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1 将抛物线 $ y = x^2 + 1 $ 的图像绕原点 $ O $ 旋转 $ 180° $，则旋转后的抛物线的函数表达式为（
A.$ y = -x^2 $
B.$ y = -x^2 + 1 $
C.$ y = x^2 - 1 $
D.$ y = -x^2 - 1 $
D
）。A.$ y = -x^2 $
B.$ y = -x^2 + 1 $
C.$ y = x^2 - 1 $
D.$ y = -x^2 - 1 $
答案
1 D
解析
【分析】
要解决抛物线绕原点旋转180°的解析式问题，可从两个角度思考：一是利用点的旋转规律：平面内任意一点绕原点旋转180°后，横、纵坐标均变为原来的相反数，我们可以设旋转后抛物线上任意一点的坐标，找到它在原抛物线上的对应点，代入原解析式整理即可；二是利用二次函数的顶点式特征，先确定原抛物线的顶点坐标和开口方向，旋转后顶点关于原点对称，开口方向相反，据此直接写出新的解析式。
【解析】
方法一：坐标代入法
设旋转后抛物线上任意一点的坐标为$(x,y)$，该点是原抛物线上的点$(x_0,y_0)$绕原点旋转180°得到的。
根据旋转180°的坐标变化规律：$x=-x_0$，$y=-y_0$，即$x_0=-x$，$y_0=-y$。
因为$(x_0,y_0)$在原抛物线$y=x^2+1$上，将其代入原解析式得：
$-y=(-x)^2+1$
化简得：$-y=x^2+1$，即$y=-x^2-1$。
方法二：顶点分析法
原抛物线$y=x^2+1$的顶点坐标为$(0,1)$，二次项系数$a=1$，开口向上。
绕原点旋转180°后，新抛物线的顶点与原顶点关于原点对称，即新顶点为$(0,-1)$；开口方向变为向下，二次项系数变为$a=-1$。
代入二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（其中$(h,k)$为顶点坐标），得：
$y=-(x-0)^2-1=-x^2-1$。
综上，旋转后的抛物线解析式为$y=-x^2-1$，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图像变换；关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数图像变换的典型基础题，解题核心是掌握点绕原点旋转180°的坐标变化规律，也可通过分析顶点、开口方向的变化快速求解，方法灵活，有助于加深对函数图像变换的理解。
【难度系数】
0.7
要解决抛物线绕原点旋转180°的解析式问题，可从两个角度思考：一是利用点的旋转规律：平面内任意一点绕原点旋转180°后，横、纵坐标均变为原来的相反数，我们可以设旋转后抛物线上任意一点的坐标，找到它在原抛物线上的对应点，代入原解析式整理即可；二是利用二次函数的顶点式特征，先确定原抛物线的顶点坐标和开口方向，旋转后顶点关于原点对称，开口方向相反，据此直接写出新的解析式。
【解析】
方法一：坐标代入法
设旋转后抛物线上任意一点的坐标为$(x,y)$，该点是原抛物线上的点$(x_0,y_0)$绕原点旋转180°得到的。
根据旋转180°的坐标变化规律：$x=-x_0$，$y=-y_0$，即$x_0=-x$，$y_0=-y$。
因为$(x_0,y_0)$在原抛物线$y=x^2+1$上，将其代入原解析式得：
$-y=(-x)^2+1$
化简得：$-y=x^2+1$，即$y=-x^2-1$。
方法二：顶点分析法
原抛物线$y=x^2+1$的顶点坐标为$(0,1)$，二次项系数$a=1$，开口向上。
绕原点旋转180°后，新抛物线的顶点与原顶点关于原点对称，即新顶点为$(0,-1)$；开口方向变为向下，二次项系数变为$a=-1$。
代入二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（其中$(h,k)$为顶点坐标），得：
$y=-(x-0)^2-1=-x^2-1$。
综上，旋转后的抛物线解析式为$y=-x^2-1$，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图像变换；关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数图像变换的典型基础题，解题核心是掌握点绕原点旋转180°的坐标变化规律，也可通过分析顶点、开口方向的变化快速求解，方法灵活，有助于加深对函数图像变换的理解。
【难度系数】
0.7
