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12 如图，直线$y=2x+2$与x轴、y轴分别相交于A、B两点，将$△ AOB$绕点O顺时针旋转$90°$得到$△ A_1OB_1$。
（1）在图中画出$△ A_1OB_1$。
（2）求经过A、$A_1$、$B_1$三点的抛物线的表达式。
（1）在图中画出$△ A_1OB_1$。
（2）求经过A、$A_1$、$B_1$三点的抛物线的表达式。
答案
12 (1) 由题意可得$B(0,2),A(-1,0)$。旋转后的A、B的对应点为$A_1(0,1)、B_1(2,0)$,图略。
(2) 由$A(-1,0),A_1(0,1),B_1(2,0)$,可得过A、$A_1$、$B_1$三点的抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+1$。
(2) 由$A(-1,0),A_1(0,1),B_1(2,0)$,可得过A、$A_1$、$B_1$三点的抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+1$。
解析
【分析】
（1）先通过直线解析式求出它与x轴、y轴交点A、B的坐标，再根据绕原点顺时针旋转90°的坐标变换规律，求出A、B旋转后的对应点A₁、B₁的坐标，顺次连接O、A₁、B₁即可得到旋转后的三角形。
（2）已知抛物线上三个点的坐标，可设抛物线的一般式$y=ax^2+bx+c(a\ne0)$，将三个点的坐标分别代入得到三元一次方程组，解方程组求出$a、b、c$的值，即可得到抛物线的表达式，也可利用抛物线与x轴的交点坐标设交点式简化计算。
【解析】
（1）对于直线$y=2x+2$：
令$y=0$，得$2x+2=0$，解得$x=-1$，因此$A$点坐标为$(-1,0)$；
令$x=0$，得$y=2$，因此$B$点坐标为$(0,2)$。
根据绕点O顺时针旋转90°的坐标变化规律，点$(x,y)$旋转后对应点为$(y,-x)$，可得：
$A(-1,0)$旋转后对应点$A_1$的坐标为$(0,1)$，$B(0,2)$旋转后对应点$B_1$的坐标为$(2,0)$，在坐标系中标出$A_1、B_1$，顺次连接$O、A_1、B_1$即得到$△ A_1OB_1$。
（2）设经过$A(-1,0)、A_1(0,1)、B_1(2,0)$三点的抛物线表达式为$y=ax^2+bx+c(a\ne0)$，将三个点坐标分别代入解析式：
① 代入$A(-1,0)$：$a-b+c=0$；
② 代入$A_1(0,1)$：$c=1$；
③ 代入$B_1(2,0)$：$4a+2b+c=0$。
将$c=1$代入①得$b=a+1$，再将$c=1、b=a+1$代入③，得：
$4a+2(a+1)+1=0$，解得$a=-\frac{1}{2}$，
进而求得$b=-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}$。
因此抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+1$。
【答案】
(1) $A_1(0,1)、B_1(2,0)$，$△ A_1OB_1$图略；
(2) $y=-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+1$
【知识点】
一次函数坐标求解，旋转的坐标变化，待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题属于函数与几何变换的综合基础题，解题关键是准确掌握旋转后点的坐标变化规律，熟练运用待定系数法求解函数解析式，也可选择交点式简化计算过程。
【难度系数】
0.7
（1）先通过直线解析式求出它与x轴、y轴交点A、B的坐标，再根据绕原点顺时针旋转90°的坐标变换规律，求出A、B旋转后的对应点A₁、B₁的坐标，顺次连接O、A₁、B₁即可得到旋转后的三角形。
（2）已知抛物线上三个点的坐标，可设抛物线的一般式$y=ax^2+bx+c(a\ne0)$，将三个点的坐标分别代入得到三元一次方程组，解方程组求出$a、b、c$的值，即可得到抛物线的表达式，也可利用抛物线与x轴的交点坐标设交点式简化计算。
【解析】
（1）对于直线$y=2x+2$：
令$y=0$，得$2x+2=0$，解得$x=-1$，因此$A$点坐标为$(-1,0)$；
令$x=0$，得$y=2$，因此$B$点坐标为$(0,2)$。
根据绕点O顺时针旋转90°的坐标变化规律，点$(x,y)$旋转后对应点为$(y,-x)$，可得：
$A(-1,0)$旋转后对应点$A_1$的坐标为$(0,1)$，$B(0,2)$旋转后对应点$B_1$的坐标为$(2,0)$，在坐标系中标出$A_1、B_1$，顺次连接$O、A_1、B_1$即得到$△ A_1OB_1$。
