登录
18 某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高(单位：cm)，数据整理如下：
a. 16名学生的身高：
161、162、162、164、165、165、165、166、167、167、168、169、170、172、173、175。
b. 16名学生的身高的平均数、中位数、众数：
（1）写出表中m、n的值。
（2）对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好。据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是
（3）根据组内离差平方和最小的原则，将身高为167、167、168、169、170的五名同学分成两组，应该如何分？
a. 16名学生的身高：
161、162、162、164、165、165、165、166、167、167、168、169、170、172、173、175。
b. 16名学生的身高的平均数、中位数、众数：
（1）写出表中m、n的值。
（2）对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好。据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是
甲组
。（填“甲组”或“乙组”）（3）根据组内离差平方和最小的原则，将身高为167、167、168、169、170的五名同学分成两组，应该如何分？
答案
(1) $m=166.5$，$n=165$。
(2) 甲组身高的平均数为: $\frac{1}{5}(162+165+165+166+167)=165$,
甲组身高的方差为: $\frac{1}{5}[(162-165)^2+(165-165)^2+(165-165)^2+(166-165)^2+(167-165)^2]=2.8$。
乙组身高的平均数为: $\frac{1}{5}(161+162+164+165+175)=165.4$,
乙组身高的方差为: $\frac{1}{5}[(161-165.4)^2+(162-165.4)^2+(164-165.4)^2+(165-165.4)^2+(175-165.4)^2]=25.04$。
因为$25.04＞2.8$,所以舞台呈现效果更好的是甲组。
(3) 依次计算4种分组的组内离差平方和,结果如下表：
| 分组情况 | 组内离差平方和 |
| --- | --- |
| 第一组前1个,第二组后4个数据 | 5 |
| 第一组前2个,第二组后3个数据 | 2 |
| 第一组前3个,第二组后2个数据 | 1.17 |
| 第一组前4个,第二组后1个数据 | 2.75 |
由表可知,组内平方和的最小值为1.17,此时$m=3$,因此分组为:
第一组:167, 167, 168;
第二组:169, 170。
(2) 甲组身高的平均数为: $\frac{1}{5}(162+165+165+166+167)=165$,
甲组身高的方差为: $\frac{1}{5}[(162-165)^2+(165-165)^2+(165-165)^2+(166-165)^2+(167-165)^2]=2.8$。
乙组身高的平均数为: $\frac{1}{5}(161+162+164+165+175)=165.4$,
乙组身高的方差为: $\frac{1}{5}[(161-165.4)^2+(162-165.4)^2+(164-165.4)^2+(165-165.4)^2+(175-165.4)^2]=25.04$。
因为$25.04＞2.8$,所以舞台呈现效果更好的是甲组。
(3) 依次计算4种分组的组内离差平方和,结果如下表：
| 分组情况 | 组内离差平方和 |
| --- | --- |
| 第一组前1个,第二组后4个数据 | 5 |
| 第一组前2个,第二组后3个数据 | 2 |
| 第一组前3个,第二组后2个数据 | 1.17 |
| 第一组前4个,第二组后1个数据 | 2.75 |
由表可知,组内平方和的最小值为1.17,此时$m=3$,因此分组为:
第一组:167, 167, 168;
第二组:169, 170。
解析
【分析】
（1）求解中位数和众数需结合定义思考：将数据从小到大排序后，若数据个数为偶数，中位数为中间两个数的平均数；众数是一组数据中出现次数最多的数。先对16个身高数据排序，找到第8、9位数据求平均得到m，找出出现次数最多的数得到n。
（2）题目明确方差越小舞台呈现效果越好，因此只需分别计算甲组、乙组的身高方差，比较两组方差大小，方差更小的组效果更好。
（3）组内离差平方和越小说明同组数据集中程度越高、数据越接近，因此只需将排序后的5个身高数据按连续分段的4种情况分组，分别计算每种分组的总离差平方和，取和最小的分组方式即可。
【解析】
（1）将16名学生的身高从小到大排序后，第8个数据为166，第9个数据为167，因此中位数$m=\frac{166+167}{2}=166.5$；
