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例1.方程 $x(x + 6) = 0$ 的解是 （）
A.$x_1 = 0$ 或 $x_2 = -6$
B.$x_1 = 0$ 或 $x_2 = 6$
C.$x = 0$
D.$x_1 = x_2 = -6$
分析:方程利用因式分解法求出解即可.
解:方程 $x(x + 6) = 0$,可得 $x = 0$ 或 $x + 6 = 0$,解得 $x_1 = 0, x_2 = -6$.故选:A.
A.$x_1 = 0$ 或 $x_2 = -6$
B.$x_1 = 0$ 或 $x_2 = 6$
C.$x = 0$
D.$x_1 = x_2 = -6$
分析:方程利用因式分解法求出解即可.
解:方程 $x(x + 6) = 0$,可得 $x = 0$ 或 $x + 6 = 0$,解得 $x_1 = 0, x_2 = -6$.故选:A.
答案
解：
∵ x(x + 6) = 0
∴ x = 0 或 x + 6 = 0
解得 x₁ = 0，x₂ = -6
故选：A
∵ x(x + 6) = 0
∴ x = 0 或 x + 6 = 0
解得 x₁ = 0，x₂ = -6
故选：A
解析
【分析】
拿到该方程首先观察形式，右侧为0，左侧是两个一次因式的乘积，可采用因式分解法求解：根据乘法的基本性质，若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0，因此可以将一元二次方程降次转化为两个一元一次方程，分别求解后即可得到原方程的解，再匹配对应选项。
【解析】
已知方程$x(x + 6) = 0$，
根据两式乘积为0的性质可得：$x = 0$ 或 $x + 6 = 0$，
解$x + 6 = 0$可得$x = -6$，
因此原方程的解为$x_1 = 0$，$x_2 = -6$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 一元二次方程的解
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题型，主要考查对因式分解法核心逻辑的理解和应用，解题步骤简单，是该知识点下的常规得分题。
【难度系数】
0.9
拿到该方程首先观察形式，右侧为0，左侧是两个一次因式的乘积，可采用因式分解法求解：根据乘法的基本性质，若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0，因此可以将一元二次方程降次转化为两个一元一次方程，分别求解后即可得到原方程的解，再匹配对应选项。
【解析】
已知方程$x(x + 6) = 0$，
根据两式乘积为0的性质可得：$x = 0$ 或 $x + 6 = 0$，
解$x + 6 = 0$可得$x = -6$，
因此原方程的解为$x_1 = 0$，$x_2 = -6$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 一元二次方程的解
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题型，主要考查对因式分解法核心逻辑的理解和应用，解题步骤简单，是该知识点下的常规得分题。
【难度系数】
0.9
例2.关于$ x $的一元二次方程$ x^2 = 2x $的解是
______.
分析:利用因式分解法求解即可.
解:$ x^2 = 2x $，$ x^2 - 2x = 0 $，$ x(x - 2) = 0 $，解得
$ x_1 = 0 $，$ x_2 = 2 $，故答案为$ x_1 = 0 $，$ x_2 = 2 $.
______.
分析:利用因式分解法求解即可.
解:$ x^2 = 2x $，$ x^2 - 2x = 0 $，$ x(x - 2) = 0 $，解得
$ x_1 = 0 $，$ x_2 = 2 $，故答案为$ x_1 = 0 $，$ x_2 = 2 $.
答案
解：
$x^2 = 2x$
移项，得
$x^2 - 2x = 0$
因式分解，得
$x(x - 2) = 0$
于是得$x=0$或$x-2=0$
$x_1 = 0$，$x_2 = 2$
$x^2 = 2x$
移项，得
$x^2 - 2x = 0$
因式分解，得
$x(x - 2) = 0$
于是得$x=0$或$x-2=0$
$x_1 = 0$，$x_2 = 2$
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的求解，适合采用因式分解法。解题时注意不能直接在方程两边同时除以x，否则会漏掉x=0这个根。正确的思路是先通过移项将方程右边化为0，再对左边的多项式提公因式进行因式分解，转化为两个一次因式乘积为0的形式，最后根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，分别求解两个一元一次方程即可得到原方程的解。
【解析】
解：$x^2 = 2x$
移项，得
$x^2 - 2x = 0$
因式分解，得
$x(x - 2) = 0$
于是得$x=0$或$x-2=0$
解得：$x_1 = 0$，$x_2 = 2$
【答案】
$x_1 = 0$，$x_2 = 2$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 移项法则
【点评】
本题是解一元二次方程的基础题型，核心考查因式分解法的应用，解题的易错点是直接在方程两边除以x导致丢根，熟练掌握提公因式因式分解的方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程的求解，适合采用因式分解法。解题时注意不能直接在方程两边同时除以x，否则会漏掉x=0这个根。正确的思路是先通过移项将方程右边化为0，再对左边的多项式提公因式进行因式分解，转化为两个一次因式乘积为0的形式，最后根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，分别求解两个一元一次方程即可得到原方程的解。
【解析】
解：$x^2 = 2x$
移项，得
$x^2 - 2x = 0$
因式分解，得
$x(x - 2) = 0$
于是得$x=0$或$x-2=0$
解得：$x_1 = 0$，$x_2 = 2$
【答案】
$x_1 = 0$，$x_2 = 2$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 移项法则
【点评】
本题是解一元二次方程的基础题型，核心考查因式分解法的应用，解题的易错点是直接在方程两边除以x导致丢根，熟练掌握提公因式因式分解的方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
例3.解方程：
(1)$3x(x-1)=2x-2$；
解:$3x(x-1)=2x-2,3x(x-1)-2(x-1)=0,(x-1)(3x-2)=0$,解得$x_{1}=1$,$x_{2}=\dfrac{2}{3}$
(2)$x^{2}+4x+3=0$.
