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3.用公式法解方程 $ x^2 = -8x - 15 $，其中 $ b^2 - 4ac = \_\_\_\_\_\_ $.$ x_1 = \_\_\_\_\_\_ $，$ x_2 = \_\_\_\_\_\_ $.
答案
3.4 -3 -5
解析
【分析】
要用公式法解一元二次方程，首先需将方程整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，先确定$a、b、c$的取值，注意各项系数要带对应符号；再代入判别式公式$b^2-4ac$计算结果；最后将$a、b$、判别式的结果代入求根公式，即可求出两个根。
【解析】
第一步：将原方程化为一元二次方程的一般形式：
移项得：$x^2 + 8x + 15 = 0$
第二步：确定各项系数：$a=1$，$b=8$，$c=15$
第三步：计算判别式$b^2 - 4ac$：
$b^2 - 4ac = 8^2 - 4×1×15 = 64 - 60 = 4$
第四步：代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$计算根：
代入得$x=\frac{-8\pm\sqrt{4}}{2×1}=\frac{-8\pm2}{2}$
所以$x_1=\frac{-8+2}{2}=-3$，$x_2=\frac{-8-2}{2}=-5$
【答案】
4；-3；-5
【知识点】
一元二次方程一般式；根的判别式；公式法解方程
【点评】
本题属于公式法解一元二次方程的基础题型，解题的关键是先将方程化为一般形式后再确定系数，要注意移项时符号不要出错，计算判别式和求根时要细心避免计算失误。
【难度系数】
0.8
要用公式法解一元二次方程，首先需将方程整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，先确定$a、b、c$的取值，注意各项系数要带对应符号；再代入判别式公式$b^2-4ac$计算结果；最后将$a、b$、判别式的结果代入求根公式，即可求出两个根。
【解析】
第一步：将原方程化为一元二次方程的一般形式：
移项得：$x^2 + 8x + 15 = 0$
第二步：确定各项系数：$a=1$，$b=8$，$c=15$
第三步：计算判别式$b^2 - 4ac$：
$b^2 - 4ac = 8^2 - 4×1×15 = 64 - 60 = 4$
第四步：代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$计算根：
代入得$x=\frac{-8\pm\sqrt{4}}{2×1}=\frac{-8\pm2}{2}$
所以$x_1=\frac{-8+2}{2}=-3$，$x_2=\frac{-8-2}{2}=-5$
【答案】
4；-3；-5
【知识点】
一元二次方程一般式；根的判别式；公式法解方程
【点评】
本题属于公式法解一元二次方程的基础题型，解题的关键是先将方程化为一般形式后再确定系数，要注意移项时符号不要出错，计算判别式和求根时要细心避免计算失误。
【难度系数】
0.8
4.解下列一元二次方程：
(1)$x^2 - 5x - 1 = 0$；
(2)$2x^2 + \sqrt{5}x - 5 = 0$；
(3)$x^2 - 17 = 8x$；
(4)$x^2 - 5 = 2(x + 1)$。
(1)$x^2 - 5x - 1 = 0$；
(2)$2x^2 + \sqrt{5}x - 5 = 0$；
(3)$x^2 - 17 = 8x$；
(4)$x^2 - 5 = 2(x + 1)$。
答案
4.(1)$x_1=\frac{5+\sqrt{29}}{2},x_2=\frac{5-\sqrt{29}}{2}$
(2)$x_1=\frac{\sqrt{5}}{2},x_2=-\sqrt{5}$
(3)$x_1=4+\sqrt{33},x_2=4-\sqrt{33}$
(4)$x_1=1+2\sqrt{2},x_2=1-2\sqrt{2}$
(2)$x_1=\frac{\sqrt{5}}{2},x_2=-\sqrt{5}$
(3)$x_1=4+\sqrt{33},x_2=4-\sqrt{33}$
(4)$x_1=1+2\sqrt{2},x_2=1-2\sqrt{2}$
解析
【分析】
本题考查用公式法解一元二次方程，通用解题思路如下：①先将每个方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$；②对应确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的值，注意不要带错符号；③计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，若$\Delta≥0$，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算即可，若$\Delta＜0$则方程无实数根。
