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7. 易错题 [2026 无锡港下中学月考] 在 $△ ABC$ 和 $△ A'B'C'$ 中，$AB = A'B'$，$AC = A'C'$，高 $AD =$ 高 $A'D'$，则 $∠ ACB$ 和 $∠ A'C'B'$ 的关系是 (
A.相等
B.互补
C.相等或互补
D.以上都不对
C
)A.相等
B.互补
C.相等或互补
D.以上都不对
答案
当$∠ A'C'B'$为锐角时,如图1. 在$\mathrm{Rt}△ ADC$ 和 $\mathrm{Rt}△ A'D'C'$中,$∠ ADC = ∠ A' D' C' = 90°, AC = A' C', AD = A' D', \therefore \mathrm{Rt}△ ADC ≌ \mathrm{Rt}△ A'D'C'(\mathrm{HL}), \therefore ∠ C = ∠ A'C'B'.$ 当$∠ A'C'B'$为钝角时,如图2. 在 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 和 $\mathrm{Rt}△ A'D'C'$ 中,$∠ ADC = ∠ A'D'C' = 90°, AC = A'C', AD = A'D', \therefore \mathrm{Rt}△ ACD ≌ \mathrm{Rt}△ A'C'D'(\mathrm{HL}), \therefore ∠ C = ∠ A'C'D'.\ \because\ ∠ A'C'D' + ∠ A'C'B' = 180°, \therefore ∠ C + ∠ A'C'B' = 180°.$ 综上所述,$∠ C$ 和$∠ A'C'B'$的关系是相等或互补.
解析
【分析】
解题时需注意三角形的高可能在三角形内部，也可能在三角形外部，因此要分两种情况讨论：①当∠A'C'B'为锐角时，高A'D'在△A'B'C'内部；②当∠A'C'B'为钝角时，高A'D'在△A'B'C'外部。两种情况均可先通过HL判定两个直角三角形全等，再根据全等三角形的性质及补角的定义推导∠ACB和∠A'C'B'的关系。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$∠ A'C'B'$为锐角时，如图1：
在$\mathrm{Rt}△ ADC$ 和 $\mathrm{Rt}△ A'D'C'$中，$\begin{cases}AC = A' C'\\ AD = A' D'\end{cases}$，且$∠ ADC = ∠ A' D' C' = 90°$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADC ≌ \mathrm{Rt}△ A'D'C'(\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠ ACB = ∠ A'C'B'$。
2. 当$∠ A'C'B'$为钝角时，如图2：
在 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 和 $\mathrm{Rt}△ A'D'C'$ 中，$\begin{cases}AC = A' C'\\ AD = A' D'\end{cases}$，且$∠ ADC = ∠ A' D' C' = 90°$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ ACD ≌ \mathrm{Rt}△ A'C'D'(\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠ ACB = ∠ A'C'D'$，
$\because ∠ A'C'D' + ∠ A'C'B' = 180°$，
$\therefore ∠ ACB + ∠ A'C'B' = 180°$，即两角互补。
综上所述，$∠ ACB$ 和$∠ A'C'B'$的关系是相等或互补。
【答案】C
【知识点】
HL判定全等；三角形的高；补角的性质
【点评】
本题是易错题，很多同学容易只考虑高在三角形内部的情况，忽略高在钝角三角形外部的情况，解题时要注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解题时需注意三角形的高可能在三角形内部，也可能在三角形外部，因此要分两种情况讨论：①当∠A'C'B'为锐角时，高A'D'在△A'B'C'内部；②当∠A'C'B'为钝角时，高A'D'在△A'B'C'外部。两种情况均可先通过HL判定两个直角三角形全等，再根据全等三角形的性质及补角的定义推导∠ACB和∠A'C'B'的关系。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$∠ A'C'B'$为锐角时，如图1：
在$\mathrm{Rt}△ ADC$ 和 $\mathrm{Rt}△ A'D'C'$中，$\begin{cases}AC = A' C'\\ AD = A' D'\end{cases}$，且$∠ ADC = ∠ A' D' C' = 90°$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADC ≌ \mathrm{Rt}△ A'D'C'(\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠ ACB = ∠ A'C'B'$。
2. 当$∠ A'C'B'$为钝角时，如图2：