解:$x^{2}+4x+3=0,(x+1)(x+3)=0$,解得$x_{1}=-1,x_{2}=-3$
分析:(1)直接移项提取公因式$(x-1)$,进而分解因式解方程得出答案;(2)直接利用二次三项式分解因式解方程即可.
(1)$3x(x-1)=2x-2$；
解:$3x(x-1)=2x-2,3x(x-1)-2(x-1)=0,(x-1)(3x-2)=0$,解得$x_{1}=1$,$x_{2}=\dfrac{2}{3}$
(2)$x^{2}+4x+3=0$.
解:$x^{2}+4x+3=0,(x+1)(x+3)=0$,解得$x_{1}=-1,x_{2}=-3$
分析:(1)直接移项提取公因式$(x-1)$,进而分解因式解方程得出答案;(2)直接利用二次三项式分解因式解方程即可.
答案
解：
(1) $3x(x-1)=2x-2$
移项，得 $3x(x-1)-2(x-1)=0$
因式分解，得 $(x-1)(3x-2)=0$
$\therefore x-1=0$ 或 $3x-2=0$
$\therefore x_1=1,\ x_2=\dfrac{2}{3}$
(2) $x^2+4x+3=0$
因式分解，得 $(x+1)(x+3)=0$
$\therefore x+1=0$ 或 $x+3=0$
$\therefore x_1=-1,\ x_2=-3$
(1) $3x(x-1)=2x-2$
移项，得 $3x(x-1)-2(x-1)=0$
因式分解，得 $(x-1)(3x-2)=0$
$\therefore x-1=0$ 或 $3x-2=0$
$\therefore x_1=1,\ x_2=\dfrac{2}{3}$
(2) $x^2+4x+3=0$
因式分解，得 $(x+1)(x+3)=0$
$\therefore x+1=0$ 或 $x+3=0$
$\therefore x_1=-1,\ x_2=-3$
解析
【分析】
这两道题均使用因式分解法求解一元二次方程，核心解题思路是先把方程整理为右边为0的形式，再将左边分解为两个一次因式的乘积，根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，转化为两个一元一次方程求解即可。第(1)题可先将右边的$2x-2$变形为$2(x-1)$，移项后提取公因式$(x-1)$完成因式分解；第(2)题左边是二次三项式，用十字相乘法分解因式即可。
【解析】
(1) $3x(x-1)=2x-2$
移项，得 $3x(x-1)-2(x-1)=0$
因式分解，得 $(x-1)(3x-2)=0$
$\therefore x-1=0$ 或 $3x-2=0$
$\therefore x_1=1,\ x_2=\dfrac{2}{3}$
(2) $x^2+4x+3=0$
因式分解，得 $(x+1)(x+3)=0$
$\therefore x+1=0$ 或 $x+3=0$
$\therefore x_1=-1,\ x_2=-3$
【答案】
(1)$x_{1}=1$，$x_{2}=\dfrac{2}{3}$；(2)$x_{1}=-1$，$x_{2}=-3$
【知识点】
1.因式分解法解一元二次方程
2.提公因式法因式分解
3.十字相乘法因式分解
【点评】
本题是因式分解法解一元二次方程的基础典型题，分别对应两种常见的因式分解应用场景，熟练掌握因式分解的常用方法，按照“化右为0、分解左式、分别求根”的步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.8
这两道题均使用因式分解法求解一元二次方程，核心解题思路是先把方程整理为右边为0的形式，再将左边分解为两个一次因式的乘积，根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，转化为两个一元一次方程求解即可。第(1)题可先将右边的$2x-2$变形为$2(x-1)$，移项后提取公因式$(x-1)$完成因式分解；第(2)题左边是二次三项式，用十字相乘法分解因式即可。
【解析】
(1) $3x(x-1)=2x-2$
移项，得 $3x(x-1)-2(x-1)=0$
因式分解，得 $(x-1)(3x-2)=0$
$\therefore x-1=0$ 或 $3x-2=0$
$\therefore x_1=1,\ x_2=\dfrac{2}{3}$
(2) $x^2+4x+3=0$
因式分解，得 $(x+1)(x+3)=0$
$\therefore x+1=0$ 或 $x+3=0$
$\therefore x_1=-1,\ x_2=-3$
【答案】
(1)$x_{1}=1$，$x_{2}=\dfrac{2}{3}$；(2)$x_{1}=-1$，$x_{2}=-3$
【知识点】
1.因式分解法解一元二次方程
2.提公因式法因式分解
3.十字相乘法因式分解
【点评】
本题是因式分解法解一元二次方程的基础典型题，分别对应两种常见的因式分解应用场景，熟练掌握因式分解的常用方法，按照“化右为0、分解左式、分别求根”的步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.8
1.方程$x(x-5)=0$的根是 （
A.$x=0$
B.$x=5$
