3. (2025·盐城中考)[生活观察]小明通过观察发现,将运动中的羽毛球看成一个点,扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种,如图①、②所示.
[数学建模]小明发现扣杀球的路线近似为一条直线,网前吊球的路线近似为抛物线.羽毛球运动轨迹的剖面图如图③所示,从A点击球,击球点是抛物线的最高点,点A到地面的距离$AO=2.4\ \mathrm{m}$,球网上端点B到地面的距离$BC=1.55\ \mathrm{m}$,人与球网之间的距离$OC=1.6\ \mathrm{m}$,假设两种击球路线都经过点B正上方0.05 m处的点D,网前吊球和扣杀球的落点分别为点E,F.
(1)请在图③中建立合适的平面直角坐标系,并分别求出两种击球路线的函数表达式;
[模型应用]
(2)网前吊球的落点到球网的距离CE的长是m;
(3)甲在A处击球,扣杀球时,羽毛球的平均速度约为$36\ \mathrm{m/s}$.网前吊球时,羽毛球下降的高度$h(\mathrm{m})$与时间$t(\mathrm{s})$之间的表达式为$h=5t^2$.乙在看到甲击球的同时,尝试接球,从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要0.5 s.请通过计算说明,乙能接到哪种方式的击球.

3. (1)以O为坐标原点,OF所在的直线为x轴,OA所在的直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.
则A(0,2.4),D(1.6,1.6),设直线AD的表达式为y=kx+n,
∴ $\begin{cases}n=2.4,\\1.6k+n=1.6,\end{cases}$
∴ $\begin{cases}k=-\frac{1}{2},\\n=2.4=\frac{12}{5},\end{cases}$
∴ 扣杀球击球路线的函数表达式为$y=-\frac{1}{2}x+\frac{12}{5}$;
设网前吊球击球路线的函数表达式为$y=ax^2+2.4$,
∴ $1.6=a×1.6^2+2.4$,
∴ $a=-\frac{5}{16}$,
∴ 网前吊球击球路线的函数表达式为$y=-\frac{5}{16}x^2+\frac{12}{5}$.
(2) $\frac{8\sqrt{3}-8}{5}$ 解析:令y=0,则$-\frac{5}{16}x^2+\frac{12}{5}=0$,
∵ x＞0,
∴ $x=\frac{8\sqrt{3}}{5}$,
∴ $E(\frac{8\sqrt{3}}{5},0)$,
∴ $OE=\frac{8\sqrt{3}}{5}$ m,
∴ $CE=OE-OC=\frac{8\sqrt{3}-8}{5}$ m.
(3)对于$y=-\frac{1}{2}x+\frac{12}{5}$,令y=0,则$-\frac{1}{2}x+\frac{12}{5}=0$,
∴ $x=\frac{24}{5}$,
∴ $F(\frac{24}{5},0)$,
∴ $OF=\frac{24}{5}$ m,
∴ $AF=\sqrt{OF^2+OA^2}=\sqrt{(\frac{24}{5})^2+(\frac{12}{5})^2}=\frac{12\sqrt{5}}{5}$(m).
∵ 扣杀球时,羽毛球的平均速度约为36 m/s,
∴ 羽毛球的落地时间为$\frac{\frac{12\sqrt{5}}{5}}{36}=\frac{\sqrt{5}}{15}$(s).
∵ $\frac{\sqrt{5}}{15}$＜0.5,
∴ 乙不能接到扣杀球的击球.
∵ 从A点击球,击球点是抛物线的最高点,
∴ $\frac{12}{5}=5t^2$.
∵ t＞0,
∴ $t=\frac{2\sqrt{3}}{5}$.
∵ $\frac{2\sqrt{3}}{5}$＞0.5,
∴ 乙能接到网前吊球的击球.

4. (2025·内江中考)2025年春节期间,我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录,商家推出A,B两款“哪吒”文旅纪念品.已知购进A款200个,B款300个,需花费14 000元;购进A款100个,B款200个,需花费8 000元.
(1)求A,B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元.
(2)根据网上预约的情况,如果该商家计划用不超过12 000元的资金购进A,B两款“哪吒”纪念品共400个,那么至少需要购进B款纪念品多少个?
(3)在销售中,该商家发现每个A款纪念品售价60元时,可售出200个,售价每增加1元,销售量将减少5个.设每个A款纪念品售价$a(60≤a≤100)$元,$W$表示该商家销售A款纪念品的利润(单位:元),求$W$关于$a$的函数表达式,并求出$W$的最大值.

4. (1)设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元,B款“哪吒”纪念品每个进价为y元.由题意得,$\begin{cases}200x+300y=14000,\\100x+200y=8000,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=40,\\y=20.\end{cases}$
答:A款“哪吒”纪念品每个进价为40元,B款“哪吒”纪念品每个进价为20元.
(2)设需要购进B款纪念品m个,则需要购进A款纪念品(400-m)个.由题意得,40(400-m)+20m≤12000,解得m≥200,
∴ m的最小值为200.
答:至少需要购进B款纪念品200个.
(3)由题意得,$W=(a-40)[200-5(a-60)]=-5a^2+700a-20000=-5(a-70)^2+4500$,
∵ -5＜0,60≤a≤100,
∴ 当a-70=0,即a=70时,W最大,最大值为4500.