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9 一次探究性作业共有10道题目，某小组8位学生做对题目数的情况如下表：
那么这8位学生做对题目数的众数是
那么这8位学生做对题目数的众数是9
，平均数是8
。答案
9，8
解析
【分析】
要解决本题，先回忆对应统计概念：①众数是一组数据中出现次数最多的数值，我们只需对比不同做对题目数对应的人数，找到人数最多对应的做对题数，就能得到众数；②本题的平均数是加权平均数，需要先计算8位学生做对题目的总数量，再除以总人数8即可得到结果。
【解析】
1. 求众数：
观察表格数据，做对6题的有2人，做对7题的有1人，做对8题的有1人，做对9题的有3人，做对10题的有1人，其中做对9题的人数最多，因此众数为9。
2. 求平均数：
先计算所有学生做对题目的总数量：
$6×2 + 7×1 + 8×1 + 9×3 + 10×1 = 12+7+8+27+10=64$
总人数为$2+1+1+3+1=8$人
因此平均数为$64÷8=8$
【答案】
9，8
【知识点】
众数；加权平均数
【点评】
本题属于统计基础题型，只要熟记众数、加权平均数的定义和计算方法，计算过程中细心核对总题量、总人数，就能轻松得分。
【难度系数】
0.8
要解决本题，先回忆对应统计概念：①众数是一组数据中出现次数最多的数值，我们只需对比不同做对题目数对应的人数，找到人数最多对应的做对题数，就能得到众数；②本题的平均数是加权平均数，需要先计算8位学生做对题目的总数量，再除以总人数8即可得到结果。
【解析】
1. 求众数：
观察表格数据，做对6题的有2人，做对7题的有1人，做对8题的有1人，做对9题的有3人，做对10题的有1人，其中做对9题的人数最多，因此众数为9。
2. 求平均数：
先计算所有学生做对题目的总数量：
$6×2 + 7×1 + 8×1 + 9×3 + 10×1 = 12+7+8+27+10=64$
总人数为$2+1+1+3+1=8$人
因此平均数为$64÷8=8$
【答案】
9，8
【知识点】
众数；加权平均数
【点评】
本题属于统计基础题型，只要熟记众数、加权平均数的定义和计算方法，计算过程中细心核对总题量、总人数，就能轻松得分。
【难度系数】
0.8
⑩ 某校七年级有13名同学参加百米竞赛，取前6名参加决赛，小梅已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需知道这13名同学成绩的
中位数
。答案
中位数
解析
【分析】
要判断小梅能否进入前6名，需找到能反映成绩排名中间位置的统计量。总共有13个参赛成绩，将所有成绩按从高到低排序后，最中间的数值就是中位数，对应第7名的成绩。若小梅成绩高于中位数，说明排名在第7名之前，即进入前6；若低于中位数则排名在第7名及之后，无法晋级，因此只需知道13名同学成绩的中位数即可判断。
【解析】
1. 明确规则：共13人参加百米竞赛，取前6名进入决赛。
2. 确定中位数位置：将13名同学的成绩按从高到低排序后，中位数为排序后第$\frac{13+1}{2}=7$个数据，也就是第7名的成绩。
3. 对比判断：把小梅的成绩和中位数比较，若小梅成绩大于中位数，说明她排名在前6名，可以进入决赛；若成绩小于中位数，说明她排名在第7名及之后，无法进入决赛。
因此需要知道这13名同学成绩的中位数。
【答案】
中位数
【知识点】
中位数的意义，统计量的选择
【点评】
本题结合竞赛晋级的实际场景考查统计量的应用，解题核心是理解中位数可反映数据的中间位置和中等水平，需要结合具体场景选择合适的统计量，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
要判断小梅能否进入前6名，需找到能反映成绩排名中间位置的统计量。总共有13个参赛成绩，将所有成绩按从高到低排序后，最中间的数值就是中位数，对应第7名的成绩。若小梅成绩高于中位数，说明排名在第7名之前，即进入前6；若低于中位数则排名在第7名及之后，无法晋级，因此只需知道13名同学成绩的中位数即可判断。
【解析】
1. 明确规则：共13人参加百米竞赛，取前6名进入决赛。
2. 确定中位数位置：将13名同学的成绩按从高到低排序后，中位数为排序后第$\frac{13+1}{2}=7$个数据，也就是第7名的成绩。
3. 对比判断：把小梅的成绩和中位数比较，若小梅成绩大于中位数，说明她排名在前6名，可以进入决赛；若成绩小于中位数，说明她排名在第7名及之后，无法进入决赛。
因此需要知道这13名同学成绩的中位数。
【答案】
中位数
【知识点】
中位数的意义，统计量的选择
【点评】
