1. [2026常州天宁区期中]如图,在$∠ AOB$的两边上,分别取$OM=ON$,再分别过点$M,N$作$OA,OB$的垂线,交点为$P$,画射线$OP$.判断$△ OMP ≌ △ ONP$的依据是 ()

A."SAS"
B."SSS"
C."ASA"
D."HL"

由题意,得 $△ OMP$ 和 $△ ONP$ 都是直角三角形. 在$\mathrm{Rt}△ OMP$和$\mathrm{Rt}△ ONP$中,$\begin{cases} OP = OP,\\ OM = ON,\end{cases} \therefore \mathrm{Rt}△ OMP ≌ \mathrm{Rt}△ ONP(\mathrm{HL}).$

【分析】
首先根据题目中“过点M,N作OA,OB的垂线”的条件，可得出△OMP和△ONP均为直角三角形；再梳理边的相等条件：已知OM=ON，且OP是两个三角形的公共斜边，即OP=OP；最后结合直角三角形全等的判定规则，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，对应HL判定定理，即可选出正确答案。
【解析】
由题意得，PM⊥OA，PN⊥OB，因此∠OMP=∠ONP=90°，即△OMP和△ONP都是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ OMP$和$\mathrm{Rt}△ ONP$中：
$\begin{cases} OP = OP,\\ OM = ON,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ OMP ≌ \mathrm{Rt}△ ONP(\mathrm{HL}).$
【答案】
D
【知识点】
HL判定定理，垂线的定义
【点评】
本题是全等三角形判定的基础应用题，解题关键是先根据垂线的特征确定三角形为直角三角形，再结合已知的边相等条件匹配对应的判定依据即可求解。
【难度系数】
0.9

2.如图,点O在一块直角三角板ABC上(其中∠ABC=30°),OM⊥AB于点M,ON⊥BC于点N.若OM=ON,则∠ABO=°.

在$\mathrm{Rt}△ OMB$ 和 $\mathrm{Rt}△ ONB$ 中,$\begin{cases} OB = OB,\\ OM = ON,\end{cases} \therefore \mathrm{Rt}△ OMB ≌ \mathrm{Rt}△ ONB\ (\mathrm{HL}), \therefore\ ∠ OBM = ∠ OBN.\ \because\ ∠ ABC = 30°, \therefore\ ∠ ABO = 15°.$

【分析】
本题可通过证明直角三角形全等推导角的数量关系求解。首先由OM⊥AB、ON⊥BC可知△OMB和△ONB均为直角三角形，两个三角形有公共斜边OB，结合已知OM=ON，可利用HL定理证明两三角形全等，得到∠OBM=∠OBN，即OB平分∠ABC，再结合∠ABC=30°即可求出∠ABO的度数。
【解析】
∵ OM⊥AB，ON⊥BC，
∴ △OMB和△ONB都是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ OMB$ 和 $\mathrm{Rt}△ ONB$ 中：
$\begin{cases} OB = OB,\\ OM = ON,\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ OMB ≌ \mathrm{Rt}△ ONB\ (\mathrm{HL})$，
∴ $∠ OBM = ∠ OBN$，即OB平分$∠ ABC$。
∵ $∠ ABC = 30°$，
∴ $∠ ABO = \frac{1}{2}∠ ABC = \frac{1}{2} × 30° = 15°$。
【答案】
15
【知识点】
HL全等判定，全等三角形性质，角平分线定义
【点评】
本题属于基础几何题，解题关键是找到两个直角三角形的公共斜边，结合已知的直角边相等证明全等，进而得到角的等分关系，解题思路清晰，考查的是基础定理的应用。
【难度系数】
0.8

3. 如图，D为Rt△ABC中斜边BC上的一点，且BD = AB，过点D作BC的垂线，交AC于点E。若AE = 6 cm，则DE的长为 cm.