【解析】
(1) 解方程$x^2 - 5x - 1 = 0$
方程已是一般形式，得$a=1$，$b=-5$，$c=-1$
计算判别式：$\Delta=(-5)^2-4×1×(-1)=25+4=29＞0$
代入求根公式：
$x=\frac{5\pm\sqrt{29}}{2×1}$
即$x_1=\frac{5+\sqrt{29}}{2}$，$x_2=\frac{5-\sqrt{29}}{2}$
(2) 解方程$2x^2 + \sqrt{5}x - 5 = 0$
方程已是一般形式，得$a=2$，$b=\sqrt{5}$，$c=-5$
计算判别式：$\Delta=(\sqrt{5})^2-4×2×(-5)=5+40=45＞0$
代入求根公式：
$x=\frac{-\sqrt{5}\pm\sqrt{45}}{2×2}=\frac{-\sqrt{5}\pm3\sqrt{5}}{4}$
取加号：$x_1=\frac{-\sqrt{5}+3\sqrt{5}}{4}=\frac{\sqrt{5}}{2}$
取减号：$x_2=\frac{-\sqrt{5}-3\sqrt{5}}{4}=-\sqrt{5}$
(3) 解方程$x^2 - 17 = 8x$
整理为一般形式：$x^2-8x-17=0$，得$a=1$，$b=-8$，$c=-17$
计算判别式：$\Delta=(-8)^2-4×1×(-17)=64+68=132＞0$
代入求根公式：
$x=\frac{8\pm\sqrt{132}}{2}=\frac{8\pm2\sqrt{33}}{2}=4\pm\sqrt{33}$
即$x_1=4+\sqrt{33}$，$x_2=4-\sqrt{33}$
(4) 解方程$x^2 - 5 = 2(x + 1)$
去括号、移项整理为一般形式：$x^2-2x-7=0$，得$a=1$，$b=-2$，$c=-7$
计算判别式：$\Delta=(-2)^2-4×1×(-7)=4+28=32＞0$
代入求根公式：
$x=\frac{2\pm\sqrt{32}}{2}=\frac{2\pm4\sqrt{2}}{2}=1\pm2\sqrt{2}$
即$x_1=1+2\sqrt{2}$，$x_2=1-2\sqrt{2}$
【答案】
(1)$x_1=\frac{5+\sqrt{29}}{2},x_2=\frac{5-\sqrt{29}}{2}$
(2)$x_1=\frac{\sqrt{5}}{2},x_2=-\sqrt{5}$
(3)$x_1=4+\sqrt{33},x_2=4-\sqrt{33}$
(4)$x_1=1+2\sqrt{2},x_2=1-2\sqrt{2}$
【知识点】
公式法解一元二次方程、一元二次方程一般形式、根的判别式
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础训练题，重点考查解题步骤的规范性，解题时需注意先整理方程为一般形式，确定系数时不要搞错符号，计算时要正确化简根式，避免低级计算错误。
【难度系数】
0.7
本题考查用公式法解一元二次方程，通用解题思路如下：①先将每个方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$；②对应确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的值，注意不要带错符号；③计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，若$\Delta≥0$，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算即可，若$\Delta＜0$则方程无实数根。
【解析】
(1) 解方程$x^2 - 5x - 1 = 0$
方程已是一般形式，得$a=1$，$b=-5$，$c=-1$
计算判别式：$\Delta=(-5)^2-4×1×(-1)=25+4=29＞0$
代入求根公式：
$x=\frac{5\pm\sqrt{29}}{2×1}$
即$x_1=\frac{5+\sqrt{29}}{2}$，$x_2=\frac{5-\sqrt{29}}{2}$
(2) 解方程$2x^2 + \sqrt{5}x - 5 = 0$
方程已是一般形式，得$a=2$，$b=\sqrt{5}$，$c=-5$
计算判别式：$\Delta=(\sqrt{5})^2-4×2×(-5)=5+40=45＞0$
代入求根公式：
$x=\frac{-\sqrt{5}\pm\sqrt{45}}{2×2}=\frac{-\sqrt{5}\pm3\sqrt{5}}{4}$
