1. 已知关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}2x - 4y = 6a - 4, \\x + 2y = 5a\end{cases}$的解$x$的值是$y$的值的$3$倍,求$a$的值.

解：
由题意得$x=3y$，将其代入原方程组，得
$\begin{cases}2× 3y - 4y = 6a - 4 \\3y + 2y = 5a\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}2y = 6a - 4 \quad ① \\y = a \quad \quad \quad ②\end{cases}$
把②代入①，得$2a = 6a - 4$
移项，得$2a - 6a = -4$
合并同类项，得$-4a = -4$
系数化为1，得$a=1$

2. 用甲、乙两种原料配制成某种饮料. 已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表：

(1)现配制这种饮料20 kg,要求至少含有5 300单位的维生素C,试写出所需甲种原料的质量x(kg)应满足的不等式.
(2)在(1)的条件下,如果还要求购买甲、乙两种原料的费用不超过80元,那么你能写出x(kg)应满足的另一个不等式吗?

解：
(1) 已知所需甲种原料的质量为$x\ \mathrm{kg}$，则所需乙种原料的质量为$(20-x)\ \mathrm{kg}$。
甲种原料提供的维生素C总量为$600x$单位，乙种原料提供的维生素C总量为$100(20-x)$单位，根据总维生素C含量至少为5300单位，可得不等式：
$600x + 100(20 - x) ≥ 5300$
(2) 购买甲种原料的总费用为$8x$元，购买乙种原料的总费用为$4(20-x)$元，根据购买两种原料的总费用不超过80元，可得不等式：
$8x + 4(20 - x) ≤ 80$

3. 某公司为了扩大经营,决定购进6台机器用于生产某种活塞.现有甲、乙两种机器供选择,其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表.经过预算,本次购买机器所耗资金不能超过34万元.
| 机器 | 甲 | 乙 |
| --- | --- | --- |
| 价格/(万元/台) | 7 | 5 |
| 产量/(个/台) | 100 | 60 |
(1)按该公司要求可以有几种购买方案?
(2)若该公司购买6台机器的日生产能力不低于380个,那么为了节约资金应选择哪种购买方案?

解：
(1) 设购买甲种机器$x$台，则购买乙种机器$(6-x)$台。
根据购买资金不超过34万元，列不等式：
$7x + 5(6-x) ≤ 34$
解得：$x ≤ 2$。
$\because x$为非负整数，
$\therefore x$可取$0,1,2$，对应$6-x$的值为$6,5,4$。
共有3种购买方案：
方案1：购买甲种机器0台，乙种机器6台；
方案2：购买甲种机器1台，乙种机器5台；
方案3：购买甲种机器2台，乙种机器4台。
(2) 根据日生产能力不低于380个，列不等式：
$100x + 60(6-x) ≥ 380$
解得：$x ≥ 0.5$。
结合(1)中$x ≤ 2$，且$x$为非负整数，得$x$可取$1,2$。
当$x=1$时，总购买资金为：$7×1 + 5×5 = 32$（万元）；
当$x=2$时，总购买资金为：$7×2 + 5×4 = 34$（万元）。
$\because 32 ＜ 34$，
$\therefore$ 为节约资金，应选择购买甲种机器1台、乙种机器5台的方案。
答：(1) 共有3种购买方案；(2) 为节约资金应选择购买1台甲种机器、5台乙种机器的方案。