本题结合竞赛晋级的实际场景考查统计量的应用，解题核心是理解中位数可反映数据的中间位置和中等水平，需要结合具体场景选择合适的统计量，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
11 在一次射击比赛选拔赛中，甲、乙、丙、丁四人的射击成绩如表所示，那么在这次比赛中，成绩又好且又稳定的选手是
甲
。答案
甲
解析
【分析】
要选出成绩又好又稳定的选手，需结合两个统计量判断：“成绩好”参考平均成绩，平均成绩越高代表整体水平越高；“成绩稳定”参考方差，方差越小代表成绩波动越小、发挥越稳定。解题时先比较四人的平均成绩，筛选出平均成绩更高的选手，再在这类选手中比较方差，选出方差最小的选手即可。
【解析】
第一步：比较平均成绩，筛选成绩较好的选手
甲、乙的平均成绩为9环，丙、丁的平均成绩为8.5环，因为$9＞8.5$，所以甲、乙的整体成绩优于丙、丁，排除丙、丁。
第二步：比较甲、乙的方差，筛选成绩更稳定的选手
甲的方差为1.2，乙的方差为1.5，因为$1.2＜1.5$，方差越小成绩波动越小，所以甲的成绩比乙更稳定。
综上，成绩又好又稳定的选手是甲。
【答案】
甲
【知识点】
平均数；方差；统计量选择
【点评】
本题考查对平均数和方差实际意义的理解，解题时需要结合两个统计量综合判断，不能仅参考单一指标得出结论。
【难度系数】
0.8
要选出成绩又好又稳定的选手，需结合两个统计量判断：“成绩好”参考平均成绩，平均成绩越高代表整体水平越高；“成绩稳定”参考方差，方差越小代表成绩波动越小、发挥越稳定。解题时先比较四人的平均成绩，筛选出平均成绩更高的选手，再在这类选手中比较方差，选出方差最小的选手即可。
【解析】
第一步：比较平均成绩，筛选成绩较好的选手
甲、乙的平均成绩为9环，丙、丁的平均成绩为8.5环，因为$9＞8.5$，所以甲、乙的整体成绩优于丙、丁，排除丙、丁。
第二步：比较甲、乙的方差，筛选成绩更稳定的选手
甲的方差为1.2，乙的方差为1.5，因为$1.2＜1.5$，方差越小成绩波动越小，所以甲的成绩比乙更稳定。
综上，成绩又好又稳定的选手是甲。
【答案】
甲
【知识点】
平均数；方差；统计量选择
【点评】
本题考查对平均数和方差实际意义的理解，解题时需要结合两个统计量综合判断，不能仅参考单一指标得出结论。
【难度系数】
0.8
12 为了调查全校师生对人工智能Deepseek的熟悉程度，某数学小组对全校2000名师生发放了问卷，随机回收了800份，将回收问卷的调查结果绘制成统计图如图，由此估计全校师生对人工智能Deepseek“很了解”的约有
500
人。答案
500
解析
【分析】
这是一道利用样本估计总体的统计题，解题思路如下：首先从条形统计图中读取回收的800份样本里“很了解”的人数，计算出“很了解”的人数在样本中的占比；再用全校师生总人数乘这个占比，就能得到全校对人工智能Deepseek“很了解”的人数估计值。
【解析】
解：首先计算回收样本中“很了解”的人数占样本总量的比例：
样本总份数：$200+500+100=800$（份）
“很了解”的人数占比：$\frac{200}{800} × 100\% = 25\%$
再用全校总人数乘该占比，得到估计人数：
$2000 × 25\% = 500$（人）
【答案】
500
【知识点】
条形统计图的应用；用样本估计总体
【点评】
本题属于统计基础题，需要学生具备从条形统计图中提取有效数据的能力，掌握用样本比例估计总体对应群体数量的方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
这是一道利用样本估计总体的统计题，解题思路如下：首先从条形统计图中读取回收的800份样本里“很了解”的人数，计算出“很了解”的人数在样本中的占比；再用全校师生总人数乘这个占比，就能得到全校对人工智能Deepseek“很了解”的人数估计值。
【解析】
解：首先计算回收样本中“很了解”的人数占样本总量的比例：
样本总份数：$200+500+100=800$（份）
“很了解”的人数占比：$\frac{200}{800} × 100\% = 25\%$
再用全校总人数乘该占比，得到估计人数：
$2000 × 25\% = 500$（人）
【答案】
500
【知识点】
条形统计图的应用；用样本估计总体
【点评】
本题属于统计基础题，需要学生具备从条形统计图中提取有效数据的能力，掌握用样本比例估计总体对应群体数量的方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
13 为了参加市中学生篮球运动会，一支校篮球队准备购买10双运动鞋，各种尺码的统计如下表所示，则这10双运动鞋尺码的中位数为