如图,连接 $BE$(连接公共边,构全等). 由题意,得 $∠ A = ∠ BDE = 90°$. 在 $\mathrm{Rt}\ △ DBE$ 和 $\mathrm{Rt}△ ABE$ 中,$\begin{cases} BE = BE,\\ BD = BA,\end{cases} \therefore \mathrm{Rt}△ DBE ≌ \mathrm{Rt}△ ABE(\mathrm{HL}), \therefore\ DE = AE.\ \because\ AE = 6\ \mathrm{cm}, \therefore\ DE = 6\ \mathrm{cm}.$

【分析】
要求DE的长度，已知AE的长度，我们需要找到DE和AE的数量关系。观察图形可得，∠A是直角，DE⊥BC可得∠BDE也是直角，又已知BD=AB，若连接公共边BE，即可得到两个共斜边的直角三角形，可利用HL定理证明这两个直角三角形全等，再根据全等三角形对应边相等就能得到DE=AE，进而求出DE的长度。
【解析】
如图，连接BE。
由题意得，$∠ A = ∠ BDE = 90°$，因此$△ ABE$和$△ DBE$均为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ DBE$和$\mathrm{Rt}△ ABE$中：
$\begin{cases} BE = BE(\mathrm{公共边}) \\ BD = BA(\mathrm{已知}) \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ DBE ≌ \mathrm{Rt}△ ABE(\mathrm{HL})$
根据全等三角形对应边相等，可得$DE = AE$。
$\because AE = 6\ \mathrm{cm}$，$\therefore DE = 6\ \mathrm{cm}$。
【答案】
6
【知识点】
直角三角形全等的判定、全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题型，解题关键是通过连接公共边构造全等直角三角形，利用HL定理证明全等后即可得到对应边的等量关系，进而求出未知线段长度。
【难度系数】
0.75

4. [2026 扬州梅岭中学教育集团期中] 如图,在锐角三角形ABC中,$AD ⊥ BC$于点D,点E在AD上,$BE = AC$,$BD = AD$,F为BC的中点,连接EF并延长至点M,使$FM = EF$,连接CM.
(1)求证:$DE = DC$;
(2)若$AC = 7$,求MC的长.

(1)证明:$\because AD ⊥ BC$ 于点 $D$,
$\therefore ∠ BDE = ∠ ADC = 90°$.
在$\mathrm{Rt}△ BDE$ 和 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 中,$\begin{cases} BE = AC,\\ BD = AD,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BDE ≌ \mathrm{Rt}△ ADC(\mathrm{HL}) ,\therefore\ DE = DC.$
(2)解:$\because \mathrm{Rt}△ BDE ≌ \mathrm{Rt}△ ADC ,AC = 7,$
$\therefore BE = AC = 7.$
$\because F$ 为 $BC$ 的中点,$\therefore CF = BF.$
在$△ CFM$ 和 $△ BFE$ 中,$\begin{cases} CF = BF,\\ ∠ CFM = ∠ BFE,\\ FM = FE,\end{cases}$
$\therefore △ CFM ≌ △ BFE(\mathrm{SAS}),$
$\therefore MC = BE = 7$,即 $MC$ 的长为 $7.$

【分析】
(1) 要证明$DE=DC$，可通过证明$DE$和$DC$所在的三角形全等来推导。已知$AD⊥ BC$，可得$△ BDE$和$△ ADC$均为直角三角形，结合题中给出的$BE=AC$、$BD=AD$，符合直角三角形全等的HL判定条件，证得全等后即可推出对应边相等。
(2) 要求$MC$的长，可通过全等三角形将$MC$转化为已知长度的线段。已知$F$是$BC$中点，可得$BF=CF$，再结合对顶角相等、$FM=EF$，可通过SAS证明$△ CFM$和$△ BFE$全等，得到$MC=BE$，再结合第一问的全等结论可知$BE=AC$，代入已知$AC$的长度即可求出$MC$的长。
【解析】
(1) 证明：$\because AD ⊥ BC$ 于点 $D$,
$\therefore ∠ BDE = ∠ ADC = 90°$.
在$\mathrm{Rt}△ BDE$ 和 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 中,
$\begin{cases} BE = AC,\\ BD = AD,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BDE ≌ \mathrm{Rt}△ ADC(\mathrm{HL}) ,$
$\therefore DE = DC.$
(2) 解：$\because \mathrm{Rt}△ BDE ≌ \mathrm{Rt}△ ADC ,AC = 7,$
$\therefore BE = AC = 7.$
$\because F$ 为 $BC$ 的中点,
$\therefore CF = BF.$
在$△ CFM$ 和 $△ BFE$ 中,
$\begin{cases} CF = BF,\\ ∠ CFM = ∠ BFE,\\ FM = FE,\end{cases}$
$\therefore △ CFM ≌ △ BFE(\mathrm{SAS}),$
$\therefore MC = BE = 7$,即 $MC$ 的长为 $7.$
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $\boxed{7}$
【知识点】
HL证全等，SAS证全等，全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形判定与性质的综合基础题，解题的核心是结合已知条件和待求结论，找准对应全等三角形，选择合适的判定定理完成证明，再通过全等性质实现边角关系的转化，是几何证明的典型基础题型。
【难度系数】
0.75

