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5.如图,在长方边形ABCD中,E是AD的中点,将$△ ABE$沿BE折叠后得到$△ GBE$,且点G在四边形ABCD内部,延长BG交DC于点F,连接EF.若点$AB=6,BC=8$,求DF的长.
答案
由折叠可知$AB=GB$，易证$\mathrm{Rt}△ EGF ≌ \mathrm{Rt}△ EDF$，$\therefore GF=DF$，$\because ∠ C=90°$，$AB=CD=BG=6$，$BC=8$，$\therefore FC=DC-DF=6-DF$，$BF=BG+GF=6+DF$，$\because BF^2=BC^2+CF^2$，$\therefore (6+DF)^2=64+(6-DF)^2$，解得$DF=\frac{8}{3}$
解析
【分析】
遇到折叠问题首先要联想到折叠前后对应边、对应角相等，由此可得$AB=GB$，$AE=GE$，$∠ A=∠ BGE=90°$；结合E是AD中点可推出$GE=DE$，此时观察到$△ EGF$和$△ EDF$均为直角三角形，且有公共斜边EF，可证明两三角形全等得到$GF=DF$；最后将所求DF放到$\mathrm{Rt}△ BCF$中，把BF、CF用含DF的式子表示，利用勾股定理列方程即可求解。
【解析】
解：由折叠的性质可得：$AB=GB=6$，$AE=GE$，$∠ A=∠ BGE=90°$，
$\therefore ∠ EGF=90°=∠ D$，
$\because E$是$AD$的中点，$\therefore AE=DE$，
$\therefore GE=DE$，
在$\mathrm{Rt}△ EGF$和$\mathrm{Rt}△ EDF$中：
$\begin{cases}EG=ED\\EF=EF\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ EGF ≌ \mathrm{Rt}△ EDF(\mathrm{HL})$，
$\therefore GF=DF$，
$\because$ 四边形$ABCD$是长方形，$\therefore CD=AB=6$，$∠ C=90°$，
设$DF=x$，则$GF=x$，$FC=CD-DF=6-x$，$BF=BG+GF=6+x$，
在$\mathrm{Rt}△ BCF$中，由勾股定理得$BF^2=BC^2+CF^2$，
代入得：$(6+x)^2=8^2+(6-x)^2$，
展开得：$36+12x+x^2=64+36-12x+x^2$，
移项合并同类项得：$24x=64$，
解得：$x=\frac{8}{3}$，即$DF=\frac{8}{3}$。
【答案】
$\dfrac{8}{3}$
【知识点】
折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是典型的折叠类求线段长度的题型，解题的关键是结合折叠性质和全等三角形得到未知线段与已知线段的等量关系，再利用勾股定理建立方程求解，这种用方程思想解决几何线段问题的方法需要熟练掌握。
【难度系数】
0.6
遇到折叠问题首先要联想到折叠前后对应边、对应角相等，由此可得$AB=GB$，$AE=GE$，$∠ A=∠ BGE=90°$；结合E是AD中点可推出$GE=DE$，此时观察到$△ EGF$和$△ EDF$均为直角三角形，且有公共斜边EF，可证明两三角形全等得到$GF=DF$；最后将所求DF放到$\mathrm{Rt}△ BCF$中，把BF、CF用含DF的式子表示，利用勾股定理列方程即可求解。
【解析】
解：由折叠的性质可得：$AB=GB=6$，$AE=GE$，$∠ A=∠ BGE=90°$，
$\therefore ∠ EGF=90°=∠ D$，
$\because E$是$AD$的中点，$\therefore AE=DE$，
$\therefore GE=DE$，
在$\mathrm{Rt}△ EGF$和$\mathrm{Rt}△ EDF$中：
$\begin{cases}EG=ED\\EF=EF\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ EGF ≌ \mathrm{Rt}△ EDF(\mathrm{HL})$，
$\therefore GF=DF$，
$\because$ 四边形$ABCD$是长方形，$\therefore CD=AB=6$，$∠ C=90°$，
设$DF=x$，则$GF=x$，$FC=CD-DF=6-x$，$BF=BG+GF=6+x$，
在$\mathrm{Rt}△ BCF$中，由勾股定理得$BF^2=BC^2+CF^2$，
代入得：$(6+x)^2=8^2+(6-x)^2$，
展开得：$36+12x+x^2=64+36-12x+x^2$，
移项合并同类项得：$24x=64$，
解得：$x=\frac{8}{3}$，即$DF=\frac{8}{3}$。
【答案】
$\dfrac{8}{3}$
【知识点】
折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是典型的折叠类求线段长度的题型，解题的关键是结合折叠性质和全等三角形得到未知线段与已知线段的等量关系，再利用勾股定理建立方程求解，这种用方程思想解决几何线段问题的方法需要熟练掌握。
【难度系数】
0.6
6.如图,直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8,按如图那样折叠,使点A与点B重合,折痕为DE,求$△ BDE$的面积.
