疑难点拨
在探究欧姆定律时,小明发现小灯泡电路上的电压保持不变,通过小灯泡的电流越大,灯就越亮.设选用小灯泡的电阻为$R(\Omega )$,通过的电流强度为$I(\mathrm{A})$.当电阻为$40\ \Omega$时,通过的电流为$0.30\ \mathrm{A}$.如果电阻小于$40\ \Omega$,那么与原来的相比,小灯泡的亮度将发生什么变化? 并说明理由.
点拨 根据欧姆定律,电压保持不变时,$I$关于$R$成反比例函数关系,根据条件求出反比例函数表达式,再利用反比例函数的增减性求解即可.

小灯泡的亮度将比原来更亮.

【分析】
首先根据题意，电压保持不变，由欧姆定律可知电流I与电阻R成反比例函数关系，需先求出该反比例函数的表达式；再结合反比例函数的增减性，判断当电阻R小于40Ω时电流I的变化，最后根据“电流越大灯越亮”的条件，得出小灯泡亮度的变化。
【解析】
1. 由题意，电压U保持不变，根据欧姆定律$ U=IR $，可知I与R成反比例函数关系，设$ I = \frac{U}{R} $（U为常数）。
2. 代入已知条件：当$ R = 40\ \Omega $时，$ I = 0.30\ \mathrm{A} $，则$ U = IR = 40\ \Omega × 0.30\ \mathrm{A} = 12\ \mathrm{V} $，因此I与R的函数表达式为$ I = \frac{12}{R} $（$ R ＞ 0 $）。
3. 对于反比例函数$ I = \frac{12}{R} $，其中$ k = 12 ＞ 0 $，在$ R ＞ 0 $的范围内，I随R的减小而增大。
4. 当电阻R小于40Ω时，对应的电流I会大于0.30A，结合题目中“通过小灯泡的电流越大，灯就越亮”的条件，可知小灯泡的亮度比原来更亮。
【答案】
小灯泡的亮度将比原来更亮。
【知识点】
反比例函数的应用、欧姆定律
【点评】
本题结合物理与数学知识，考查反比例函数增减性的实际应用，以及欧姆定律的基本运用，注重学科综合，难度适中，需理清变量间的关系。
【难度系数】
0.6

1. 某煤气公司要在地下修建一个容积为$10^{4}\mathrm{m}^{3}$的圆柱形煤气储存室,该储存室的底面积为$S\ \mathrm{m}^{2}$,深度为$d\ \mathrm{m}$.该公司决定把储存室的底面积定为$400\ \mathrm{m}^{2}$,则施工队施工时应该向地下掘进m.

1. 25

【分析】首先明确圆柱形储存室的容积等于圆柱的体积，圆柱体积公式为$ V = Sd $（其中$ V $是体积，$ S $是底面积，$ d $是深度）。题目已知容积$ V = 10^4 \, \mathrm{m}^3 $，底面积$ S = 400 \, \mathrm{m}^2 $，要求深度$ d $，只需将公式变形为$ d = \frac{V}{S} $，代入数值计算即可。
【解析】根据圆柱体积公式$ V = Sd $，变形得深度$ d = \frac{V}{S} $。将$ V = 10^4 = 10000 \, \mathrm{m}^3 $，$ S = 400 \, \mathrm{m}^2 $代入，得：$ d = \frac{10000}{400} = 25 \, \mathrm{m} $。
【答案】25
【知识点】圆柱体积公式应用
【点评】本题是圆柱体积公式在实际问题中的基础应用，解题关键是牢记圆柱体积公式并灵活变形，计算过程简单，属于基础题型。
【难度系数】0.9

2. 小伟欲用撬棍撬动一块大石头,已知阻力和阻力臂不变,分别为1 200牛顿和0.5米.杠杆定律:若两物体与支点的距离与其质量成反比,则杠杆平衡,即:动力×动力臂=阻力×阻力臂
(1) 动力$F$与动力臂$l$有怎样的函数关系? 当动力臂为1.5米时,撬动石头至少需要多大的力?
(2) 若想使动力$F$不超过题(1)中所用力的一半,则动力臂至少要加长多少?

2. (1) $F=\frac{600}{l}$.撬动石头至少需要400牛顿的力.
(2) 动力臂至少要加长1.5米.

