4.如图，E，F 是四边形 ABCD 对角线 AC 上的两点，$AD// BC$，$DF// BE$，$AE=CF$.求证：
(1)$△ AFD≌△ CEB$；
(2)四边形 ABCD 是平行四边形.

(1)如图，
∵AD // BC, DF // BE，
∴∠1= ∠2, ∠3 = ∠4.又
∵AE=CF,
∴AE+EF=CF+EF,即AF=CE.在△AFD和△CEB中，
$\begin{cases} ∠1=∠2, \\ AF=CE, \\ ∠3=∠4, \end{cases}$
∴△AFD≌△CEB(ASA)
(2)由(1)知,△AFD≌△CEB,则AD=CB.又
∵AD//BC,
∴四边形ABCD是平行四边形

【分析】
要证明(1)△AFD≌△CEB，可先根据平行线的性质得到两组对应内错角相等，再结合已知AE=CF，通过线段和差推导得到AF=CE，满足角边角（ASA）的全等判定条件即可完成证明；要证明(2)四边形ABCD是平行四边形，已知AD//BC，只需证明这组对边相等即可，由(1)的全等结论可直接得到对应边AD=CB，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可判定。
【解析】
(1) 如图，
∵AD // BC，DF // BE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4（两直线平行，内错角相等）。
又
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE。
在△AFD和△CEB中：
$\begin{cases} ∠1=∠2, \\ AF=CE, \\ ∠3=∠4, \end{cases}$
∴△AFD≌△CEB(ASA)。
(2) 由(1)的全等结论可得，全等三角形对应边相等，即AD=CB。
又
∵AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
【答案】
(1)如图，
∵AD // BC, DF // BE，
∴∠1= ∠2, ∠3 = ∠4.又
∵AE=CF,
∴AE+EF=CF+EF,即AF=CE.在△AFD和△CEB中，
$\begin{cases} ∠1=∠2, \\ AF=CE, \\ ∠3=∠4, \end{cases}$
∴△AFD≌△CEB(ASA)
(2)由(1)知,△AFD≌△CEB,则AD=CB.又
∵AD//BC,
∴四边形ABCD是平行四边形
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定；平行四边形的判定
【点评】
本题是全等三角形与平行四边形判定结合的基础题，解题核心是先利用平行线性质和线段和差关系推导全等条件，再借助全等的性质得到平行四边形的判定依据，能很好地考察基础定理的掌握和综合运用能力。
【难度系数】
0.7

5.如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D,∠1=∠2,求证:四边形ABCD是平行四边形.

∵由∠B=∠D,∠1=∠2,可证∠ACB=∠CAD,再证∠BAD=∠BCD,可得四边形ABCD是平行四边形

【分析】
要证明四边形ABCD是平行四边形，结合已知给出的角的等量条件，可选择通过证明两组对角分别相等来判定。首先利用三角形内角和定理，结合已知的∠1=∠2、∠B=∠D，可推出∠ACB=∠CAD，再通过角的和差关系得到∠BAD=∠BCD，此时两组对角分别相等，即可判定该四边形为平行四边形。
【解析】
证明：
∵ ∠1 = ∠2，∠B = ∠D，
根据三角形内角和为180°，可得：
∠ACB = 180° - ∠1 - ∠B，∠CAD = 180° - ∠2 - ∠D，
∴ ∠ACB = ∠CAD，
∴ ∠1 + ∠CAD = ∠2 + ∠ACB，即∠BAD = ∠BCD，
又
∵ ∠B = ∠D，
∴ 四边形ABCD是平行四边形（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）。
【答案】
四边形ABCD是平行四边形，得证。
【知识点】
平行四边形的判定；三角形内角和定理；角的和差运算
【点评】
本题属于平行四边形判定的基础题，核心是结合已知角的等量关系，推导得到四边形两组对角分别相等进而完成判定，解题时要熟练掌握平行四边形的各类判定定理，根据已知条件灵活选择最简便的判定方法。
【难度系数】
0.8

6.如图，AD是$△ ABC$的中线.
（1）画图：延长AD到E，使$ED=AD$，连接BE，CE；
（2）四边形ABEC是平行四边形吗？证明你的结论.

(1)如图所示
(2)四边形ABEC是平行四边形，理由:
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD,
∵ED=AD,
∴四边形ABEC是平行四边形

【分析】
第(1)问为基础作图题，按照题目要求逐步操作即可：首先延长AD，在AD的延长线上截取线段ED使得ED=AD，最后连接BE、CE即完成作图。第(2)问判断四边形是否为平行四边形，可结合已知条件推导：首先由AD是△ABC的中线可得D是BC的中点，即BD=CD，再结合作图得到的ED=AD，可知四边形ABEC的两条对角线互相平分，对应平行四边形的判定定理即可得出结论。
【解析】
(1) 按照题目要求作图：①延长AD至点E所在的位置；②截取DE=AD；③连接BE、CE，得到要求的图形。
(2) 四边形ABEC是平行四边形，证明过程如下：
∵AD是△ABC的中线，根据三角形中线的定义，
∴BD=CD，
又
∵已知ED=AD，
即四边形ABEC的对角线AE、BC互相平分，
根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的判定定理，可得四边形ABEC是平行四边形。
【答案】
(1)如图所示
(2)四边形ABEC是平行四边形，理由:
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD,
∵ED=AD,
∴四边形ABEC是平行四边形
【知识点】
三角形中线的定义，平行四边形的判定
【点评】
本题属于平行四边形判定的基础题型，通过构造等长线段得到对角线互相平分的条件，进而判定四边形为平行四边形，解题核心是熟练掌握平行四边形的判定定理，同时要注意几何作图的规范性。
【难度系数】
0.8

7.如图所示,在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,且$OA=OC,OB=OD$,在线段OB和OD上,有点E和F,且$DE=BF$,连接AE,CE,AF和CF,求证:四边形AECF为平行四边形.

∵DE=BF,
∴DF=BE,又
∵OB=OD,
∴OE=OF,又
∵OA=OC,
∴四边形AECF是平行四边形

【分析】
要证明四边形AECF是平行四边形，可优先选用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一判定定理。首先观察四边形AECF的对角线为AC和EF，已知OA=OC，因此只需证明OE=OF即可。结合题目给出的DE=BF、OB=OD的条件，通过线段的和差关系就能推导出OE=OF，进而完成证明。
【解析】
证明：
∵ DE=BF，
∴ DE-EF=BF-EF，即DF=BE，
又
∵ OB=OD，
∴ OB-BE=OD-DF，即OE=OF，
又
∵ OA=OC，即四边形AECF的对角线互相平分，
∴ 四边形AECF是平行四边形。
【答案】
∵DE=BF,
∴DF=BE,又
∵OB=OD,
∴OE=OF,又
∵OA=OC,
∴四边形AECF是平行四边形
【知识点】
平行四边形的判定，线段和差运算
【点评】
本题是平行四边形判定的基础题型，解题时可根据已知条件灵活选择判定方法，本题借助对角线互相平分的判定方法可快速推导结论，熟练掌握平行四边形的各类判定定理是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8