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16 某农户在山下种了44棵枣树，现进入第三年收获，收获时先随意摘下5棵枣树上的红枣，称得每棵枣树上的红枣质量如下(单位:千克):35、35、34、39、37。
(1) 根据样本平均数估计这年红枣的总产量是多少。
(2) 若市场上红枣售价每千克5元，则这年该农户一年卖红枣的收入将达多少元？
(3) 已知该农户第一年卖红枣的收入5500元，根据以上估计，试求第二年、第三年卖红枣收入的平均年增长率。
(1) 根据样本平均数估计这年红枣的总产量是多少。
(2) 若市场上红枣售价每千克5元，则这年该农户一年卖红枣的收入将达多少元？
(3) 已知该农户第一年卖红枣的收入5500元，根据以上估计，试求第二年、第三年卖红枣收入的平均年增长率。
答案
(1) $\frac{35+35+34+39+37}{5}×44=1584$(千克)
(2) $1584×5=7920$(元)
(3) 设卖红枣收入的平均年增长率为$x$,则$5500(1+x)^2 = 7920$,解得$x_1=20\%$,$x_2=-2.2$(舍)。
(2) $1584×5=7920$(元)
(3) 设卖红枣收入的平均年增长率为$x$,则$5500(1+x)^2 = 7920$,解得$x_1=20\%$,$x_2=-2.2$(舍)。
解析
【分析】
(1) 要估计总体总产量，可利用用样本估计总体的思想：先计算抽取的5棵枣树的平均产量（即样本平均数），用样本平均数代表所有枣树的平均产量，再乘以枣树总棵数即可得到总产量。
(2) 卖红枣的总收入=红枣总产量×每千克售价，代入第一问求出的总产量计算即可。
(3) 本题属于平均增长率问题，通用等量关系为：初始量×(1+平均增长率)^增长年数=最终量。这里初始量是第一年的收入5500元，最终量是第三年的收入，增长年数是2年，据此列一元二次方程求解，注意增长率为正数，不符合实际的负根要舍去。
【解析】
(1) 先计算5棵枣树的平均产量：
$\bar{x}=\frac{35+35+34+39+37}{5}=36$（千克）
估计总产量为：$36×44=1584$（千克）
(2) 总收入为：$1584×5=7920$（元）
(3) 设第二年、第三年卖红枣收入的平均年增长率为$x$，根据题意列方程：
$5500(1+x)^2 = 7920$
化简得：$(1+x)^2=1.44$
开方得：$1+x=\pm1.2$
解得：$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$（增长率不能为负，舍去）
【答案】
(1) 1584千克；(2) 7920元；(3) 20%
【知识点】
用样本估计总体、平均数的计算、一元二次方程的应用
【点评】
本题结合农业生产的实际场景，既考察了统计中用样本特征估计总体特征的核心思想，又结合了常见的增长率应用题，解题时要注意舍去不符合实际意义的方程根。
【难度系数】
0.7
(1) 要估计总体总产量，可利用用样本估计总体的思想：先计算抽取的5棵枣树的平均产量（即样本平均数），用样本平均数代表所有枣树的平均产量，再乘以枣树总棵数即可得到总产量。
(2) 卖红枣的总收入=红枣总产量×每千克售价，代入第一问求出的总产量计算即可。
(3) 本题属于平均增长率问题，通用等量关系为：初始量×(1+平均增长率)^增长年数=最终量。这里初始量是第一年的收入5500元，最终量是第三年的收入，增长年数是2年，据此列一元二次方程求解，注意增长率为正数，不符合实际的负根要舍去。
【解析】
(1) 先计算5棵枣树的平均产量：
$\bar{x}=\frac{35+35+34+39+37}{5}=36$（千克）
估计总产量为：$36×44=1584$（千克）
(2) 总收入为：$1584×5=7920$（元）
(3) 设第二年、第三年卖红枣收入的平均年增长率为$x$，根据题意列方程：
$5500(1+x)^2 = 7920$
化简得：$(1+x)^2=1.44$
开方得：$1+x=\pm1.2$
解得：$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$（增长率不能为负，舍去）
【答案】
(1) 1584千克；(2) 7920元；(3) 20%
【知识点】
用样本估计总体、平均数的计算、一元二次方程的应用
【点评】
本题结合农业生产的实际场景，既考察了统计中用样本特征估计总体特征的核心思想，又结合了常见的增长率应用题，解题时要注意舍去不符合实际意义的方程根。
【难度系数】
0.7
17 甲、乙两款3D打印机打印同款手办零件的长度统计如下(单位:毫米):
甲:178、177、179、178、177、178、177、179、178、179；
乙:178、179、176、178、180、178、176、178、177、180。
（1）将下表填完整：
| 长度/毫米 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 甲/件数 | 0 | 3
| 4 | | 0 |
| 乙/件数 | 2 | 1 | | 1 | |
（2）甲款打印机打印零件长度的平均数为毫米，乙款打印机打印零件长度的平均数为毫米。
（3）你认为哪款打印机的精确度更高？请说明理由。
甲:178、177、179、178、177、178、177、179、178、179；
乙:178、179、176、178、180、178、176、178、177、180。
（1）将下表填完整：
| 长度/毫米 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 甲/件数 | 0 | 3
| 4 | | 0 || 乙/件数 | 2 | 1 | | 1 | |
（2）甲款打印机打印零件长度的平均数为毫米，乙款打印机打印零件长度的平均数为毫米。
（3）你认为哪款打印机的精确度更高？请说明理由。
答案
(1) 表格补充如下：
