6. [2025无锡宜兴期末] 如图，已知$AB // CD$，$AD // BC$，$AC$与$BD$交于点$O$，$AE ⊥ BD$于点$E$，$CF ⊥ BD$于点$F$，则图中全等的三角形有 （）

A.5对
B.6对
C.7对
D.8对

如图,,
∵ AB//CD,AD//BC,
∴ ∠4 = ∠2, ∠1 = ∠3.
又
∵ BD = DB,
∴ △ABD≌△CDB(ASA),同理可证△ABC≌△CDA,
∴ AB = CD, AD = BC.
∵ ∠AOD = ∠COB, ∠1 = ∠3, AD = CB,
∴ △AOD≌△COB(AAS),同理可证△AOB≌△COD.
∵ AE ⊥ BD, CF ⊥ BD,
∴ ∠AED = ∠CFB = 90°.
又
∵ ∠1 = ∠3, AD = CB,
∴ △ADE≌△CBF(AAS),
∴ AE = CF. 又
∵ ∠AEO = ∠CFO = 90°, ∠AOE = ∠COF,
∴ △AOE≌△COF(AAS).
∵ AE = CF, ∠4 = ∠2, ∠AEB = ∠CFD = 90°,
∴ △ABE≌△CDF(AAS). 综上可知,图中全等的三角形有7对.

【分析】
解题时我们可以按照从整体到局部的顺序查找全等三角形：首先根据两组对边分别平行的条件，利用平行线的性质得到相等的角，先证明大的三角形全等，得到对应边相等的结论；再利用得到的边角相等关系，依次证明对角线分割出的三角形全等；最后结合AE⊥BD、CF⊥BD得到的直角，证明直角三角形全等，查找过程中注意不要重复、不要遗漏。
【解析】
如图,,
∵ AB//CD,AD//BC,
∴ ∠4 = ∠2, ∠1 = ∠3.
又
∵ BD = DB,
∴ △ABD≌△CDB(ASA)，同理可证△ABC≌△CDA,
∴ AB = CD, AD = BC.
∵ ∠AOD = ∠COB, ∠1 = ∠3, AD = CB,
∴ △AOD≌△COB(AAS)，同理可证△AOB≌△COD.
∵ AE ⊥ BD, CF ⊥ BD,
∴ ∠AED = ∠CFB = 90°.
又
∵ ∠1 = ∠3, AD = CB,
∴ △ADE≌△CBF(AAS),
∴ AE = CF.
又
∵ ∠AEO = ∠CFO = 90°, ∠AOE = ∠COF,
∴ △AOE≌△COF(AAS).
∵ AE = CF, ∠4 = ∠2, ∠AEB = ∠CFD = 90°,
∴ △ABE≌△CDF(AAS).
综上可知,图中全等的三角形有7对。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质，全等三角形的判定，平行四边形的性质
【点评】
本题是全等三角形判定的典型题型，按固定顺序查找全等三角形可有效避免漏数或多数，熟练掌握ASA、AAS等全等判定定理是解题的核心。
【难度系数】
0.6

7. [2025南京外国语学校月考]如图，AD为$△ ABC$的中线，$AE = AB$，$AF = AC$，连接$EF$，$EB$，$CF$。若$EF = 2AD$，$△ AEF$的面积为3，则$△ ADC$的面积为。

如图,,延长AD至点G,使DG = AD,连接BG(利用倍长中线法构造全等三角形).
∵ AD 为△ABC 的中线,
∴ $S_{△ADC} = S_{△ADB}$, BD = DC. 又
∵ ∠ADC = ∠GDB,
∴ △ADC≌△GDB(SAS),
∴ $S_{△ADC} = S_{△GDB}$, AC = BG.
∵ AC = AF,
∴ BG = AF.
∵ EF = 2AD, AG = 2AD,
∴ EF = AG. 又
∵ AE = AB,
∴ △AEF≌△BAG(SSS),
∴ $S_{△ABG} = S_{△AEF} = 3$,
∴ $S_{△ADC} = S_{△BDG} = S_{△ABD} = \frac{1}{2}S_{△ABG} = 1.5$.

