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【典例1】如图，四个全等直角三角形拼成“赵爽弦图”.图中小正方形面积恰好是大正方形面积一半，则$\frac{AF}{AB}=$
$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
答案
解:设小正方形边长$EF=1$,则$AB=\sqrt{2}$.
设$AE=x$.
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中,$x^2+(x+1)^2=2$.
$\therefore x=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$(负值舍去),
$\therefore \frac{AF}{AB}=\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.
设$AE=x$.
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中,$x^2+(x+1)^2=2$.
$\therefore x=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$(负值舍去),
$\therefore \frac{AF}{AB}=\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.
变式.如图,用8个全等的$\mathrm{Rt}△ ABC(AC＞BC)$分别拼成
和中的两个正方形,中间的两个小正方形的面积分别记为$S_1$和$S_2$,且$S_2=3S_1$,则$\frac{BC}{AC}$的值为
和中的两个正方形,中间的两个小正方形的面积分别记为$S_1$和$S_2$,且$S_2=3S_1$,则$\frac{BC}{AC}$的值为$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
.答案
解:设$AC=1,BC=x$.
$S_1=(1-x)^2,S_2=1+x^2$,
$1+x^2=3(1-x)^2$.
$\therefore x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$($x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$不符合题意,舍去),
$\therefore \frac{BC}{AC}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$.
$S_1=(1-x)^2,S_2=1+x^2$,
$1+x^2=3(1-x)^2$.
$\therefore x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$($x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$不符合题意,舍去),
$\therefore \frac{BC}{AC}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$.
【典例2】如图，在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$∠ ACB=90°$，$AC=BC$，点$E$为$AB$上一点，$EF⊥ CE$交$BC$的平行线$AF$于点$F$，且$CE$与$EF$恰好为方程$x^2 - 2(m+1)x + 6m - 3 = 0$的两个实数根，求$FE$的长。
答案
解:过$E$点作$MN ⊥ BC$交$AF$、$BC$于$M$、$N$点，
$△ CEN ≌ △ EFM$,
$\therefore CE=EF$,
$\therefore \Delta=0$,
即$[-2(m+1)]^2 -4(6m-3)=0$,
$\therefore m=2,\therefore x^2-6x+9=0$,
$\therefore EF=3$.
【典例3】在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，三边分别为$a,b,c$，$AB=5$，$a,b$是方程$x^2-(2m-1)x+4(m-1)=0$的两个实数根，则$m$的值为(
A.$4$或$-1$
B.$4$
C.$-1$
D.$\pm2$
B
)A.$4$或$-1$
B.$4$
C.$-1$
D.$\pm2$
答案
解:$x_1^2+x_2^2=25$,
$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=25$,
$(2m-1)^2-8(m-1)=25$,
$\therefore m^2-3m-4=0$,
$m_1=4,m_2=-1$,
又$\because x_1+x_2=2m-1＞0,\therefore m=4$.
$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=25$,
$(2m-1)^2-8(m-1)=25$,
$\therefore m^2-3m-4=0$,
$m_1=4,m_2=-1$,
又$\because x_1+x_2=2m-1＞0,\therefore m=4$.