在 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 和 $\mathrm{Rt}△ A'D'C'$ 中，$\begin{cases}AC = A' C'\\ AD = A' D'\end{cases}$，且$∠ ADC = ∠ A' D' C' = 90°$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ ACD ≌ \mathrm{Rt}△ A'C'D'(\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠ ACB = ∠ A'C'D'$，
$\because ∠ A'C'D' + ∠ A'C'B' = 180°$，
$\therefore ∠ ACB + ∠ A'C'B' = 180°$，即两角互补。
综上所述，$∠ ACB$ 和$∠ A'C'B'$的关系是相等或互补。
【答案】C
【知识点】
HL判定全等；三角形的高；补角的性质
【点评】
本题是易错题，很多同学容易只考虑高在三角形内部的情况，忽略高在钝角三角形外部的情况，解题时要注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
8. 易错题 [2026 广州培正中学月考] 如图, 在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=10$,$BC=5$,线段$PQ=AB$,$P,Q$两点分别在$AC$和过点$A$且垂直于$AC$的射线$AO$上运动,当$AP$的长度为
5或10
时,$△ ABC$和$△ PQA$全等.答案
$\because\ ∠ C = 90°, AO ⊥ AC, \therefore\ ∠ C = ∠ QAP = 90°.$
①当$AP = 5 = BC$时,在 $\mathrm{Rt}△ ACB$ 和 $\mathrm{Rt}△ QAP$ 中,$\begin{cases} AB = QP,\\ BC = PA,\end{cases} \therefore \mathrm{Rt}△ ACB ≌ \mathrm{Rt}△ QAP\ (\mathrm{HL});$ ②当 $AP = 10 = AC$ 时,在$\mathrm{Rt}△ ACB$和$\mathrm{Rt}△ PAQ$中,$\begin{cases} AB = PQ,\\ AC = PA,\end{cases} \therefore \mathrm{Rt}△ ACB ≌ \mathrm{Rt}△ PAQ(\mathrm{HL}).$
①当$AP = 5 = BC$时,在 $\mathrm{Rt}△ ACB$ 和 $\mathrm{Rt}△ QAP$ 中,$\begin{cases} AB = QP,\\ BC = PA,\end{cases} \therefore \mathrm{Rt}△ ACB ≌ \mathrm{Rt}△ QAP\ (\mathrm{HL});$ ②当 $AP = 10 = AC$ 时,在$\mathrm{Rt}△ ACB$和$\mathrm{Rt}△ PAQ$中,$\begin{cases} AB = PQ,\\ AC = PA,\end{cases} \therefore \mathrm{Rt}△ ACB ≌ \mathrm{Rt}△ PAQ(\mathrm{HL}).$
解析
【分析】
本题考查直角三角形全等的HL判定，解题时首先明确两个三角形均为直角三角形，且已知斜边相等，因此只需满足一组直角边对应相等即可判定全等。由于运动过程中点P的位置可变，全等时的对应边存在两种情况，需分类讨论求解，避免漏解。
【解析】
已知$∠C=90°$，$AO⊥AC$，因此$∠C=∠QAP=90°$，即$△ ABC$和$△ PQA$均为直角三角形，且题中给出$PQ=AB$，根据直角三角形全等的HL判定定理，分两种情况讨论：
①当$AP=BC=5$时，在$\mathrm{Rt}△ ACB$ 和 $\mathrm{Rt}△ QAP$ 中,
$\begin{cases} AB = QP,\\ BC = PA,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ACB ≌ \mathrm{Rt}△ QAP\ (\mathrm{HL});$
②当 $AP = AC=10$ 时,在$\mathrm{Rt}△ ACB$和$\mathrm{Rt}△ PAQ$中,
$\begin{cases} AB = PQ,\\ AC = PA,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ACB ≌ \mathrm{Rt}△ PAQ(\mathrm{HL}).$
【答案】
$5$或$10$
【知识点】
1. 直角三角形全等的判定（HL）
2. 分类讨论思想
【点评】
本题为易错题，解题的关键是明确全等时对应边的两种可能情况，不少学生容易只考虑其中一种对应关系导致漏解，做题时要结合动点的运动范围全面分析所有可能的全等情况。
【难度系数】
0.6
本题考查直角三角形全等的HL判定，解题时首先明确两个三角形均为直角三角形，且已知斜边相等，因此只需满足一组直角边对应相等即可判定全等。由于运动过程中点P的位置可变，全等时的对应边存在两种情况，需分类讨论求解，避免漏解。
【解析】
已知$∠C=90°$，$AO⊥AC$，因此$∠C=∠QAP=90°$，即$△ ABC$和$△ PQA$均为直角三角形，且题中给出$PQ=AB$，根据直角三角形全等的HL判定定理，分两种情况讨论：
①当$AP=BC=5$时，在$\mathrm{Rt}△ ACB$ 和 $\mathrm{Rt}△ QAP$ 中,
$\begin{cases} AB = QP,\\ BC = PA,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ACB ≌ \mathrm{Rt}△ QAP\ (\mathrm{HL});$