答案
设$CE=x$，则$AE=AC-CE=8-x$，$\because$ 折叠点A与点B重合，$\therefore BE=AE=8-x$，$BD=AD$，在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，$\because BC^2+CE^2=BE^2$，$\therefore 6^2+x^2=(8-x)^2$，解得$x=\frac{7}{4}$，$\therefore CE=\frac{7}{4}$，$\therefore S_{△ BCE}=\frac{1}{2}×6×\frac{7}{4}=\frac{21}{4}$，
$\therefore S_{△ ABE}=S_{△ ABC}-S_{△ BCE}=\frac{1}{2}×6×8-\frac{21}{4}=\frac{75}{4}$，
$\because BD=AD$，$\therefore S_{△ BDE}=\frac{1}{2}S_{△ ABE}=\frac{75}{8}$
$\therefore S_{△ ABE}=S_{△ ABC}-S_{△ BCE}=\frac{1}{2}×6×8-\frac{21}{4}=\frac{75}{4}$，
$\because BD=AD$，$\therefore S_{△ BDE}=\frac{1}{2}S_{△ ABE}=\frac{75}{8}$
解析
【分析】
解决本题首先要利用折叠的性质得到相等的线段：折叠后点A与点B重合，因此BE=AE，BD=AD。要求△BDE的面积，可先通过勾股定理求出CE的长度，再用割补法求出△ABE的面积，最后利用BD=AD可知△BDE的面积是△ABE面积的一半，即可求得结果。具体思考步骤：1. 由折叠性质转化相等线段；2. 在Rt△BCE中利用勾股定理列方程求解CE的长；3. 计算△BCE和△ABC的面积，作差得到△ABE的面积；4. 利用等底同高的三角形面积相等，得到△BDE的面积为△ABE面积的一半。
【解析】
已知Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8。
设$CE=x$，则$AE=AC-CE=8-x$。
∵ 折叠使点A与点B重合，
∴ $BE=AE=8-x$，$BD=AD$。
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，由勾股定理得$BC^2+CE^2=BE^2$，
代入数值：$6^2+x^2=(8-x)^2$，
展开计算：$36+x^2=64-16x+x^2$，
消去$x^2$后解得：$16x=28$，$x=\frac{7}{4}$，即$CE=\frac{7}{4}$。
先计算$△ BCE$的面积：$S_{△ BCE}=\frac{1}{2}×BC×CE=\frac{1}{2}×6×\frac{7}{4}=\frac{21}{4}$。
再计算$△ ABC$的面积：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×6×8=24$。
因此$S_{△ ABE}=S_{△ ABC}-S_{△ BCE}=24-\frac{21}{4}=\frac{75}{4}$。
∵ $BD=AD$，$△ BDE$和$△ ADE$等底同高，面积相等，
∴ $S_{△ BDE}=\frac{1}{2}S_{△ ABE}=\frac{1}{2}×\frac{75}{4}=\frac{75}{8}$。
【答案】
$\frac{75}{8}$
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；三角形面积计算
【点评】
本题是勾股定理与折叠变换结合的典型题型，解题核心是利用折叠的性质转化相等线段，通过设未知数列方程求解未知边长，同时运用了割补法和等底同高三角形面积相等的性质计算面积，很好地体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要利用折叠的性质得到相等的线段：折叠后点A与点B重合，因此BE=AE，BD=AD。要求△BDE的面积，可先通过勾股定理求出CE的长度，再用割补法求出△ABE的面积，最后利用BD=AD可知△BDE的面积是△ABE面积的一半，即可求得结果。具体思考步骤：1. 由折叠性质转化相等线段；2. 在Rt△BCE中利用勾股定理列方程求解CE的长；3. 计算△BCE和△ABC的面积，作差得到△ABE的面积；4. 利用等底同高的三角形面积相等，得到△BDE的面积为△ABE面积的一半。
【解析】
已知Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8。
设$CE=x$，则$AE=AC-CE=8-x$。