数据中165共出现3次，出现次数最多，因此众数$n=165$。
（2）计算甲组数据的平均数和方差：
甲组身高平均数：$\overline{x}_甲=\frac{1}{5}(162+165+165+166+167)=165$
甲组方差：$s^2_甲=\frac{1}{5}[(162-165)^2+(165-165)^2+(165-165)^2+(166-165)^2+(167-165)^2]=2.8$
计算乙组数据的平均数和方差：
乙组身高平均数：$\overline{x}_乙=\frac{1}{5}(161+162+164+165+175)=165.4$
乙组方差：$s^2_乙=\frac{1}{5}[(161-165.4)^2+(162-165.4)^2+(164-165.4)^2+(165-165.4)^2+(175-165.4)^2]=25.04$
因为$2.8＜25.04$，甲组方差更小，因此舞台呈现效果更好的是甲组。
（3）先将5名同学的身高排序为：167、167、168、169、170，按连续分段的4种情况分别计算总离差平方和：
①第一组1个（167），第二组4个（167、168、169、170）：总离差平方和为5；
②第一组2个（167、167），第二组3个（168、169、170）：总离差平方和为2；
③第一组3个（167、167、168），第二组2个（169、170）：总离差平方和为1.17；
④第一组4个（167、167、168、169），第二组1个（170）：总离差平方和为2.75；
对比可知总离差平方和最小为1.17，对应分组为第一组：167、167、168，第二组：169、170。
【答案】
(1) $m=166.5$，$n=165$
(2) 甲组
(3) 第一组：167、167、168；第二组：169、170
【知识点】
中位数与众数，方差的计算，离差平方和
【点评】
本题结合实际生活场景考查统计相关知识，既要求熟练掌握基础统计量的计算方法，也需要结合实际意义灵活应用知识解决分组问题，侧重考查知识的应用能力。
【难度系数】
0.6
（1）求解中位数和众数需结合定义思考：将数据从小到大排序后，若数据个数为偶数，中位数为中间两个数的平均数；众数是一组数据中出现次数最多的数。先对16个身高数据排序，找到第8、9位数据求平均得到m，找出出现次数最多的数得到n。
（2）题目明确方差越小舞台呈现效果越好，因此只需分别计算甲组、乙组的身高方差，比较两组方差大小，方差更小的组效果更好。
（3）组内离差平方和越小说明同组数据集中程度越高、数据越接近，因此只需将排序后的5个身高数据按连续分段的4种情况分组，分别计算每种分组的总离差平方和，取和最小的分组方式即可。
【解析】
（1）将16名学生的身高从小到大排序后，第8个数据为166，第9个数据为167，因此中位数$m=\frac{166+167}{2}=166.5$；
数据中165共出现3次，出现次数最多，因此众数$n=165$。
（2）计算甲组数据的平均数和方差：
甲组身高平均数：$\overline{x}_甲=\frac{1}{5}(162+165+165+166+167)=165$
甲组方差：$s^2_甲=\frac{1}{5}[(162-165)^2+(165-165)^2+(165-165)^2+(166-165)^2+(167-165)^2]=2.8$
计算乙组数据的平均数和方差：
乙组身高平均数：$\overline{x}_乙=\frac{1}{5}(161+162+164+165+175)=165.4$
乙组方差：$s^2_乙=\frac{1}{5}[(161-165.4)^2+(162-165.4)^2+(164-165.4)^2+(165-165.4)^2+(175-165.4)^2]=25.04$
因为$2.8＜25.04$，甲组方差更小，因此舞台呈现效果更好的是甲组。
（3）先将5名同学的身高排序为：167、167、168、169、170，按连续分段的4种情况分别计算总离差平方和：
①第一组1个（167），第二组4个（167、168、169、170）：总离差平方和为5；
②第一组2个（167、167），第二组3个（168、169、170）：总离差平方和为2；
③第一组3个（167、167、168），第二组2个（169、170）：总离差平方和为1.17；
④第一组4个（167、167、168、169），第二组1个（170）：总离差平方和为2.75；
对比可知总离差平方和最小为1.17，对应分组为第一组：167、167、168，第二组：169、170。
【答案】
(1) $m=166.5$，$n=165$
(2) 甲组
(3) 第一组：167、167、168；第二组：169、170
【知识点】
中位数与众数，方差的计算，离差平方和
【点评】
本题结合实际生活场景考查统计相关知识，既要求熟练掌握基础统计量的计算方法，也需要结合实际意义灵活应用知识解决分组问题，侧重考查知识的应用能力。
【难度系数】
0.6
