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5.解方程：
(1)$x^2 - 5x - 6 = 0$；
(2)$x(x - 2) = x - 2$；
(3)$y^2 + 2 = 2\sqrt{2}y$；
(4)$(x + 7)(x + 1) = -5$.
(1)$x^2 - 5x - 6 = 0$；
(2)$x(x - 2) = x - 2$；
(3)$y^2 + 2 = 2\sqrt{2}y$；
(4)$(x + 7)(x + 1) = -5$.
答案
5.(1)$x_1=6,x_2=-1$
(2)$x_1=2,x_2=1$
(3)$y_1=y_2=\sqrt{2}$
(4)$x_1=-2,x_2=-6$
(2)$x_1=2,x_2=1$
(3)$y_1=y_2=\sqrt{2}$
(4)$x_1=-2,x_2=-6$
解析
【分析】
这四道题均为一元二次方程求解，均适用因式分解法解题，统一思路为：①先将方程整理为等号右侧为0的标准形式；②将左侧多项式分解为两个一次因式的乘积；③根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，转化为两个一元一次方程；④分别解一元一次方程得到原方程的根。不同题目对应不同因式分解方法：(1)用十字相乘法分解二次三项式；(2)先移项再提取公因式分解；(3)移项后用完全平方公式分解；(4)先展开整理为标准形式再用十字相乘法分解。
【解析】
(1) 对$x^2 - 5x - 6 = 0$用十字相乘法分解左侧：
将常数项-6拆为-6和1，二者和为一次项系数-5，可得$(x-6)(x+1)=0$
令每个因式为0，得$x-6=0$或$x+1=0$，解得$x_1=6,x_2=-1$。
(2) 对$x(x - 2) = x - 2$先移项，将右侧整体移到左侧：
得$x(x-2)-(x-2)=0$，提取公因式$(x-2)$，可得$(x-2)(x-1)=0$
令每个因式为0，得$x-2=0$或$x-1=0$，解得$x_1=2,x_2=1$。
(3) 对$y^2 + 2 = 2\sqrt{2}y$先移项整理为标准形式：
得$y^2 -2\sqrt{2}y +2=0$，左侧符合完全平方公式，即$(y-\sqrt{2})^2=0$
令因式为0，得$y-\sqrt{2}=0$，解得$y_1=y_2=\sqrt{2}$。
(4) 对$(x + 7)(x + 1) = -5$先展开左侧再整理为标准形式：
展开得$x^2+8x+7=-5$，移项合并得$x^2+8x+12=0$
用十字相乘法分解，常数项12拆为2和6，二者和为一次项系数8，可得$(x+2)(x+6)=0$
令每个因式为0，得$x+2=0$或$x+6=0$，解得$x_1=-2,x_2=-6$。
【答案】
(1)$x_1=6,x_2=-1$
(2)$x_1=2,x_2=1$
(3)$y_1=y_2=\sqrt{2}$
(4)$x_1=-2,x_2=-6$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程，十字相乘法因式分解，提公因式法因式分解
【点评】
这组题目覆盖了因式分解法解一元二次方程的常见场景，结合了提公因式、十字相乘、完全平方公式等多种因式分解方法，解题时需注意不要随意两边除以含未知数的整式，避免漏根，分解前要先将方程整理为右侧为0的标准形式。
【难度系数】
0.7
这四道题均为一元二次方程求解，均适用因式分解法解题，统一思路为：①先将方程整理为等号右侧为0的标准形式；②将左侧多项式分解为两个一次因式的乘积；③根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，转化为两个一元一次方程；④分别解一元一次方程得到原方程的根。不同题目对应不同因式分解方法：(1)用十字相乘法分解二次三项式；(2)先移项再提取公因式分解；(3)移项后用完全平方公式分解；(4)先展开整理为标准形式再用十字相乘法分解。
【解析】
(1) 对$x^2 - 5x - 6 = 0$用十字相乘法分解左侧：