2 如图，二次函数$y=ax^2+bx+c$与$x$轴交于$A$、$B$两点，与$y$轴交于点$C$，若$OB=OC=\frac{1}{2}OA$，那么$b$的值是（
A.$-2$
B.$-1$
C.$-\frac{1}{2}$
D.$\frac{1}{2}$
C
）。A.$-2$
B.$-1$
C.$-\frac{1}{2}$
D.$\frac{1}{2}$
答案
2 C
解析
【分析】
我们可以通过设参数表示各交点坐标，再利用二次函数过交点的性质列方程求解。首先设OB的长度为t（t＞0），根据已知的线段等量关系得出A、B、C三点的坐标；再结合二次函数$y=ax^2+bx+c$中c是与y轴交点的纵坐标，得到c=t；最后将A、B两点坐标代入解析式，消去参数a和t即可求出b的值。
【解析】
解：设$OB = t$（$t＞0$），
由$OB=OC=\frac{1}{2}OA$，可得$OC=t$，$OA=2t$。
结合图象中点的位置：
点$B$在$x$轴正半轴，坐标为$(t,0)$；
点$A$在$x$轴负半轴，坐标为$(-2t,0)$；
点$C$在$y$轴正半轴，坐标为$(0,t)$。
∵二次函数$y=ax^2+bx+c$过点$C(0,t)$，代入得$c=t$，
∴解析式可写为$y=ax^2+bx + t$。
将$B(t,0)$代入解析式：
$a· t^2 + b· t + t = 0$，
∵$t≠0$，两边同除以$t$得：$at + b + 1 = 0$ ①；
将$A(-2t,0)$代入解析式：
$a· (-2t)^2 + b· (-2t) + t = 0$，化简得$4at^2 -2bt + t = 0$，
两边同除以$t$得：$4at - 2b + 1 = 0$ ②。
由①得$at = -b -1$，代入②：
$4(-b -1) - 2b + 1 = 0$，
展开计算：$-4b -4 -2b +1 = 0$，
合并同类项：$-6b -3 = 0$，
解得$b=-\frac{1}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数与坐标轴交点特征；2. 待定系数法；3. 代数式消元
【点评】
本题属于二次函数基础应用类题目，解题核心是合理设参数表示各交点坐标，代入解析式后消去无关参数得到所求值，需要注意坐标轴上不同位置点的坐标符号，避免因符号错误导致计算失误。
【难度系数】
0.7
我们可以通过设参数表示各交点坐标，再利用二次函数过交点的性质列方程求解。首先设OB的长度为t（t＞0），根据已知的线段等量关系得出A、B、C三点的坐标；再结合二次函数$y=ax^2+bx+c$中c是与y轴交点的纵坐标，得到c=t；最后将A、B两点坐标代入解析式，消去参数a和t即可求出b的值。
【解析】
解：设$OB = t$（$t＞0$），
由$OB=OC=\frac{1}{2}OA$，可得$OC=t$，$OA=2t$。
结合图象中点的位置：
点$B$在$x$轴正半轴，坐标为$(t,0)$；
点$A$在$x$轴负半轴，坐标为$(-2t,0)$；
点$C$在$y$轴正半轴，坐标为$(0,t)$。
∵二次函数$y=ax^2+bx+c$过点$C(0,t)$，代入得$c=t$，
∴解析式可写为$y=ax^2+bx + t$。
将$B(t,0)$代入解析式：
$a· t^2 + b· t + t = 0$，
∵$t≠0$，两边同除以$t$得：$at + b + 1 = 0$ ①；
将$A(-2t,0)$代入解析式：
$a· (-2t)^2 + b· (-2t) + t = 0$，化简得$4at^2 -2bt + t = 0$，
两边同除以$t$得：$4at - 2b + 1 = 0$ ②。
由①得$at = -b -1$，代入②：
$4(-b -1) - 2b + 1 = 0$，
展开计算：$-4b -4 -2b +1 = 0$，
合并同类项：$-6b -3 = 0$，
解得$b=-\frac{1}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数与坐标轴交点特征；2. 待定系数法；3. 代数式消元
【点评】
本题属于二次函数基础应用类题目，解题核心是合理设参数表示各交点坐标，代入解析式后消去无关参数得到所求值，需要注意坐标轴上不同位置点的坐标符号，避免因符号错误导致计算失误。
【难度系数】
0.7
3 二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像与坐标轴的交点个数可能有（
A.0个
B.0或1个
C.1，2或3个
D.0，1，2或3个
C
）。A.0个