取加号：$x_1=\frac{-\sqrt{5}+3\sqrt{5}}{4}=\frac{\sqrt{5}}{2}$
取减号：$x_2=\frac{-\sqrt{5}-3\sqrt{5}}{4}=-\sqrt{5}$
(3) 解方程$x^2 - 17 = 8x$
整理为一般形式：$x^2-8x-17=0$，得$a=1$，$b=-8$，$c=-17$
计算判别式：$\Delta=(-8)^2-4×1×(-17)=64+68=132＞0$
代入求根公式：
$x=\frac{8\pm\sqrt{132}}{2}=\frac{8\pm2\sqrt{33}}{2}=4\pm\sqrt{33}$
即$x_1=4+\sqrt{33}$，$x_2=4-\sqrt{33}$
(4) 解方程$x^2 - 5 = 2(x + 1)$
去括号、移项整理为一般形式：$x^2-2x-7=0$，得$a=1$，$b=-2$，$c=-7$
计算判别式：$\Delta=(-2)^2-4×1×(-7)=4+28=32＞0$
代入求根公式：
$x=\frac{2\pm\sqrt{32}}{2}=\frac{2\pm4\sqrt{2}}{2}=1\pm2\sqrt{2}$
即$x_1=1+2\sqrt{2}$，$x_2=1-2\sqrt{2}$
【答案】
(1)$x_1=\frac{5+\sqrt{29}}{2},x_2=\frac{5-\sqrt{29}}{2}$
(2)$x_1=\frac{\sqrt{5}}{2},x_2=-\sqrt{5}$
(3)$x_1=4+\sqrt{33},x_2=4-\sqrt{33}$
(4)$x_1=1+2\sqrt{2},x_2=1-2\sqrt{2}$
【知识点】
公式法解一元二次方程、一元二次方程一般形式、根的判别式
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础训练题，重点考查解题步骤的规范性，解题时需注意先整理方程为一般形式，确定系数时不要搞错符号，计算时要正确化简根式，避免低级计算错误。
【难度系数】
0.7
知识点二:一元二次方程根的判别式
对于方程 $ax^2 + bx + c = 0(a ≠ 0)$中,(1)当 $b^2 - 4ac ＞ 0$ 时, $x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, $x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}(x_1 ≠ x_2)$;(2)当 $b^2 - 4ac = 0$ 时, $x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}$;(3)$b^2 - 4ac ＜ 0$ 时,方程 $ax^2 + bx + c = 0(a ≠ 0)$没有实数根.因此$b^2 - 4ac$可以判断某个一元二次方程根的情况.
一般地,式子 $b^2 - 4ac$ 叫作一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$根的判别式,通常用希腊字母“$\Delta$”表示它,即 $\Delta = b^2 - 4ac$.
用根的判别式判断一元二次方程根的情况通常有下列情形:(1)$\Delta ＞ 0 \iff$方程有两个不相等的实数根;(2)$\Delta = 0 \iff$方程有两个相等的实数根;(3)$\Delta ＜ 0 \iff$方程没有实数根.
对于方程 $ax^2 + bx + c = 0(a ≠ 0)$中,(1)当 $b^2 - 4ac ＞ 0$ 时, $x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, $x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}(x_1 ≠ x_2)$;(2)当 $b^2 - 4ac = 0$ 时, $x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}$;(3)$b^2 - 4ac ＜ 0$ 时,方程 $ax^2 + bx + c = 0(a ≠ 0)$没有实数根.因此$b^2 - 4ac$可以判断某个一元二次方程根的情况.
一般地,式子 $b^2 - 4ac$ 叫作一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$根的判别式,通常用希腊字母“$\Delta$”表示它,即 $\Delta = b^2 - 4ac$.
用根的判别式判断一元二次方程根的情况通常有下列情形:(1)$\Delta ＞ 0 \iff$方程有两个不相等的实数根;(2)$\Delta = 0 \iff$方程有两个相等的实数根;(3)$\Delta ＜ 0 \iff$方程没有实数根.