| 长度/毫米 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 甲/件数 | 0 | 3 | 4 | 3 | 0 |
| 乙/件数 | 2 | 1 | 4 | 1 | 2 |
(2) 178；178
(3) 计算,得$s_甲^2=0.6$,$s_乙^2=1.8$,所以甲款打印机的精确度更高。
| 长度/毫米 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 甲/件数 | 0 | 3 | 4 | 3 | 0 |
| 乙/件数 | 2 | 1 | 4 | 1 | 2 |
(2) 178；178
(3) 计算,得$s_甲^2=0.6$,$s_乙^2=1.8$,所以甲款打印机的精确度更高。
解析
【分析】
（1）第一问为频数统计问题，只需分别数出甲、乙两组数据中对应长度的出现次数，填入表格对应位置即可。
（2）第二问求平均数，使用加权平均数公式，将各长度乘对应件数求和，再除以总件数10就能算出结果。
（3）第三问判断打印机精确度，精确度越高代表打印的零件长度波动越小，也就是数据方差越小，因此分别计算甲、乙两组数据的方差，比较大小即可得出结论。
【解析】
（1）统计甲的10个数据：179共出现3次，因此甲对应179的空格填3；统计乙的10个数据：178共出现4次，180共出现2次，因此乙对应178的空格填4，对应180的空格填2。
（2）计算甲的平均数：
$\overline{x}_甲=\frac{177×3 + 178×4 + 179×3}{10}=\frac{1780}{10}=178$（毫米）
计算乙的平均数：
$\overline{x}_乙=\frac{176×2 + 177×1 + 178×4 + 179×1 + 180×2}{10}=\frac{1780}{10}=178$（毫米）
（3）根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+...+(x_n-\overline{x})^2]$计算方差：
甲的方差：$s_甲^2=\frac{1}{10}[3×(177-178)^2 + 4×(178-178)^2 + 3×(179-178)^2]=0.6$
乙的方差：$s_乙^2=\frac{1}{10}[2×(176-178)^2 +1×(177-178)^2 +4×(178-178)^2 +1×(179-178)^2 +2×(180-178)^2]=1.8$
因为$s_甲^2＜s_乙^2$，说明甲打印的零件长度波动更小，因此甲款打印机精确度更高。
【答案】
(1)
| 长度/毫米 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 甲/件数 | 0 | 3 | 4 | 3 | 0 |
| 乙/件数 | 2 | 1 | 4 | 1 | 2 |
(2) 178；178
(3) 甲款打印机的精确度更高，甲的方差为0.6，乙的方差为1.8，甲的方差更小，打印零件的长度波动更小，精确度更高。
【知识点】
频数统计，加权平均数计算，方差的意义与计算
【点评】
本题结合生产实际场景考查数据统计的基础应用，熟练掌握频数统计方法、平均数和方差的计算规则，理解方差反映数据波动程度的性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
（1）第一问为频数统计问题，只需分别数出甲、乙两组数据中对应长度的出现次数，填入表格对应位置即可。
（2）第二问求平均数，使用加权平均数公式，将各长度乘对应件数求和，再除以总件数10就能算出结果。
（3）第三问判断打印机精确度，精确度越高代表打印的零件长度波动越小，也就是数据方差越小，因此分别计算甲、乙两组数据的方差，比较大小即可得出结论。
【解析】
（1）统计甲的10个数据：179共出现3次，因此甲对应179的空格填3；统计乙的10个数据：178共出现4次，180共出现2次，因此乙对应178的空格填4，对应180的空格填2。
（2）计算甲的平均数：
$\overline{x}_甲=\frac{177×3 + 178×4 + 179×3}{10}=\frac{1780}{10}=178$（毫米）
计算乙的平均数：
$\overline{x}_乙=\frac{176×2 + 177×1 + 178×4 + 179×1 + 180×2}{10}=\frac{1780}{10}=178$（毫米）
（3）根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+...+(x_n-\overline{x})^2]$计算方差：
甲的方差：$s_甲^2=\frac{1}{10}[3×(177-178)^2 + 4×(178-178)^2 + 3×(179-178)^2]=0.6$
乙的方差：$s_乙^2=\frac{1}{10}[2×(176-178)^2 +1×(177-178)^2 +4×(178-178)^2 +1×(179-178)^2 +2×(180-178)^2]=1.8$
因为$s_甲^2＜s_乙^2$，说明甲打印的零件长度波动更小，因此甲款打印机精确度更高。
【答案】
(1)
| 长度/毫米 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 甲/件数 | 0 | 3 | 4 | 3 | 0 |
| 乙/件数 | 2 | 1 | 4 | 1 | 2 |
(2) 178；178
(3) 甲款打印机的精确度更高，甲的方差为0.6，乙的方差为1.8，甲的方差更小，打印零件的长度波动更小，精确度更高。
【知识点】
频数统计，加权平均数计算，方差的意义与计算
【点评】
本题结合生产实际场景考查数据统计的基础应用，熟练掌握频数统计方法、平均数和方差的计算规则，理解方差反映数据波动程度的性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