【分析】
遇到三角形中线相关的问题，通常可以采用倍长中线法构造全等三角形，将分散的已知条件整合。本题已知AD是△ABC的中线，且给出EF=2AD，我们可先延长AD到G，使DG=AD，构造△ADC与△GDB全等，将AC转化为BG，结合AF=AC可得BG=AF；再结合已知AE=AB，EF=AG=2AD，可证△AEF与△BAG全等，得到两者面积相等；最后利用全等三角形面积相等、三角形中线平分三角形面积的性质，即可求出△ADC的面积。
【解析】
解：延长AD至点G，使DG = AD，连接BG，如图。
∵ AD为△ABC的中线，
∴ BD = DC，且中线将三角形分为面积相等的两部分，即$S_{△ADC} = S_{△ADB}$。
在△ADC和△GDB中：
$\begin{cases}AD = GD \\∠ADC = ∠GDB \\DC = DB\end{cases}$
∴ △ADC≌△GDB（SAS），
∴ $S_{△ADC} = S_{△GDB}$，$AC = BG$。
∵ $AF = AC$，
∴ $BG = AF$。
∵ $AG = AD + DG = 2AD$，且已知$EF = 2AD$，
∴ $EF = AG$。
在△AEF和△BAG中：
$\begin{cases}AE = AB \\AF = BG \\EF = AG\end{cases}$
∴ △AEF≌△BAG（SSS），
∴ $S_{△BAG} = S_{△AEF} = 3$。
∵ $S_{△ABG} = S_{△ADB} + S_{△GDB} = S_{△ADB} + S_{△ADC} = 2S_{△ADC}$，
∴ $S_{△ADC} = \frac{1}{2}S_{△ABG} = \frac{1}{2}×3 = 1.5$。
【答案】
1.5（或$\frac{3}{2}$）
【知识点】
倍长中线法，全等三角形的判定与性质，三角形中线的性质
【点评】
本题是三角形全等应用的典型题型，核心考查倍长中线辅助线的构造思路，通过全等三角形实现边和面积的转化，解题关键是结合中线和EF=2AD的条件构造全等，将未知面积与已知面积建立关联。
【难度系数】
0.6

8. 在∠MAN内有一点D,过点D分别作DB⊥AM,DC⊥AN,垂足分别为B,C,且BD=CD,点E,F分别在边AM和AN上.
(1) 如图1,若∠BED = ∠CFD,请说明DE=DF;
(2)如图2,若∠BDC=120°,∠EDF=60°,猜想EF,BE,CF之间的数量关系,并说明理由.

解:(1)因为DB⊥AM,DC⊥AN,
所以∠DBE = ∠DCF = 90°.
在△BDE和△CDF中, $\begin{cases} ∠BED = ∠CFD, \\ ∠DBE = ∠DCF, \\ BD = CD, \end{cases}$
所以△BDE≌△CDF(AAS),所以DE = DF.
(2)EF = CF + BE. 理由如下:
如图,,过点D在CD的右侧作∠CDG = ∠BDE,交AN于点G.
在△BDE和△CDG中, $\begin{cases} ∠EBD = ∠GCD, \\ BD = CD, \\ ∠BDE = ∠CDG, \end{cases}$
所以△BDE≌△CDG(ASA),
所以DE = DG, BE = CG.
因为∠BDC = 120°, ∠EDF = 60°,
所以∠BDE + ∠CDF = 60°,
所以∠FDG = ∠CDG + ∠CDF = 60°,
所以∠EDF = ∠GDF.
在△EDF和△GDF中, $\begin{cases} DE = DG, \\ ∠EDF = ∠GDF, \\ DF = DF, \end{cases}$
所以△EDF≌△GDF(SAS),所以EF = GF,
所以EF = GF = CF + CG = CF + BE.