25.5
。答案
25.5
解析
【分析】
要计算这组数据的中位数，首先回忆中位数的求解方法：①先确定数据总个数，若总个数为奇数，中位数是排序后最中间的数；若为偶数，中位数是排序后中间两个数的平均数。②本题数据已经按尺码从小到大排列，我们可以通过累计购买量确定中间位置对应的尺码：总共有10个数据，中间位置是第5、6位，接下来依次累计各尺码的购买量，找到第5、6位对应的尺码，计算平均值即可得到中位数。
【解析】
解：首先计算购买总数量：$2+4+2+1+1=10$（双），共10个数据，中位数为从小到大排列后第5个和第6个数据的平均数。
按尺码从小到大累计购买量：
尺码25厘米的共2双，对应排序后第1~2个数据；
尺码25.5厘米的共4双，对应排序后第3~$2+4=6$个数据。
因此第5个、第6个数据均为25.5厘米，所以中位数为$\frac{25.5+25.5}{2}=25.5$。
【答案】
25.5
【知识点】
中位数的计算、频数统计表
【点评】
本题属于基础统计题，解题的关键是掌握中位数的定义，结合频数统计表的累计频数快速定位中间位置对应的数值，避免因直接对尺码求平均等错误方法导致失分。
【难度系数】
0.8
要计算这组数据的中位数，首先回忆中位数的求解方法：①先确定数据总个数，若总个数为奇数，中位数是排序后最中间的数；若为偶数，中位数是排序后中间两个数的平均数。②本题数据已经按尺码从小到大排列，我们可以通过累计购买量确定中间位置对应的尺码：总共有10个数据，中间位置是第5、6位，接下来依次累计各尺码的购买量，找到第5、6位对应的尺码，计算平均值即可得到中位数。
【解析】
解：首先计算购买总数量：$2+4+2+1+1=10$（双），共10个数据，中位数为从小到大排列后第5个和第6个数据的平均数。
按尺码从小到大累计购买量：
尺码25厘米的共2双，对应排序后第1~2个数据；
尺码25.5厘米的共4双，对应排序后第3~$2+4=6$个数据。
因此第5个、第6个数据均为25.5厘米，所以中位数为$\frac{25.5+25.5}{2}=25.5$。
【答案】
25.5
【知识点】
中位数的计算、频数统计表
【点评】
本题属于基础统计题，解题的关键是掌握中位数的定义，结合频数统计表的累计频数快速定位中间位置对应的数值，避免因直接对尺码求平均等错误方法导致失分。
【难度系数】
0.8
14 为了考察某区15000名九年级学生数学知识与能力测试的成绩，从中抽取50本试卷，每本试卷25份，那么样本容量是
1250
。答案
1250
解析
【分析】
解题需把握两个核心：一是明确样本容量的定义，样本容量指样本中包含的个体的数量，且没有单位；二是准确计算抽取的样本个体总数。本题中已知抽取50本试卷、每本25份，将两个数据相乘即可得到抽取的试卷总份数，也就是样本容量。
【解析】
解：根据样本容量的定义，样本容量是从总体中抽取的样本所包含的个体数目，无单位。
本次抽取的试卷总份数为：$50×25=1250$，因此样本容量为1250。
【答案】
1250
【知识点】
样本容量的概念；总体与样本
【点评】
本题是基础概念题，重点考查对样本容量概念的理解，易错点是误把抽取的50本当作样本容量，或给结果添加单位，明确概念后通过简单计算即可得分。
【难度系数】
0.9
解题需把握两个核心：一是明确样本容量的定义，样本容量指样本中包含的个体的数量，且没有单位；二是准确计算抽取的样本个体总数。本题中已知抽取50本试卷、每本25份，将两个数据相乘即可得到抽取的试卷总份数，也就是样本容量。
【解析】
解：根据样本容量的定义，样本容量是从总体中抽取的样本所包含的个体数目，无单位。
本次抽取的试卷总份数为：$50×25=1250$，因此样本容量为1250。
【答案】
1250
【知识点】
样本容量的概念；总体与样本
【点评】
本题是基础概念题，重点考查对样本容量概念的理解，易错点是误把抽取的50本当作样本容量，或给结果添加单位，明确概念后通过简单计算即可得分。
【难度系数】
0.9
15 现有一组数据:12、8、11、8、7,按照组内离差平方和最小的原则,将这组数据分成两组,第一组有 m 个数据,则 m=
3
。答案
3 [提示:分别计算不同分组的组内离差平方和,结果如下:当m=1时,$S_1^2=12.75$;当$m=2$时,$S_1^2=9.167$;当$m=3$时,$S_1^2=1.167$;当$m=4$时,$S_1^2=9$。所以$m=3$。]
解析
【分析】