B.0或1个
C.1，2或3个
D.0，1，2或3个
答案
3 C
解析
【分析】
解题需先明确坐标轴包含x轴和y轴，按以下思路推导：①先分析二次函数与y轴的交点：将x=0代入解析式得y=c，因此二次函数必然和y轴有1个交点，总交点数不可能为0，可直接排除含0个的选项；②再结合一元二次方程根的判别式，分类讨论二次函数与x轴的交点个数，同时注意x轴和y轴交点重合的特殊情况，即可汇总所有可能的交点数量。
【解析】
首先对二次函数$y=ax^2+bx+c$，令$x=0$，得$y=c$，因此二次函数一定与y轴有1个交点$(0,c)$，故交点数不可能为0，直接排除A、B、D选项。
再分类讨论与x轴的交点情况：
1. 当判别式$\Delta=b^2-4ac＜0$时，二次函数与x轴无交点，此时总交点数仅为和y轴的1个；
2. 当$\Delta=b^2-4ac=0$时，二次函数与x轴有1个交点：若该交点与y轴交点不重合，总交点数为2个；若该交点与y轴交点重合（即顶点在原点，函数为$y=ax^2$），总交点数为1个；
3. 当$\Delta=b^2-4ac＞0$时，二次函数与x轴有2个交点：若其中一个交点是原点，总交点数为2个；若没有交点在原点，总交点数为3个。
因此二次函数图像与坐标轴的交点个数可能为1、2或3个。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图像性质，二次函数与坐标轴交点，根的判别式
【点评】
本题核心考查分类讨论思想，解题时需注意二次函数必然存在y轴交点，同时不要遗漏坐标轴交点重合的特殊情况，避免错判交点的可能数量。
【难度系数】
0.7
解题需先明确坐标轴包含x轴和y轴，按以下思路推导：①先分析二次函数与y轴的交点：将x=0代入解析式得y=c，因此二次函数必然和y轴有1个交点，总交点数不可能为0，可直接排除含0个的选项；②再结合一元二次方程根的判别式，分类讨论二次函数与x轴的交点个数，同时注意x轴和y轴交点重合的特殊情况，即可汇总所有可能的交点数量。
【解析】
首先对二次函数$y=ax^2+bx+c$，令$x=0$，得$y=c$，因此二次函数一定与y轴有1个交点$(0,c)$，故交点数不可能为0，直接排除A、B、D选项。
再分类讨论与x轴的交点情况：
1. 当判别式$\Delta=b^2-4ac＜0$时，二次函数与x轴无交点，此时总交点数仅为和y轴的1个；
2. 当$\Delta=b^2-4ac=0$时，二次函数与x轴有1个交点：若该交点与y轴交点不重合，总交点数为2个；若该交点与y轴交点重合（即顶点在原点，函数为$y=ax^2$），总交点数为1个；
3. 当$\Delta=b^2-4ac＞0$时，二次函数与x轴有2个交点：若其中一个交点是原点，总交点数为2个；若没有交点在原点，总交点数为3个。
因此二次函数图像与坐标轴的交点个数可能为1、2或3个。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图像性质，二次函数与坐标轴交点，根的判别式
【点评】
本题核心考查分类讨论思想，解题时需注意二次函数必然存在y轴交点，同时不要遗漏坐标轴交点重合的特殊情况，避免错判交点的可能数量。
【难度系数】
0.7
④二次函数$y=-x^2 + x$的对称轴是直线
$x=\frac{1}{2}$
。答案
4 $x=\frac{1}{2}$
解析
【分析】
拿到本题，首先明确是求二次函数的对称轴，我们常用两种方法求解：一是利用二次函数一般式的对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$直接计算，二是用配方法将一般式转化为顶点式得到对称轴。本题用公式法计算更简便，首先先确定二次函数各项系数，再代入公式即可快速得到结果。
【解析】
对于二次函数的一般式$y=ax^2+bx+c\ (a≠0)$，其对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$。
在二次函数$y=-x^2+x$中，二次项系数$a=-1$，一次项系数$b=1$，
将系数代入对称轴公式可得：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2×(-1)}=\frac{1}{2}$
因此该二次函数的对称轴为直线$x=\frac{1}{2}$。
【答案】
$x=\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 二次函数的性质
2. 二次函数对称轴计算
【点评】