答案
解：
对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0\ (a ≠ 0)$，式子 $b^2 - 4ac$ 叫做一元二次方程根的判别式，记作 $\Delta$，即 $\Delta = b^2 - 4ac$。
根的判别式与方程根的情况的对应关系如下：
1. 当 $\Delta ＞ 0$ 时，方程有两个不相等的实数根：
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，$x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
2. 当 $\Delta = 0$ 时，方程有两个相等的实数根：
$x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}$
3. 当 $\Delta ＜ 0$ 时，方程没有实数根。
对应等价关系：
$\Delta ＞ 0 \iff$ 方程有两个不相等的实数根
$\Delta = 0 \iff$ 方程有两个相等的实数根
$\Delta ＜ 0 \iff$ 方程没有实数根
对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0\ (a ≠ 0)$，式子 $b^2 - 4ac$ 叫做一元二次方程根的判别式，记作 $\Delta$，即 $\Delta = b^2 - 4ac$。
根的判别式与方程根的情况的对应关系如下：
1. 当 $\Delta ＞ 0$ 时，方程有两个不相等的实数根：
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，$x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
2. 当 $\Delta = 0$ 时，方程有两个相等的实数根：
$x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}$
3. 当 $\Delta ＜ 0$ 时，方程没有实数根。
对应等价关系：
$\Delta ＞ 0 \iff$ 方程有两个不相等的实数根
$\Delta = 0 \iff$ 方程有两个相等的实数根
$\Delta ＜ 0 \iff$ 方程没有实数根
解析
【分析】
本部分是一元二次方程公式法求解的基础内容，学习时首先要明确根的判别式的适用前提是一元二次方程（即二次项系数$a≠0$），先牢记判别式的定义，再逐一梳理判别式的取值和方程根的情况的一一对应关系，同时理解对应关系是双向等价的：既可以通过判别式的取值判断根的情况，也能根据已知的根的情况反推判别式的取值范围，为后续解决相关题型打好基础。
【解析】
1. 判别式定义：对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0\ (a ≠ 0)$，式子 $b^2 - 4ac$ 叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母$\Delta$表示，即 $\Delta = b^2 - 4ac$。
2. 判别式与根的对应关系：
（1）当 $\Delta ＞ 0$ 时，方程有两个不相等的实数根，可通过求根公式得：$x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，$x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$；
（2）当 $\Delta = 0$ 时，方程有两个相等的实数根，即 $x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}$；
（3）当 $\Delta ＜ 0$ 时，负数没有实数平方根，因此方程没有实数根。
3. 等价关系：上述对应关系正反均成立，即：
$\Delta ＞ 0 \iff$ 方程有两个不相等的实数根；
$\Delta = 0 \iff$ 方程有两个相等的实数根；
$\Delta ＜ 0 \iff$ 方程没有实数根。
【答案】
对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0\ (a ≠ 0)$，式子 $b^2 - 4ac$ 叫做一元二次方程根的判别式，记作 $\Delta$，即 $\Delta = b^2 - 4ac$。
根的判别式与方程根的情况的对应关系如下：
1. 当 $\Delta ＞ 0$ 时，方程有两个不相等的实数根：
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，$x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
2. 当 $\Delta = 0$ 时，方程有两个相等的实数根：
$x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}$
3. 当 $\Delta ＜ 0$ 时，方程没有实数根。
对应等价关系：
$\Delta ＞ 0 \iff$ 方程有两个不相等的实数根
$\Delta = 0 \iff$ 方程有两个相等的实数根
$\Delta ＜ 0 \iff$ 方程没有实数根
【知识点】
1. 根的判别式定义
2. 判别式与根的对应关系
【点评】
本部分是一元二次方程的核心基础知识点，是公式法解方程、根据根的情况求参数等高频考点的解题依据，需要准确记忆判别式的定义、三种取值对应的根的情况，注意使用判别式的前提是方程为一元二次方程，避免忽略二次项系数不为0的限制条件出错。
【难度系数】
0.85
