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16. 已知关于 $ x,y $ 的二元一次方程组 $ \begin{cases}x+3y=4-a, \\ x-y=3a,\end{cases}$ 有下列结论:①当这个方程组的解 $ x $，$ y $ 互为相反数时，$ a=-2 $;②当 $ a=1 $ 时，方程组的解也是方程 $ x+y=4+2a $ 的解;③无论 $ a $ 取什么实数，$ x+2y $ 的值始终不变;④若用 $ x $ 表示 $ y $，则 $ y=-\frac{x}{2}+\frac{3}{2} $.其中正确的是（ ）
A.①②
B.②③
C.②③④
D.①③④
A.①②
B.②③
C.②③④
D.①③④
答案
16.D
解析
【分析】
要判断这四个结论是否正确，首先我们先解出这个含参数a的二元一次方程组，用含a的代数式表示出x和y，再针对每个结论的条件逐一验证即可。解方程组时可以用加减消元法先消去x，求出y的值，再代入求x。
【解析】
首先解二元一次方程组 $\begin{cases}x+3y=4-a&① \\ x-y=3a&②\end{cases}$：
步骤1：用①-②消去x，得：
$(x+3y)-(x-y)=(4-a)-3a$
化简得：$4y=4-4a$，解得 $y=1-a$
步骤2：把$y=1-a$代入②式，得：
$x-(1-a)=3a$
解得 $x=2a+1$
因此方程组的解为 $\begin{cases}x=2a+1 \\ y=1-a\end{cases}$
接下来逐一验证结论：
①当x、y互为相反数时，$x+y=0$，代入得：
$(2a+1)+(1-a)=0$，解得$a=-2$，故①正确；
②当$a=1$时，代入解得$x=3$，$y=0$，此时$x+y=3$；
而方程$x+y=4+2a$右边$=4+2×1=6$，$3≠6$，故②错误；
③计算$x+2y$：
$x+2y=(2a+1)+2(1-a)=2a+1+2-2a=3$，结果和a无关，始终为3，故③正确；
④用x表示y：由$x=2a+1$得$a=\frac{x-1}{2}$，代入$y=1-a$得：
$y=1-\frac{x-1}{2}=\frac{2-x+1}{2}=-\frac{x}{2}+\frac{3}{2}$，故④正确。
综上，正确的结论是①③④，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
解二元一次方程组，二元一次方程的解，代数式化简求值
【点评】
本题是二元一次方程组的综合题，解题核心是先求出含参数的方程组的解，再结合每个结论的条件代入验证，计算时注意去括号、合并同类项的符号，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
要判断这四个结论是否正确，首先我们先解出这个含参数a的二元一次方程组，用含a的代数式表示出x和y，再针对每个结论的条件逐一验证即可。解方程组时可以用加减消元法先消去x，求出y的值，再代入求x。
【解析】
首先解二元一次方程组 $\begin{cases}x+3y=4-a&① \\ x-y=3a&②\end{cases}$：
步骤1：用①-②消去x，得：
$(x+3y)-(x-y)=(4-a)-3a$
化简得：$4y=4-4a$，解得 $y=1-a$
步骤2：把$y=1-a$代入②式，得：
$x-(1-a)=3a$
解得 $x=2a+1$
因此方程组的解为 $\begin{cases}x=2a+1 \\ y=1-a\end{cases}$
接下来逐一验证结论：
①当x、y互为相反数时，$x+y=0$，代入得：
$(2a+1)+(1-a)=0$，解得$a=-2$，故①正确；
②当$a=1$时，代入解得$x=3$，$y=0$，此时$x+y=3$；
而方程$x+y=4+2a$右边$=4+2×1=6$，$3≠6$，故②错误；
③计算$x+2y$：
$x+2y=(2a+1)+2(1-a)=2a+1+2-2a=3$，结果和a无关，始终为3，故③正确；
④用x表示y：由$x=2a+1$得$a=\frac{x-1}{2}$，代入$y=1-a$得：
$y=1-\frac{x-1}{2}=\frac{2-x+1}{2}=-\frac{x}{2}+\frac{3}{2}$，故④正确。
综上，正确的结论是①③④，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
解二元一次方程组，二元一次方程的解，代数式化简求值
【点评】
本题是二元一次方程组的综合题，解题核心是先求出含参数的方程组的解，再结合每个结论的条件代入验证，计算时注意去括号、合并同类项的符号，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
17. 如果实数 $ x,y $ 满足方程组 $ \begin{cases} x + 2y = -2, \\ x - y = 1, \end{cases} $ 那么 $ (2x + y)^{2025} = \underline{\hspace{5em}} $.