②当 $AP = AC=10$ 时,在$\mathrm{Rt}△ ACB$和$\mathrm{Rt}△ PAQ$中,
$\begin{cases} AB = PQ,\\ AC = PA,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ACB ≌ \mathrm{Rt}△ PAQ(\mathrm{HL}).$
【答案】
$5$或$10$
【知识点】
1. 直角三角形全等的判定（HL）
2. 分类讨论思想
【点评】
本题为易错题，解题的关键是明确全等时对应边的两种可能情况，不少学生容易只考虑其中一种对应关系导致漏解，做题时要结合动点的运动范围全面分析所有可能的全等情况。
【难度系数】
0.6
9. [2026天津外国语大学附属滨海外国语学校月考]如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠B=90°，∠CDA的平分线交BC于点E，连接AE。若E为BC的中点，AD=12，BC=10，则四边形ABCD的面积为
60
。答案
如图,过点 $E$ 作 $EF ⊥ AD$ 于点 $F$,则$∠ EFD = 90°.\ \because\ E$ 是 $BC$ 的中点,$BC = 10, \therefore\ CE = BE = \frac{1}{2}BC = 5.\ \because\ DE$ 平分$∠ CDA, \therefore\ ∠ CDE = ∠ FDE.\ \because\ AB // CD, \therefore\ ∠ B + ∠ C = 180°.$又$\because\ ∠ B = 90°, \therefore\ ∠ C = 180° - 90° = 90°.\ \because\ ∠ C = ∠ DFE = 90°, ∠ CDE = ∠ FDE, DE = DE, \therefore\ △ CDE ≌ △ FDE(\mathrm{AAS}), \therefore\ EF = CE = 5 , S_{△ CDE} = S_{△ FDE}.$ 在 $\mathrm{Rt}△ AEF$ 和 $\mathrm{Rt}△ AEB$ 中,$∠ AFE = ∠ B = 90°, EF = EB, AE = AE, \therefore\ \mathrm{Rt}△ AEF ≌ \mathrm{Rt}△ AEB(\mathrm{HL}), \therefore\ S_{△ AEF} = S_{△ AEB}.$$\because\ S_{△ ADE} = \frac{1}{2}AD · EF = \frac{1}{2} × 12 × 5 = 30 , S_{△ ADE} = S_{△ FDE} + S_{△ AEF}, \therefore\ S_{\mathrm{四边形}ABCD} = S_{△ CDE} + S_{△ FDE} + S_{△ AEF} + S_{△ AEB} = 2( S_{△ FDE} + S_{△ AEF} ) = 2S_{△ ADE} = 2 × 30 = 60.$
解析
【分析】
解题思路如下：首先梳理题目已知条件：存在角平分线（DE平分∠CDA）、直角（∠B=90°，结合AB//CD可推出∠C=90°）、中点（E是BC中点）。遇到角平分线和直角的组合时，通常可以过角平分线上的点向角的两边作垂线，利用角平分线的性质得到相等线段，因此我们过E作EF⊥AD于F。第一步可证△CDE和△FDE全等，得到CE=EF，且两个三角形面积相等；再结合E是BC中点，推出EF=BE，进而可证Rt△AEF和Rt△AEB全等，得到这两个三角形面积也相等；此时四边形ABCD的面积可转化为2倍的△ADE的面积，计算出△ADE的面积即可得到最终结果。
【解析】
过点 $E$ 作 $EF ⊥ AD$ 于点 $F$，则$∠ EFD = 90°$。
$\because\ E$ 是 $BC$ 的中点，$BC = 10$，
$\therefore\ CE = BE = \frac{1}{2}BC = 5$。
$\because\ DE$ 平分$∠ CDA$，
$\therefore\ ∠ CDE = ∠ FDE$。
$\because\ AB // CD$，
$\therefore\ ∠ B + ∠ C = 180°$，
又$\because\ ∠ B = 90°$，
$\therefore\ ∠ C = 180° - 90° = 90°$。
在$△ CDE$和$△ FDE$中：
$\{\begin{array}{l}∠C = ∠DFE = 90° \\∠CDE = ∠FDE \\DE = DE\end{array} $
$\therefore\ △ CDE ≌ △ FDE(\mathrm{AAS})$，
$\therefore\ EF = CE = 5 , S_{△ CDE} = S_{△ FDE}$。
在 $\mathrm{Rt}△ AEF$ 和 $\mathrm{Rt}△ AEB$ 中：
$\{\begin{array}{l}EF = EB \\AE = AE\end{array} $
$\therefore\ \mathrm{Rt}△ AEF ≌ \mathrm{Rt}△ AEB(\mathrm{HL})$，
$\therefore\ S_{△ AEF} = S_{△ AEB}$。
计算$△ ADE$的面积：$S_{△ ADE} = \frac{1}{2}AD · EF = \frac{1}{2} × 12 × 5 = 30$，
且$S_{△ ADE} = S_{△ FDE} + S_{△ AEF}$，