∵ 折叠使点A与点B重合，
∴ $BE=AE=8-x$，$BD=AD$。
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，由勾股定理得$BC^2+CE^2=BE^2$，
代入数值：$6^2+x^2=(8-x)^2$，
展开计算：$36+x^2=64-16x+x^2$，
消去$x^2$后解得：$16x=28$，$x=\frac{7}{4}$，即$CE=\frac{7}{4}$。
先计算$△ BCE$的面积：$S_{△ BCE}=\frac{1}{2}×BC×CE=\frac{1}{2}×6×\frac{7}{4}=\frac{21}{4}$。
再计算$△ ABC$的面积：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×6×8=24$。
因此$S_{△ ABE}=S_{△ ABC}-S_{△ BCE}=24-\frac{21}{4}=\frac{75}{4}$。
∵ $BD=AD$，$△ BDE$和$△ ADE$等底同高，面积相等，
∴ $S_{△ BDE}=\frac{1}{2}S_{△ ABE}=\frac{1}{2}×\frac{75}{4}=\frac{75}{8}$。
【答案】
$\frac{75}{8}$
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；三角形面积计算
【点评】
本题是勾股定理与折叠变换结合的典型题型，解题核心是利用折叠的性质转化相等线段，通过设未知数列方程求解未知边长，同时运用了割补法和等底同高三角形面积相等的性质计算面积，很好地体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
7.在$△ ABC$中，$AB=15$，$AC=20$，$BC$边上的高$AD=12$，试求$BC$的长.
答案
当AD在$△ ABC$内时，在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得$BD=\sqrt{15^2-12^2}=9$，在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得$DC=\sqrt{20^2-12^2}=16$，BC的长为$BD+DC=9+16=25$；当AD在$△ ABC$外时，$△ ABC$中，在$\mathrm{Rt}△ ABD$中$AB=15$，$AD=12$，由勾股定理得$BD=\sqrt{15^2-12^2}=9$，在$\mathrm{Rt}△ ACD$中得$DC=\sqrt{20^2-12^2}=16$，$BC=CD-BD=7$。综上所述，BC的长为25或7
解析
【分析】
题目未明确△ABC的形状，BC边上的高AD存在两种位置：在三角形内部（对应锐角三角形）、在三角形外部（对应钝角三角形，∠B为钝角），需分类讨论求解。两种情况均先在两个直角三角形中用勾股定理分别求出BD、CD的长度，再结合高的位置计算BC的长度即可。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当高AD在△ABC内部时：
在$\mathrm{Rt}△ABD$中，$AB=15$，$AD=12$，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{15^2-12^2}=\sqrt{81}=9$
在$\mathrm{Rt}△ACD$中，$AC=20$，$AD=12$，由勾股定理得：
$DC=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{20^2-12^2}=\sqrt{256}=16$
此时$BC=BD+DC=9+16=25$。
2. 当高AD在△ABC外部时：
同理可得，在$\mathrm{Rt}△ABD$中$BD=9$，在$\mathrm{Rt}△ACD$中$DC=16$，此时BC为CD与BD的差，即：
$BC=DC-BD=16-9=7$。
综上所述，BC的长为25或7。
【答案】
25或7
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想；三角形的高
【点评】
本题易错点是仅考虑高在三角形内部的情况，导致漏解。当题目未明确三角形形状时，涉及高的计算一定要注意分高在三角形内、外两种情况讨论，避免出现思维定势导致的错误。
【难度系数】
0.6