C.$x_1=0,x_2=5$
D.$x_1=0,x_2=-5$
C
）A.$x=0$
B.$x=5$
C.$x_1=0,x_2=5$
D.$x_1=0,x_2=-5$
答案
1.C
解析
【分析】
这道题考查用因式分解法解一元二次方程，解题核心依据是“若两个因式的乘积为0，则这两个因式中至少有一个等于0”。本题方程左边已经是两个因式相乘等于0的形式，无需额外因式分解，只需令每个因式分别等于0，解出对应的一元一次方程的根即可，注意不要出现漏根的情况。
【解析】
解：已知方程$x(x-5)=0$，根据乘积为0的性质可得：
$x=0$ 或 $x-5=0$
解$x-5=0$，得$x=5$
因此原方程的根为$x_1=0$，$x_2=5$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 零乘积性质
【点评】
本题是解一元二次方程的基础题型，考查因式分解法最基础的应用，只需掌握核心性质即可快速得到答案，做题时注意不要漏解。
【难度系数】
0.9
这道题考查用因式分解法解一元二次方程，解题核心依据是“若两个因式的乘积为0，则这两个因式中至少有一个等于0”。本题方程左边已经是两个因式相乘等于0的形式，无需额外因式分解，只需令每个因式分别等于0，解出对应的一元一次方程的根即可，注意不要出现漏根的情况。
【解析】
解：已知方程$x(x-5)=0$，根据乘积为0的性质可得：
$x=0$ 或 $x-5=0$
解$x-5=0$，得$x=5$
因此原方程的根为$x_1=0$，$x_2=5$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 零乘积性质
【点评】
本题是解一元二次方程的基础题型，考查因式分解法最基础的应用，只需掌握核心性质即可快速得到答案，做题时注意不要漏解。
【难度系数】
0.9
2.方程$(x-2)(x+1)=(x+1)$的解是（
A.$x=3$
B.$x=-1$
C.$x_{1}=3,x_{2}=-1$
D.$x_{1}=-3,x_{2}=1$
C
）A.$x=3$
B.$x=-1$
C.$x_{1}=3,x_{2}=-1$
D.$x_{1}=-3,x_{2}=1$
答案
2.C
解析
【分析】
本题考查用因式分解法解一元二次方程，解题时需注意不可直接将方程两边同时除以含未知数的整式$(x+1)$，否则会漏掉$x=-1$这个解。正确的解题思路是：先将等号右侧的$(x+1)$移到左侧，使等号右侧为0，再提取公因式$(x+1)$，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到方程的两个解。
【解析】
解：对原方程移项，得：
$(x-2)(x+1)-(x+1)=0$
提取公因式$(x+1)$，得：
$(x+1)(x-2-1)=0$
整理得：
$(x+1)(x-3)=0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得：
$x+1=0$ 或 $x-3=0$
分别解两个一次方程：
当$x+1=0$时，$x_1=-1$；
当$x-3=0$时，$x_2=3$。
所以方程的解为$x_1=3,x_2=-1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 提取公因式法因式分解
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，易错点是直接两边除以公因式$(x+1)$导致漏解，求解这类含相同公因式的方程时，要先移项再提取公因式，不要随意约去可能取值为0的整式。
【难度系数】
0.7
本题考查用因式分解法解一元二次方程，解题时需注意不可直接将方程两边同时除以含未知数的整式$(x+1)$，否则会漏掉$x=-1$这个解。正确的解题思路是：先将等号右侧的$(x+1)$移到左侧，使等号右侧为0，再提取公因式$(x+1)$，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到方程的两个解。
【解析】
解：对原方程移项，得：
$(x-2)(x+1)-(x+1)=0$
提取公因式$(x+1)$，得：
$(x+1)(x-2-1)=0$
整理得：
$(x+1)(x-3)=0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得：
$x+1=0$ 或 $x-3=0$
分别解两个一次方程：
当$x+1=0$时，$x_1=-1$；
当$x-3=0$时，$x_2=3$。
所以方程的解为$x_1=3,x_2=-1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 提取公因式法因式分解
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，易错点是直接两边除以公因式$(x+1)$导致漏解，求解这类含相同公因式的方程时，要先移项再提取公因式，不要随意约去可能取值为0的整式。
【难度系数】
0.7
3.已知关于$x$的一元二次方程$3(x-1)(x-m)=0$的两个根是1和2，则$m$的值是________.
