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1.如图,在$△ AEF$中,点$D,B$分别在边$AF$和$AF$的延长线上,已知$FB=AD$,$BC// AE$,且$BC=AE$,连接$CD$,$CF$,$DE$.求证:四边形$CDEF$是平行四边形.
答案
∵BC//AE,
∴∠A=∠B,
∵FB=AD,
∴FB+DF=AD+DF,
∴AF=BD,在△AEF和△BCD中,
$\begin{cases} AE=BC, \\ ∠A=∠B, \\ AF=BD, \end{cases}$
∴△AEF ≌ △BCD（SAS）,
∴CD=EF,∠EFD=∠CDB,
∴CD//EF,
∴四边形CDEF是平行四边形
解析
【分析】
要证明四边形CDEF是平行四边形，可选用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理推导。首先根据平行线的性质，由BC//AE得到∠A=∠B；再结合已知FB=AD，给等式两边同时加DF，可推出AF=BD，此时结合已知AE=BC，可通过SAS判定△AEF≌△BCD，利用全等三角形的性质得到CD=EF，且∠EFD=∠CDB，进一步推出CD//EF，即可判定四边形CDEF为平行四边形。
【解析】
证明：
∵ $BC// AE$，
∴ $∠ A=∠ B$，
∵ $FB=AD$，
∴ $FB+DF=AD+DF$，即$AF=BD$，
在$△ AEF$和$△ BCD$中，
$\begin{cases}AE=BC, \\∠ A=∠ B, \\AF=BD,\end{cases}$
∴ $△ AEF ≌ △ BCD$（SAS），
∴ $CD=EF$，$∠ EFD=∠ CDB$，
∴ $CD// EF$，
∴ 四边形$CDEF$是平行四边形。
【答案】
四边形$CDEF$是平行四边形
【知识点】
平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，平行线的性质
【点评】
本题是平行四边形判定的基础应用题，解题的关键是通过已知条件构造全等三角形，得到待证四边形对边平行且相等的关系，需要学生熟练掌握全等三角形和平行四边形的相关判定定理。
【难度系数】
0.7
要证明四边形CDEF是平行四边形，可选用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理推导。首先根据平行线的性质，由BC//AE得到∠A=∠B；再结合已知FB=AD，给等式两边同时加DF，可推出AF=BD，此时结合已知AE=BC，可通过SAS判定△AEF≌△BCD，利用全等三角形的性质得到CD=EF，且∠EFD=∠CDB，进一步推出CD//EF，即可判定四边形CDEF为平行四边形。
【解析】
证明：
∵ $BC// AE$，
∴ $∠ A=∠ B$，
∵ $FB=AD$，
∴ $FB+DF=AD+DF$，即$AF=BD$，
在$△ AEF$和$△ BCD$中，
$\begin{cases}AE=BC, \\∠ A=∠ B, \\AF=BD,\end{cases}$
∴ $△ AEF ≌ △ BCD$（SAS），
∴ $CD=EF$，$∠ EFD=∠ CDB$，
∴ $CD// EF$，
∴ 四边形$CDEF$是平行四边形。
【答案】
四边形$CDEF$是平行四边形
【知识点】
平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，平行线的性质
【点评】
本题是平行四边形判定的基础应用题，解题的关键是通过已知条件构造全等三角形，得到待证四边形对边平行且相等的关系，需要学生熟练掌握全等三角形和平行四边形的相关判定定理。
【难度系数】
0.7
2.如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$D$是$BC$的中点,$DE ⊥ BC$,$CE // AD$,若$AC=2$,$CE=4$.
(1)求证:四边形$ACED$是平行四边形;
(2)求四边形$ACEB$的周长.
(1)求证:四边形$ACED$是平行四边形;
(2)求四边形$ACEB$的周长.
答案
(1)
∵∠ACB = 90°,DE⊥BC,
∴AC//DE.又
∵CE//AD,
∴四边形ACED是平行四边形
(2)
∵四边形ACED是平行四边形.
∴DE=AC=2.在Rt△CDE中,由勾股定理得$CD=\sqrt{CE^2-DE^2}=2\sqrt{3}$.
∵D是BC的中点,
∴BC=2CD=4√3.在△ABC中,∠ACB=90°,由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=2\sqrt{13}$.
∵D是BC的中点,DE⊥BC,
∴EB=EC=4.
∴四边形ACEB的周长=AC+CE+EB+BA=10+2√13
∵∠ACB = 90°,DE⊥BC,
∴AC//DE.又
∵CE//AD,
∴四边形ACED是平行四边形
(2)
∵四边形ACED是平行四边形.
∴DE=AC=2.在Rt△CDE中,由勾股定理得$CD=\sqrt{CE^2-DE^2}=2\sqrt{3}$.
∵D是BC的中点,
∴BC=2CD=4√3.在△ABC中,∠ACB=90°,由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=2\sqrt{13}$.
∵D是BC的中点,DE⊥BC,
∴EB=EC=4.
