10.如图所示，ABCD是长方形地面，长AB=10 m，宽AD=5 m，中间竖有一堵砖墙高MN=1 m.一只蚂蚁从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走多少米的路程？

将图展开，图形长度增加2 m，则$AB=10+2=12(\mathrm{m})$，连接AC，$\because$ 四边形ABCD是长方形，$AB=12\ \mathrm{m}$，宽$AD=5\ \mathrm{m}$，$\therefore AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13(\mathrm{m})$，$\therefore$ 蚂蚁从A点爬到C点，它至少要走13 m的路程

【分析】
要求蚂蚁翻过墙从A到C的最短路程，需利用“两点之间线段最短”的原理，将翻越砖墙的路径展开成平面图形。由于砖墙高1m，展开后相当于长方形ABCD的长AB会增加2倍的墙高（上墙、下墙各对应1m的展开长度），得到新的长方形，此时A、C在同一平面内，连接AC即为最短路径，再用勾股定理计算AC的长度即可。
【解析】
解：将包含砖墙的平面展开，因砖墙高MN=1m，展开后长方形的长增加2×1=2m，即新的AB长度为：
$AB=10+2=12(\mathrm{m})$
已知长方形宽$AD=BC=5\mathrm{m}$，展开后$∠ B$为直角，连接AC，根据勾股定理可得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13(\mathrm{m})$
因此蚂蚁从A点爬到C点的最短路程为13m。
【答案】
它至少要走13 m的路程

【知识点】
勾股定理，最短路径问题，平面展开图
【点评】
本题是平面几何中最短路径的典型应用，核心解题思路是将翻越障碍的立体路径转化为平面内的线段问题，解题时需注意展开后边长的变化，再结合勾股定理求解即可。
【难度系数】
0.7

11.如图1,在$4×8$的网格纸中,每个小正方形的边长都为1,动点$P,Q$分别从点$D,A$同时出发向右移动,点$P$的运动速度为每秒1个单位,点$Q$的运动速度为每秒0.5个单位,当点$P$运动到点$C$时,两个点都停止运动,设运动时间为$t(0＜t＜8)$.
(1)请在$4×8$的网格纸图2中画出$t$为6秒时的线段$PQ$,并求其长度;
(2)当$t$为多少时,$△ PQB$是以$BP$为底的等腰三角形?

(1)由勾股定理得$PQ=\sqrt{3^2+4^2}=5$ (2)在$t$秒时，P运动了$t$格，Q运动了$\frac{1}{2}t$格，由题意得$PQ=BQ$，则$PQ^2=BQ^2$，即$(t-\frac{1}{2}t)^2+4^2=(8-\frac{1}{2}t)^2$，解得$t=6$。答：当$t$为6秒时，$△ PQB$是以$BP$为底的等腰三角形

【分析】
(1) 要计算t=6秒时PQ的长度，首先根据P、Q的运动速度和运动时间，分别算出两点的运动路程，得到两点的水平距离和竖直距离，再利用勾股定理即可求出PQ的长度，再根据两点位置在图2中画出线段PQ。
(2) 若△PQB是以BP为底的等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得两腰PQ=BQ，接下来用含t的代数式分别表示出PQ²和BQ²，结合勾股定理列方程求解，最后验证解是否符合t的取值范围即可。
【解析】
(1) 当t=6秒时：
点P的运动路程为$1×6=6$个单位，点Q的运动路程为$0.5×6=3$个单位。
P在DC边上运动，Q在AB边上运动，DC与AB的竖直距离为4，因此P、Q的水平距离为$6-3=3$，竖直距离为4。
由勾股定理得：$PQ=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
画图时，将A点右侧第3格AB边上的点Q，与D点右侧第6格DC边上的点P连接即可。
(2) 设运动时间为t秒时，△PQB是以BP为底的等腰三角形，此时$PQ=BQ$。
t秒时，P向右运动了t个单位，Q向右运动了$\frac{1}{2}t$个单位：
PQ的水平差为$t-\frac{1}{2}t=\frac{1}{2}t$，竖直差为4，由勾股定理得$PQ^2=(\frac{1}{2}t)^2+4^2$；
BQ的长度为AB总长减去AQ的长度，$BQ=8-\frac{1}{2}t$，因此$BQ^2=(8-\frac{1}{2}t)^2$。
由$PQ=BQ$可得$PQ^2=BQ^2$，列方程：
$(\frac{1}{2}t)^2+4^2=(8-\frac{1}{2}t)^2$
展开整理得：$\frac{1}{4}t^2 + 16 = 64 - 8t + \frac{1}{4}t^2$，消去二次项后解得$t=6$。
经检验$t=6$满足$0＜t＜8$，符合题意。
【答案】
(1) 线段PQ见，$PQ=5$；
(2) 当t为6秒时，△PQB是以BP为底的等腰三角形。
【知识点】
勾股定理；等腰三角形性质；一元一次方程应用
【点评】
本题结合网格动点场景，综合考查了勾股定理和等腰三角形的性质，解题核心是用运动时间t准确表示相关线段的长度，结合几何等量关系列方程求解，能够锻炼学生数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.7