$\therefore\ S_{\mathrm{四边形}ABCD} = S_{△ CDE} + S_{△ FDE} + S_{△ AEF} + S_{△ AEB} = 2( S_{△ FDE} + S_{△ AEF} ) = 2S_{△ ADE} = 2 × 30 = 60$。
【答案】
$\boldsymbol{60}$
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；HL判定全等
【点评】
本题是角平分线与中点结合的典型几何题，解题核心是构造垂直于AD的辅助线，通过全等三角形将不规则四边形的面积转化为易计算的三角形面积的倍数，这种辅助线构造方法在角平分线相关题型中非常常用，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：首先梳理题目已知条件：存在角平分线（DE平分∠CDA）、直角（∠B=90°，结合AB//CD可推出∠C=90°）、中点（E是BC中点）。遇到角平分线和直角的组合时，通常可以过角平分线上的点向角的两边作垂线，利用角平分线的性质得到相等线段，因此我们过E作EF⊥AD于F。第一步可证△CDE和△FDE全等，得到CE=EF，且两个三角形面积相等；再结合E是BC中点，推出EF=BE，进而可证Rt△AEF和Rt△AEB全等，得到这两个三角形面积也相等；此时四边形ABCD的面积可转化为2倍的△ADE的面积，计算出△ADE的面积即可得到最终结果。
【解析】
过点 $E$ 作 $EF ⊥ AD$ 于点 $F$，则$∠ EFD = 90°$。
$\because\ E$ 是 $BC$ 的中点，$BC = 10$，
$\therefore\ CE = BE = \frac{1}{2}BC = 5$。
$\because\ DE$ 平分$∠ CDA$，
$\therefore\ ∠ CDE = ∠ FDE$。
$\because\ AB // CD$，
$\therefore\ ∠ B + ∠ C = 180°$，
又$\because\ ∠ B = 90°$，
$\therefore\ ∠ C = 180° - 90° = 90°$。
在$△ CDE$和$△ FDE$中：
$\{\begin{array}{l}∠C = ∠DFE = 90° \\∠CDE = ∠FDE \\DE = DE\end{array} $
$\therefore\ △ CDE ≌ △ FDE(\mathrm{AAS})$，
$\therefore\ EF = CE = 5 , S_{△ CDE} = S_{△ FDE}$。
在 $\mathrm{Rt}△ AEF$ 和 $\mathrm{Rt}△ AEB$ 中：
$\{\begin{array}{l}EF = EB \\AE = AE\end{array} $
$\therefore\ \mathrm{Rt}△ AEF ≌ \mathrm{Rt}△ AEB(\mathrm{HL})$，
$\therefore\ S_{△ AEF} = S_{△ AEB}$。
计算$△ ADE$的面积：$S_{△ ADE} = \frac{1}{2}AD · EF = \frac{1}{2} × 12 × 5 = 30$，
且$S_{△ ADE} = S_{△ FDE} + S_{△ AEF}$，
$\therefore\ S_{\mathrm{四边形}ABCD} = S_{△ CDE} + S_{△ FDE} + S_{△ AEF} + S_{△ AEB} = 2( S_{△ FDE} + S_{△ AEF} ) = 2S_{△ ADE} = 2 × 30 = 60$。
【答案】
$\boldsymbol{60}$
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；HL判定全等
【点评】
本题是角平分线与中点结合的典型几何题，解题核心是构造垂直于AD的辅助线，通过全等三角形将不规则四边形的面积转化为易计算的三角形面积的倍数，这种辅助线构造方法在角平分线相关题型中非常常用，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.6
10.如图，D是CE的中点，F为AD上一点，且$EF=AC$.求证：$∠ DFE = ∠ A$.
答案
证明:如图,过点 $C$ 作 $CM ⊥ AD$ 于点 $M$,过点 $E$ 作 $EN ⊥ AD$ 交 $AD$ 的延长线于点 $N$,则$∠ N = ∠ CMD = ∠ CMA = 90°.$$\because\ D$ 是 $CE$ 的中点,$\therefore\ ED = CD.$在$△ END$和$△ CMD$中,$\begin{cases} ∠ N = ∠ CMD,\\ ∠ EDN = ∠ CDM,\\ ED = CD,\end{cases} \therefore\ △ END ≌ △ CMD(\mathrm{AAS}), \therefore\ EN = CM.$又$\because\ EF = AC, \therefore\ \mathrm{Rt}△ ENF ≌ \mathrm{Rt}△ CMA(\mathrm{HL}), \therefore\ ∠ EFN = ∠ A$,即$∠ DFE = ∠ A.$
解析
【分析】
要证明∠DFE=∠A，现有条件仅给出EF=AC、D为CE中点，直接证明包含这两个角的三角形全等条件不足，因此考虑作辅助线构造全等三角形：过点C、E分别作AD所在直线的垂线，得到两组直角三角形。首先利用D是CE中点的性质，结合对顶角相等、直角相等，通过AAS证明△END≌△CMD，可得EN=CM；再结合已知EF=AC，利用HL证明Rt△ENF≌Rt△CMA，即可得到对应角∠EFN=∠A，也就是待证的∠DFE=∠A。
【解析】
