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例1.用公式法解一元二次方程$2x^2 + 3x = 1$时,化方程为一般式当中的$a,b,c$的值依次为 （）
A.$2,-3,1$
B.$2,3,-1$
C.$-2,-3,-1$
D.$-2,3,1$
分析:先把方程化为一元二次方程的一般形式,再确定$a,b,c$.
解:∵方程$2x^2 + 3x = 1$化为一般形式为$2x^2 + 3x - 1 = 0$,∴$a = 2,b = 3,c = -1$.故选:B.
A.$2,-3,1$
B.$2,3,-1$
C.$-2,-3,-1$
D.$-2,3,1$
分析:先把方程化为一元二次方程的一般形式,再确定$a,b,c$.
解:∵方程$2x^2 + 3x = 1$化为一般形式为$2x^2 + 3x - 1 = 0$,∴$a = 2,b = 3,c = -1$.故选:B.
答案
解：
将方程$2x^2 + 3x = 1$整理为一元二次方程的一般形式：
$2x^2 + 3x - 1 = 0$
对比一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，可得$a=2$，$b=3$，$c=-1$。
故选：B。
将方程$2x^2 + 3x = 1$整理为一元二次方程的一般形式：
$2x^2 + 3x - 1 = 0$
对比一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，可得$a=2$，$b=3$，$c=-1$。
故选：B。
解析
【分析】
要确定一元二次方程一般式中的a、b、c，首先需回忆一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，因此第一步要将给定方程转化为右边为0的一般形式，移项时注意符号变化，再对应匹配二次项系数a、一次项系数b、常数项c即可。
【解析】
首先将方程$2x^2 + 3x = 1$整理为一元二次方程的一般形式，将等号右侧的1移到左侧，得：
$2x^2 + 3x - 1 = 0$
对比一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，可得二次项系数$a=2$，一次项系数$b=3$，常数项$c=-1$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 一元二次方程系数识别
【点评】
本题是基础类题型，主要考查一元二次方程一般形式的转化和各项系数的确定，解题的易错点是移项时忽略符号变化，导致常数项符号判断错误。
【难度系数】
0.9
要确定一元二次方程一般式中的a、b、c，首先需回忆一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，因此第一步要将给定方程转化为右边为0的一般形式，移项时注意符号变化，再对应匹配二次项系数a、一次项系数b、常数项c即可。
【解析】
首先将方程$2x^2 + 3x = 1$整理为一元二次方程的一般形式，将等号右侧的1移到左侧，得：
$2x^2 + 3x - 1 = 0$
对比一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，可得二次项系数$a=2$，一次项系数$b=3$，常数项$c=-1$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 一元二次方程系数识别
【点评】
本题是基础类题型，主要考查一元二次方程一般形式的转化和各项系数的确定，解题的易错点是移项时忽略符号变化，导致常数项符号判断错误。
【难度系数】
0.9
例2.解方程:
(1)$x^2 - 6x - 3 = 0$;
解:$\because a=1,b=-6,c=-3,b^2 - 4ac=36 - 4 × 1 × (-3)=36 + 12 = 48, \therefore x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{48}}{2 × 1} = 3 \pm 2\sqrt{3},$
$\therefore x_1 = 3 + 2\sqrt{3}, x_2 = 3 - 2\sqrt{3}$
(2)$2x^2 + 5x = 3$.
解:$\because a=2,b=5,c=-3, \mathrm{又} \ b^2 - 4ac = 49＞0, \therefore x = \frac{-5 \pm 7}{4}, \therefore x_1 = \frac{1}{2}, x_2 = -3$
分析:(1)先找出$a,b,c$,求出$b^2 - 4ac$的值,再代入求根公式求解.
(2)先把方程整理为一般形式,再找出$a,b,c$的值,计算出$b^2 - 4ac$大于0,最后代入求根公式求解.
(1)$x^2 - 6x - 3 = 0$;
解:$\because a=1,b=-6,c=-3,b^2 - 4ac=36 - 4 × 1 × (-3)=36 + 12 = 48, \therefore x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{48}}{2 × 1} = 3 \pm 2\sqrt{3},$
$\therefore x_1 = 3 + 2\sqrt{3}, x_2 = 3 - 2\sqrt{3}$
(2)$2x^2 + 5x = 3$.
解:$\because a=2,b=5,c=-3, \mathrm{又} \ b^2 - 4ac = 49＞0, \therefore x = \frac{-5 \pm 7}{4}, \therefore x_1 = \frac{1}{2}, x_2 = -3$
分析:(1)先找出$a,b,c$,求出$b^2 - 4ac$的值,再代入求根公式求解.
(2)先把方程整理为一般形式,再找出$a,b,c$的值,计算出$b^2 - 4ac$大于0,最后代入求根公式求解.