【分析】
(1) 要证DE=DF，可通过证明DE、DF所在的△BDE和△CDF全等来推导。已知DB⊥AM、DC⊥AN，可得∠DBE=∠DCF=90°，结合题给的∠BED=∠CFD、BD=CD，满足AAS全等判定的条件，证得两三角形全等后即可得到对应边相等。
(2) 探究三条线段的数量关系，可采用构造全等转化线段的思路：已知BD=CD，作∠CDG=∠BDE，先证△BDE≌△CDG，将BE转化为CG；再结合∠BDC=120°、∠EDF=60°推导得∠EDF=∠GDF，证△EDF≌△GDF，将EF转化为GF，即可得到三条线段的和差关系。
【解析】
(1) 因为DB⊥AM，DC⊥AN，
所以∠DBE = ∠DCF = 90°。
在△BDE和△CDF中，
$\begin{cases} ∠BED = ∠CFD, \\ ∠DBE = ∠DCF, \\ BD = CD, \end{cases}$
所以△BDE≌△CDF(AAS)，因此DE = DF。
(2) 猜想EF=BE+CF，理由如下：
如图，，过点D在CD的右侧作∠CDG = ∠BDE，交AN于点G。
在△BDE和△CDG中，
$\begin{cases} ∠EBD = ∠GCD=90°, \\ BD = CD, \\ ∠BDE = ∠CDG, \end{cases}$
所以△BDE≌△CDG(ASA)，
所以DE = DG，BE = CG。
因为∠BDC = 120°，∠EDF = 60°，
所以∠BDE + ∠CDF = ∠BDC - ∠EDF = 60°，
所以∠FDG = ∠CDG + ∠CDF = ∠BDE + ∠CDF = 60°，即∠EDF = ∠GDF。
在△EDF和△GDF中，
$\begin{cases} DE = DG, \\ ∠EDF = ∠GDF, \\ DF = DF, \end{cases}$
所以△EDF≌△GDF(SAS)，因此EF = GF。
又因为GF = CF + CG = CF + BE，所以EF=BE+CF。
【答案】
(1) DE=DF；
(2) EF=BE+CF，辅助线如图。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；角的和差运算；构造全等辅助线
【点评】
本题是全等三角形应用的典型题型，第一问较为基础，可直接利用AAS判定全等求解；第二问需要结合已知角的数量关系构造辅助线，通过两次全等实现线段的转化，能有效考查对全等知识的灵活运用能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6

9. 推理能力 [2025南京梅山一中模拟] 如图，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形，并将添加的全等条件标注在图上。
请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
(1)如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，∠B = 60°，AD，CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线，AD，CE相交于点F，求∠EFA的度数。
(2)在(1)的条件下，请判断FE与FD之间的数量关系，并说明理由。
(3)如图，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其他条件不变，试问(2)中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