本部分是一元二次方程公式法求解的基础内容，学习时首先要明确根的判别式的适用前提是一元二次方程（即二次项系数$a≠0$），先牢记判别式的定义，再逐一梳理判别式的取值和方程根的情况的一一对应关系，同时理解对应关系是双向等价的：既可以通过判别式的取值判断根的情况，也能根据已知的根的情况反推判别式的取值范围，为后续解决相关题型打好基础。
【解析】
1. 判别式定义：对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0\ (a ≠ 0)$，式子 $b^2 - 4ac$ 叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母$\Delta$表示，即 $\Delta = b^2 - 4ac$。
2. 判别式与根的对应关系：
（1）当 $\Delta ＞ 0$ 时，方程有两个不相等的实数根，可通过求根公式得：$x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，$x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$；
（2）当 $\Delta = 0$ 时，方程有两个相等的实数根，即 $x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}$；
（3）当 $\Delta ＜ 0$ 时，负数没有实数平方根，因此方程没有实数根。
3. 等价关系：上述对应关系正反均成立，即：
$\Delta ＞ 0 \iff$ 方程有两个不相等的实数根；
$\Delta = 0 \iff$ 方程有两个相等的实数根；
$\Delta ＜ 0 \iff$ 方程没有实数根。
【答案】
对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0\ (a ≠ 0)$，式子 $b^2 - 4ac$ 叫做一元二次方程根的判别式，记作 $\Delta$，即 $\Delta = b^2 - 4ac$。
根的判别式与方程根的情况的对应关系如下：
1. 当 $\Delta ＞ 0$ 时，方程有两个不相等的实数根：
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，$x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
2. 当 $\Delta = 0$ 时，方程有两个相等的实数根：
$x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}$
3. 当 $\Delta ＜ 0$ 时，方程没有实数根。
对应等价关系：
$\Delta ＞ 0 \iff$ 方程有两个不相等的实数根
$\Delta = 0 \iff$ 方程有两个相等的实数根
$\Delta ＜ 0 \iff$ 方程没有实数根
【知识点】
1. 根的判别式定义
2. 判别式与根的对应关系
【点评】
本部分是一元二次方程的核心基础知识点，是公式法解方程、根据根的情况求参数等高频考点的解题依据，需要准确记忆判别式的定义、三种取值对应的根的情况，注意使用判别式的前提是方程为一元二次方程，避免忽略二次项系数不为0的限制条件出错。
【难度系数】
0.85
例3.利用根的判别式判断下列方程根的情况：
(1)$3x^2 - 5x + 2 = 0$；
解：$\Delta = (-5)^2 - 4×3×2 = 1＞0$，方程有两个不相等的实数根
(2)$5x^2 + 5x = 4x^2 - 10$；
解：$x^2 + 5x + 10 = 0$，$\Delta = 5^2 - 4×1×10 = -15＜0$，方程没有实数根
(3)$x^2 + 2\sqrt{3}x = 3$.
解：$x^2 + 2\sqrt{3}x - 3 = 0$，$\Delta = (2\sqrt{3})^2 - 4×1×(-3) = 24＞0$，方程有两个不相等的实数根
分析：一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$的根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$：当$\Delta＞0$，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta=0$，方程有两个相等的实数根；当$\Delta＜0$，方程没有实数根.可先化为一般式，再计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况.
(1)$3x^2 - 5x + 2 = 0$；
解：$\Delta = (-5)^2 - 4×3×2 = 1＞0$，方程有两个不相等的实数根
(2)$5x^2 + 5x = 4x^2 - 10$；
解：$x^2 + 5x + 10 = 0$，$\Delta = 5^2 - 4×1×10 = -15＜0$，方程没有实数根
(3)$x^2 + 2\sqrt{3}x = 3$.
解：$x^2 + 2\sqrt{3}x - 3 = 0$，$\Delta = (2\sqrt{3})^2 - 4×1×(-3) = 24＞0$，方程有两个不相等的实数根
分析：一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$的根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$：当$\Delta＞0$，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta=0$，方程有两个相等的实数根；当$\Delta＜0$，方程没有实数根.可先化为一般式，再计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况.
