90°$。
(2) 求CD的长度，首先由OE是$△ ABC$的中位线求出AC的长，再用勾股定理求出AB的长，最后利用$∠ ACB=∠ CAD$的三角函数对应关系，即可求出CD的长度。
【解析】
(1) 证明：$\because OA=OB$，点E是AB的中点，$\therefore OE⊥ AB$。
$\because BC$是$\odot O$的直径，$\therefore ∠ BEO=∠ BAC=90°$，$\therefore OE// AC$。
$\because OA=OC$，$\therefore ∠ AOE=∠ OAC=∠ ACB$。
又$\because ∠ AOE=∠ CAD$，$\therefore ∠ ACB=∠ CAD$，$\therefore OC// AD$，
$\therefore ∠ D+∠ OCD=180°$。
$\because ∠ D=90°$，$\therefore ∠ OCD=180°-∠ D=90°$，即$CD⊥ OC$。
又$\because OC$是$\odot O$的半径，$\therefore CD$为$\odot O$的切线。
(2) 解：$\because ∠ BAC=∠ D=90°$，$∠ ACB=∠ CAD$，
$\therefore \sin∠ CAD=\sin∠ ACB$，即$\frac{CD}{AC}=\frac{AB}{BC}$。
$\because E$是AB中点，$O$是BC中点，$\therefore OE$是$△ ABC$的中位线，
$\therefore AC=2OE=2×3=6$。
$\because \odot O$的直径$BC=10$，
$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$，
$\therefore CD=\frac{AC· AB}{BC}=\frac{6×8}{10}=\frac{24}{5}$。
【答案】
(1) CD为$\odot O$的切线，证明成立；
(2) CD的长为$\frac{24}{5}$
【知识点】
切线的判定，三角形中位线定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的综合基础题，融合了圆的性质、平行线的判定、切线判定及线段求解等考点，解题的关键是熟练掌握切线的判定逻辑，结合角的等量关系推导平行关系，再利用中位线、勾股定理完成线段长度的计算。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明CD是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，需证明CD垂直于半径OC，即证$∠ OCD=90°$。首先利用等腰三角形三线合一得$OE⊥ AB$，结合BC是直径推出$∠ BAC=90°$，可得$OE// AC$，进而推导角的等量关系，结合已知$∠ AOE=∠ CAD$证得$∠ ACB=∠ CAD$，推出$OC// AD$，最后结合$∠ D=90°$即可证得$∠ OCD=90°$。
(2) 求CD的长度，首先由OE是$△ ABC$的中位线求出AC的长，再用勾股定理求出AB的长，最后利用$∠ ACB=∠ CAD$的三角函数对应关系，即可求出CD的长度。
【解析】
(1) 证明：$\because OA=OB$，点E是AB的中点，$\therefore OE⊥ AB$。
$\because BC$是$\odot O$的直径，$\therefore ∠ BEO=∠ BAC=90°$，$\therefore OE// AC$。
$\because OA=OC$，$\therefore ∠ AOE=∠ OAC=∠ ACB$。
又$\because ∠ AOE=∠ CAD$，$\therefore ∠ ACB=∠ CAD$，$\therefore OC// AD$，
$\therefore ∠ D+∠ OCD=180°$。
$\because ∠ D=90°$，$\therefore ∠ OCD=180°-∠ D=90°$，即$CD⊥ OC$。
又$\because OC$是$\odot O$的半径，$\therefore CD$为$\odot O$的切线。
(2) 解：$\because ∠ BAC=∠ D=90°$，$∠ ACB=∠ CAD$，
$\therefore \sin∠ CAD=\sin∠ ACB$，即$\frac{CD}{AC}=\frac{AB}{BC}$。
$\because E$是AB中点，$O$是BC中点，$\therefore OE$是$△ ABC$的中位线，
$\therefore AC=2OE=2×3=6$。
$\because \odot O$的直径$BC=10$，
$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$，
$\therefore CD=\frac{AC· AB}{BC}=\frac{6×8}{10}=\frac{24}{5}$。
【答案】
(1) CD为$\odot O$的切线，证明成立；
(2) CD的长为$\frac{24}{5}$
【知识点】
切线的判定，三角形中位线定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的综合基础题，融合了圆的性质、平行线的判定、切线判定及线段求解等考点，解题的关键是熟练掌握切线的判定逻辑，结合角的等量关系推导平行关系，再利用中位线、勾股定理完成线段长度的计算。