本题是二次函数的基础题型，主要考察对二次函数对称轴计算方法的掌握，牢记对称轴公式或者熟练运用配方法都可以快速求解，属于常规基础考点。
【难度系数】
0.9
拿到本题，首先明确是求二次函数的对称轴，我们常用两种方法求解：一是利用二次函数一般式的对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$直接计算，二是用配方法将一般式转化为顶点式得到对称轴。本题用公式法计算更简便，首先先确定二次函数各项系数，再代入公式即可快速得到结果。
【解析】
对于二次函数的一般式$y=ax^2+bx+c\ (a≠0)$，其对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$。
在二次函数$y=-x^2+x$中，二次项系数$a=-1$，一次项系数$b=1$，
将系数代入对称轴公式可得：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2×(-1)}=\frac{1}{2}$
因此该二次函数的对称轴为直线$x=\frac{1}{2}$。
【答案】
$x=\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 二次函数的性质
2. 二次函数对称轴计算
【点评】
本题是二次函数的基础题型，主要考察对二次函数对称轴计算方法的掌握，牢记对称轴公式或者熟练运用配方法都可以快速求解，属于常规基础考点。
【难度系数】
0.9
6 对称轴是y轴且过点A(1，3)、点B(-2，-6)的抛物线的表达式为
$y=-3x^2+6$
。答案
6 $y=-3x^2+6$
解析
【分析】
已知抛物线对称轴为y轴，根据二次函数的性质，对称轴为y轴的抛物线一次项系数为0，因此可设解析式为$y=ax^2+c$（$a≠0$），仅含有两个未知系数a、c，再将已知的两个点A、B的坐标分别代入解析式，得到关于a、c的二元一次方程组，解方程组求出a、c的值，即可得到抛物线的表达式。
【解析】
解：
∵抛物线的对称轴是y轴，
∴设该抛物线的表达式为$y = ax^2 + c$（$a ≠ 0$）。
将点A(1,3)代入表达式，得：
$a × 1^2 + c = 3$，即$a + c = 3$ ①
将点B(-2,-6)代入表达式，得：
$a × (-2)^2 + c = -6$，即$4a + c = -6$ ②
用②减去①消去c，得：
$3a = -9$，解得$a = -3$。
将$a = -3$代入①，得：
$-3 + c = 3$，解得$c = 6$。
因此，抛物线的表达式为$y = -3x^2 + 6$。
【答案】
$y=-3x^2+6$
【知识点】
二次函数对称轴性质；待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题重点考查根据二次函数的特征选择合适的解析式形式，结合待定系数法求解函数表达式，掌握二次函数不同形式的特点是解题的关键。
【难度系数】
0.8
已知抛物线对称轴为y轴，根据二次函数的性质，对称轴为y轴的抛物线一次项系数为0，因此可设解析式为$y=ax^2+c$（$a≠0$），仅含有两个未知系数a、c，再将已知的两个点A、B的坐标分别代入解析式，得到关于a、c的二元一次方程组，解方程组求出a、c的值，即可得到抛物线的表达式。
【解析】
解：
∵抛物线的对称轴是y轴，
∴设该抛物线的表达式为$y = ax^2 + c$（$a ≠ 0$）。
将点A(1,3)代入表达式，得：
$a × 1^2 + c = 3$，即$a + c = 3$ ①
将点B(-2,-6)代入表达式，得：
$a × (-2)^2 + c = -6$，即$4a + c = -6$ ②
用②减去①消去c，得：
$3a = -9$，解得$a = -3$。
将$a = -3$代入①，得：
$-3 + c = 3$，解得$c = 6$。
因此，抛物线的表达式为$y = -3x^2 + 6$。
【答案】
$y=-3x^2+6$
【知识点】
二次函数对称轴性质；待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题重点考查根据二次函数的特征选择合适的解析式形式，结合待定系数法求解函数表达式，掌握二次函数不同形式的特点是解题的关键。
【难度系数】
0.8
7 已知抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 经过 $ A(-1, 3) $、$ B(1, -1) $ 和 $ C(0, -2) $ 三点，则二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的表达式是