答案
解：
(1) 方程$3x^2 - 5x + 2 = 0$是一元二次方程的一般形式，其中$a=3$，$b=-5$，$c=2$，
$\Delta = (-5)^2 - 4×3×2 = 1＞0$，
方程有两个不相等的实数根。
(2) 将方程$5x^2 + 5x = 4x^2 - 10$整理为一般形式：
$x^2 + 5x + 10 = 0$，其中$a=1$，$b=5$，$c=10$，
$\Delta = 5^2 - 4×1×10 = -15＜0$，
方程没有实数根。
(3) 将方程$x^2 + 2\sqrt{3}x = 3$整理为一般形式：
$x^2 + 2\sqrt{3}x - 3 = 0$，其中$a=1$，$b=2\sqrt{3}$，$c=-3$，
$\Delta = (2\sqrt{3})^2 - 4×1×(-3) = 24＞0$，
方程有两个不相等的实数根。
(1) 方程$3x^2 - 5x + 2 = 0$是一元二次方程的一般形式，其中$a=3$，$b=-5$，$c=2$，
$\Delta = (-5)^2 - 4×3×2 = 1＞0$，
方程有两个不相等的实数根。
(2) 将方程$5x^2 + 5x = 4x^2 - 10$整理为一般形式：
$x^2 + 5x + 10 = 0$，其中$a=1$，$b=5$，$c=10$，
$\Delta = 5^2 - 4×1×10 = -15＜0$，
方程没有实数根。
(3) 将方程$x^2 + 2\sqrt{3}x = 3$整理为一般形式：
$x^2 + 2\sqrt{3}x - 3 = 0$，其中$a=1$，$b=2\sqrt{3}$，$c=-3$，
$\Delta = (2\sqrt{3})^2 - 4×1×(-3) = 24＞0$，
方程有两个不相等的实数根。
解析
【分析】
判断一元二次方程根的情况的核心工具是根的判别式，解题思路分为三步：第一步，先将方程整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，只有一般形式才能准确找到对应系数；第二步，确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，注意要带上系数前面的符号；第三步，代入判别式公式$\Delta = b^2-4ac$计算结果，再根据$\Delta$的符号判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。
【解析】
(1) 方程$3x^2 - 5x + 2 = 0$是一元二次方程的一般形式，其中$a=3$，$b=-5$，$c=2$，
$\Delta = (-5)^2 - 4×3×2 = 25-24=1＞0$，
∴方程有两个不相等的实数根。
(2) 将方程$5x^2 + 5x = 4x^2 - 10$移项、合并同类项，整理为一般形式：
$x^2 + 5x + 10 = 0$，其中$a=1$，$b=5$，$c=10$，
$\Delta = 5^2 - 4×1×10 = 25-40=-15＜0$，
∴方程没有实数根。
(3) 将方程$x^2 + 2\sqrt{3}x = 3$移项整理为一般形式：
$x^2 + 2\sqrt{3}x - 3 = 0$，其中$a=1$，$b=2\sqrt{3}$，$c=-3$，
$\Delta = (2\sqrt{3})^2 - 4×1×(-3) = 12+12=24＞0$，
∴方程有两个不相等的实数根。
【答案】
(1) 方程有两个不相等的实数根；
(2) 方程没有实数根；
(3) 方程有两个不相等的实数根。
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是根的判别式应用的基础题型，解题核心是先将方程化为一般形式，准确识别各项系数，计算判别式时要注意符号运算，熟练掌握判别式和根的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
判断一元二次方程根的情况的核心工具是根的判别式，解题思路分为三步：第一步，先将方程整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，只有一般形式才能准确找到对应系数；第二步，确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，注意要带上系数前面的符号；第三步，代入判别式公式$\Delta = b^2-4ac$计算结果，再根据$\Delta$的符号判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。
【解析】
(1) 方程$3x^2 - 5x + 2 = 0$是一元二次方程的一般形式，其中$a=3$，$b=-5$，$c=2$，
$\Delta = (-5)^2 - 4×3×2 = 25-24=1＞0$，
∴方程有两个不相等的实数根。
(2) 将方程$5x^2 + 5x = 4x^2 - 10$移项、合并同类项，整理为一般形式：
$x^2 + 5x + 10 = 0$，其中$a=1$，$b=5$，$c=10$，
$\Delta = 5^2 - 4×1×10 = 25-40=-15＜0$，
∴方程没有实数根。
(3) 将方程$x^2 + 2\sqrt{3}x = 3$移项整理为一般形式：
$x^2 + 2\sqrt{3}x - 3 = 0$，其中$a=1$，$b=2\sqrt{3}$，$c=-3$，
$\Delta = (2\sqrt{3})^2 - 4×1×(-3) = 12+12=24＞0$，
∴方程有两个不相等的实数根。
【答案】
(1) 方程有两个不相等的实数根；
(2) 方程没有实数根；
(3) 方程有两个不相等的实数根。
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是根的判别式应用的基础题型，解题核心是先将方程化为一般形式，准确识别各项系数，计算判别式时要注意符号运算，熟练掌握判别式和根的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
5.一元二次方程$x^2 - 2x + 3 = 0$根的情况是
（
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断
（
C
）A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断
答案
5.C
解析
【分析】