将常数项-6拆为-6和1，二者和为一次项系数-5，可得$(x-6)(x+1)=0$
令每个因式为0，得$x-6=0$或$x+1=0$，解得$x_1=6,x_2=-1$。
(2) 对$x(x - 2) = x - 2$先移项，将右侧整体移到左侧：
得$x(x-2)-(x-2)=0$，提取公因式$(x-2)$，可得$(x-2)(x-1)=0$
令每个因式为0，得$x-2=0$或$x-1=0$，解得$x_1=2,x_2=1$。
(3) 对$y^2 + 2 = 2\sqrt{2}y$先移项整理为标准形式：
得$y^2 -2\sqrt{2}y +2=0$，左侧符合完全平方公式，即$(y-\sqrt{2})^2=0$
令因式为0，得$y-\sqrt{2}=0$，解得$y_1=y_2=\sqrt{2}$。
(4) 对$(x + 7)(x + 1) = -5$先展开左侧再整理为标准形式：
展开得$x^2+8x+7=-5$，移项合并得$x^2+8x+12=0$
用十字相乘法分解，常数项12拆为2和6，二者和为一次项系数8，可得$(x+2)(x+6)=0$
令每个因式为0，得$x+2=0$或$x+6=0$，解得$x_1=-2,x_2=-6$。
【答案】
(1)$x_1=6,x_2=-1$
(2)$x_1=2,x_2=1$
(3)$y_1=y_2=\sqrt{2}$
(4)$x_1=-2,x_2=-6$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程，十字相乘法因式分解，提公因式法因式分解
【点评】
这组题目覆盖了因式分解法解一元二次方程的常见场景，结合了提公因式、十字相乘、完全平方公式等多种因式分解方法，解题时需注意不要随意两边除以含未知数的整式，避免漏根，分解前要先将方程整理为右侧为0的标准形式。
【难度系数】
0.7
例4.用适当的方法解方程：
(1)$(x-1)^2=2$；
解:$x-1=\pm\sqrt{2},\therefore x_1=1+\sqrt{2},x_2=1-\sqrt{2}$
(2)$(x-3)^2=2(x-3)$；
解:$(x-3)^2-2(x-3)=0,(x-3)(x-3-2)=0,x-3=0$或$x-5=0,x_1=3,x_2=5$
(3)$x^2+5x+6=0$；
解:$x^2+(2+3)x+2×3=0,(x+2)(x+3)=0,\therefore x_1=-2,x_2=-3$
(4)$2x^2-3x-2=0$.
解:$a=2,b=-3,c=-2,\Delta=b^2-4ac=9+16=25＞0,\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{3\pm\sqrt{25}}{2×2},\therefore x_1=2,x_2=-\frac{1}{2}$
分析:(1)用直接开平方法解一元二次方程即可;(2)先移项,再提公因式,解方程即可;(3)用因式分解法解一元二次方程即可;(4)用公式法解一元二次方程即可.
(1)$(x-1)^2=2$；
解:$x-1=\pm\sqrt{2},\therefore x_1=1+\sqrt{2},x_2=1-\sqrt{2}$
(2)$(x-3)^2=2(x-3)$；
解:$(x-3)^2-2(x-3)=0,(x-3)(x-3-2)=0,x-3=0$或$x-5=0,x_1=3,x_2=5$
(3)$x^2+5x+6=0$；
解:$x^2+(2+3)x+2×3=0,(x+2)(x+3)=0,\therefore x_1=-2,x_2=-3$
(4)$2x^2-3x-2=0$.
解:$a=2,b=-3,c=-2,\Delta=b^2-4ac=9+16=25＞0,\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{3\pm\sqrt{25}}{2×2},\therefore x_1=2,x_2=-\frac{1}{2}$
分析:(1)用直接开平方法解一元二次方程即可;(2)先移项,再提公因式,解方程即可;(3)用因式分解法解一元二次方程即可;(4)用公式法解一元二次方程即可.