题目未明确△ABC的形状，BC边上的高AD存在两种位置：在三角形内部（对应锐角三角形）、在三角形外部（对应钝角三角形，∠B为钝角），需分类讨论求解。两种情况均先在两个直角三角形中用勾股定理分别求出BD、CD的长度，再结合高的位置计算BC的长度即可。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当高AD在△ABC内部时：
在$\mathrm{Rt}△ABD$中，$AB=15$，$AD=12$，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{15^2-12^2}=\sqrt{81}=9$
在$\mathrm{Rt}△ACD$中，$AC=20$，$AD=12$，由勾股定理得：
$DC=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{20^2-12^2}=\sqrt{256}=16$
此时$BC=BD+DC=9+16=25$。
2. 当高AD在△ABC外部时：
同理可得，在$\mathrm{Rt}△ABD$中$BD=9$，在$\mathrm{Rt}△ACD$中$DC=16$，此时BC为CD与BD的差，即：
$BC=DC-BD=16-9=7$。
综上所述，BC的长为25或7。
【答案】
25或7
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想；三角形的高
【点评】
本题易错点是仅考虑高在三角形内部的情况，导致漏解。当题目未明确三角形形状时，涉及高的计算一定要注意分高在三角形内、外两种情况讨论，避免出现思维定势导致的错误。
【难度系数】
0.6
8.已知等腰三角形的两边长分别为 10 和 12,求这个三角形的面积.
答案
设两腰分别为AB，AC，底边为BC，分两种情况进行讨论：①若腰为12时，过点A作$AD⊥ BC$于点D，则$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×10=5$，在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{12^2-5^2}=\sqrt{119}$，$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AD=\frac{1}{2}×10×\sqrt{119}=5\sqrt{119}$；②若腰为10时，过点A作$AD⊥ BC$于点D，则$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×12=6$，在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$，$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AD=\frac{1}{2}×12×8=48$。综上所述，这个三角形的面积是48或$5\sqrt{119}$
解析
【分析】
题目给出等腰三角形的两边长但未明确腰和底边的身份，因此需要分两种情况讨论避免漏解。解题时首先要验证每种情况下的三边长是否满足三角形三边关系，确认可构成三角形后，利用等腰三角形“三线合一”的性质作底边上的高，将等腰三角形拆分为两个直角三角形，再用勾股定理求出高的长度，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 若腰长为12，底边长为10：
过顶点A作$AD⊥ BC$于点D，根据等腰三角形三线合一的性质，D为BC中点，
$\therefore BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×10=5$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{12^2-5^2}=\sqrt{119}$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AD=\frac{1}{2}×10×\sqrt{119}=5\sqrt{119}$；
② 若腰长为10，底边长为12：
过顶点A作$AD⊥ BC$于点D，根据等腰三角形三线合一的性质，D为BC中点，
$\therefore BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×12=6$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AD=\frac{1}{2}×12×8=48$。
【答案】
48或$5\sqrt{119}$
【知识点】
等腰三角形的性质、勾股定理、三角形面积计算
【点评】
本题的易错点是忽略分类讨论导致漏解，解题时需注意：当等腰三角形给出的边长未明确腰和底的身份时，必须分情况讨论，且每种情况都要先验证三边是否满足三角形三边关系，再进行后续计算。