要判断一元二次方程的根的情况，需使用根的判别式$\Delta = b^2-4ac$进行分析，解题步骤如下：第一步，从给定的一元二次方程中准确找出二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，注意要保留系数的符号；第二步，将三个系数代入判别式公式计算出$\Delta$的具体值；第三步，结合判别式的取值与根的对应关系判断结果：$\Delta＞0$对应两个不相等的实数根，$\Delta=0$对应两个相等的实数根，$\Delta＜0$对应没有实数根。
【解析】
解：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式为$\Delta = b^2 - 4ac$。
在方程$x^2 - 2x + 3 = 0$中，$a=1$，$b=-2$，$c=3$，
代入计算得：$\Delta = (-2)^2 - 4×1×3 = 4 - 12 = -8$，
由于$\Delta = -8 ＜ 0$，因此该一元二次方程没有实数根。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式
2.公式法解一元二次方程
【点评】
本题是基础考查题，核心是对根的判别式应用的掌握，只要牢记判别式的计算规则和不同取值对应的根的情况，就能快速准确得出答案。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程的根的情况，需使用根的判别式$\Delta = b^2-4ac$进行分析，解题步骤如下：第一步，从给定的一元二次方程中准确找出二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，注意要保留系数的符号；第二步，将三个系数代入判别式公式计算出$\Delta$的具体值；第三步，结合判别式的取值与根的对应关系判断结果：$\Delta＞0$对应两个不相等的实数根，$\Delta=0$对应两个相等的实数根，$\Delta＜0$对应没有实数根。
【解析】
解：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式为$\Delta = b^2 - 4ac$。
在方程$x^2 - 2x + 3 = 0$中，$a=1$，$b=-2$，$c=3$，
代入计算得：$\Delta = (-2)^2 - 4×1×3 = 4 - 12 = -8$，
由于$\Delta = -8 ＜ 0$，因此该一元二次方程没有实数根。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式
2.公式法解一元二次方程
【点评】
本题是基础考查题，核心是对根的判别式应用的掌握，只要牢记判别式的计算规则和不同取值对应的根的情况，就能快速准确得出答案。
【难度系数】
0.8
6.关于$x$的方程$(a-3)x^2 - 4x - 1 = 0$有两个不相等的实数根，则$a$的取值范围是$\underline{\hspace{5cm}}$.
答案
6.$a＞-1$ 且 $a≠3$
解析
【分析】
要解决这个问题，我们分两步思考：首先，方程有两个不相等的实数根，说明这个方程是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，否则方程就变成一元一次方程，最多只有1个实数根；其次，对于一元二次方程，我们可以用根的判别式判断根的情况，有两个不相等的实数根意味着判别式Δ＞0，我们代入系数计算判别式、解不等式，最后结合两个限制条件就能得到a的取值范围。
【解析】
解：
∵ 关于x的方程有两个不相等的实数根
∴ 该方程为一元二次方程，首先满足二次项系数不为0：
$a-3≠0$，解得 $a≠3$
对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0(A≠0)$，根的判别式$\Delta=B^2-4AC$
本题中$A=a-3$，$B=-4$，$C=-1$，代入得：
$\Delta=(-4)^2 - 4×(a-3)×(-1)=16 + 4(a-3)=4a+4$
∵ 方程有两个不相等的实数根
∴ $\Delta＞0$，即$4a+4＞0$
解得 $a＞-1$
结合二次项系数不为0的条件，最终a的取值范围是$a＞-1$且$a≠3$
【答案】
$a＞-1$ 且 $a≠3$
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式的应用；解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的基础应用题型，易错点是容易忽略二次项系数不为0的隐含条件，仅通过判别式大于0得到$a＞-1$的错误结论，解题时要先确定方程的类型，再结合根的情况列式求解。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们分两步思考：首先，方程有两个不相等的实数根，说明这个方程是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，否则方程就变成一元一次方程，最多只有1个实数根；其次，对于一元二次方程，我们可以用根的判别式判断根的情况，有两个不相等的实数根意味着判别式Δ＞0，我们代入系数计算判别式、解不等式，最后结合两个限制条件就能得到a的取值范围。
【解析】
解：
∵ 关于x的方程有两个不相等的实数根
∴ 该方程为一元二次方程，首先满足二次项系数不为0：
$a-3≠0$，解得 $a≠3$
对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0(A≠0)$，根的判别式$\Delta=B^2-4AC$
本题中$A=a-3$，$B=-4$，$C=-1$，代入得：
$\Delta=(-4)^2 - 4×(a-3)×(-1)=16 + 4(a-3)=4a+4$
∵ 方程有两个不相等的实数根
∴ $\Delta＞0$，即$4a+4＞0$
解得 $a＞-1$
结合二次项系数不为0的条件，最终a的取值范围是$a＞-1$且$a≠3$
【答案】
$a＞-1$ 且 $a≠3$
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式的应用；解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的基础应用题型，易错点是容易忽略二次项系数不为0的隐含条件，仅通过判别式大于0得到$a＞-1$的错误结论，解题时要先确定方程的类型，再结合根的情况列式求解。
【难度系数】
0.6
7.关于 $ x $ 的方程 $ x^2 - 2x + 2m - 1 = 0 $ 有实数根，且 $ m $ 为正整数，求 $ m $ 的值及此时方程的根.