证明:如图,过点 $C$ 作 $CM ⊥ AD$ 于点 $M$,过点 $E$ 作 $EN ⊥ AD$ 交 $AD$ 的延长线于点 $N$,则$∠ N = ∠ CMD = ∠ CMA = 90°.$
$\because\ D$ 是 $CE$ 的中点,$\therefore\ ED = CD.$
在$△ END$和$△ CMD$中,
$\begin{cases} ∠ N = ∠ CMD,\\ ∠ EDN = ∠ CDM,\\ ED = CD,\end{cases}$
$\therefore\ △ END ≌ △ CMD(\mathrm{AAS}), \therefore\ EN = CM.$
又$\because\ EF = AC, \therefore\ \mathrm{Rt}△ ENF ≌ \mathrm{Rt}△ CMA(\mathrm{HL}), \therefore\ ∠ EFN = ∠ A$,即$∠ DFE = ∠ A.$
【答案】
证明:如图,过点 $C$ 作 $CM ⊥ AD$ 于点 $M$,过点 $E$ 作 $EN ⊥ AD$ 交 $AD$ 的延长线于点 $N$,则$∠ N = ∠ CMD = ∠ CMA = 90°.$
$\because\ D$ 是 $CE$ 的中点,$\therefore\ ED = CD.$
在$△ END$和$△ CMD$中,
$\begin{cases} ∠ N = ∠ CMD,\\ ∠ EDN = ∠ CDM,\\ ED = CD,\end{cases} \therefore\ △ END ≌ △ CMD(\mathrm{AAS}), \therefore\ EN = CM.$
又$\because\ EF = AC, \therefore\ \mathrm{Rt}△ ENF ≌ \mathrm{Rt}△ CMA(\mathrm{HL}), \therefore\ ∠ EFN = ∠ A$,即$∠ DFE = ∠ A.$
【知识点】
1. 直角三角形全等判定
2. 全等三角形的性质
3. 中点的定义
【点评】
本题是全等三角形证明的典型题型，核心是通过作垂线构造直角三角形，先利用中点和AAS得到一组等边，再结合已知等边用HL证明直角三角形全等，进而得到等角，需要熟练掌握构造全等三角形的辅助线做法。
【难度系数】
0.6
要证明∠DFE=∠A，现有条件仅给出EF=AC、D为CE中点，直接证明包含这两个角的三角形全等条件不足，因此考虑作辅助线构造全等三角形：过点C、E分别作AD所在直线的垂线，得到两组直角三角形。首先利用D是CE中点的性质，结合对顶角相等、直角相等，通过AAS证明△END≌△CMD，可得EN=CM；再结合已知EF=AC，利用HL证明Rt△ENF≌Rt△CMA，即可得到对应角∠EFN=∠A，也就是待证的∠DFE=∠A。
【解析】
证明:如图,过点 $C$ 作 $CM ⊥ AD$ 于点 $M$,过点 $E$ 作 $EN ⊥ AD$ 交 $AD$ 的延长线于点 $N$,则$∠ N = ∠ CMD = ∠ CMA = 90°.$
$\because\ D$ 是 $CE$ 的中点,$\therefore\ ED = CD.$
在$△ END$和$△ CMD$中,
$\begin{cases} ∠ N = ∠ CMD,\\ ∠ EDN = ∠ CDM,\\ ED = CD,\end{cases}$
$\therefore\ △ END ≌ △ CMD(\mathrm{AAS}), \therefore\ EN = CM.$
又$\because\ EF = AC, \therefore\ \mathrm{Rt}△ ENF ≌ \mathrm{Rt}△ CMA(\mathrm{HL}), \therefore\ ∠ EFN = ∠ A$,即$∠ DFE = ∠ A.$
【答案】
证明:如图,过点 $C$ 作 $CM ⊥ AD$ 于点 $M$,过点 $E$ 作 $EN ⊥ AD$ 交 $AD$ 的延长线于点 $N$,则$∠ N = ∠ CMD = ∠ CMA = 90°.$
$\because\ D$ 是 $CE$ 的中点,$\therefore\ ED = CD.$
在$△ END$和$△ CMD$中,
$\begin{cases} ∠ N = ∠ CMD,\\ ∠ EDN = ∠ CDM,\\ ED = CD,\end{cases} \therefore\ △ END ≌ △ CMD(\mathrm{AAS}), \therefore\ EN = CM.$
又$\because\ EF = AC, \therefore\ \mathrm{Rt}△ ENF ≌ \mathrm{Rt}△ CMA(\mathrm{HL}), \therefore\ ∠ EFN = ∠ A$,即$∠ DFE = ∠ A.$
【知识点】
1. 直角三角形全等判定
2. 全等三角形的性质
3. 中点的定义
【点评】
本题是全等三角形证明的典型题型，核心是通过作垂线构造直角三角形，先利用中点和AAS得到一组等边，再结合已知等边用HL证明直角三角形全等，进而得到等角，需要熟练掌握构造全等三角形的辅助线做法。
【难度系数】
0.6
如图,线段$BE$,$CD$相交于点$M$,$BD$与$CE$的延长线相交于点$A$.
(1)已知$AB=AC$,$∠ B=∠ C$.求证:$BD=CE$.
(2)若$MB=CM$,$AB=AC$,$∠ C=30°$,则$∠ B=$
(3)若$AB=AC$,$AD=AE$,$∠ A=60°$,$∠ C=25°$,则$∠ BMD=$
(4)连接$AM$,若$MB=MC$,$AD=AE$,$∠ ADM=∠ AEM$,求证:$∠ DAM=∠ EAM$.
(5)若$∠ BAC$是钝角,$AB=AC$,$CD=BE$,求证:$∠ ADC=∠ AEB$.
(1)已知$AB=AC$,$∠ B=∠ C$.求证:$BD=CE$.
