登录
1. (2026·西安模拟)如图①,是某海底世界时空隧道的截面图,上半部分可近似看作一条抛物线,下半部分可近似看作矩形AOCB.如图②所示,以点O为坐标原点,地面OC所在直线为x轴建立平面直角坐标系.已知矩形长OC=5 m,宽OA=1 m,隧道最高点距离地面$\frac{33}{8}$m.
(1)求该抛物线的函数表达式.
(2)为清洁隧道玻璃,工人师傅设计了一个清洁设备,OG是一条滑轨(点G在抛物线对称轴右侧的抛物线上),GH是高度为3 m的竖直支撑杆,PM为竖直的伸缩清洁臂,当点P在OG上滑动时,伸缩清洁臂PM可清洁隧道玻璃.若0≤PM≤2.5,请问:伸缩清洁臂能否彻底清洁OG上方的玻璃?请说明理由.
(1)求该抛物线的函数表达式.
(2)为清洁隧道玻璃,工人师傅设计了一个清洁设备,OG是一条滑轨(点G在抛物线对称轴右侧的抛物线上),GH是高度为3 m的竖直支撑杆,PM为竖直的伸缩清洁臂,当点P在OG上滑动时,伸缩清洁臂PM可清洁隧道玻璃.若0≤PM≤2.5,请问:伸缩清洁臂能否彻底清洁OG上方的玻璃?请说明理由.
答案
1. (1)
∵ 矩形AOCB长OC=5 m,宽OA=1 m,
∴ A点坐标为(0,1),B点坐标为(5,1).
∵ 隧道最高点距离地面$\frac{33}{8}$m,
∴ 抛物线的顶点坐标为$(\frac{5}{2},\frac{33}{8})$.设抛物线的表达式为$y=a(x-\frac{5}{2})^2+\frac{33}{8}$,把A(0,1)代入,得$1=a(0-\frac{5}{2})^2+\frac{33}{8}$,解得$a=-\frac{1}{2}$,
∴ 抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{2}(x-\frac{5}{2})^2+\frac{33}{8}=-\frac{1}{2}x^2+\frac{5}{2}x+1$.
(2)伸缩清洁臂不能彻底清洁OG上方的玻璃.理由如下:把y=3代入$y=-\frac{1}{2}x^2+\frac{5}{2}x+1$,得$-\frac{1}{2}x^2+\frac{5}{2}x+1=3$,解得$x_1=4,x_2=1$,
∵ 点G在抛物线对称轴右侧的抛物线上,
∴ 点G的坐标为(4,3).设直线OG的表达式为$y=kx(k≠0)$,把(4,3)代入,得3=4k,解得$k=\frac{3}{4}$,
∴ 直线OG的表达式为$y=\frac{3}{4}x$,设点M的坐标为$(m,-\frac{1}{2}m^2+\frac{5}{2}m+1)(0≤m≤4)$,则点P的坐标为$(m,\frac{3}{4}m)$,$PM=-\frac{1}{2}m^2+\frac{5}{2}m+1-\frac{3}{4}m=-\frac{1}{2}m^2+\frac{7}{4}m+1=-\frac{1}{2}(m-\frac{7}{4})^2+\frac{81}{32}$.
∵ 当$m=\frac{7}{4}$时,$-\frac{1}{2}(m-\frac{7}{4})^2+\frac{81}{32}$取最大值$\frac{81}{32}$,
∴ 隧道玻璃与滑轨间的最大距离为$\frac{81}{32}$m.
∵ $2.5=\frac{5}{2}=\frac{80}{32}$,$\frac{81}{32}＞\frac{80}{32}$,$\frac{81}{32}＞2.5$,
∴ 伸缩清洁臂不能彻底清洁OG上方的玻璃.
∵ 矩形AOCB长OC=5 m,宽OA=1 m,
∴ A点坐标为(0,1),B点坐标为(5,1).
∵ 隧道最高点距离地面$\frac{33}{8}$m,
∴ 抛物线的顶点坐标为$(\frac{5}{2},\frac{33}{8})$.设抛物线的表达式为$y=a(x-\frac{5}{2})^2+\frac{33}{8}$,把A(0,1)代入,得$1=a(0-\frac{5}{2})^2+\frac{33}{8}$,解得$a=-\frac{1}{2}$,
∴ 抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{2}(x-\frac{5}{2})^2+\frac{33}{8}=-\frac{1}{2}x^2+\frac{5}{2}x+1$.
(2)伸缩清洁臂不能彻底清洁OG上方的玻璃.理由如下:把y=3代入$y=-\frac{1}{2}x^2+\frac{5}{2}x+1$,得$-\frac{1}{2}x^2+\frac{5}{2}x+1=3$,解得$x_1=4,x_2=1$,
∵ 点G在抛物线对称轴右侧的抛物线上,
∴ 点G的坐标为(4,3).设直线OG的表达式为$y=kx(k≠0)$,把(4,3)代入,得3=4k,解得$k=\frac{3}{4}$,
∴ 直线OG的表达式为$y=\frac{3}{4}x$,设点M的坐标为$(m,-\frac{1}{2}m^2+\frac{5}{2}m+1)(0≤m≤4)$,则点P的坐标为$(m,\frac{3}{4}m)$,$PM=-\frac{1}{2}m^2+\frac{5}{2}m+1-\frac{3}{4}m=-\frac{1}{2}m^2+\frac{7}{4}m+1=-\frac{1}{2}(m-\frac{7}{4})^2+\frac{81}{32}$.