【难度系数】
0.7
14 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$O$为$BC$上一点，以$O$为圆心，$OB$为半径作$\odot O$交$AB$于另一点$D$，$E$为$AC$上一点，且$AE=DE$。
（1）判断$DE$与$\odot O$的位置关系，说明理由。
（2）若$BO=2$，$OC=1$，$AC=2BC$，求$AE$的长。
（1）判断$DE$与$\odot O$的位置关系，说明理由。
（2）若$BO=2$，$OC=1$，$AC=2BC$，求$AE$的长。
答案
14 （1）DE是$\odot O$的切线,理由如下:连接OD。因为$∠ACB=90°$,所以$∠A+∠B=90°$。因为$AE=DE$,所以$∠A=∠EDA$。又因为$OB=OD$,所以$∠B=∠ODB$,所以$∠ODB+∠EDA=90°$,所以$∠ODE=90°$,所以$OD ⊥ DE$。因为OD是圆的半径,所以DE是$\odot O$的切线。
（2）连接OE、OD。因为$OB=2$,$OC=1$,所以$BC=3$,因为$AC=2BC$,所以$AC=6$。设$AE=DE=x$,则$CE=6-x$。因为$∠OCE=∠ODE=90°$,由勾股定理,得$OC^2+CE^2=OE^2$,$OD^2+DE^2=OE^2$,所以$1^2+(6-x)^2=2^2+x^2$,解得$x=\frac{11}{4}$,所以$AE=\frac{11}{4}$。
（2）连接OE、OD。因为$OB=2$,$OC=1$,所以$BC=3$,因为$AC=2BC$,所以$AC=6$。设$AE=DE=x$,则$CE=6-x$。因为$∠OCE=∠ODE=90°$,由勾股定理,得$OC^2+CE^2=OE^2$,$OD^2+DE^2=OE^2$,所以$1^2+(6-x)^2=2^2+x^2$,解得$x=\frac{11}{4}$,所以$AE=\frac{11}{4}$。
解析
【分析】
（1）判断直线与圆的位置关系，优先考虑切线的判定定理：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，因此先连接半径OD，再结合直角三角形两锐角互余、等腰三角形等边对等角的性质，通过角的等量代换证明OD垂直于DE即可。
（2）求线段长度可采用方程思想，设AE的长为未知数，观察到OE是Rt△OCE和Rt△ODE的公共斜边，可根据勾股定理分别表示出OE²，列出方程求解即可。
【解析】
（1）DE是$\odot O$的切线，理由如下：
连接$OD$。
$\because ∠ ACB=90°$，$\therefore ∠ A+∠ B=90°$。
$\because AE=DE$，$\therefore ∠ A=∠ EDA$。
又$\because OB=OD$，$\therefore ∠ B=∠ ODB$。
$\therefore ∠ ODB+∠ EDA=∠ A+∠ B=90°$，
$\therefore ∠ ODE=180°-(∠ ODB+∠ EDA)=90°$，即$OD ⊥ DE$。
$\because OD$是$\odot O$的半径，$\therefore DE$是$\odot O$的切线。
（2）连接$OE$、$OD$。
$\because BO=2$，$OC=1$，$\therefore BC=BO+OC=3$。
$\because AC=2BC$，$\therefore AC=2×3=6$。
设$AE=DE=x$，则$CE=AC-AE=6-x$。
$\because ∠ OCE=∠ ODE=90°$，
在$\mathrm{Rt}△OCE$中，由勾股定理得：$OC^2+CE^2=OE^2$，
在$\mathrm{Rt}△ODE$中，由勾股定理得：$OD^2+DE^2=OE^2$，
$\therefore OC^2+CE^2=OD^2+DE^2$，
代入数据得：$1^2+(6-x)^2=2^2+x^2$，
展开化简：$1+36-12x+x^2=4+x^2$，
解得$x=\frac{11}{4}$。
【答案】
（1）$DE$是$\odot O$的切线；（2）$AE=\frac{11}{4}$
【知识点】
切线的判定；勾股定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，属于常考题型，解题关键是熟练掌握切线判定的辅助线作法（连半径，证垂直），同时会利用公共边的勾股定理构造方程求解，需要理解方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
（1）判断直线与圆的位置关系，优先考虑切线的判定定理：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，因此先连接半径OD，再结合直角三角形两锐角互余、等腰三角形等边对等角的性质，通过角的等量代换证明OD垂直于DE即可。
（2）求线段长度可采用方程思想，设AE的长为未知数，观察到OE是Rt△OCE和Rt△ODE的公共斜边，可根据勾股定理分别表示出OE²，列出方程求解即可。
【解析】
（1）DE是$\odot O$的切线，理由如下：
连接$OD$。