解题核心是理解组内离差平方和越小，组内数据波动越小、数值越接近。首先明确总共有5个数据，第一组个数m的可能取值为1、2、3、4（m=0或5无分组意义）。先将数据从小到大排序，方便找到数值接近的最优分组，再分别计算每种m对应的最小总组内离差平方和，比较所有结果，取离差最小对应的m即可。
【解析】
1. 先将数据从小到大排序：7，8，8，11，12。
2. 明确离差平方和计算规则：对一组数据$x_1,x_2,\dots,x_n$，先求均值$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$，组内离差平方和$S=\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2$，总组内离差平方和为两组的离差平方和之和。
3. 分别计算不同m对应的最小总离差平方和：
① m=1时：第一组1个数据，第二组4个，最小总离差平方和为12.75；
② m=2时：最优分组为{7,8}和{8,11,12}，计算得第一组均值为7.5，离差平方和为$(7-7.5)^2+(8-7.5)^2=0.5$；第二组均值为$\frac{31}{3}$，离差平方和为$(8-\frac{31}{3})^2+(11-\frac{31}{3})^2+(12-\frac{31}{3})^2=\frac{26}{3}\approx8.667$，总离差平方和约为$0.5+8.667=9.167$；
③ m=3时：最优分组为{7,8,8}和{11,12}，计算得第一组均值为$\frac{23}{3}$，离差平方和为$(7-\frac{23}{3})^2+2×(8-\frac{23}{3})^2=\frac{2}{3}\approx0.667$；第二组均值为11.5，离差平方和为$(11-11.5)^2+(12-11.5)^2=0.5$，总离差平方和约为$0.667+0.5=1.167$；
④ m=4时：与m=1分组对应，最小总离差平方和为9。
4. 比较可知m=3时总组内离差平方和最小。
【答案】
3
【知识点】
1. 离差平方和计算
2. 数据的离散程度
3. 统计分组原则
【点评】
本题考查对离差平方和含义的理解与应用，解题时先确定所有可能的分组情况，通过数据排序快速找到每组数值更接近的最优分组，再逐一计算比较即可，计算时需注意细心避免运算错误。
【难度系数】
0.7
解题核心是理解组内离差平方和越小，组内数据波动越小、数值越接近。首先明确总共有5个数据，第一组个数m的可能取值为1、2、3、4（m=0或5无分组意义）。先将数据从小到大排序，方便找到数值接近的最优分组，再分别计算每种m对应的最小总组内离差平方和，比较所有结果，取离差最小对应的m即可。
【解析】
1. 先将数据从小到大排序：7，8，8，11，12。
2. 明确离差平方和计算规则：对一组数据$x_1,x_2,\dots,x_n$，先求均值$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$，组内离差平方和$S=\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2$，总组内离差平方和为两组的离差平方和之和。
3. 分别计算不同m对应的最小总离差平方和：
① m=1时：第一组1个数据，第二组4个，最小总离差平方和为12.75；
② m=2时：最优分组为{7,8}和{8,11,12}，计算得第一组均值为7.5，离差平方和为$(7-7.5)^2+(8-7.5)^2=0.5$；第二组均值为$\frac{31}{3}$，离差平方和为$(8-\frac{31}{3})^2+(11-\frac{31}{3})^2+(12-\frac{31}{3})^2=\frac{26}{3}\approx8.667$，总离差平方和约为$0.5+8.667=9.167$；
③ m=3时：最优分组为{7,8,8}和{11,12}，计算得第一组均值为$\frac{23}{3}$，离差平方和为$(7-\frac{23}{3})^2+2×(8-\frac{23}{3})^2=\frac{2}{3}\approx0.667$；第二组均值为11.5，离差平方和为$(11-11.5)^2+(12-11.5)^2=0.5$，总离差平方和约为$0.667+0.5=1.167$；
④ m=4时：与m=1分组对应，最小总离差平方和为9。
4. 比较可知m=3时总组内离差平方和最小。
【答案】
3
【知识点】
1. 离差平方和计算
2. 数据的离散程度
3. 统计分组原则
【点评】
本题考查对离差平方和含义的理解与应用，解题时先确定所有可能的分组情况，通过数据排序快速找到每组数值更接近的最优分组，再逐一计算比较即可，计算时需注意细心避免运算错误。
【难度系数】
0.7