答案
3.2
解析
【分析】
本题可根据因式分解法解一元二次方程的原理思考：若若干个因式的乘积为0，则至少有一个因式的值为0。观察题中方程已经是因式分解后的形式，先直接求出方程的两个根，再结合题目给出的根的数值，对应即可求出m的值。
【解析】
对于方程$3(x-1)(x-m)=0$，根据“若几个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”的原理，可得：
$x-1=0$ 或 $x-m=0$
分别解得：$x_1=1$，$x_2=m$
已知方程的两个根是1和2，因此$m=2$。
【答案】
2
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根的定义
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对因式分解法解一元二次方程的理解与运用，熟练掌握因式分解法的原理即可快速解题。
【难度系数】
0.9
本题可根据因式分解法解一元二次方程的原理思考：若若干个因式的乘积为0，则至少有一个因式的值为0。观察题中方程已经是因式分解后的形式，先直接求出方程的两个根，再结合题目给出的根的数值，对应即可求出m的值。
【解析】
对于方程$3(x-1)(x-m)=0$，根据“若几个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”的原理，可得：
$x-1=0$ 或 $x-m=0$
分别解得：$x_1=1$，$x_2=m$
已知方程的两个根是1和2，因此$m=2$。
【答案】
2
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根的定义
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对因式分解法解一元二次方程的理解与运用，熟练掌握因式分解法的原理即可快速解题。
【难度系数】
0.9
4. 如图, 在 $□ ABCD$ 中, $AE ⊥ BC$ 于点 $E, AE = EB = EC = a$, 且 $a$ 是一元二次方程 $x^2 + 2x - 3 = 0$ 的根, 则 $□ ABCD$ 的周长是 $\underline{\hspace{3em}}$.
答案
4.$4+2\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题思路分三步：第一步先求解一元二次方程，结合a是线段长度为正数的实际意义，得到a的取值；第二步计算平行四边形相邻两边的长度：BC边是EB与EC的和，长度为2a，AB边在等腰直角△ABE中，可通过勾股定理求得；第三步利用平行四边形对边相等的性质，代入周长公式计算即可。
【解析】
1. 求解一元二次方程：
对$x^2 + 2x - 3 = 0$因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=1$。
因为$a$是线段长度，为正数，所以$a=1$。
2. 计算平行四边形相邻边长：
已知$AE⊥ BC$，$AE=EB=a$，故$△ ABE$是等腰直角三角形，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AE^2+EB^2}=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2}a$
$BC=EB+EC=a+a=2a$
3. 计算平行四边形周长：
平行四边形周长$=2×(AB+BC)$，将$a=1$代入得：
周长$=2×(\sqrt{2}×1 + 2×1)=2\sqrt{2}+4=4+2\sqrt{2}$
【答案】
$4+2\sqrt{2}$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；勾股定理；平行四边形性质
【点评】
本题属于基础综合题，将代数方程求解与几何计算相结合，解题时需注意方程的根要符合实际几何意义，熟练掌握基础公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
解题思路分三步：第一步先求解一元二次方程，结合a是线段长度为正数的实际意义，得到a的取值；第二步计算平行四边形相邻两边的长度：BC边是EB与EC的和，长度为2a，AB边在等腰直角△ABE中，可通过勾股定理求得；第三步利用平行四边形对边相等的性质，代入周长公式计算即可。
【解析】
1. 求解一元二次方程：
对$x^2 + 2x - 3 = 0$因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=1$。
因为$a$是线段长度，为正数，所以$a=1$。
2. 计算平行四边形相邻边长：
已知$AE⊥ BC$，$AE=EB=a$，故$△ ABE$是等腰直角三角形，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AE^2+EB^2}=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2}a$
$BC=EB+EC=a+a=2a$
3. 计算平行四边形周长：
平行四边形周长$=2×(AB+BC)$，将$a=1$代入得：
周长$=2×(\sqrt{2}×1 + 2×1)=2\sqrt{2}+4=4+2\sqrt{2}$
【答案】
$4+2\sqrt{2}$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；勾股定理；平行四边形性质
【点评】
本题属于基础综合题，将代数方程求解与几何计算相结合，解题时需注意方程的根要符合实际几何意义，熟练掌握基础公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