答案
17.$-1$
解析
【分析】
本题要求代数式$(2x+y)^{2025}$的值，有两种解题思路：一是先解给定的二元一次方程组，求出$x$和$y$的具体值，再代入计算$2x+y$的值，最后计算乘方即可；二是观察所求代数式的结构，发现$2x+y$正好是方程组中两个方程左边相加的结果，因此可以直接将两个方程左右两边分别相加，整体求出$2x+y$的值，再计算乘方，这种方法更简便。
【解析】
方法一（整体法）：
记方程组为$\begin{cases} x + 2y = -2 \quad ① \\ x - y = 1 \quad ② \end{cases}$
将①和②左右两边分别相加，得：
$(x+2y)+(x-y) = -2 + 1$
化简后可得：$2x + y = -1$
因为2025是奇数，负数的奇次幂为负数，因此$(-1)^{2025} = -1$。
方法二（代入消元法）：
记方程组为$\begin{cases} x + 2y = -2 \quad ① \\ x - y = 1 \quad ② \end{cases}$
由②变形得：$x = 1 + y$ ③
把③代入①得：$1 + y + 2y = -2$
合并同类项得：$1 + 3y = -2$，解得$y = -1$
把$y=-1$代入③得：$x = 1 + (-1) = 0$
因此$2x + y = 2×0 + (-1) = -1$
所以$(2x+y)^{2025}=(-1)^{2025}=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
二元一次方程组的解法，代数式求值，有理数的乘方
【点评】
本题既可以通过解方程组后代入计算求解，也可以利用整体思想直接简化计算，考查学生的观察能力和基础运算能力，做题时需注意区分负数奇次幂、偶次幂的符号规则，避免粗心出错。
【难度系数】
0.8
本题要求代数式$(2x+y)^{2025}$的值，有两种解题思路：一是先解给定的二元一次方程组，求出$x$和$y$的具体值，再代入计算$2x+y$的值，最后计算乘方即可；二是观察所求代数式的结构，发现$2x+y$正好是方程组中两个方程左边相加的结果，因此可以直接将两个方程左右两边分别相加，整体求出$2x+y$的值，再计算乘方，这种方法更简便。
【解析】
方法一（整体法）：
记方程组为$\begin{cases} x + 2y = -2 \quad ① \\ x - y = 1 \quad ② \end{cases}$
将①和②左右两边分别相加，得：
$(x+2y)+(x-y) = -2 + 1$
化简后可得：$2x + y = -1$
因为2025是奇数，负数的奇次幂为负数，因此$(-1)^{2025} = -1$。
方法二（代入消元法）：
记方程组为$\begin{cases} x + 2y = -2 \quad ① \\ x - y = 1 \quad ② \end{cases}$
由②变形得：$x = 1 + y$ ③
把③代入①得：$1 + y + 2y = -2$
合并同类项得：$1 + 3y = -2$，解得$y = -1$
把$y=-1$代入③得：$x = 1 + (-1) = 0$
因此$2x + y = 2×0 + (-1) = -1$
所以$(2x+y)^{2025}=(-1)^{2025}=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
二元一次方程组的解法，代数式求值，有理数的乘方
【点评】
本题既可以通过解方程组后代入计算求解，也可以利用整体思想直接简化计算，考查学生的观察能力和基础运算能力，做题时需注意区分负数奇次幂、偶次幂的符号规则，避免粗心出错。
【难度系数】
0.8
18. 已知关于 $ x,y $ 的方程组 $ \begin{cases} x+y=3k-4, \\ x-y=k+2, \end{cases} $ 请回答下列问题.
(1)若方程组的解满足方程 $ 3x-4y=1 $，求 $ k $ 的值；
(2)证明 $ 3x-6y $ 的值与 $ k $ 无关.
(1)若方程组的解满足方程 $ 3x-4y=1 $，求 $ k $ 的值；
(2)证明 $ 3x-6y $ 的值与 $ k $ 无关.
答案
18.(1)解:$\begin{cases} x+y=3k-4,① \\ x-y=k+2,② \end{cases}$
①+②,得$2x=4k-2$. 解得$x=2k-1$.