(2)若$MB=CM$,$AB=AC$,$∠ C=30°$,则$∠ B=$
30
$°$.(3)若$AB=AC$,$AD=AE$,$∠ A=60°$,$∠ C=25°$,则$∠ BMD=$
70
$°$.(4)连接$AM$,若$MB=MC$,$AD=AE$,$∠ ADM=∠ AEM$,求证:$∠ DAM=∠ EAM$.
(5)若$∠ BAC$是钝角,$AB=AC$,$CD=BE$,求证:$∠ ADC=∠ AEB$.
答案
(1)证明:在$△ ABE$ 和 $△ ACD$ 中,$\begin{cases} ∠ A = ∠ A,\\ AB = AC,\\ ∠ B = ∠ C,\end{cases} \therefore\ △ ABE ≌ △ ACD(\mathrm{ASA}) ,\therefore\ AD = AE, \therefore\ BD = CE.$
(2)30
连接 $AM$. 在 $△ BAM$ 和 $△ CAM$ 中,$\begin{cases} AB = AC,\\ AM = AM,\\ BM = CM,\end{cases} \therefore\ △ BAM ≌ △ CAM, \therefore\ ∠ B = ∠ C.\ \because\ ∠ C = 30°, \therefore\ ∠ B = 30°.$
(3)70
在$△ ADC$和$△ AEB$中,$\begin{cases} AD = AE,\\ ∠ A = ∠ A,\\ AC = AB,\end{cases} \therefore\ △ ADC ≌ △ AEB(\mathrm{SAS}), \therefore\ ∠ C = ∠ B, ∠ ADC = ∠ AEB.\ \because\ ∠ A = 60°, ∠ C = 25°, \therefore\ ∠ AEB = ∠ ADC = 180° - ∠ A - ∠ C = 180° - 60° - 25° = 95°, \therefore\ ∠ BMD = ∠ ADC - ∠ B = 95° - 25° = 70°.$
(4)证明:$\because\ ∠ ADM = ∠ AEM, \therefore\ ∠ BDM = ∠ CEM.$
在$△ BMD$和$△ CME$中,$\begin{cases} ∠ BDM = ∠ CEM,\\ ∠ BMD = ∠ CME,\\ MB = MC,\end{cases} \therefore\ △ BMD ≌ △ CME(\mathrm{AAS}), \therefore\ MD = ME.$
在$△ AMD$和$△ AME$中,$\begin{cases} AD = AE,\\ MD = ME,\\ AM = AM,\end{cases} \therefore\ △ AMD ≌ △ AME(\mathrm{SSS}), \therefore\ ∠ DAM = ∠ EAM.$
(5)证明:过 $B,C$ 两点分别作 $CA,BA$ 的垂线,垂足分别为 $F,G.$ 在$△ ABF$和$△ ACG$中,$\begin{cases} ∠ AFB = ∠ AGC = 90°,\\ ∠ FAB = ∠ GAC,\\ AB = AC,\end{cases} \therefore\ △ ABF ≌ △ ACG(\mathrm{AAS}), \therefore\ BF = CG.$
在$\mathrm{Rt}△ CDG$和$\mathrm{Rt}△ BEF$中,$\begin{cases} CD = BE,\\ CG = BF,\end{cases} \therefore\ \mathrm{Rt}△ CDG ≌ \mathrm{Rt}△ BEF(\mathrm{HL}), \therefore\ ∠ CDG = ∠ BEF, \therefore\ ∠ ADC = ∠ AEB.$
(2)30
连接 $AM$. 在 $△ BAM$ 和 $△ CAM$ 中,$\begin{cases} AB = AC,\\ AM = AM,\\ BM = CM,\end{cases} \therefore\ △ BAM ≌ △ CAM, \therefore\ ∠ B = ∠ C.\ \because\ ∠ C = 30°, \therefore\ ∠ B = 30°.$
(3)70
在$△ ADC$和$△ AEB$中,$\begin{cases} AD = AE,\\ ∠ A = ∠ A,\\ AC = AB,\end{cases} \therefore\ △ ADC ≌ △ AEB(\mathrm{SAS}), \therefore\ ∠ C = ∠ B, ∠ ADC = ∠ AEB.\ \because\ ∠ A = 60°, ∠ C = 25°, \therefore\ ∠ AEB = ∠ ADC = 180° - ∠ A - ∠ C = 180° - 60° - 25° = 95°, \therefore\ ∠ BMD = ∠ ADC - ∠ B = 95° - 25° = 70°.$
(4)证明:$\because\ ∠ ADM = ∠ AEM, \therefore\ ∠ BDM = ∠ CEM.$
在$△ BMD$和$△ CME$中,$\begin{cases} ∠ BDM = ∠ CEM,\\ ∠ BMD = ∠ CME,\\ MB = MC,\end{cases} \therefore\ △ BMD ≌ △ CME(\mathrm{AAS}), \therefore\ MD = ME.$
在$△ AMD$和$△ AME$中,$\begin{cases} AD = AE,\\ MD = ME,\\ AM = AM,\end{cases} \therefore\ △ AMD ≌ △ AME(\mathrm{SSS}), \therefore\ ∠ DAM = ∠ EAM.$