答案
解：
(1) $(x-1)^2=2$
直接开平方，得
$x-1=\pm\sqrt{2}$
$\therefore x_1=1+\sqrt{2},\ x_2=1-\sqrt{2}$
(2) $(x-3)^2=2(x-3)$
移项，得
$(x-3)^2-2(x-3)=0$
提取公因式，得
$(x-3)(x-3-2)=0$
$\therefore x-3=0$或$x-5=0$
$\therefore x_1=3,\ x_2=5$
(3) $x^2+5x+6=0$
因式分解，得
$(x+2)(x+3)=0$
$\therefore x+2=0$或$x+3=0$
$\therefore x_1=-2,\ x_2=-3$
(4) $2x^2-3x-2=0$
其中$a=2,\ b=-3,\ c=-2$
$\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4×2×(-2)=9+16=25＞0$
$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{3\pm\sqrt{25}}{2×2}$
$\therefore x_1=2,\ x_2=-\frac{1}{2}$
(1) $(x-1)^2=2$
直接开平方，得
$x-1=\pm\sqrt{2}$
$\therefore x_1=1+\sqrt{2},\ x_2=1-\sqrt{2}$
(2) $(x-3)^2=2(x-3)$
移项，得
$(x-3)^2-2(x-3)=0$
提取公因式，得
$(x-3)(x-3-2)=0$
$\therefore x-3=0$或$x-5=0$
$\therefore x_1=3,\ x_2=5$
(3) $x^2+5x+6=0$
因式分解，得
$(x+2)(x+3)=0$
$\therefore x+2=0$或$x+3=0$
$\therefore x_1=-2,\ x_2=-3$
(4) $2x^2-3x-2=0$
其中$a=2,\ b=-3,\ c=-2$
$\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4×2×(-2)=9+16=25＞0$
$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{3\pm\sqrt{25}}{2×2}$
$\therefore x_1=2,\ x_2=-\frac{1}{2}$
解析
【分析】
解一元二次方程需先观察方程结构特征，选择最简便的解法：(1)方程左边是含未知数的完全平方形式，右边为正的常数，适合用直接开平方法，开方降次为一元一次方程即可求解；(2)方程左右两边都有公因式$(x-3)$，直接除以公因式会漏根，因此先移项再提取公因式，用因式分解法求解；(3)方程左边的二次三项式可通过十字相乘因式分解为两个一次式的乘积，用因式分解法求解更快捷；(4)方程为一元二次方程一般形式，因式分解不直观时可选用公式法，先算判别式判断根的情况，再代入求根公式求解。
【解析】
(1) $(x-1)^2=2$
直接开平方，得
$x-1=\pm\sqrt{2}$
$\therefore x_1=1+\sqrt{2},\ x_2=1-\sqrt{2}$
(2) $(x-3)^2=2(x-3)$
移项，得
$(x-3)^2-2(x-3)=0$
提取公因式，得
$(x-3)(x-3-2)=0$
$\therefore x-3=0$或$x-5=0$
$\therefore x_1=3,\ x_2=5$
(3) $x^2+5x+6=0$
因式分解，得
$(x+2)(x+3)=0$
$\therefore x+2=0$或$x+3=0$
$\therefore x_1=-2,\ x_2=-3$
(4) $2x^2-3x-2=0$
其中$a=2,\ b=-3,\ c=-2$
$\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4×2×(-2)=9+16=25＞0$
$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{3\pm\sqrt{25}}{2×2}$
$\therefore x_1=2,\ x_2=-\frac{1}{2}$
【答案】
(1) $x_1=1+\sqrt{2},x_2=1-\sqrt{2}$；
(2) $x_1=3,x_2=5$；
(3) $x_1=-2,x_2=-3$；
(4) $x_1=2,x_2=-\frac{1}{2}$
【知识点】