∵ 当$m=\frac{7}{4}$时,$-\frac{1}{2}(m-\frac{7}{4})^2+\frac{81}{32}$取最大值$\frac{81}{32}$,
∴ 隧道玻璃与滑轨间的最大距离为$\frac{81}{32}$m.
∵ $2.5=\frac{5}{2}=\frac{80}{32}$,$\frac{81}{32}＞\frac{80}{32}$,$\frac{81}{32}＞2.5$,
∴ 伸缩清洁臂不能彻底清洁OG上方的玻璃.
2. (2025·徐州中考)急刹车时,停车距离是指骑车人从意识到应当刹车到车辆停下来所走的距离,记作$y$(m);反应距离是指骑车人意识到应当刹车到实施刹车所走的距离,记作$d_1$(m);刹车距离是指骑车人实施刹车到车辆停下来所走的距离,记作$d_2$(m).已知$y=d_1+d_2$,$d_1$与骑行速度成正比,$d_2$与骑行速度的平方成正比.当骑行速度为13 km/h时,反应距离为2.6 m,刹车距离为1 m.
(1)若骑行速度为26 km/h,则$d_1=$
(2)设骑行速度为$x$ km/h,求$y$关于$x$的函数表达式;
(3)当刹车距离为2 m时,停车距离约为多少米?(精确到0.1 m,参考数据:$\sqrt{2}\approx1.41$,$\sqrt{3}\approx1.73$,$\sqrt{5}\approx2.24$)
(1)若骑行速度为26 km/h,则$d_1=$
5.2
m,$d_2=$4
m;(2)设骑行速度为$x$ km/h,求$y$关于$x$的函数表达式;
(3)当刹车距离为2 m时,停车距离约为多少米?(精确到0.1 m,参考数据:$\sqrt{2}\approx1.41$,$\sqrt{3}\approx1.73$,$\sqrt{5}\approx2.24$)
答案
2. (1) 5.2 4 解析:$d_1$与骑行速度成正比,$d_2$与骑行速度的平方成正比.设骑行速度为x km/h,$d_1=k_1x$,$d_2=k_2x^2$.
∵ 当骑行速度为13 km/h时,反应距离为2.6 m,
∴ $13k_1=2.6$,解得$k_1=0.2$,
∴ $d_1=0.2x$,当x=26时,$d_1=0.2×26=5.2$(m).
∵ 当骑行速度为13 km/h时,刹车距离为1 m,
∴ $1=13^2×k_2$,解得$k_2=\frac{1}{169}$,
∴ $d_2=\frac{1}{169}x^2$,当x=26时,$d_2=\frac{1}{169}×26^2=\frac{1}{169}×2^2×13^2=4$(m).
(2)设骑行速度为x km/h,而$d_1=0.2x$,$d_2=\frac{1}{169}x^2$,
∴ y关于x的函数表达式为$y=d_1+d_2=\frac{1}{169}x^2+0.2x$.
(3)
∵ 刹车距离为2 m,
∴ $2=\frac{1}{169}x^2$,解得$x=13\sqrt{2}$($x=-13\sqrt{2}$舍去),
∴ $y=\frac{1}{169}x^2+0.2x≈2+0.2×13×1.41=5.666$(m)≈5.7 m,
∴ 停车距离约为5.7 m.
∵ 当骑行速度为13 km/h时,反应距离为2.6 m,
∴ $13k_1=2.6$,解得$k_1=0.2$,
∴ $d_1=0.2x$,当x=26时,$d_1=0.2×26=5.2$(m).
∵ 当骑行速度为13 km/h时,刹车距离为1 m,
∴ $1=13^2×k_2$,解得$k_2=\frac{1}{169}$,
∴ $d_2=\frac{1}{169}x^2$,当x=26时,$d_2=\frac{1}{169}×26^2=\frac{1}{169}×2^2×13^2=4$(m).
(2)设骑行速度为x km/h,而$d_1=0.2x$,$d_2=\frac{1}{169}x^2$,
∴ y关于x的函数表达式为$y=d_1+d_2=\frac{1}{169}x^2+0.2x$.
(3)
∵ 刹车距离为2 m,
∴ $2=\frac{1}{169}x^2$,解得$x=13\sqrt{2}$($x=-13\sqrt{2}$舍去),
∴ $y=\frac{1}{169}x^2+0.2x≈2+0.2×13×1.41=5.666$(m)≈5.7 m,
∴ 停车距离约为5.7 m.