(5)证明:过 $B,C$ 两点分别作 $CA,BA$ 的垂线,垂足分别为 $F,G.$ 在$△ ABF$和$△ ACG$中,$\begin{cases} ∠ AFB = ∠ AGC = 90°,\\ ∠ FAB = ∠ GAC,\\ AB = AC,\end{cases} \therefore\ △ ABF ≌ △ ACG(\mathrm{AAS}), \therefore\ BF = CG.$
在$\mathrm{Rt}△ CDG$和$\mathrm{Rt}△ BEF$中,$\begin{cases} CD = BE,\\ CG = BF,\end{cases} \therefore\ \mathrm{Rt}△ CDG ≌ \mathrm{Rt}△ BEF(\mathrm{HL}), \therefore\ ∠ CDG = ∠ BEF, \therefore\ ∠ ADC = ∠ AEB.$
解析
【分析】
本题以三角形相交线为背景，核心考查三角形全等的判定与性质应用，各小问解题思路如下：
(1)要证BD=CE，可先证明包含AD、AE的△ABE与△ACD全等，得到AD=AE后，利用AB-AD=AC-AE即可推导结论；
(2)连接AM构造公共边，证明△BAM≌△CAM，利用全等三角形对应角相等即可求出∠B的度数；
(3)先证△ADC≌△AEB得到∠B=∠C，再结合三角形内角和求出∠ADC的度数，根据三角形外角的性质即可算出∠BMD；
(4)先由已知角相等推导出∠BDM=∠CEM，证明△BMD≌△CME得到MD=ME，再证明△AMD≌△AME即可得到角相等的结论；
(5)通过作垂线构造直角三角形，先证明△ABF≌△ACG得到直角边BF=CG，再用HL定理证明Rt△CDG≌Rt△BEF，即可推导角相等。
【解析】
(1)证明：在$△ ABE$ 和 $△ ACD$ 中,
$\begin{cases} ∠ A = ∠ A,\\ AB = AC,\\ ∠ B = ∠ C,\end{cases}$
$\therefore\ △ ABE ≌ △ ACD(\mathrm{ASA}) ,\therefore\ AD = AE,$
$\because AB=AC,\therefore AB-AD=AC-AE$,即$BD = CE.$
(2)连接 $AM$. 在 $△ BAM$ 和 $△ CAM$ 中,
$\begin{cases} AB = AC,\\ AM = AM,\\ BM = CM,\end{cases}$
$\therefore\ △ BAM ≌ △ CAM(\mathrm{SSS}), \therefore\ ∠ B = ∠ C.$
$\because\ ∠ C = 30°, \therefore\ ∠ B = 30°.$
(3)在$△ ADC$和$△ AEB$中,
$\begin{cases} AD = AE,\\ ∠ A = ∠ A,\\ AC = AB,\end{cases}$
$\therefore\ △ ADC ≌ △ AEB(\mathrm{SAS}), \therefore\ ∠ C = ∠ B, ∠ ADC = ∠ AEB.$
$\because\ ∠ A = 60°, ∠ C = 25°,$
$\therefore\ ∠ AEB = ∠ ADC = 180° - ∠ A - ∠ C = 180° - 60° - 25° = 95°,$
$\therefore\ ∠ BMD = ∠ ADC - ∠ B = 95° - 25° = 70°.$
(4)证明:$\because\ ∠ ADM = ∠ AEM, \therefore\ 180°-∠ ADM = 180°-∠ AEM$,即$∠ BDM = ∠ CEM.$
在$△ BMD$和$△ CME$中,
$\begin{cases} ∠ BDM = ∠ CEM,\\ ∠ BMD = ∠ CME,\\ MB = MC,\end{cases}$
$\therefore\ △ BMD ≌ △ CME(\mathrm{AAS}), \therefore\ MD = ME.$
在$△ AMD$和$△ AME$中,
$\begin{cases} AD = AE,\\ MD = ME,\\ AM = AM,\end{cases}$
$\therefore\ △ AMD ≌ △ AME(\mathrm{SSS}), \therefore\ ∠ DAM = ∠ EAM.$
(5)证明:过 $B,C$ 两点分别作 $CA,BA$ 的垂线,垂足分别为 $F,G.$
在$△ ABF$和$△ ACG$中,
$\begin{cases} ∠ AFB = ∠ AGC = 90°,\\ ∠ FAB = ∠ GAC,\\ AB = AC,\end{cases}$
$\therefore\ △ ABF ≌ △ ACG(\mathrm{AAS}), \therefore\ BF = CG.$
在$\mathrm{Rt}△ CDG$和$\mathrm{Rt}△ BEF$中,
$\begin{cases} CD = BE,\\ CG = BF,\end{cases}$
$\therefore\ \mathrm{Rt}△ CDG ≌ \mathrm{Rt}△ BEF(\mathrm{HL}), \therefore\ ∠ CDG = ∠ BEF,$
$\therefore\ ∠ ADC = ∠ AEB.$
【答案】
(1)BD=CE得证；
(2)$\boldsymbol{30}$；
(3)$\boldsymbol{70}$；
(4)$∠DAM=∠EAM$得证；
(5)$∠ADC=∠AEB$得证。