$y=3x^2-2x-2$
。答案
7 $y=3x^2-2x-2$
解析
【分析】
要确定二次函数的一般式$ y = ax^2 + bx + c $，需求出未知系数$a$、$b$、$c$的值。已知函数图象经过三个点，点在函数图象上则坐标满足函数解析式，因此可将三个点的坐标分别代入解析式，得到关于$a$、$b$、$c$的三元一次方程组，解方程组即可得到三个系数的值，进而得到函数表达式。其中点$C$横坐标为0，代入后可直接求出$c$，能简化计算。
【解析】
将三点坐标分别代入$ y = ax^2 + bx + c $：
1. 代入$C(0, -2)$：当$x=0$时，$y=c=-2$，得$c=-2$；
2. 代入$A(-1, 3)$，并将$c=-2$代入：
$a· (-1)^2 + b· (-1) - 2 = 3$，化简得$a - b = 5$ ①；
3. 代入$B(1, -1)$，并将$c=-2$代入：
$a· 1^2 + b· 1 - 2 = -1$，化简得$a + b = 1$ ②；
4. 联立①②求解：
①+②得：$2a = 6$，解得$a=3$；
将$a=3$代入②得：$3 + b =1$，解得$b=-2$；
将$a=3$、$b=-2$、$c=-2$代入一般式，得$y=3x^2 -2x -2$。
【答案】
$y=3x^2-2x-2$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；三元一次方程组的解法；二次函数的一般式
【点评】
本题是确定二次函数解析式的基础题型，核心考查利用待定系数法代入点坐标求解系数的能力，熟练掌握消元法解方程组即可顺利作答，是二次函数板块的必备基础技能。
【难度系数】
0.8
要确定二次函数的一般式$ y = ax^2 + bx + c $，需求出未知系数$a$、$b$、$c$的值。已知函数图象经过三个点，点在函数图象上则坐标满足函数解析式，因此可将三个点的坐标分别代入解析式，得到关于$a$、$b$、$c$的三元一次方程组，解方程组即可得到三个系数的值，进而得到函数表达式。其中点$C$横坐标为0，代入后可直接求出$c$，能简化计算。
【解析】
将三点坐标分别代入$ y = ax^2 + bx + c $：
1. 代入$C(0, -2)$：当$x=0$时，$y=c=-2$，得$c=-2$；
2. 代入$A(-1, 3)$，并将$c=-2$代入：
$a· (-1)^2 + b· (-1) - 2 = 3$，化简得$a - b = 5$ ①；
3. 代入$B(1, -1)$，并将$c=-2$代入：
$a· 1^2 + b· 1 - 2 = -1$，化简得$a + b = 1$ ②；
4. 联立①②求解：
①+②得：$2a = 6$，解得$a=3$；
将$a=3$代入②得：$3 + b =1$，解得$b=-2$；
将$a=3$、$b=-2$、$c=-2$代入一般式，得$y=3x^2 -2x -2$。
【答案】
$y=3x^2-2x-2$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；三元一次方程组的解法；二次函数的一般式
【点评】
本题是确定二次函数解析式的基础题型，核心考查利用待定系数法代入点坐标求解系数的能力，熟练掌握消元法解方程组即可顺利作答，是二次函数板块的必备基础技能。
【难度系数】
0.8
⑧ 已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像与x轴交于A(1，0)、B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，3)，则二次函数的顶点坐标是
$(2,-1)$
。答案
8 $(2,-1)$
解析
【分析】
解题时优先利用二次函数与x轴的两个交点坐标设交点式，比设一般式计算更简便。思路如下：①根据x轴交点A、B的坐标设交点式$y=a(x-1)(x-3)$；②代入y轴交点C的坐标求出参数a的值，得到完整的函数解析式；③通过配方成顶点式，或者利用二次函数对称性先求对称轴横坐标，再代入解析式求纵坐标，即可得到顶点坐标。
【解析】
解：
∵二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像与x轴交于A(1，0)、B(3，0)两点，
∴设该二次函数的解析式为$y=a(x-1)(x-3)$（$a≠0$），
将点C(0，3)代入解析式，得：
$3=a(0-1)(0-3)$