12.(1)如图 1,在等腰三角形 ABC 中,AB=AC,点 D 是 BC 的中点,DE⊥AB 于点 E,DF⊥AC 于点 F.求证:DE=DF;(2)如图 2,在等腰三角形 ABC 中,AB=AC=13,BC=10,点 D 是 BC 边上的动点,DE⊥AB 于点 E,DF⊥AC 于点 F.请问 DE+DF 的值是否随点 D 位置的变化而变化? 若不变,请直接写出 DE+DF 的值;若变化,请说明理由.

(1)连接AD。$\because AB=AC$，点D是BC边上的中点，$\therefore AD$平分$∠ BAC$，$\because DE,DF$分别垂直AB，AC于点E和F，$\therefore DE=DF$ (2)不变。连接AD，$\because AB=AC=13$，$BC=10$，$\therefore △ ABC$底边BC上的高$=\sqrt{13^2-5^2}=12$，$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×10×12=60$，$\because S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}$，$\therefore \frac{1}{2}AB· DE+\frac{1}{2}AC· DF=60$，$\therefore DE+DF=\frac{120}{13}$

【分析】
(1) 要证明DE=DF，已知DE、DF分别垂直AB、AC，可联想角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。结合等腰三角形三线合一的性质，连接AD证明AD是∠BAC的角平分线，即可得出结论。
(2) 判断DE+DF是否为定值可采用面积拆分法：连接AD，将△ABC拆分为△ABD和△ACD，两个小三角形的面积和等于△ABC的固定面积。先通过勾股定理求出△ABC的高，计算出△ABC的面积，再结合AB=AC的条件，即可推导得出DE+DF为定值。
【解析】
(1) 证明：连接AD。
∵ AB=AC，点D是BC的中点，
∴ AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一）。
∵ DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴ DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
(2) 解：DE+DF的值不随点D位置的变化而变化。
连接AD，过A作AH⊥BC于H。
∵ AB=AC=13，BC=10，AH⊥BC，
∴ BH=$\frac{1}{2}$BC=5。
在Rt△ABH中，由勾股定理得：AH=$\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$，
∴ $S_{△ABC}=\frac{1}{2}×BC×AH=\frac{1}{2}×10×12=60$。
∵ $S_{△ABC}=S_{△ABD}+S_{△ACD}$，
∴ $\frac{1}{2}AB·DE+\frac{1}{2}AC·DF=60$，
将AB=AC=13代入得：$\frac{1}{2}×13×(DE+DF)=60$，
解得$DE+DF=\frac{120}{13}$。
【答案】
(1) DE=DF得证；(2) 不变，$DE+DF=\frac{120}{13}$
【知识点】
等腰三角形的性质、勾股定理、等面积法
【点评】
本题第一问是等腰三角形与角平分线性质的基础应用，第二问是几何动态定值问题的典型考法，借助面积拆分求解线段和的思路适用性很强，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.65