答案
7.$\because$ 关于 $x$ 的方程$x^2 - 2x + 2m - 1 = 0$ 有实数根，$\therefore b^2 - 4ac = 4 - 4(2m - 1)≥ 0$，解得$m≤ 1$，$\because m$ 为正整数，$\therefore m = 1$，$\therefore x^2 - 2x + 1 = 0$，则$(x - 1)^2 = 0$，解得$x_1 = x_2 = 1$
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以分三步思考：第一步，一元二次方程有实数根的前提是判别式Δ≥0，我们先确定方程中a、b、c的取值，代入判别式得到关于m的不等式；第二步，解不等式得到m的取值范围，再结合m是正整数的条件，就能确定m的具体值；第三步，把求得的m值代入原方程，解一元二次方程即可得到对应的根。
【解析】
∵ 关于$x$的方程$x^2 - 2x + 2m - 1 = 0$有实数根，
∴ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，其中$a=1$，$b=-2$，$c=2m-1$，
代入得：$(-2)^2 - 4×1×(2m - 1) ≥ 0$，
计算化简：$4 - 4(2m - 1) ≥ 0$，
解得$m ≤ 1$，
∵ $m$为正整数，
∴ $m = 1$，
将$m=1$代入原方程得$x^2 - 2x + 1 = 0$，
因式分解得$(x - 1)^2 = 0$，
解得$x_1 = x_2 = 1$。
【答案】
$m$的值为1，此时方程的根为$x_1=x_2=1$
【知识点】
根的判别式，解一元二次方程，不等式求解
【点评】
本题属于基础综合题，核心考查一元二次方程根的判别式的应用，同时结合参数的限定条件求值，解题时要注意不要遗漏题目给出的参数限制条件，熟练掌握判别式和方程根的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以分三步思考：第一步，一元二次方程有实数根的前提是判别式Δ≥0，我们先确定方程中a、b、c的取值，代入判别式得到关于m的不等式；第二步，解不等式得到m的取值范围，再结合m是正整数的条件，就能确定m的具体值；第三步，把求得的m值代入原方程，解一元二次方程即可得到对应的根。
【解析】
∵ 关于$x$的方程$x^2 - 2x + 2m - 1 = 0$有实数根，
∴ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，其中$a=1$，$b=-2$，$c=2m-1$，
代入得：$(-2)^2 - 4×1×(2m - 1) ≥ 0$，
计算化简：$4 - 4(2m - 1) ≥ 0$，
解得$m ≤ 1$，
∵ $m$为正整数，
∴ $m = 1$，
将$m=1$代入原方程得$x^2 - 2x + 1 = 0$，
因式分解得$(x - 1)^2 = 0$，
解得$x_1 = x_2 = 1$。
【答案】
$m$的值为1，此时方程的根为$x_1=x_2=1$
【知识点】
根的判别式，解一元二次方程，不等式求解
【点评】
本题属于基础综合题，核心考查一元二次方程根的判别式的应用，同时结合参数的限定条件求值，解题时要注意不要遗漏题目给出的参数限制条件，熟练掌握判别式和方程根的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8