（2）设经过$A(-1,0)、A_1(0,1)、B_1(2,0)$三点的抛物线表达式为$y=ax^2+bx+c(a\ne0)$，将三个点坐标分别代入解析式：
① 代入$A(-1,0)$：$a-b+c=0$；
② 代入$A_1(0,1)$：$c=1$；
③ 代入$B_1(2,0)$：$4a+2b+c=0$。
将$c=1$代入①得$b=a+1$，再将$c=1、b=a+1$代入③，得：
$4a+2(a+1)+1=0$，解得$a=-\frac{1}{2}$，
进而求得$b=-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}$。
因此抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+1$。
【答案】
(1) $A_1(0,1)、B_1(2,0)$，$△ A_1OB_1$图略；
(2) $y=-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+1$
【知识点】
一次函数坐标求解，旋转的坐标变化，待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题属于函数与几何变换的综合基础题，解题关键是准确掌握旋转后点的坐标变化规律，熟练运用待定系数法求解函数解析式，也可选择交点式简化计算过程。
【难度系数】
0.7
13 已知抛物线 $y=ax^2+bx-3$ 经过点 $A(7, -3)$，与 $x$ 轴正半轴交于 $B(m, 0)$ 和 $C(6m, 0)$ 两点，求这条抛物线的表达式。
答案
13 由题意可得抛物线经过点$(0,-3)$,又经过点$A(7,-3)$,所以其对称轴为直线$x=\frac{7}{2}$。因为抛物线与$x$轴正半轴交于$B(m,0)$和$C(6m,0)$两点,所以对称轴为直线$x=\frac{7m}{2}$,可得$m=1$,所以$B(1,0),C(6,0)$,可求得抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{2}x^2+\frac{7}{2}x-3$。
解析
【分析】
解题时首先观察抛物线表达式的常数项，可直接得到抛物线与y轴交点坐标为$(0,-3)$，发现该点与已知点$A(7,-3)$纵坐标相同，根据二次函数的性质，纵坐标相同的两个点关于抛物线的对称轴对称，因此可以先求出抛物线的对称轴。再结合抛物线与x轴的两个交点B、C也关于对称轴对称，可列出关于m的方程求出m的值，得到B、C两点的坐标，最后用待定系数法即可求出抛物线的表达式。
【解析】
解：在抛物线$y=ax^2+bx-3$中，当$x=0$时，$y=-3$，
∴抛物线过点$(0,-3)$，
又
∵抛物线过点$A(7,-3)$，两点纵坐标相等，
∴抛物线的对称轴为直线$x=\frac{0+7}{2}=\frac{7}{2}$。
∵抛物线与x轴正半轴交于$B(m, 0)$和$C(6m, 0)$两点，
∴B、C两点关于对称轴对称，对称轴也可表示为直线$x=\frac{m+6m}{2}=\frac{7m}{2}$，
∴$\frac{7m}{2}=\frac{7}{2}$，解得$m=1$，
∴$B(1,0)$，$C(6,0)$。
设抛物线的交点式为$y=a(x-1)(x-6)$，展开得$y=ax^2-7ax+6a$，
对比原表达式的常数项可得$6a=-3$，解得$a=-\frac{1}{2}$，
代入得$y=-\frac{1}{2}(x-1)(x-6)=-\frac{1}{2}x^2+\frac{7}{2}x-3$。
【答案】
$y=-\frac{1}{2}x^2+\frac{7}{2}x-3$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数对称轴计算；待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题是二次函数解析式求解的典型题型，巧妙利用二次函数的对称性求参数m，比直接代入三点列三元方程组求解更简便，能很好地考查学生对二次函数性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察抛物线表达式的常数项，可直接得到抛物线与y轴交点坐标为$(0,-3)$，发现该点与已知点$A(7,-3)$纵坐标相同，根据二次函数的性质，纵坐标相同的两个点关于抛物线的对称轴对称，因此可以先求出抛物线的对称轴。再结合抛物线与x轴的两个交点B、C也关于对称轴对称，可列出关于m的方程求出m的值，得到B、C两点的坐标，最后用待定系数法即可求出抛物线的表达式。