一元二次方程的解法，因式分解法，公式法
【点评】
本题考查一元二次方程解法的灵活运用，解题时要结合方程的结构特征选择最优解法，注意处理含公因式的方程时不可随意约去公因式，避免出现漏根的错误。
【难度系数】
0.8
解一元二次方程需先观察方程结构特征，选择最简便的解法：(1)方程左边是含未知数的完全平方形式，右边为正的常数，适合用直接开平方法，开方降次为一元一次方程即可求解；(2)方程左右两边都有公因式$(x-3)$，直接除以公因式会漏根，因此先移项再提取公因式，用因式分解法求解；(3)方程左边的二次三项式可通过十字相乘因式分解为两个一次式的乘积，用因式分解法求解更快捷；(4)方程为一元二次方程一般形式，因式分解不直观时可选用公式法，先算判别式判断根的情况，再代入求根公式求解。
【解析】
(1) $(x-1)^2=2$
直接开平方，得
$x-1=\pm\sqrt{2}$
$\therefore x_1=1+\sqrt{2},\ x_2=1-\sqrt{2}$
(2) $(x-3)^2=2(x-3)$
移项，得
$(x-3)^2-2(x-3)=0$
提取公因式，得
$(x-3)(x-3-2)=0$
$\therefore x-3=0$或$x-5=0$
$\therefore x_1=3,\ x_2=5$
(3) $x^2+5x+6=0$
因式分解，得
$(x+2)(x+3)=0$
$\therefore x+2=0$或$x+3=0$
$\therefore x_1=-2,\ x_2=-3$
(4) $2x^2-3x-2=0$
其中$a=2,\ b=-3,\ c=-2$
$\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4×2×(-2)=9+16=25＞0$
$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{3\pm\sqrt{25}}{2×2}$
$\therefore x_1=2,\ x_2=-\frac{1}{2}$
【答案】
(1) $x_1=1+\sqrt{2},x_2=1-\sqrt{2}$；
(2) $x_1=3,x_2=5$；
(3) $x_1=-2,x_2=-3$；
(4) $x_1=2,x_2=-\frac{1}{2}$
【知识点】
一元二次方程的解法，因式分解法，公式法
【点评】
本题考查一元二次方程解法的灵活运用，解题时要结合方程的结构特征选择最优解法，注意处理含公因式的方程时不可随意约去公因式，避免出现漏根的错误。
【难度系数】
0.8
6.用适当的方法解方程：
(1)$x^{2}+8x=3$；
(2)$2x^{2}+3x=1$；
(3)$2y^{2}-4\sqrt{2}y=0$；
(4)$x^{2}-5x-14=0$。
(1)$x^{2}+8x=3$；
(2)$2x^{2}+3x=1$；
(3)$2y^{2}-4\sqrt{2}y=0$；
(4)$x^{2}-5x-14=0$。
答案
6.(1)$x_1=-4+\sqrt{19},x_2=-4-\sqrt{19}$
(2)$x_1=\frac{-3+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{-3-\sqrt{17}}{4}$
(3)$y_1=0,y_2=2\sqrt{2}$
(4)$x_1=7,x_2=-2$
(2)$x_1=\frac{-3+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{-3-\sqrt{17}}{4}$
(3)$y_1=0,y_2=2\sqrt{2}$
(4)$x_1=7,x_2=-2$
解析
【分析】
解一元二次方程可根据方程形式优先选择简便方法：若方程易因式分解（含公因式、可十字相乘）优先选因式分解法；若一次项系数为偶数可优先选配方法；其他情况可选用公式法，用公式法前需先计算判别式判断根的情况。具体各题思路：(1)方程左边二次项系数为1，一次项系数是偶数，适合用配方法求解；(2)方程化为标准形式后不易因式分解，适合用公式法求解；(3)左边有公因式，优先用因式分解法；(4)二次三项式可十字相乘分解，优先用因式分解法。
【解析】
(1) 用配方法求解：
对$x^2+8x=3$两边同时加16，使左边构成完全平方式：
$x^2+8x+16=3+16$
即$(x+4)^2=19$
开平方得$x+4=\pm\sqrt{19}$
解得$x_1=-4+\sqrt{19}$，$x_2=-4-\sqrt{19}$
(2) 用公式法求解：
