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13.(代数推理)已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}x+2y=5-2a,\\x-y=4a-1,\end{cases}$证明无论$a$取何值，$x,y$的值不可能互为相反数.
答案
13.证明:解原方程组,得$\begin{cases} x=2a+1, \\ y=2-2a. \end{cases} \therefore x+y=3$.
∴无论$a$取何值,$x$,$y$的值不可能互为相反数.
∴无论$a$取何值,$x$,$y$的值不可能互为相反数.
解析
【分析】
要判断x、y是否可能互为相反数，首先明确互为相反数的两个数满足x+y=0。因此我们可以先通过消元法解二元一次方程组，用含参数a的代数式分别表示出x和y的值，再计算x+y的结果，若结果恒不等于0，就能证明无论a取何值，x、y都不可能互为相反数。
【解析】
证明：解原方程组$\begin{cases}x+2y=5-2a \quad \mathrm{①}\\x-y=4a-1 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
用①-②消去x，得：$(x+2y)-(x-y)=(5-2a)-(4a-1)$
化简得：$3y=6-6a$，解得$y=2-2a$
将$y=2-2a$代入②，得：$x-(2-2a)=4a-1$
解得：$x=2a+1$
因此方程组的解为$\begin{cases}x=2a+1 \\ y=2-2a \end{cases}$
计算两数之和：$x+y=(2a+1)+(2-2a)=3$
由于互为相反数的两数之和为0，但x+y恒等于3，不可能为0，因此无论a取何值，x、y都不可能互为相反数。
【答案】
证明:解原方程组,得$\begin{cases} x=2a+1, \\ y=2-2a. \end{cases}$ $\therefore x+y=3$.
$\therefore$无论$a$取何值,$x$,$y$的值不可能互为相反数.
【知识点】
二元一次方程组的解法，相反数的性质，代数式化简
【点评】
本题属于代数推理类基础题型，将方程组求解和相反数性质结合考查，解题核心是先求出用参数表示的方程组的解，再通过化简验证是否符合相反数的定义，能有效锻炼逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
要判断x、y是否可能互为相反数，首先明确互为相反数的两个数满足x+y=0。因此我们可以先通过消元法解二元一次方程组，用含参数a的代数式分别表示出x和y的值，再计算x+y的结果，若结果恒不等于0，就能证明无论a取何值，x、y都不可能互为相反数。
【解析】
证明：解原方程组$\begin{cases}x+2y=5-2a \quad \mathrm{①}\\x-y=4a-1 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
用①-②消去x，得：$(x+2y)-(x-y)=(5-2a)-(4a-1)$
化简得：$3y=6-6a$，解得$y=2-2a$
将$y=2-2a$代入②，得：$x-(2-2a)=4a-1$
解得：$x=2a+1$
因此方程组的解为$\begin{cases}x=2a+1 \\ y=2-2a \end{cases}$
计算两数之和：$x+y=(2a+1)+(2-2a)=3$
由于互为相反数的两数之和为0，但x+y恒等于3，不可能为0，因此无论a取何值，x、y都不可能互为相反数。
【答案】
证明:解原方程组,得$\begin{cases} x=2a+1, \\ y=2-2a. \end{cases}$ $\therefore x+y=3$.
$\therefore$无论$a$取何值,$x$,$y$的值不可能互为相反数.
【知识点】
二元一次方程组的解法，相反数的性质，代数式化简
【点评】
本题属于代数推理类基础题型，将方程组求解和相反数性质结合考查，解题核心是先求出用参数表示的方程组的解，再通过化简验证是否符合相反数的定义，能有效锻炼逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
14.随着农业技术的高速发展,新农机、新农技的大量运用让中国的“饭碗”越端越牢.装有北斗卫星导航系统的无人驾驶插秧机大幅度提高了插秧速度.现有某种型号的无人驾驶插秧机若干台和农田若干亩,若插秧机的速度为每天插秧 45 亩,则工作 5 天后还剩400 亩农田未插秧;若插秧机的速度为每天插秧 50 亩,则工作 6 天后还剩 100 亩农田未插秧.有几台插秧机和多少亩农田?
答案
14.解:设有$x$台插秧机,$y$亩农田,根据题意,得$\begin{cases} 5×45x+400=y, \\ 6×50x+100=y. \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=4, \\ y=1\ 300. \end{cases}$
答:有4台插秧机,1 300亩农田.
答:有4台插秧机,1 300亩农田.