5. $\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DEF$如图所示，$∠ C = ∠ F = 90°$.

(1)若$∠ A = ∠ D$，$BC = EF$，则 $\mathrm{Rt}△ ABC ≌ \mathrm{Rt}△ DEF$的判定依据是“”；
(2)若$∠ A = ∠ D$，$AC = DF$，则 $\mathrm{Rt}△ ABC ≌ \mathrm{Rt}△ DEF$的判定依据是“”；
(3)若$∠ A = ∠ D$，$AB = DE$，则 $\mathrm{Rt}△ ABC ≌ \mathrm{Rt}△ DEF$的判定依据是“”；
(4)若$AC = DF$，$AB = DE$，则 $\mathrm{Rt}△ ABC ≌ \mathrm{Rt}△ DEF$的判定依据是“”；
(5)若$AC = DF$，$CB = FE$，则 $\mathrm{Rt}△ ABC ≌ \mathrm{Rt}△ DEF$的判定依据是“”.

(1)AAS;(2)ASA;(3)AAS;(4)HL;(5)SAS

【分析】
要解决这道题，首先明确已知前提：两个三角形都是直角三角形，已有$∠C=∠F=90°$这一组相等的角，再结合每小问给出的两组相等条件，对应全等三角形的判定定理（普通三角形：SAS、ASA、AAS、SSS；直角三角形特有：HL，即斜边和一条直角边对应相等则全等）逐一匹配即可。思考时先列出所有已知的相等边、角，再看这些边角组合符合哪条判定定理的要求。
【解析】
已知$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DEF$中，$∠ C = ∠ F = 90°$，据此结合各小问条件分析：
(1) 已知$∠ A = ∠ D$，$∠ C = ∠ F$，$BC = EF$，其中$BC$是$∠A$的对边，$EF$是$∠D$的对边，满足“两角及其中一角的对边对应相等”，判定依据为AAS。
(2) 已知$∠ A = ∠ D$，$AC = DF$，$∠ C = ∠ F$，其中$AC$是$∠A$和$∠C$的夹边，$DF$是$∠D$和$∠F$的夹边，满足“两角及其夹边对应相等”，判定依据为ASA。
(3) 已知$∠ A = ∠ D$，$∠ C = ∠ F$，$AB = DE$，其中$AB$是$∠C$的对边，$DE$是$∠F$的对边，满足“两角及其中一角的对边对应相等”，判定依据为AAS。
(4) 已知$AC = DF$（一组直角边对应相等），$AB = DE$（一组斜边对应相等），符合直角三角形特有的“斜边和一条直角边对应相等”的判定规则，判定依据为HL。
(5) 已知$AC = DF$，$∠ C = ∠ F$，$CB = FE$，满足“两边及其夹角对应相等”，判定依据为SAS。
【答案】
(1)AAS;(2)ASA;(3)AAS;(4)HL;(5)SAS
【知识点】
三角形全等的判定；直角三角形全等的判定
【点评】
本题是全等判定的基础应用题，解题时要注意利用直角相等的隐含条件，准确区分不同判定定理对应的边角组合，尤其注意HL定理仅适用于直角三角形的全等判定。
【难度系数】
0.8

6. 》新趋势·过程性学习 [2026 南京江宁区月考]如图,点D,E分别在AB,AC上,∠ADC = ∠AEB = 90°,BE,CD相交于点O,OB = OC.求证:∠1 = ∠2.
小虎同学的证明过程如下:
证明:∵ ∠ADC = ∠AEB = 90°,
∴ ∠DOB + ∠B = ∠EOC + ∠C = 90°.
又∵ ∠DOB = ∠EOC,
∴ ∠B = ∠C. …………第一步
又∵ OA = OA,OB = OC,
∴ △ABO≌△ACO, …………第二步
∴ ∠1 = ∠2. …………………第三步
(1)小虎同学的证明过程中,第步出现错误;
(2)请写出正确的证明过程.