解得$a=1$，
∴二次函数的解析式为$y=(x-1)(x-3)$，
整理配方得：$y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1$，
∴二次函数的顶点坐标为$(2,-1)$。
【答案】
$(2,-1)$
【知识点】
1. 二次函数解析式的确定
2. 二次函数顶点坐标计算
3. 二次函数的对称性
【点评】
本题考查二次函数解析式的求解及顶点坐标的计算，选用交点式求解析式可有效减少计算量，也可利用二次函数的对称性快速确定顶点横坐标，是二次函数部分的基础题型，熟练掌握解析式的几种设法能提高解题效率。
【难度系数】
0.8
解题时优先利用二次函数与x轴的两个交点坐标设交点式，比设一般式计算更简便。思路如下：①根据x轴交点A、B的坐标设交点式$y=a(x-1)(x-3)$；②代入y轴交点C的坐标求出参数a的值，得到完整的函数解析式；③通过配方成顶点式，或者利用二次函数对称性先求对称轴横坐标，再代入解析式求纵坐标，即可得到顶点坐标。
【解析】
解：
∵二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像与x轴交于A(1，0)、B(3，0)两点，
∴设该二次函数的解析式为$y=a(x-1)(x-3)$（$a≠0$），
将点C(0，3)代入解析式，得：
$3=a(0-1)(0-3)$
解得$a=1$，
∴二次函数的解析式为$y=(x-1)(x-3)$，
整理配方得：$y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1$，
∴二次函数的顶点坐标为$(2,-1)$。
【答案】
$(2,-1)$
【知识点】
1. 二次函数解析式的确定
2. 二次函数顶点坐标计算
3. 二次函数的对称性
【点评】
本题考查二次函数解析式的求解及顶点坐标的计算，选用交点式求解析式可有效减少计算量，也可利用二次函数的对称性快速确定顶点横坐标，是二次函数部分的基础题型，熟练掌握解析式的几种设法能提高解题效率。
【难度系数】
0.8
9 函数$y=x^2+bx+c$的图像上有两点$(3,-8)$和$(-5,-8)$，则此抛物线的对称轴是
直线$x=-1$
。答案
9 直线$x=-1$
解析
【分析】
首先观察到抛物线上给出的两个点纵坐标相同，均为-8，根据二次函数的图像性质，抛物线上纵坐标相等的两个点是关于抛物线对称轴对称的对称点，对称轴到这两个点的水平距离相等，因此对称轴对应的x值就是这两个点横坐标的平均值，我们只需计算两点横坐标的平均数即可求出对称轴。
【解析】
解：
∵ 点$(3,-8)$和$(-5,-8)$都在抛物线上，且两点纵坐标相等
∴ 这两个点是关于抛物线对称轴对称的对称点
对称轴为过两点中点且垂直于x轴的直线，两点横坐标的平均值为：
$\frac{3+(-5)}{2}=-1$
因此此抛物线的对称轴是直线$x=-1$
【答案】
直线$x=-1$
【知识点】
二次函数的对称性；对称轴计算
【点评】
本题无需代入点坐标求解系数再计算对称轴，利用二次函数的对称性可快速解题，是二次函数性质的基础应用，解题时注意观察点的坐标特征可简化计算过程。
【难度系数】
0.8
首先观察到抛物线上给出的两个点纵坐标相同，均为-8，根据二次函数的图像性质，抛物线上纵坐标相等的两个点是关于抛物线对称轴对称的对称点，对称轴到这两个点的水平距离相等，因此对称轴对应的x值就是这两个点横坐标的平均值，我们只需计算两点横坐标的平均数即可求出对称轴。
【解析】
解：
∵ 点$(3,-8)$和$(-5,-8)$都在抛物线上，且两点纵坐标相等
∴ 这两个点是关于抛物线对称轴对称的对称点
对称轴为过两点中点且垂直于x轴的直线，两点横坐标的平均值为：
$\frac{3+(-5)}{2}=-1$
因此此抛物线的对称轴是直线$x=-1$
【答案】
直线$x=-1$
【知识点】
二次函数的对称性；对称轴计算
【点评】
本题无需代入点坐标求解系数再计算对称轴，利用二次函数的对称性可快速解题，是二次函数性质的基础应用，解题时注意观察点的坐标特征可简化计算过程。
【难度系数】
0.8
⑩ 已知二次函数的图像与$ x $轴交于点$ A(-1,0) $，$ B(4,0) $，与$ y $轴相交于点$ C $，且$ S_{△ ABC}=10 $，则此抛物线表达式是
$y=x^2-3x-4$或$y=-x^2+3x+4$
。答案