【难度系数】
0.7
题目给出等腰三角形的两边长但未明确腰和底边的身份，因此需要分两种情况讨论避免漏解。解题时首先要验证每种情况下的三边长是否满足三角形三边关系，确认可构成三角形后，利用等腰三角形“三线合一”的性质作底边上的高，将等腰三角形拆分为两个直角三角形，再用勾股定理求出高的长度，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 若腰长为12，底边长为10：
过顶点A作$AD⊥ BC$于点D，根据等腰三角形三线合一的性质，D为BC中点，
$\therefore BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×10=5$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{12^2-5^2}=\sqrt{119}$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AD=\frac{1}{2}×10×\sqrt{119}=5\sqrt{119}$；
② 若腰长为10，底边长为12：
过顶点A作$AD⊥ BC$于点D，根据等腰三角形三线合一的性质，D为BC中点，
$\therefore BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×12=6$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AD=\frac{1}{2}×12×8=48$。
【答案】
48或$5\sqrt{119}$
【知识点】
等腰三角形的性质、勾股定理、三角形面积计算
【点评】
本题的易错点是忽略分类讨论导致漏解，解题时需注意：当等腰三角形给出的边长未明确腰和底的身份时，必须分情况讨论，且每种情况都要先验证三边是否满足三角形三边关系，再进行后续计算。
【难度系数】
0.7
9.如图是一个长方体盒子,其长、宽、高分别为 4,2,9,用一根细线绕侧面绑在点 A, B 处,不计线头,则细线的最短长度为 （
A.12
B.15
C.18
D.21
B
）A.12
B.15
C.18
D.21
答案
B
解析
【分析】
要计算长方体侧面上A、B两点间细线的最短长度，属于立体图形表面最短路径问题。解题思路遵循“化曲为直”的原则：首先将长方体的侧面展开为平面图形，利用“两点之间，线段最短”，可知两点间的线段长就是最短路径，再将这条线段放在直角三角形中，用勾股定理计算长度即可。展开后直角三角形的竖直直角边为长方体的高9，水平直角边为绕侧面一周对应的底面周长，计算出两条直角边后代入勾股定理即可得结果。
【解析】
将长方体的侧面沿竖直棱剪开并展开为平面图形，此时A、B两点间的线段长度即为细线的最短长度。
展开后可得直角三角形：
1. 其中一条直角边为长方体的高，长度为9；
2. 另一条直角边为长方体底面的周长，长度为$(4+2)× 2=12$；
根据勾股定理，细线最短长度为$\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$。
【答案】
B
【知识点】
两点之间线段最短；勾股定理；立体图形展开
【点评】
本题是勾股定理解决实际最短路径问题的典型题型，核心是掌握将立体图形转化为平面图形求解的思路，解题时需准确计算展开后直角边的长度，避免因展开方式判断错误导致计算失误。
【难度系数】
0.6
要计算长方体侧面上A、B两点间细线的最短长度，属于立体图形表面最短路径问题。解题思路遵循“化曲为直”的原则：首先将长方体的侧面展开为平面图形，利用“两点之间，线段最短”，可知两点间的线段长就是最短路径，再将这条线段放在直角三角形中，用勾股定理计算长度即可。展开后直角三角形的竖直直角边为长方体的高9，水平直角边为绕侧面一周对应的底面周长，计算出两条直角边后代入勾股定理即可得结果。
【解析】
将长方体的侧面沿竖直棱剪开并展开为平面图形，此时A、B两点间的线段长度即为细线的最短长度。
展开后可得直角三角形：
1. 其中一条直角边为长方体的高，长度为9；
2. 另一条直角边为长方体底面的周长，长度为$(4+2)× 2=12$；
根据勾股定理，细线最短长度为$\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$。
【答案】
B
【知识点】
两点之间线段最短；勾股定理；立体图形展开
【点评】
本题是勾股定理解决实际最短路径问题的典型题型，核心是掌握将立体图形转化为平面图形求解的思路，解题时需准确计算展开后直角边的长度，避免因展开方式判断错误导致计算失误。
【难度系数】
0.6