$\because ∠ ACB=90°$，$\therefore ∠ A+∠ B=90°$。
$\because AE=DE$，$\therefore ∠ A=∠ EDA$。
又$\because OB=OD$，$\therefore ∠ B=∠ ODB$。
$\therefore ∠ ODB+∠ EDA=∠ A+∠ B=90°$，
$\therefore ∠ ODE=180°-(∠ ODB+∠ EDA)=90°$，即$OD ⊥ DE$。
$\because OD$是$\odot O$的半径，$\therefore DE$是$\odot O$的切线。
（2）连接$OE$、$OD$。
$\because BO=2$，$OC=1$，$\therefore BC=BO+OC=3$。
$\because AC=2BC$，$\therefore AC=2×3=6$。
设$AE=DE=x$，则$CE=AC-AE=6-x$。
$\because ∠ OCE=∠ ODE=90°$，
在$\mathrm{Rt}△OCE$中，由勾股定理得：$OC^2+CE^2=OE^2$，
在$\mathrm{Rt}△ODE$中，由勾股定理得：$OD^2+DE^2=OE^2$，
$\therefore OC^2+CE^2=OD^2+DE^2$，
代入数据得：$1^2+(6-x)^2=2^2+x^2$，
展开化简：$1+36-12x+x^2=4+x^2$，
解得$x=\frac{11}{4}$。
【答案】
（1）$DE$是$\odot O$的切线；（2）$AE=\frac{11}{4}$
【知识点】
切线的判定；勾股定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，属于常考题型，解题关键是熟练掌握切线判定的辅助线作法（连半径，证垂直），同时会利用公共边的勾股定理构造方程求解，需要理解方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
15 如图，AB 是$\odot O$的直径，CD 是$\odot O$的一条弦，$AB ⊥ CD$，连接 AC、OD。
（1）求证：$∠ BOD = 2∠ CAB$。
（2）连接 DB，过点 C 作$CE ⊥ DB$，交 DB 的延长线于点 E，延长 DO，交 AC 于点 F。
若 F 为 AC 的中点，求证：直线 CE 为$\odot O$的切线。
（1）求证：$∠ BOD = 2∠ CAB$。
（2）连接 DB，过点 C 作$CE ⊥ DB$，交 DB 的延长线于点 E，延长 DO，交 AC 于点 F。
若 F 为 AC 的中点，求证：直线 CE 为$\odot O$的切线。
答案
15 （1）连接AD。因为AB是$\odot O$的直径,$AB ⊥ CD$,所以$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$,所以$∠CAB=∠BAD=\frac{1}{2}∠BOD$,所以$∠BOD=2∠CAB$。
（2）连接OC,因为F为AC的中点,所以$DF ⊥ AC$,所以$AD=CD$,所以$∠ADF=∠CDF$。因为$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$,所以$∠CAB=∠DAB$。因为$OA=OD$,所以$∠OAD=∠ODA$,所以$∠CDF=∠CAB$。因为$OC=OD$,所以$∠CDF=∠OCD$,所以$∠OCD=∠CAB$。因为$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC}$,所以$∠CAB=∠CDE$,所以$∠CDE=∠OCD$,所以$OC // BD$。因为$CE ⊥ DE$,所以$OC ⊥ CE$。因为OC为$\odot O$的半径,所以直线CE为$\odot O$的切线。
（2）连接OC,因为F为AC的中点,所以$DF ⊥ AC$,所以$AD=CD$,所以$∠ADF=∠CDF$。因为$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$,所以$∠CAB=∠DAB$。因为$OA=OD$,所以$∠OAD=∠ODA$,所以$∠CDF=∠CAB$。因为$OC=OD$,所以$∠CDF=∠OCD$,所以$∠OCD=∠CAB$。因为$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC}$,所以$∠CAB=∠CDE$,所以$∠CDE=∠OCD$,所以$OC // BD$。因为$CE ⊥ DE$,所以$OC ⊥ CE$。因为OC为$\odot O$的半径,所以直线CE为$\odot O$的切线。
解析
【分析】
（1）要证明$∠ BOD = 2∠ CAB$，可结合垂径定理和圆周角定理推导：首先由$AB ⊥ CD$得到等弧，再利用同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，建立两个角的数量关系。
（2）要证明$CE$是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，需证明半径$OC ⊥ CE$。已知$CE ⊥ BD$，因此只需推导$OC // BD$，即证内错角$∠ OCD=∠ CDE$。结合$F$是$AC$中点可得$DF$垂直平分$AC$，再通过圆周角定理、等边对等角逐步推导角的等量关系，即可证平行，最终得到垂直关系完成证明。