把$x=2k-1$代入①,可得$2k-1+y=3k-4$. 解得$y=k-3$.
∴原方程组的解为$\begin{cases} x=2k-1, \\ y=k-3. \end{cases}$
把$x=2k-1$,$y=k-3$代入$3x-4y=1$,
得$3(2k-1)-4(k-3)=1. \therefore k=-4$.
(2)证明:$\because 3x-6y=3(2k-1)-6(k-3)=6k-3-6k+18=15$,
$\therefore 3x-6y$的值与$k$无关.
①+②,得$2x=4k-2$. 解得$x=2k-1$.
把$x=2k-1$代入①,可得$2k-1+y=3k-4$. 解得$y=k-3$.
∴原方程组的解为$\begin{cases} x=2k-1, \\ y=k-3. \end{cases}$
把$x=2k-1$,$y=k-3$代入$3x-4y=1$,
得$3(2k-1)-4(k-3)=1. \therefore k=-4$.
(2)证明:$\because 3x-6y=3(2k-1)-6(k-3)=6k-3-6k+18=15$,
$\therefore 3x-6y$的值与$k$无关.
解析
【分析】
解决本题首先将k视为常数，用加减消元法解关于x、y的二元一次方程组，得到x、y用含k的代数式表示的结果。(1)问中将求得的x、y代入方程3x-4y=1，得到关于k的一元一次方程，解方程即可求出k的值；(2)问中将x、y代入3x-6y后化简，若化简结果不含k，即可证明该式的值与k无关。
【解析】
(1) 解：$\begin{cases} x+y=3k-4,① \\ x-y=k+2,② \end{cases}$
①+②，得$2x=4k-2$，解得$x=2k-1$。
把$x=2k-1$代入①，可得$2k-1+y=3k-4$，解得$y=k-3$。
∴原方程组的解为$\begin{cases} x=2k-1, \\ y=k-3. \end{cases}$
把$x=2k-1$，$y=k-3$代入$3x-4y=1$，
得$3(2k-1)-4(k-3)=1$，
去括号得$6k-3-4k+12=1$，
合并同类项得$2k+9=1$，
解得$k=-4$。
(2) 证明：将$x=2k-1$，$y=k-3$代入$3x-6y$，
得$3x-6y=3(2k-1)-6(k-3)=6k-3-6k+18=15$，
化简结果为常数15，不含参数k，因此$3x-6y$的值与$k$无关。
【答案】
(1) $\boldsymbol{k=-4}$；(2) 3x-6y的值为常数15，与k无关，得证。
【知识点】
二元一次方程组解法，一元一次方程求解，整式化简
【点评】
本题属于二元一次方程组的基础常考题，核心思路是先求解含参数的方程组得到未知数的参数表达式，再代入目标式计算或化简。解题过程中需熟练掌握加减消元、代入消元的方程组解法，理解“代数式的值与参数无关”即化简后参数项完全抵消、结果为常数的含义。
【难度系数】
0.7
解决本题首先将k视为常数，用加减消元法解关于x、y的二元一次方程组，得到x、y用含k的代数式表示的结果。(1)问中将求得的x、y代入方程3x-4y=1，得到关于k的一元一次方程，解方程即可求出k的值；(2)问中将x、y代入3x-6y后化简，若化简结果不含k，即可证明该式的值与k无关。
【解析】
(1) 解：$\begin{cases} x+y=3k-4,① \\ x-y=k+2,② \end{cases}$
①+②，得$2x=4k-2$，解得$x=2k-1$。
把$x=2k-1$代入①，可得$2k-1+y=3k-4$，解得$y=k-3$。
∴原方程组的解为$\begin{cases} x=2k-1, \\ y=k-3. \end{cases}$
把$x=2k-1$，$y=k-3$代入$3x-4y=1$，
得$3(2k-1)-4(k-3)=1$，
去括号得$6k-3-4k+12=1$，
合并同类项得$2k+9=1$，
解得$k=-4$。
(2) 证明：将$x=2k-1$，$y=k-3$代入$3x-6y$，
得$3x-6y=3(2k-1)-6(k-3)=6k-3-6k+18=15$，
化简结果为常数15，不含参数k，因此$3x-6y$的值与$k$无关。
【答案】
(1) $\boldsymbol{k=-4}$；(2) 3x-6y的值为常数15，与k无关，得证。
【知识点】
二元一次方程组解法，一元一次方程求解，整式化简
【点评】
本题属于二元一次方程组的基础常考题，核心思路是先求解含参数的方程组得到未知数的参数表达式，再代入目标式计算或化简。解题过程中需熟练掌握加减消元、代入消元的方程组解法，理解“代数式的值与参数无关”即化简后参数项完全抵消、结果为常数的含义。
【难度系数】
0.7
19.某旅行社拟暑假期间推出研学游活动，原定收费标准为200元/人，现预售期间推出优惠方案如下：
已知甲校报名参加的学生多于100人，乙校报名参加的学生少于100人.经核算，若两校分别组团共需花费46 000元，若两校联合组团只需花费39 000元.