答案
解：
(1) $\because a=1, b=-6, c=-3$，
$b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4×1×(-3) = 36 + 12 = 48$，
$\therefore x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{48}}{2×1} = 3 \pm 2\sqrt{3}$，
$\therefore x_1 = 3 + 2\sqrt{3},\ x_2 = 3 - 2\sqrt{3}$。
(2) 将方程整理为一般形式得 $2x^2 + 5x - 3 = 0$，
$\because a=2, b=5, c=-3$，
$b^2 - 4ac = 5^2 - 4×2×(-3) = 25 + 24 = 49 ＞ 0$，
$\therefore x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-5 \pm 7}{4}$，
$\therefore x_1 = \frac{1}{2},\ x_2 = -3$。
(1) $\because a=1, b=-6, c=-3$，
$b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4×1×(-3) = 36 + 12 = 48$，
$\therefore x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{48}}{2×1} = 3 \pm 2\sqrt{3}$，
$\therefore x_1 = 3 + 2\sqrt{3},\ x_2 = 3 - 2\sqrt{3}$。
(2) 将方程整理为一般形式得 $2x^2 + 5x - 3 = 0$，
$\because a=2, b=5, c=-3$，
$b^2 - 4ac = 5^2 - 4×2×(-3) = 25 + 24 = 49 ＞ 0$，
$\therefore x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-5 \pm 7}{4}$，
$\therefore x_1 = \frac{1}{2},\ x_2 = -3$。
解析
【分析】
这两道题考查用公式法求解一元二次方程，解题思路遵循公式法的固定步骤：首先判断方程是否为$ax^2+bx+c=0(a\ne0)$的一般形式，若不是则先通过移项变形为一般形式；再准确确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的取值，注意不要漏掉系数的符号；接着计算判别式$\Delta=b^2-4ac$的值，判断方程是否有实数根；最后若$\Delta\ge0$，将$a、b、\Delta$的值代入求根公式计算，化简得到方程的根即可。
【解析】
(1) 方程$x^2 - 6x - 3 = 0$为一般形式，
$\because a=1, b=-6, c=-3$，
$b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4×1×(-3) = 36 + 12 = 48$，
$\therefore x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{48}}{2×1} = 3 \pm 2\sqrt{3}$，
$\therefore x_1 = 3 + 2\sqrt{3},\ x_2 = 3 - 2\sqrt{3}$。
(2) 将方程$2x^2 + 5x = 3$整理为一般形式得 $2x^2 + 5x - 3 = 0$，
$\because a=2, b=5, c=-3$，
$b^2 - 4ac = 5^2 - 4×2×(-3) = 25 + 24 = 49 ＞ 0$，
$\therefore x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-5 \pm 7}{4}$，
$\therefore x_1 = \frac{1}{2},\ x_2 = -3$。
【答案】
(1)$x_1 = 3 + 2\sqrt{3}, x_2 = 3 - 2\sqrt{3}$；(2)$x_1 = \frac{1}{2}, x_2 = -3$
【知识点】
公式法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，一元二次方程一般形式
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础题型，解题核心是严格遵循公式法的步骤操作，尤其要注意先把方程化为一般形式再确定系数，需格外留意系数的正负号，避免因符号错误导致计算失误，熟练掌握求根公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
这两道题考查用公式法求解一元二次方程，解题思路遵循公式法的固定步骤：首先判断方程是否为$ax^2+bx+c=0(a\ne0)$的一般形式，若不是则先通过移项变形为一般形式；再准确确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的取值，注意不要漏掉系数的符号；接着计算判别式$\Delta=b^2-4ac$的值，判断方程是否有实数根；最后若$\Delta\ge0$，将$a、b、\Delta$的值代入求根公式计算，化简得到方程的根即可。
【解析】
(1) 方程$x^2 - 6x - 3 = 0$为一般形式，
$\because a=1, b=-6, c=-3$，
$b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4×1×(-3) = 36 + 12 = 48$，
$\therefore x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{48}}{2×1} = 3 \pm 2\sqrt{3}$，
$\therefore x_1 = 3 + 2\sqrt{3},\ x_2 = 3 - 2\sqrt{3}$。
(2) 将方程$2x^2 + 5x = 3$整理为一般形式得 $2x^2 + 5x - 3 = 0$，
$\because a=2, b=5, c=-3$，
$b^2 - 4ac = 5^2 - 4×2×(-3) = 25 + 24 = 49 ＞ 0$，
$\therefore x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-5 \pm 7}{4}$，
$\therefore x_1 = \frac{1}{2},\ x_2 = -3$。
【答案】
(1)$x_1 = 3 + 2\sqrt{3}, x_2 = 3 - 2\sqrt{3}$；(2)$x_1 = \frac{1}{2}, x_2 = -3$
【知识点】
公式法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，一元二次方程一般形式
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础题型，解题核心是严格遵循公式法的步骤操作，尤其要注意先把方程化为一般形式再确定系数，需格外留意系数的正负号，避免因符号错误导致计算失误，熟练掌握求根公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