【解析】
（1）证明：连接$AD$。
∵$AB$是$\odot O$的直径，$AB ⊥ CD$，
∴由垂径定理得$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，
∴$∠ CAB=∠ BAD$。
∵$∠ BAD$是$\overset{\frown}{BD}$所对的圆周角，$∠ BOD$是$\overset{\frown}{BD}$所对的圆心角，
∴$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BOD$，
∴$∠ CAB=\frac{1}{2}∠ BOD$，即$∠ BOD=2∠ CAB$。
（2）证明：连接$OC$。
∵$F$为$AC$的中点，$OD$过圆心$O$，
∴$DF ⊥ AC$，即$DF$是$AC$的垂直平分线，
∴$AD=CD$，
∴$∠ ADF=∠ CDF$。
∵$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，
∴$∠ CAB=∠ DAB$。
∵$OA=OD$，
∴$∠ OAD=∠ ODA$，
∴$∠ CDF=∠ CAB$。
∵$OC=OD$，
∴$∠ CDF=∠ OCD$，
∴$∠ OCD=∠ CAB$。
∵$∠ CAB$和$∠ CDE$都是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，
∴$∠ CAB=∠ CDE$，
∴$∠ CDE=∠ OCD$，
∴$OC // BD$。
∵$CE ⊥ DE$，
∴$OC ⊥ CE$。
又
∵$OC$为$\odot O$的半径，
∴直线$CE$为$\odot O$的切线。
【答案】
（1）$\boldsymbol{∠ BOD = 2∠ CAB}$，得证；
（2）直线$\boldsymbol{CE}$为$\boldsymbol{\odot O}$的切线，得证。
【知识点】
垂径定理、圆周角定理、切线的判定
【点评】
本题是圆的常规综合题，解题核心是熟练掌握圆的基础性质和切线的判定逻辑，通过合理添加辅助线梳理弧、角之间的等量关系即可完成求解，对几何逻辑推理能力有一定的基础要求。
【难度系数】
0.6
（1）要证明$∠ BOD = 2∠ CAB$，可结合垂径定理和圆周角定理推导：首先由$AB ⊥ CD$得到等弧，再利用同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，建立两个角的数量关系。
（2）要证明$CE$是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，需证明半径$OC ⊥ CE$。已知$CE ⊥ BD$，因此只需推导$OC // BD$，即证内错角$∠ OCD=∠ CDE$。结合$F$是$AC$中点可得$DF$垂直平分$AC$，再通过圆周角定理、等边对等角逐步推导角的等量关系，即可证平行，最终得到垂直关系完成证明。
【解析】
（1）证明：连接$AD$。
∵$AB$是$\odot O$的直径，$AB ⊥ CD$，
∴由垂径定理得$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，
∴$∠ CAB=∠ BAD$。
∵$∠ BAD$是$\overset{\frown}{BD}$所对的圆周角，$∠ BOD$是$\overset{\frown}{BD}$所对的圆心角，
∴$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BOD$，
∴$∠ CAB=\frac{1}{2}∠ BOD$，即$∠ BOD=2∠ CAB$。
（2）证明：连接$OC$。
∵$F$为$AC$的中点，$OD$过圆心$O$，
∴$DF ⊥ AC$，即$DF$是$AC$的垂直平分线，
∴$AD=CD$，
∴$∠ ADF=∠ CDF$。
∵$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，
∴$∠ CAB=∠ DAB$。
∵$OA=OD$，
∴$∠ OAD=∠ ODA$，
∴$∠ CDF=∠ CAB$。
∵$OC=OD$，
∴$∠ CDF=∠ OCD$，
∴$∠ OCD=∠ CAB$。
∵$∠ CAB$和$∠ CDE$都是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，
∴$∠ CAB=∠ CDE$，
∴$∠ CDE=∠ OCD$，
∴$OC // BD$。
∵$CE ⊥ DE$，
∴$OC ⊥ CE$。
又
∵$OC$为$\odot O$的半径，
∴直线$CE$为$\odot O$的切线。
【答案】
（1）$\boldsymbol{∠ BOD = 2∠ CAB}$，得证；
（2）直线$\boldsymbol{CE}$为$\boldsymbol{\odot O}$的切线，得证。
【知识点】
垂径定理、圆周角定理、切线的判定
【点评】
本题是圆的常规综合题，解题核心是熟练掌握圆的基础性质和切线的判定逻辑，通过合理添加辅助线梳理弧、角之间的等量关系即可完成求解，对几何逻辑推理能力有一定的基础要求。
【难度系数】
0.6