(1)两所学校报名参加研学游的学生人数之和超过200吗？为什么？
(2)两所学校报名参加研学游的学生各有多少人？
已知甲校报名参加的学生多于100人，乙校报名参加的学生少于100人.经核算，若两校分别组团共需花费46 000元，若两校联合组团只需花费39 000元.
(1)两所学校报名参加研学游的学生人数之和超过200吗？为什么？
(2)两所学校报名参加研学游的学生各有多少人？
答案
19.解:(1)两所学校报名参加研学游的学生人数之和超过200,理由如下:
假设两校总人数不超过200,$39\ 000÷(200×0.85)=\dfrac{3\ 900}{17}$,
$\because \dfrac{3\ 900}{17}＞200$,与假设矛盾.$\therefore$两所学校报名参加研学游的学生人数之和超过200.
(2)设甲校报名参加研学游的学生有$x$人,乙校报名参加研学游的学生有$y$人,
当$100＜x≤200$时,$\begin{cases} 200×85\%x+200×95\%y=46\ 000, \\ 200×75\%(x+y)=39\ 000. \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=170, \\ y=90; \end{cases}$
当$x＞200$时,$\begin{cases} 200×75\%x+200×95\%y=46\ 000, \\ 200×75\%(x+y)=39\ 000. \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=85, \\ y=175 \end{cases}$(不符合题意,舍去).
答:甲校报名参加研学游的学生有170人,乙校报名参加研学游的学生有90人.
假设两校总人数不超过200,$39\ 000÷(200×0.85)=\dfrac{3\ 900}{17}$,
$\because \dfrac{3\ 900}{17}＞200$,与假设矛盾.$\therefore$两所学校报名参加研学游的学生人数之和超过200.
(2)设甲校报名参加研学游的学生有$x$人,乙校报名参加研学游的学生有$y$人,
当$100＜x≤200$时,$\begin{cases} 200×85\%x+200×95\%y=46\ 000, \\ 200×75\%(x+y)=39\ 000. \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=170, \\ y=90; \end{cases}$
当$x＞200$时,$\begin{cases} 200×75\%x+200×95\%y=46\ 000, \\ 200×75\%(x+y)=39\ 000. \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=85, \\ y=175 \end{cases}$(不符合题意,舍去).
答:甲校报名参加研学游的学生有170人,乙校报名参加研学游的学生有90人.
解析
【分析】
(1) 判断两校总人数是否超过200可采用反证法：先假设总人数不超过200，此时联合组团应享受八五折优惠，用总费用除以八五折后的单人收费算出总人数，若结果大于200则假设不成立，即可证明总人数超过200。
(2) 已知甲校人数大于100人、乙校人数小于100人，结合第一问总人数超过200的结论，分两种情况讨论甲校人数：①甲校人数在$100＜x≤200$区间，对应八五折；②甲校人数在$x＞200$区间，对应七五折。分别根据“分别组团总费用46000元”“联合组团总费用39000元”列二元一次方程组求解，解出后验证结果是否符合对应人数区间，舍去不符合的解即可。
【解析】
(1) 两所学校报名参加研学游的学生人数之和超过200，理由如下：
假设两校总人数不超过200，则联合组团享受八五折优惠，单人收费为$200×0.85=170$元，
总人数为$39000÷170=\dfrac{3900}{17}$，
$\because \dfrac{3900}{17}＞200$，与“总人数不超过200”的假设矛盾，
$\therefore$ 两所学校报名参加研学游的学生人数之和超过200。
(2) 设甲校报名参加研学游的学生有$x$人，乙校报名参加研学游的学生有$y$人，由题知$x＞100$，$0＜y＜100$，且$x+y＞200$。
① 当$100＜x≤200$时，甲校享受八五折优惠，乙校享受九五折优惠，联合组团均享受七五折优惠，可列方程组：