解析
【分析】
这是一道典型的二元一次方程组应用题，解题思路如下：第一步，明确两个未知量：插秧机的台数和农田总亩数，可分别设为未知数；第二步，从题干中提取两个等量关系：①每台插秧机每天插秧45亩，x台工作5天的插秧总量 + 剩余400亩 = 农田总亩数；②每台插秧机每天插秧50亩，x台工作6天的插秧总量 + 剩余100亩 = 农田总亩数；第三步，根据等量关系列出方程组，求解后检验作答即可。
【解析】
解：设有$x$台插秧机，$y$亩农田，根据题意列方程组得：
$\begin{cases} 5×45x + 400 = y \\ 6×50x + 100 = y \end{cases}$
联立两个方程消去$y$可得：
$225x + 400 = 300x + 100$
移项计算得：$75x = 300$，解得$x=4$
把$x=4$代入第一个方程，得$y=5×45×4 + 400 = 900 + 400 = 1300$
经检验，$x=4$、$y=1300$符合题意。
【答案】
有4台插秧机，1300亩农田。
【知识点】
二元一次方程组的应用；二元一次方程组的求解
【点评】
本题属于常规的方程类应用题，解题核心是准确梳理题干中的数量关系，找到对应等量表达式列出方程组，主要考察学生的读题分析能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.8
这是一道典型的二元一次方程组应用题，解题思路如下：第一步，明确两个未知量：插秧机的台数和农田总亩数，可分别设为未知数；第二步，从题干中提取两个等量关系：①每台插秧机每天插秧45亩，x台工作5天的插秧总量 + 剩余400亩 = 农田总亩数；②每台插秧机每天插秧50亩，x台工作6天的插秧总量 + 剩余100亩 = 农田总亩数；第三步，根据等量关系列出方程组，求解后检验作答即可。
【解析】
解：设有$x$台插秧机，$y$亩农田，根据题意列方程组得：
$\begin{cases} 5×45x + 400 = y \\ 6×50x + 100 = y \end{cases}$
联立两个方程消去$y$可得：
$225x + 400 = 300x + 100$
移项计算得：$75x = 300$，解得$x=4$
把$x=4$代入第一个方程，得$y=5×45×4 + 400 = 900 + 400 = 1300$
经检验，$x=4$、$y=1300$符合题意。
【答案】
有4台插秧机，1300亩农田。
【知识点】
二元一次方程组的应用；二元一次方程组的求解
【点评】
本题属于常规的方程类应用题，解题核心是准确梳理题干中的数量关系，找到对应等量表达式列出方程组，主要考察学生的读题分析能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.8
15. 某公司销售 A，B 两种设备，第一季度共卖出 2 200 台.第二季度卖出 A 种设备的数量比第一季度多 6%，卖出 B 种设备的数量比第一季度少 5%，两种设备的总销量增加了 110 台.第一季度两种设备各卖了多少台？
答案
15.解:设第一季度A种设备卖了$x$台,B种设备卖了$y$台,
根据题意,得$\begin{cases} x+y=2\ 200, \\ (1+6\%)x+(1-5\%)y=2\ 200+110. \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=2\ 000, \\ y=200. \end{cases}$
答:第一季度A种设备卖了2 000台,B种设备卖了200台.
根据题意,得$\begin{cases} x+y=2\ 200, \\ (1+6\%)x+(1-5\%)y=2\ 200+110. \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=2\ 000, \\ y=200. \end{cases}$
答:第一季度A种设备卖了2 000台,B种设备卖了200台.
解析
【分析】
这是一道二元一次方程组的实际应用题，解题时首先要提取题干中的两个等量关系：①第一季度A设备销量与B设备销量之和为2200台；②第二季度A设备销量（比第一季度增长6%）与B设备销量（比第一季度减少5%）之和为第一季度总销量加新增的110台。我们可以设第一季度A、B两种设备的销量分别为x台、y台，将等量关系转化为方程组，再用代入消元法求解方程组即可得到结果。
【解析】
解：设第一季度A种设备卖了$x$台，B种设备卖了$y$台。
根据题意，列方程组得：
$\begin{cases} x+y=2\ 200, \\ (1+6\%)x+(1-5\%)y=2\ 200+110. \end{cases}$
化简第二个方程得：$1.06x+0.95y=2310$，
由第一个方程变形得$y=2200-x$，代入化简后的第二个方程：
$1.06x+0.95×(2200-x)=2310$
解得$x=2000$，
将$x=2000$代入$y=2200-x$，得$y=200$。
答：第一季度A种设备卖了2000台，B种设备卖了200台。
【答案】
第一季度A种设备卖了2000台，B种设备卖了200台。
【知识点】
1.二元一次方程组的应用 2.增长率问题
【点评】
本题是常见的销售类实际应用题，解题的核心是准确找到题干中的等量关系，建立方程模型求解，做题时要注意区分不同对象的增长率、减少率，避免数据混淆。
【难度系数】
0.7
这是一道二元一次方程组的实际应用题，解题时首先要提取题干中的两个等量关系：①第一季度A设备销量与B设备销量之和为2200台；②第二季度A设备销量（比第一季度增长6%）与B设备销量（比第一季度减少5%）之和为第一季度总销量加新增的110台。我们可以设第一季度A、B两种设备的销量分别为x台、y台，将等量关系转化为方程组，再用代入消元法求解方程组即可得到结果。
【解析】
解：设第一季度A种设备卖了$x$台，B种设备卖了$y$台。
根据题意，列方程组得：
$\begin{cases} x+y=2\ 200, \\ (1+6\%)x+(1-5\%)y=2\ 200+110. \end{cases}$
化简第二个方程得：$1.06x+0.95y=2310$，
由第一个方程变形得$y=2200-x$，代入化简后的第二个方程：
$1.06x+0.95×(2200-x)=2310$
解得$x=2000$，
将$x=2000$代入$y=2200-x$，得$y=200$。
答：第一季度A种设备卖了2000台，B种设备卖了200台。
【答案】
第一季度A种设备卖了2000台，B种设备卖了200台。
【知识点】
1.二元一次方程组的应用 2.增长率问题
【点评】
本题是常见的销售类实际应用题，解题的核心是准确找到题干中的等量关系，建立方程模型求解，做题时要注意区分不同对象的增长率、减少率，避免数据混淆。
【难度系数】
0.7