10 $y=x^2-3x-4$或$y=-x^2+3x+4$ ［提示:由$A(-1,0),B(4,0)$得$AB=5$。因为$S_{△ ABC}=10$,所以$OC=4$,可得点$C(0,4)$或$(0,-4)$。①当经过$A(-1,0),B(4,0),C(0,4)$这三点时,可得抛物线的表达式为$y=-x^2+3x+4$;②当经过$A(-1,0),B(4,0),C(0,-4)$这三点时,可得抛物线的表达式为$y=x^2-3x-4$。］
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，先根据x轴上A、B两点的坐标求出线段AB的长度，它是△ABC的底；第二步，结合△ABC的面积求出AB边上的高，也就是点C到x轴的距离，得到点C的两种可能坐标（C在y轴上，纵坐标可正可负，不要漏解）；第三步，已知抛物线与x轴的两个交点，选择交点式设二次函数表达式，再将C点坐标代入求出参数a，最后展开得到一般式即可。
【解析】
1. 计算AB的长度：
∵ A(-1,0)，B(4,0)，
∴ $AB = 4 - (-1) = 5$
2. 求点C的坐标：
设点C的坐标为$(0,c)$，△ABC的高为$|OC|=|c|$
由$S_{△ ABC}=10$，得$\frac{1}{2} × AB × |c| = 10$
代入$AB=5$，得$\frac{1}{2} × 5 × |c| =10$，解得$|c|=4$
∴ $c=4$或$c=-4$，即C点坐标为$(0,4)$或$(0,-4)$
3. 用待定系数法求抛物线表达式：
∵ 抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(4,0)，
∴ 设抛物线的交点式为$y=a(x+1)(x-4) \ (a≠0)$
① 当C为$(0,4)$时，代入得：$4 = a(0+1)(0-4)$，解得$a=-1$
代入表达式展开得：$y=-(x+1)(x-4) = -x^2 +3x +4$
② 当C为$(0,-4)$时，代入得：$-4 = a(0+1)(0-4)$，解得$a=1$
代入表达式展开得：$y=(x+1)(x-4) = x^2 -3x -4$
【答案】
$y=x^2-3x-4$或$y=-x^2+3x+4$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，三角形面积公式，二次函数交点式
【点评】
本题是二次函数解析式求解的常考题型，解题的关键是结合三角形面积确定C点坐标，注意C点位置有两种可能，避免漏解，掌握交点式的适用场景可以大幅简化计算。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步，先根据x轴上A、B两点的坐标求出线段AB的长度，它是△ABC的底；第二步，结合△ABC的面积求出AB边上的高，也就是点C到x轴的距离，得到点C的两种可能坐标（C在y轴上，纵坐标可正可负，不要漏解）；第三步，已知抛物线与x轴的两个交点，选择交点式设二次函数表达式，再将C点坐标代入求出参数a，最后展开得到一般式即可。
【解析】
1. 计算AB的长度：
∵ A(-1,0)，B(4,0)，
∴ $AB = 4 - (-1) = 5$
2. 求点C的坐标：
设点C的坐标为$(0,c)$，△ABC的高为$|OC|=|c|$
由$S_{△ ABC}=10$，得$\frac{1}{2} × AB × |c| = 10$
代入$AB=5$，得$\frac{1}{2} × 5 × |c| =10$，解得$|c|=4$
∴ $c=4$或$c=-4$，即C点坐标为$(0,4)$或$(0,-4)$
3. 用待定系数法求抛物线表达式：
∵ 抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(4,0)，
∴ 设抛物线的交点式为$y=a(x+1)(x-4) \ (a≠0)$
① 当C为$(0,4)$时，代入得：$4 = a(0+1)(0-4)$，解得$a=-1$
代入表达式展开得：$y=-(x+1)(x-4) = -x^2 +3x +4$
② 当C为$(0,-4)$时，代入得：$-4 = a(0+1)(0-4)$，解得$a=1$
代入表达式展开得：$y=(x+1)(x-4) = x^2 -3x -4$
【答案】
$y=x^2-3x-4$或$y=-x^2+3x+4$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，三角形面积公式，二次函数交点式
【点评】
本题是二次函数解析式求解的常考题型，解题的关键是结合三角形面积确定C点坐标，注意C点位置有两种可能，避免漏解，掌握交点式的适用场景可以大幅简化计算。
【难度系数】
0.7