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 直角三角形全等的判定（HL）
3. 三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查了三角形全等的各类判定方法，涉及ASA、SAS、AAS、SSS、HL多个定理，题型包含角度计算和几何证明，需要学生结合图形挖掘隐含条件，部分设问需构造辅助线转化问题，对逻辑推理能力有一定锻炼作用。
【难度系数】
0.6
本题以三角形相交线为背景，核心考查三角形全等的判定与性质应用，各小问解题思路如下：
(1)要证BD=CE，可先证明包含AD、AE的△ABE与△ACD全等，得到AD=AE后，利用AB-AD=AC-AE即可推导结论；
(2)连接AM构造公共边，证明△BAM≌△CAM，利用全等三角形对应角相等即可求出∠B的度数；
(3)先证△ADC≌△AEB得到∠B=∠C，再结合三角形内角和求出∠ADC的度数，根据三角形外角的性质即可算出∠BMD；
(4)先由已知角相等推导出∠BDM=∠CEM，证明△BMD≌△CME得到MD=ME，再证明△AMD≌△AME即可得到角相等的结论；
(5)通过作垂线构造直角三角形，先证明△ABF≌△ACG得到直角边BF=CG，再用HL定理证明Rt△CDG≌Rt△BEF，即可推导角相等。
【解析】
(1)证明：在$△ ABE$ 和 $△ ACD$ 中,
$\begin{cases} ∠ A = ∠ A,\\ AB = AC,\\ ∠ B = ∠ C,\end{cases}$
$\therefore\ △ ABE ≌ △ ACD(\mathrm{ASA}) ,\therefore\ AD = AE,$
$\because AB=AC,\therefore AB-AD=AC-AE$,即$BD = CE.$
(2)连接 $AM$. 在 $△ BAM$ 和 $△ CAM$ 中,
$\begin{cases} AB = AC,\\ AM = AM,\\ BM = CM,\end{cases}$
$\therefore\ △ BAM ≌ △ CAM(\mathrm{SSS}), \therefore\ ∠ B = ∠ C.$
$\because\ ∠ C = 30°, \therefore\ ∠ B = 30°.$
(3)在$△ ADC$和$△ AEB$中,
$\begin{cases} AD = AE,\\ ∠ A = ∠ A,\\ AC = AB,\end{cases}$
$\therefore\ △ ADC ≌ △ AEB(\mathrm{SAS}), \therefore\ ∠ C = ∠ B, ∠ ADC = ∠ AEB.$
$\because\ ∠ A = 60°, ∠ C = 25°,$
$\therefore\ ∠ AEB = ∠ ADC = 180° - ∠ A - ∠ C = 180° - 60° - 25° = 95°,$
$\therefore\ ∠ BMD = ∠ ADC - ∠ B = 95° - 25° = 70°.$
(4)证明:$\because\ ∠ ADM = ∠ AEM, \therefore\ 180°-∠ ADM = 180°-∠ AEM$,即$∠ BDM = ∠ CEM.$
在$△ BMD$和$△ CME$中,
$\begin{cases} ∠ BDM = ∠ CEM,\\ ∠ BMD = ∠ CME,\\ MB = MC,\end{cases}$
$\therefore\ △ BMD ≌ △ CME(\mathrm{AAS}), \therefore\ MD = ME.$
在$△ AMD$和$△ AME$中,
$\begin{cases} AD = AE,\\ MD = ME,\\ AM = AM,\end{cases}$
$\therefore\ △ AMD ≌ △ AME(\mathrm{SSS}), \therefore\ ∠ DAM = ∠ EAM.$
(5)证明:过 $B,C$ 两点分别作 $CA,BA$ 的垂线,垂足分别为 $F,G.$
在$△ ABF$和$△ ACG$中,
$\begin{cases} ∠ AFB = ∠ AGC = 90°,\\ ∠ FAB = ∠ GAC,\\ AB = AC,\end{cases}$
$\therefore\ △ ABF ≌ △ ACG(\mathrm{AAS}), \therefore\ BF = CG.$
在$\mathrm{Rt}△ CDG$和$\mathrm{Rt}△ BEF$中,
$\begin{cases} CD = BE,\\ CG = BF,\end{cases}$
$\therefore\ \mathrm{Rt}△ CDG ≌ \mathrm{Rt}△ BEF(\mathrm{HL}), \therefore\ ∠ CDG = ∠ BEF,$
$\therefore\ ∠ ADC = ∠ AEB.$
【答案】
(1)BD=CE得证；
(2)$\boldsymbol{30}$；
(3)$\boldsymbol{70}$；
(4)$∠DAM=∠EAM$得证；
(5)$∠ADC=∠AEB$得证。
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 直角三角形全等的判定（HL）
3. 三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查了三角形全等的各类判定方法，涉及ASA、SAS、AAS、SSS、HL多个定理，题型包含角度计算和几何证明，需要学生结合图形挖掘隐含条件，部分设问需构造辅助线转化问题，对逻辑推理能力有一定锻炼作用。
【难度系数】
0.6