解:如图1,,分别在OM,ON上取点A,B,使OA = OB,在OP上任取一点C,连接AC,BC,则△OAC≌△OBC.
(1)
∵ ∠ACB = 90°, ∠B = 60°,
∴ ∠BAC = 30°.
∵ AD,CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线,
∴ ∠DAC = $\frac{1}{2}∠BAC = 15°$, ∠ECA = $\frac{1}{2}∠ACB = 45°$,
∴ ∠EFA = ∠DAC + ∠ECA = 15° + 45° = 60°.
(2)FE = FD. 理由如下:
如图2,,在AC上截取AG = AE,连接FG.
∵ AD是∠BAC的平分线,
∴ ∠EAF = ∠GAF.
在△EAF和△GAF中, $\begin{cases} AE = AG, \\ ∠EAF = ∠GAF, \\ AF = AF, \end{cases}$
∴ △EAF≌△GAF(SAS),
∴ FE = FG, ∠GFA = ∠EFA = 60°,
∴ ∠GFC = 180° - 60° - 60° = 60°.
∵ ∠DFC = ∠EFA = 60°,
∴ ∠DFC = ∠GFC.
∵ CE平分∠BCA,
∴ ∠FCD = ∠FCG.
在△FDC和△FGC中, $\begin{cases} ∠DFC = ∠GFC, \\ FC = FC, \\ ∠FCD = ∠FCG, \end{cases}$
∴ △FDC≌△FGC(ASA),
∴ FD = FG,
∴ FE = FD.
(3)(2)中所得的结论FE = FD仍然成立. 理由如下:
如图3,,在AC上截取AH = AE,连接FH.
同(2)可得△EAF≌△HAF,
∴ FE = FH, ∠EFA = ∠HFA.
∵ AD平分∠BAC,CE平分∠ACB,
∴ ∠FAC = $\frac{1}{2}∠BAC$, ∠FCA = ∠FCD = $\frac{1}{2}∠ACB$,
∴ ∠FAC + ∠FCA = $\frac{1}{2}(∠BAC + ∠ACB) = \frac{1}{2}(180° - ∠B) = 60°$,
∴ ∠HFA = ∠EFA = ∠FAC + ∠FCA = 60°,
∴ ∠HFC = 180° - 60° - 60° = 60°.
∵ ∠DFC = ∠EFA = 60°,
∴ ∠DFC = ∠HFC.
又
∵ ∠DCF = ∠HCF, FC = FC,
∴ △FDC≌△FHC(ASA),
∴ FD = FH,
∴ FE = FD.