∴四边形ACEB的周长=AC+CE+EB+BA=10+2√13
解析
【分析】
(1) 要证明四边形ACED是平行四边形，可根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”的判定定理推导：首先由∠ACB=90°、DE⊥BC可得AC和DE都垂直于BC，进而推出AC//DE，再结合已知CE//AD，满足两组对边分别平行的条件，即可完成证明。
(2) 求四边形ACEB的周长，需要先求出四条边的长度：首先利用平行四边形的性质得到DE的长度，在Rt△CDE中用勾股定理求出CD的长度，结合D是BC中点得到BC的长，再在Rt△ABC中用勾股定理求出AB的长，最后根据DE垂直平分BC的性质得到EB=EC，将四条边长度相加即可得到周长。
【解析】
(1) 证明：
∵∠ACB = 90°，DE⊥BC，
∴AC⊥BC，DE⊥BC，
∴AC//DE，
又
∵CE//AD，
∴四边形ACED是平行四边形。
(2) 解：
∵四边形ACED是平行四边形，
∴DE=AC=2。
在Rt△CDE中，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{CE^2-DE^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。
∵D是BC的中点，
∴BC=2CD=4√3。
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{2^2+(4\sqrt{3})^2}=2\sqrt{13}$。
∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴DE是BC的垂直平分线，
∴EB=EC=4。
∴四边形ACEB的周长=AC+CE+EB+BA=2+4+4+2√13=10+2√13。
【答案】
(1) 四边形ACED是平行四边形，证明成立；
(2) 四边形ACEB的周长为$\boldsymbol{10+2\sqrt{13}}$。
【知识点】
平行四边形的判定，勾股定理，垂直平分线的性质
【点评】
本题综合考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质，解题时先通过平行关系判定平行四边形得到边的等量关系，再结合勾股定理逐步计算未知边长，是几何基础的典型综合题，有助于巩固基础图形性质的应用。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明四边形ACED是平行四边形，可根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”的判定定理推导：首先由∠ACB=90°、DE⊥BC可得AC和DE都垂直于BC，进而推出AC//DE，再结合已知CE//AD，满足两组对边分别平行的条件，即可完成证明。
(2) 求四边形ACEB的周长，需要先求出四条边的长度：首先利用平行四边形的性质得到DE的长度，在Rt△CDE中用勾股定理求出CD的长度，结合D是BC中点得到BC的长，再在Rt△ABC中用勾股定理求出AB的长，最后根据DE垂直平分BC的性质得到EB=EC，将四条边长度相加即可得到周长。
【解析】
(1) 证明：
∵∠ACB = 90°，DE⊥BC，
∴AC⊥BC，DE⊥BC，
∴AC//DE，
又
∵CE//AD，
∴四边形ACED是平行四边形。
(2) 解：
∵四边形ACED是平行四边形，
∴DE=AC=2。
在Rt△CDE中，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{CE^2-DE^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。
∵D是BC的中点，
∴BC=2CD=4√3。
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{2^2+(4\sqrt{3})^2}=2\sqrt{13}$。
∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴DE是BC的垂直平分线，
∴EB=EC=4。
∴四边形ACEB的周长=AC+CE+EB+BA=2+4+4+2√13=10+2√13。
【答案】
(1) 四边形ACED是平行四边形，证明成立；
(2) 四边形ACEB的周长为$\boldsymbol{10+2\sqrt{13}}$。
【知识点】
平行四边形的判定，勾股定理，垂直平分线的性质
【点评】
本题综合考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质，解题时先通过平行关系判定平行四边形得到边的等量关系，再结合勾股定理逐步计算未知边长，是几何基础的典型综合题，有助于巩固基础图形性质的应用。
【难度系数】
0.7
3.如图,将$□ ABCD$的四条边$DA,AB,BC,CD$分别延长至点$E,F,G,H$,使得$AE=CG$,$BF=DH$,连接$EF,FG,GH,HE$.求证:四边形$EFGH$为平行四边形.
答案
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,∠BCD=∠BAD.
∴∠HCG=∠FAE.
∵BF=DH,
∴AF=CH.又
∵AE=CG,
∴△FAE≌△HCG(SAS).
∴EF=GH.同理可得EH=GF,
∴四边形EFGH为平行四边形
解析
【分析】
要证明四边形EFGH为平行四边形，可利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的判定定理，因此需先证EF=GH、EH=GF。首先根据平行四边形ABCD的性质可得对边相等、对角相等，结合已知的AE=CG、BF=DH，可推导出△FAE和△HCG全等的条件，证得EF=GH，同理可证EH=GF，最终即可判定四边形EFGH的形状。
【解析】
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠BCD=∠BAD，
∴∠HCG=∠FAE（等角的补角相等），
∵BF=DH，
∴AB+BF=CD+DH，即AF=CH，
又
∵AE=CG，
∴△FAE≌△HCG（SAS），
∴EF=GH，
同理可得EH=GF，
∴四边形EFGH为平行四边形。
【答案】
四边形EFGH为平行四边形
【知识点】
平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定
【点评】
本题属于平行四边形判定的基础应用题型，解题的关键是结合平行四边形的性质构造全等三角形，通过全等得到线段相等的关系，进而利用平行四边形的判定定理完成证明，能有效巩固平行四边形相关定理的理解和应用。
【难度系数】
0.7
要证明四边形EFGH为平行四边形，可利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的判定定理，因此需先证EF=GH、EH=GF。首先根据平行四边形ABCD的性质可得对边相等、对角相等，结合已知的AE=CG、BF=DH，可推导出△FAE和△HCG全等的条件，证得EF=GH，同理可证EH=GF，最终即可判定四边形EFGH的形状。
【解析】
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠BCD=∠BAD，
∴∠HCG=∠FAE（等角的补角相等），
∵BF=DH，
∴AB+BF=CD+DH，即AF=CH，
又
∵AE=CG，
∴△FAE≌△HCG（SAS），
∴EF=GH，
同理可得EH=GF，
∴四边形EFGH为平行四边形。
【答案】
四边形EFGH为平行四边形
【知识点】
平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定
【点评】
本题属于平行四边形判定的基础应用题型，解题的关键是结合平行四边形的性质构造全等三角形，通过全等得到线段相等的关系，进而利用平行四边形的判定定理完成证明，能有效巩固平行四边形相关定理的理解和应用。
【难度系数】
0.7