【解析】
解：在抛物线$y=ax^2+bx-3$中，当$x=0$时，$y=-3$，
∴抛物线过点$(0,-3)$，
又
∵抛物线过点$A(7,-3)$，两点纵坐标相等，
∴抛物线的对称轴为直线$x=\frac{0+7}{2}=\frac{7}{2}$。
∵抛物线与x轴正半轴交于$B(m, 0)$和$C(6m, 0)$两点，
∴B、C两点关于对称轴对称，对称轴也可表示为直线$x=\frac{m+6m}{2}=\frac{7m}{2}$，
∴$\frac{7m}{2}=\frac{7}{2}$，解得$m=1$，
∴$B(1,0)$，$C(6,0)$。
设抛物线的交点式为$y=a(x-1)(x-6)$，展开得$y=ax^2-7ax+6a$，
对比原表达式的常数项可得$6a=-3$，解得$a=-\frac{1}{2}$，
代入得$y=-\frac{1}{2}(x-1)(x-6)=-\frac{1}{2}x^2+\frac{7}{2}x-3$。
【答案】
$y=-\frac{1}{2}x^2+\frac{7}{2}x-3$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数对称轴计算；待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题是二次函数解析式求解的典型题型，巧妙利用二次函数的对称性求参数m，比直接代入三点列三元方程组求解更简便，能很好地考查学生对二次函数性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
14 如图，抛物线$y=ax^2+2ax+3$与$y$轴交于点$C$，与$x$轴交于$A$、$B$两点（点$A$和点$B$分别在$x$轴的正、负半轴上），$\frac{OC}{OA}=3$。
（1）求抛物线的表达式。
（2）平行于$x$轴的直线$l$与抛物线交于点$E$、$F$（点$F$在点$E$的左边），如果四边形$OBFE$是平行四边形，求点$E$的坐标。
（1）求抛物线的表达式。
（2）平行于$x$轴的直线$l$与抛物线交于点$E$、$F$（点$F$在点$E$的左边），如果四边形$OBFE$是平行四边形，求点$E$的坐标。
答案
14 (1) 当$x=0$时,$y=3$,所以$OC=3$。因为$\frac{OC}{OA}=3$,所以$OA=1$。因为A在$x$轴正半轴,所以点A的坐标为$(1,0)$。将$A(1,0)$代入$y=ax^2+2ax+3$,得$a+2a+3=0$,解得$a=-1$,所以二次函数的表达式为$y=-x^2-2x+3$。
(2) 当$y=0$时,$-x^2-2x+3=0$,解得$x_1=1,x_2=-3$,所以点B的坐标为$(-3,0)$,所以$OB=3$。抛物线的对称轴是直线$x=-1$。因为四边形OBFE是平行四边形,所以$FE=OB=3$,所以$\frac{1}{2}FE=\frac{3}{2}$,所以点E的横坐标为$x=-1+\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$,所以点E的坐标为$(\frac{1}{2},\frac{7}{4})$。
(2) 当$y=0$时,$-x^2-2x+3=0$,解得$x_1=1,x_2=-3$,所以点B的坐标为$(-3,0)$,所以$OB=3$。抛物线的对称轴是直线$x=-1$。因为四边形OBFE是平行四边形,所以$FE=OB=3$,所以$\frac{1}{2}FE=\frac{3}{2}$,所以点E的横坐标为$x=-1+\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$,所以点E的坐标为$(\frac{1}{2},\frac{7}{4})$。
解析
【分析】
（1）先求抛物线与y轴交点C的坐标，得到OC的长度，结合OC与OA的比例关系求出OA长度，确定点A的坐标，再将A点坐标代入抛物线表达式，解出a的值即可得到抛物线解析式。
（2）先令抛物线解析式中y=0，解方程求出点B的坐标，得到OB的长度；根据平行四边形对边相等的性质可得EF=OB，再结合平行于x轴的直线与抛物线的两个交点关于抛物线对称轴对称，先求出抛物线对称轴，进而求出点E的横坐标，代入解析式求出纵坐标即可得到E点坐标。
【解析】
（1）当$x=0$时，$y=ax^2+2ax+3=3$，
∴点C坐标为$(0,3)$，$OC=3$。
∵$\frac{OC}{OA}=3$，
∴$OA=\frac{OC}{3}=1$，
又
∵点A在x轴正半轴，
∴点A坐标为$(1,0)$。
将$A(1,0)$代入$y=ax^2+2ax+3$，得：