【分析】
本题以角平分线构造轴对称全等三角形为基础模型逐层设问：
1. 第一问求∠EFA的度数，先利用三角形内角和求出∠BAC的度数，再结合角平分线的定义得到∠DAC和∠ECA的度数，最后利用三角形外角的性质即可计算结果；
2. 第二问判断FE和FD的数量关系，参考开头的角平分线构造全等的方法，在AC上截取与AE相等的线段，先利用SAS证明一组全等得到FE与中间线段相等，再通过角度推导证明另一组ASA全等得到FD与该中间线段相等，等量代换即可得到结论；
3. 第三问探究非直角条件下结论是否成立，沿用第二问的构造思路，重复全等证明逻辑，即可验证结论仍然成立。
【解析】
作图部分
如图1，，分别在OM、ON上取点A、B，使OA=OB，在OP上任取一点C，连接AC、BC，可得△OAC≌△OBC。
(1)求∠EFA的度数
已知在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ BAC=180°-∠ ACB-∠ B=180°-90°-60°=30°$
∵AD、CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线
∴$∠ DAC=\frac{1}{2}∠ BAC=15°$，$∠ ECA=\frac{1}{2}∠ ACB=45°$
∵∠EFA是△AFC的外角，等于与它不相邻的两个内角之和
∴$∠ EFA=∠ DAC+∠ ECA=15°+45°=60°$
(2)判断FE与FD的数量关系
FE=FD，理由如下：
如图2，，在AC上截取AG=AE，连接FG。
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠EAF=∠GAF
在△EAF和△GAF中：
$\begin{cases} AE = AG, \\ ∠EAF = ∠GAF, \\ AF = AF, \end{cases}$
∴△EAF≌△GAF(SAS)
∴FE=FG，$∠ GFA=∠ EFA=60°$
∴$∠ GFC=180°-∠ GFA-∠ EFA=180°-60°-60°=60°$
∵∠DFC和∠EFA是对顶角，
∴$∠ DFC=∠ EFA=60°$，即$∠ DFC=∠ GFC$
∵CE平分∠BCA，
∴∠FCD=∠FCG
在△FDC和△FGC中：
$\begin{cases} ∠DFC = ∠GFC, \\ FC = FC, \\ ∠FCD = ∠FCG, \end{cases}$
∴△FDC≌△FGC(ASA)
∴FD=FG
∴FE=FD
(3)探究非直角条件下结论是否成立
(2)中所得的结论FE=FD仍然成立，理由如下：
如图3，，在AC上截取AH=AE，连接FH。
同(2)可证△EAF≌△HAF(SAS)
∴FE=FH，$∠ EFA=∠ HFA$
∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB
∴$∠ FAC=\frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ FCA=\frac{1}{2}∠ ACB$
∴$∠ FAC+∠ FCA=\frac{1}{2}(∠ BAC+∠ ACB)=\frac{1}{2}(180°-∠ B)=\frac{1}{2}×120°=60°$
∴$∠ EFA=∠ FAC+∠ FCA=60°$，即$∠ HFA=∠ EFA=60°$
∴$∠ HFC=180°-∠ HFA-∠ EFA=180°-60°-60°=60°$
∵∠DFC和∠EFA是对顶角，
∴$∠ DFC=∠ EFA=60°$，即$∠ DFC=∠ HFC$
在△FDC和△FHC中：
$\begin{cases} ∠DFC = ∠HFC, \\ FC = FC, \\ ∠FCD = ∠HCF, \end{cases}$
∴△FDC≌△FHC(ASA)
∴FD=FH
∴FE=FD
【答案】
如图1,,分别在OM,ON上取点A,B,使OA = OB,在OP上任取一点C,连接AC,BC,则△OAC≌△OBC.
(1)
∵ ∠ACB = 90°, ∠B = 60°,
∴ ∠BAC = 30°.
∵ AD,CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线,
∴ ∠DAC = $\frac{1}{2}∠BAC = 15°$, ∠ECA = $\frac{1}{2}∠ACB = 45°$,
∴ ∠EFA = ∠DAC + ∠ECA = 15° + 45° = 60°.
(2)FE = FD. 理由如下:
如图2,,在AC上截取AG = AE,连接FG.
∵ AD是∠BAC的平分线,
∴ ∠EAF = ∠GAF.
在△EAF和△GAF中, $\begin{cases} AE = AG, \\ ∠EAF = ∠GAF, \\ AF = AF, \end{cases}$
∴ △EAF≌△GAF(SAS),
∴ FE = FG, ∠GFA = ∠EFA = 60°,
∴ ∠GFC = 180° - 60° - 60° = 60°.
∵ ∠DFC = ∠EFA = 60°,
∴ ∠DFC = ∠GFC.
∵ CE平分∠BCA,
∴ ∠FCD = ∠FCG.
在△FDC和△FGC中, $\begin{cases} ∠DFC = ∠GFC, \\ FC = FC, \\ ∠FCD = ∠FCG, \end{cases}$
∴ △FDC≌△FGC(ASA),
∴ FD = FG,
∴ FE = FD.
(3)(2)中所得的结论FE = FD仍然成立. 理由如下:
如图3,,在AC上截取AH = AE,连接FH.
同(2)可得△EAF≌△HAF,
∴ FE = FH, ∠EFA = ∠HFA.
∵ AD平分∠BAC,CE平分∠ACB,
∴ ∠FAC = $\frac{1}{2}∠BAC$, ∠FCA = ∠FCD = $\frac{1}{2}∠ACB$,
∴ ∠FAC + ∠FCA = $\frac{1}{2}(∠BAC + ∠ACB) = \frac{1}{2}(180° - ∠B) = 60°$,
∴ ∠HFA = ∠EFA = ∠FAC + ∠FCA = 60°,
∴ ∠HFC = 180° - 60° - 60° = 60°.
∵ ∠DFC = ∠EFA = 60°,
∴ ∠DFC = ∠HFC.
又
∵ ∠DCF = ∠HCF, FC = FC,
∴ △FDC≌△FHC(ASA),
∴ FD = FH,
∴ FE = FD.
【知识点】
1. 角平分线的定义
2. 全等三角形的判定与性质
3. 三角形外角的性质
【点评】
本题是典型的几何探究类问题，从基础的角平分线构造全等模型出发，由特殊到一般逐层设问，既考查了角度计算等基础知识点，又锻炼了构造全等三角形的辅助线作图能力和几何逻辑推理能力，能够帮助掌握角平分线背景下的全等证明方法。
【难度系数】
0.6