先移项化为一元二次方程标准形式：$2x^2+3x-1=0$
其中$a=2$，$b=3$，$c=-1$
计算判别式$\Delta=b^2-4ac=3^2-4×2×(-1)=17＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得$x=\frac{-3\pm\sqrt{17}}{4}$
即$x_1=\frac{-3+\sqrt{17}}{4}$，$x_2=\frac{-3-\sqrt{17}}{4}$
(3) 用因式分解法求解：
对$2y^2-4\sqrt{2}y=0$提取公因式$2y$，得：
$2y(y-2\sqrt{2})=0$
则$2y=0$或$y-2\sqrt{2}=0$
解得$y_1=0$，$y_2=2\sqrt{2}$
(4) 用因式分解法（十字相乘法）求解：
对$x^2-5x-14=0$十字相乘分解，常数项-14分解为-7和2，和为-5等于一次项系数，因此：
$(x-7)(x+2)=0$
则$x-7=0$或$x+2=0$
解得$x_1=7$，$x_2=-2$
【答案】
(1)$x_1=-4+\sqrt{19},x_2=-4-\sqrt{19}$
(2)$x_1=\frac{-3+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{-3-\sqrt{17}}{4}$
(3)$y_1=0,y_2=2\sqrt{2}$
(4)$x_1=7,x_2=-2$
【知识点】
配方法解一元二次方程，公式法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程的多种解法，解题时结合方程特征灵活选择最优解法可有效减少计算量；计算时注意开平方不要遗漏负根，使用公式法前要先验证判别式是否非负，因式分解需保证变形准确。
【难度系数】
0.8
解一元二次方程可根据方程形式优先选择简便方法：若方程易因式分解（含公因式、可十字相乘）优先选因式分解法；若一次项系数为偶数可优先选配方法；其他情况可选用公式法，用公式法前需先计算判别式判断根的情况。具体各题思路：(1)方程左边二次项系数为1，一次项系数是偶数，适合用配方法求解；(2)方程化为标准形式后不易因式分解，适合用公式法求解；(3)左边有公因式，优先用因式分解法；(4)二次三项式可十字相乘分解，优先用因式分解法。
【解析】
(1) 用配方法求解：
对$x^2+8x=3$两边同时加16，使左边构成完全平方式：
$x^2+8x+16=3+16$
即$(x+4)^2=19$
开平方得$x+4=\pm\sqrt{19}$
解得$x_1=-4+\sqrt{19}$，$x_2=-4-\sqrt{19}$
(2) 用公式法求解：
先移项化为一元二次方程标准形式：$2x^2+3x-1=0$
其中$a=2$，$b=3$，$c=-1$
计算判别式$\Delta=b^2-4ac=3^2-4×2×(-1)=17＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得$x=\frac{-3\pm\sqrt{17}}{4}$
即$x_1=\frac{-3+\sqrt{17}}{4}$，$x_2=\frac{-3-\sqrt{17}}{4}$
(3) 用因式分解法求解：
对$2y^2-4\sqrt{2}y=0$提取公因式$2y$，得：
$2y(y-2\sqrt{2})=0$
则$2y=0$或$y-2\sqrt{2}=0$
解得$y_1=0$，$y_2=2\sqrt{2}$
(4) 用因式分解法（十字相乘法）求解：
对$x^2-5x-14=0$十字相乘分解，常数项-14分解为-7和2，和为-5等于一次项系数，因此：
$(x-7)(x+2)=0$
则$x-7=0$或$x+2=0$
解得$x_1=7$，$x_2=-2$
【答案】
(1)$x_1=-4+\sqrt{19},x_2=-4-\sqrt{19}$
(2)$x_1=\frac{-3+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{-3-\sqrt{17}}{4}$
(3)$y_1=0,y_2=2\sqrt{2}$
(4)$x_1=7,x_2=-2$
【知识点】
配方法解一元二次方程，公式法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程的多种解法，解题时结合方程特征灵活选择最优解法可有效减少计算量；计算时注意开平方不要遗漏负根，使用公式法前要先验证判别式是否非负，因式分解需保证变形准确。
【难度系数】
0.8