(1)二
(2)证明:$\because ∠ ADC = ∠ AEB = 90°,$
$\therefore ∠ BDC = ∠ CEB = 90°.$
在$△ DOB$ 和 $△ EOC$ 中,$\begin{cases} ∠ BDO = ∠ CEO,\\ ∠ DOB = ∠ EOC,\\ OB = OC,\end{cases}$
$\therefore △ DOB ≌ △ EOC(\mathrm{AAS}) ,\therefore\ OD = OE.$
在$\mathrm{Rt}△ ADO$ 和 $\mathrm{Rt}△ AEO$ 中,$\begin{cases} OA = OA,\\ OD = OE,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADO ≌ \mathrm{Rt}△ AEO(\mathrm{HL}) ,\therefore\ ∠ 1 = ∠ 2.$

【分析】
(1) 判定小虎证明的错误步骤，需结合全等三角形判定规则分析：全等三角形判定仅有SSS、SAS、ASA、AAS、HL（仅适用于直角三角形），不存在SSA判定方法。小虎第一步推导∠B=∠C是正确的，第二步用OA=OA、OB=OC、∠B=∠C证明△ABO≌△ACO，属于两边及其中一边的对角对应相等（SSA），不符合全等判定要求，因此第二步错误。
(2) 要证∠1=∠2，可通过证明△ADO≌△AEO实现：首先利用已知直角、对顶角相等、OB=OC，用AAS证明△DOB≌△EOC，得到OD=OE；再结合公共边OA=OA，用HL证明两个直角三角形全等，即可推出∠1=∠2。
【解析】
(1) 第二步证明△ABO≌△ACO时使用了SSA的判定逻辑，不符合全等三角形的判定定理，因此第二步出现错误。
(2) 正确证明过程：
∵ ∠ADC = ∠AEB = 90°,
∴ ∠BDC = ∠CEB = 90°.
在$△ DOB$ 和 $△ EOC$ 中,
$\begin{cases} ∠ BDO = ∠ CEO,\\ ∠ DOB = ∠ EOC,\\ OB = OC,\end{cases}$
$\therefore △ DOB ≌ △ EOC(\mathrm{AAS}) ,$
$\therefore\ OD = OE.$
在$\mathrm{Rt}△ ADO$ 和 $\mathrm{Rt}△ AEO$ 中,
$\begin{cases} OA = OA,\\ OD = OE,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADO ≌ \mathrm{Rt}△ AEO(\mathrm{HL}) ,$
$\therefore\ ∠ 1 = ∠ 2.$
【答案】
(1) 二
(2) 证明:$\because ∠ ADC = ∠ AEB = 90°,$
$\therefore ∠ BDC = ∠ CEB = 90°.$
在$△ DOB$ 和 $△ EOC$ 中,$\begin{cases} ∠ BDO = ∠ CEO,\\ ∠ DOB = ∠ EOC,\\ OB = OC,\end{cases}$
$\therefore △ DOB ≌ △ EOC(\mathrm{AAS}) ,\therefore\ OD = OE.$
在$\mathrm{Rt}△ ADO$ 和 $\mathrm{Rt}△ AEO$ 中,$\begin{cases} OA = OA,\\ OD = OE,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADO ≌ \mathrm{Rt}△ AEO(\mathrm{HL}) ,\therefore\ ∠ 1 = ∠ 2.$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；直角三角形全等的判定（HL）
【点评】
本题重点考查全等三角形的判定和性质应用，需要注意SSA不能作为一般三角形全等的判定依据，解题时可从待证结论倒推需要的条件，逐步梳理逻辑完成证明。
【难度系数】
0.65