【分析】本题考查反比例函数在杠杆平衡问题中的应用，核心是利用杠杆定律“动力×动力臂=阻力×阻力臂”建立函数关系。第(1)问先根据已知的阻力和阻力臂求出常数项，进而得到动力F与动力臂l的函数解析式，再代入动力臂的值计算所需动力；第(2)问先根据要求的动力求出对应的动力臂，再减去原动力臂得到需要加长的长度。
【解析】
(1) 根据杠杆定律：动力×动力臂=阻力×阻力臂，已知阻力为1200牛顿，阻力臂为0.5米，设动力为F，动力臂为l，则：
$F·l = 1200×0.5 = 600$，
变形得F与l的函数关系为：$F=\frac{600}{l}$。
当动力臂$l=1.5$米时，代入函数得：
$F=\frac{600}{1.5}=400$（牛顿），即撬动石头至少需要400牛顿的力。
(2) 第(1)问中所用力为400牛顿，其一半为$400×\frac{1}{2}=200$牛顿，即此时动力$F=200$牛顿。
将$F=200$代入$F=\frac{600}{l}$，得：
$200=\frac{600}{l}$，解得$l=\frac{600}{200}=3$（米）。
原动力臂为1.5米，故动力臂至少要加长$3 - 1.5 = 1.5$（米）。
【答案】(1) $F=\frac{600}{l}$，撬动石头至少需要400牛顿的力；(2) 动力臂至少要加长1.5米。
【知识点】反比例函数的应用、杠杆平衡原理
【点评】本题是反比例函数在实际生活中的典型应用，紧密结合物理中的杠杆定律，考查学生对反比例函数解析式的建立、求解及实际应用能力，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】0.6

3. 某科研小组进行野外考察,利用铺垫木板的方式通过一片湿地,根据物理知识,当人和木板对湿地地面的压力一定时,湿地地面所受压强$p(\mathrm{Pa})$与受力面积$S(\mathrm{m}^{2})$的关系如下表所示.

(1) 根据数据,当人和木板对湿地地面的压力一定时,求湿地地面所受压强$p(\mathrm{Pa})$与受力面积$S(\mathrm{m}^{2})$之间的函数表达式及$a$的值;
(2) 若木板的长、宽分别为$0.5\ \mathrm{m}$,$0.4\ \mathrm{m}$,该湿地地面能承受的最大压强为4 000 Pa,请你判断站在这块木板上是否安全? 并说明理由.

3. (1) $p=\frac{600}{S}$. $a=0.4$. (2) 安全.理由略.

【分析】
当人和木板对湿地的压力一定时，压强$ p $与受力面积$ S $成反比例关系，根据反比例函数的性质，先通过表格数据求出压力对应的定值，进而得到$ p $与$ S $的函数表达式；再代入$ p=15000\ \mathrm{Pa} $计算$ a $的值。第二问需先算出木板的受力面积，再利用函数表达式求出此时的压强，与湿地最大承受压强比较判断安全性。
【解析】
(1) 压力一定时，压强$ p $与受力面积$ S $成反比例，设函数表达式为$ p = \frac{k}{S} $（$ k $为定值）。
选取表格中$ S=1\ \mathrm{m}^2 $、$ p=600\ \mathrm{Pa} $的数据，代入得$ k = pS = 600 × 1 = 600 $，因此函数表达式为$ p = \frac{600}{S} $。
当$ p=15000\ \mathrm{Pa} $时，代入表达式得$ 15000 = \frac{600}{a} $，解得$ a = \frac{600}{15000} = 0.4 $。
(2) 木板的受力面积$ S = 0.5\ \mathrm{m} × 0.4\ \mathrm{m} = 0.2\ \mathrm{m}^2 $，
此时湿地受到的压强$ p = \frac{600}{0.2} = 3000\ \mathrm{Pa} $，
因为$ 3000\ \mathrm{Pa} ＜ 4000\ \mathrm{Pa} $，所以站在这块木板上安全。
【答案】
(1) $ p=\frac{600}{S} $，$ a=0.4 $；(2) 安全。
【知识点】
反比例函数应用，压强计算
【点评】
本题结合压强知识与反比例函数，考查学生对函数关系的理解和实际应用能力，解题核心是明确压力一定时压强与受力面积的反比例关系，属于基础综合题。
【难度系数】
0.7