11 已知二次函数的图像经过$A(1,1)$，$B(-1,7)$，$C(2,4)$三点，求二次函数的表达式。
答案
11 设二次函数的表达式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$,将$A(1,1),B(-1,7),C(2,4)$三点代入,得$\begin{cases}a+b+c=1,\\a-b+c=7,\\4a+2b+c=4,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=2,\\b=-3,\\c=2,\end{cases}$所以二次函数的表达式为$y=2x^2-3x+2$。
解析
【分析】
要确定二次函数的表达式，已知函数图像上三个普通点的坐标，最优解法是选用二次函数的一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$求解。首先将三个点的坐标分别代入一般式，得到三个含有未知数$a、b、c$的方程，组成三元一次方程组；接下来解这个方程组求出$a、b、c$的值；最后把求出的系数代回一般式，即可得到所求的二次函数表达式。
【解析】
解：设二次函数的表达式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，
将$A(1,1)$，$B(-1,7)$，$C(2,4)$三点分别代入表达式，可得：
$\begin{cases}a+b+c=1 \quad \mathrm{①} \\a-b+c=7 \quad \mathrm{②} \\4a+2b+c=4 \quad \mathrm{③}\end{cases}$
用①-②消去$a$和$c$，得：$2b=-6$，解得$b=-3$；
将$b=-3$代入①得：$a+c=4$ \quad ④
将$b=-3$代入③得：$4a+c=10$ \quad ⑤
用⑤-④得：$3a=6$，解得$a=2$；
将$a=2$代入④得：$2+c=4$，解得$c=2$；
因此方程组的解为$\begin{cases}a=2 \\ b=-3 \\ c=2\end{cases}$，
将$a、b、c$的值代回所设的一般式，即可得到二次函数的表达式。
【答案】
$y=2x^2-3x+2$
【知识点】
1.待定系数法 2.二次函数一般式 3.三元一次方程组求解
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，核心考查利用待定系数法代入已知点列方程求解的能力，熟练掌握三元一次方程组的消元解法是解题的关键，此类题型是二次函数相关应用的必备基础。
【难度系数】
0.8
要确定二次函数的表达式，已知函数图像上三个普通点的坐标，最优解法是选用二次函数的一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$求解。首先将三个点的坐标分别代入一般式，得到三个含有未知数$a、b、c$的方程，组成三元一次方程组；接下来解这个方程组求出$a、b、c$的值；最后把求出的系数代回一般式，即可得到所求的二次函数表达式。
【解析】
解：设二次函数的表达式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，
将$A(1,1)$，$B(-1,7)$，$C(2,4)$三点分别代入表达式，可得：
$\begin{cases}a+b+c=1 \quad \mathrm{①} \\a-b+c=7 \quad \mathrm{②} \\4a+2b+c=4 \quad \mathrm{③}\end{cases}$
用①-②消去$a$和$c$，得：$2b=-6$，解得$b=-3$；
将$b=-3$代入①得：$a+c=4$ \quad ④
将$b=-3$代入③得：$4a+c=10$ \quad ⑤
用⑤-④得：$3a=6$，解得$a=2$；
将$a=2$代入④得：$2+c=4$，解得$c=2$；
因此方程组的解为$\begin{cases}a=2 \\ b=-3 \\ c=2\end{cases}$，
将$a、b、c$的值代回所设的一般式，即可得到二次函数的表达式。
【答案】
$y=2x^2-3x+2$
【知识点】
1.待定系数法 2.二次函数一般式 3.三元一次方程组求解
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，核心考查利用待定系数法代入已知点列方程求解的能力，熟练掌握三元一次方程组的消元解法是解题的关键，此类题型是二次函数相关应用的必备基础。
【难度系数】
0.8