$a+2a+3=0$，解得$a=-1$，
∴抛物线的表达式为$y=-x^2-2x+3$。
（2）令$y=0$，即$-x^2-2x+3=0$，
因式分解得：$-(x+3)(x-1)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=-3$，
∵点B在x轴负半轴，
∴点B坐标为$(-3,0)$，$OB=3$。
抛物线$y=-x^2-2x+3$的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2×(-1)}=-1$。
∵四边形OBFE是平行四边形，
∴$EF=OB=3$，
∵直线l平行于x轴，
∴点E、F关于对称轴$x=-1$对称，
∴点E到对称轴的距离为$\frac{1}{2}EF=\frac{3}{2}$，
∴点E的横坐标为$-1+\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$，
将$x=\frac{1}{2}$代入$y=-x^2-2x+3$，得：
$y=-(\frac{1}{2})^2 -2×\frac{1}{2}+3=-\frac{1}{4}-1+3=\frac{7}{4}$，
∴点E的坐标为$(\frac{1}{2},\frac{7}{4})$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{y=-x^2-2x+3}$
（2）$\boldsymbol{(\frac{1}{2},\frac{7}{4})}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的对称性；平行四边形的性质
【点评】
本题是二次函数基础综合题，解题的关键是熟练掌握二次函数与坐标轴交点的求法、对称轴公式，结合平行四边形的性质即可顺利求解，属于二次函数章节的常考典型题型。
【难度系数】
0.7
（1）先求抛物线与y轴交点C的坐标，得到OC的长度，结合OC与OA的比例关系求出OA长度，确定点A的坐标，再将A点坐标代入抛物线表达式，解出a的值即可得到抛物线解析式。
（2）先令抛物线解析式中y=0，解方程求出点B的坐标，得到OB的长度；根据平行四边形对边相等的性质可得EF=OB，再结合平行于x轴的直线与抛物线的两个交点关于抛物线对称轴对称，先求出抛物线对称轴，进而求出点E的横坐标，代入解析式求出纵坐标即可得到E点坐标。
【解析】
（1）当$x=0$时，$y=ax^2+2ax+3=3$，
∴点C坐标为$(0,3)$，$OC=3$。
∵$\frac{OC}{OA}=3$，
∴$OA=\frac{OC}{3}=1$，
又
∵点A在x轴正半轴，
∴点A坐标为$(1,0)$。
将$A(1,0)$代入$y=ax^2+2ax+3$，得：
$a+2a+3=0$，解得$a=-1$，
∴抛物线的表达式为$y=-x^2-2x+3$。
（2）令$y=0$，即$-x^2-2x+3=0$，
因式分解得：$-(x+3)(x-1)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=-3$，
∵点B在x轴负半轴，
∴点B坐标为$(-3,0)$，$OB=3$。
抛物线$y=-x^2-2x+3$的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2×(-1)}=-1$。
∵四边形OBFE是平行四边形，
∴$EF=OB=3$，
∵直线l平行于x轴，
∴点E、F关于对称轴$x=-1$对称，
∴点E到对称轴的距离为$\frac{1}{2}EF=\frac{3}{2}$，
∴点E的横坐标为$-1+\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$，
将$x=\frac{1}{2}$代入$y=-x^2-2x+3$，得：
$y=-(\frac{1}{2})^2 -2×\frac{1}{2}+3=-\frac{1}{4}-1+3=\frac{7}{4}$，
∴点E的坐标为$(\frac{1}{2},\frac{7}{4})$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{y=-x^2-2x+3}$
（2）$\boldsymbol{(\frac{1}{2},\frac{7}{4})}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的对称性；平行四边形的性质
【点评】
本题是二次函数基础综合题，解题的关键是熟练掌握二次函数与坐标轴交点的求法、对称轴公式，结合平行四边形的性质即可顺利求解，属于二次函数章节的常考典型题型。
【难度系数】
0.7