1.用公式法解方程 $x^2 - 2 = -3x$ 时，$a,b,c$ 的值依次是 （
A.$0,-2,-3$
B.$1,3,-2$
C.$1,-3,-2$
D.$1,-2,-3$
B
）A.$0,-2,-3$
B.$1,3,-2$
C.$1,-3,-2$
D.$1,-2,-3$
答案
1.B
解析
【分析】
要确定一元二次方程中$a,b,c$的值，首先需要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）。解题时首先将给定方程通过移项整理为一般形式，再对应找出二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$即可，注意确定系数时要带上每项前面的符号。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2 + bx + c = 0$（$a$是二次项系数且$a≠0$，$b$是一次项系数，$c$是常数项）。
对原方程进行整理：
原方程$x^2 - 2 = -3x$，将右侧的$-3x$移到等号左侧（移项要变号），可得：
$x^2 + 3x - 2 = 0$
对应一般形式，可得$a=1$，$b=3$，$c=-2$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1.一元二次方程的一般形式
2.一元二次方程系数识别
3.等式移项规则
【点评】
本题是一元二次方程公式法的基础考查题，核心易错点是整理方程时移项未变号、确定系数时漏带符号，熟练掌握方程整理步骤即可正确作答。
【难度系数】
0.9
要确定一元二次方程中$a,b,c$的值，首先需要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）。解题时首先将给定方程通过移项整理为一般形式，再对应找出二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$即可，注意确定系数时要带上每项前面的符号。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2 + bx + c = 0$（$a$是二次项系数且$a≠0$，$b$是一次项系数，$c$是常数项）。
对原方程进行整理：
原方程$x^2 - 2 = -3x$，将右侧的$-3x$移到等号左侧（移项要变号），可得：
$x^2 + 3x - 2 = 0$
对应一般形式，可得$a=1$，$b=3$，$c=-2$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1.一元二次方程的一般形式
2.一元二次方程系数识别
3.等式移项规则
【点评】
本题是一元二次方程公式法的基础考查题，核心易错点是整理方程时移项未变号、确定系数时漏带符号，熟练掌握方程整理步骤即可正确作答。
【难度系数】
0.9
2.方程$3x^2 -5x +1=0$的解,正确的是（
A.$x=\frac{-5\pm\sqrt{13}}{6}$
B.$x=\frac{5\pm\sqrt{13}}{6}$
C.$x=\frac{-5\pm\sqrt{13}}{3}$
D.$x=\frac{5\pm\sqrt{13}}{3}$
B
）A.$x=\frac{-5\pm\sqrt{13}}{6}$
B.$x=\frac{5\pm\sqrt{13}}{6}$
C.$x=\frac{-5\pm\sqrt{13}}{3}$
D.$x=\frac{5\pm\sqrt{13}}{3}$
答案
2.B
解析
【分析】
本题要求用公式法求解一元二次方程的根，解题思路如下：首先观察选项均为求根公式的形式，因此确定使用公式法解题。第一步：确认方程为一元二次方程的一般形式，准确提取二次项系数a、一次项系数b、常数项c，注意系数要保留本身的符号；第二步：计算判别式Δ=b²-4ac，验证方程是否有实数根，本题Δ结果为正，存在两个不相等的实数根；第三步：将a、b、Δ的值代入一元二次方程求根公式，计算得到结果后匹配选项即可，计算时要注意-b的符号不要出错。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当$\Delta=b^2-4ac≥0$时，求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
已知方程$3x^2 -5x +1=0$，可得：
$a=3$，$b=-5$，$c=1$
先计算判别式：
$\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4×3×1=25-12=13＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式：
$x=\frac{-(-5)\pm\sqrt{13}}{2×3}=\frac{5\pm\sqrt{13}}{6}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1.一元二次方程求根公式
2.公式法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，核心考查对求根公式的掌握程度，解题的易错点是容易忽略一次项系数的符号，导致计算$-b$时出错，平时练习时要养成先确认系数符号再计算的习惯。
【难度系数】
0.8
本题要求用公式法求解一元二次方程的根，解题思路如下：首先观察选项均为求根公式的形式，因此确定使用公式法解题。第一步：确认方程为一元二次方程的一般形式，准确提取二次项系数a、一次项系数b、常数项c，注意系数要保留本身的符号；第二步：计算判别式Δ=b²-4ac，验证方程是否有实数根，本题Δ结果为正，存在两个不相等的实数根；第三步：将a、b、Δ的值代入一元二次方程求根公式，计算得到结果后匹配选项即可，计算时要注意-b的符号不要出错。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当$\Delta=b^2-4ac≥0$时，求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
已知方程$3x^2 -5x +1=0$，可得：
$a=3$，$b=-5$，$c=1$
先计算判别式：
$\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4×3×1=25-12=13＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式：
$x=\frac{-(-5)\pm\sqrt{13}}{2×3}=\frac{5\pm\sqrt{13}}{6}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1.一元二次方程求根公式
2.公式法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，核心考查对求根公式的掌握程度，解题的易错点是容易忽略一次项系数的符号，导致计算$-b$时出错，平时练习时要养成先确认系数符号再计算的习惯。
【难度系数】
0.8