$\begin{cases} 200×85\%x + 200×95\%y = 46000 \\ 200×75\%(x+y) = 39000 \end{cases}$
化简得$\begin{cases}17x + 19y = 4600 \\ x+y=260 \end{cases}$，将$x=260-y$代入第一个方程，解得$y=90$，则$x=260-90=170$，符合$100＜170≤200$、$0＜90＜100$的条件。
② 当$x＞200$时，甲校享受七五折优惠，乙校享受九五折优惠，可列方程组：
$\begin{cases} 200×75\%x + 200×95\%y = 46000 \\ 200×75\%(x+y) = 39000 \end{cases}$
化简得$\begin{cases}15x + 19y = 4600 \\ x+y=260 \end{cases}$，解得$y=175$，不符合$y＜100$的条件，舍去该组解。
【答案】
(1) 两所学校报名参加研学游的学生人数之和超过200，理由见解析；
(2) 甲校报名参加研学游的学生有170人，乙校报名参加研学游的学生有90人。
【知识点】
二元一次方程组应用，分段计费问题，分类讨论思想
【点评】
本题结合实际生活中的优惠折扣场景命题，重点考查分段计费规则的应用和分类讨论的数学思想，解题时要注意不同人数区间对应不同的折扣标准，解出方程组后需要验证结果是否符合题目给出的人数范围，避免出现不符合题意的错解。
【难度系数】
0.6
(1) 判断两校总人数是否超过200可采用反证法：先假设总人数不超过200，此时联合组团应享受八五折优惠，用总费用除以八五折后的单人收费算出总人数，若结果大于200则假设不成立，即可证明总人数超过200。
(2) 已知甲校人数大于100人、乙校人数小于100人，结合第一问总人数超过200的结论，分两种情况讨论甲校人数：①甲校人数在$100＜x≤200$区间，对应八五折；②甲校人数在$x＞200$区间，对应七五折。分别根据“分别组团总费用46000元”“联合组团总费用39000元”列二元一次方程组求解，解出后验证结果是否符合对应人数区间，舍去不符合的解即可。
【解析】
(1) 两所学校报名参加研学游的学生人数之和超过200，理由如下：
假设两校总人数不超过200，则联合组团享受八五折优惠，单人收费为$200×0.85=170$元，
总人数为$39000÷170=\dfrac{3900}{17}$，
$\because \dfrac{3900}{17}＞200$，与“总人数不超过200”的假设矛盾，
$\therefore$ 两所学校报名参加研学游的学生人数之和超过200。
(2) 设甲校报名参加研学游的学生有$x$人，乙校报名参加研学游的学生有$y$人，由题知$x＞100$，$0＜y＜100$，且$x+y＞200$。
① 当$100＜x≤200$时，甲校享受八五折优惠，乙校享受九五折优惠，联合组团均享受七五折优惠，可列方程组：
$\begin{cases} 200×85\%x + 200×95\%y = 46000 \\ 200×75\%(x+y) = 39000 \end{cases}$
化简得$\begin{cases}17x + 19y = 4600 \\ x+y=260 \end{cases}$，将$x=260-y$代入第一个方程，解得$y=90$，则$x=260-90=170$，符合$100＜170≤200$、$0＜90＜100$的条件。
② 当$x＞200$时，甲校享受七五折优惠，乙校享受九五折优惠，可列方程组：
$\begin{cases} 200×75\%x + 200×95\%y = 46000 \\ 200×75\%(x+y) = 39000 \end{cases}$
化简得$\begin{cases}15x + 19y = 4600 \\ x+y=260 \end{cases}$，解得$y=175$，不符合$y＜100$的条件，舍去该组解。
【答案】
(1) 两所学校报名参加研学游的学生人数之和超过200，理由见解析；
(2) 甲校报名参加研学游的学生有170人，乙校报名参加研学游的学生有90人。
【知识点】
二元一次方程组应用，分段计费问题，分类讨论思想
【点评】
本题结合实际生活中的优惠折扣场景命题，重点考查分段计费规则的应用和分类讨论的数学思想，解题时要注意不同人数区间对应不同的折扣标准，解出方程组后需要验证结果是否符合题目给出的人数范围，避免出现不符合题意的错解。
【难度系数】
0.6
