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6. 节能环保已成为人们的共识.淇淇家计划购买500度电,若平均每天用电$x$度,则能使用$y$天.下列说法错误的是 (
A. 若$x=5$,则$y=100$
B. 若$y=125$,则$x=4$
C. 若$x$减小,则$y$也减小
D. 若$x$减小一半,则$y$增大一倍
C
)A. 若$x=5$,则$y=100$
B. 若$y=125$,则$x=4$
C. 若$x$减小,则$y$也减小
D. 若$x$减小一半,则$y$增大一倍
答案
6. C
解析
【分析】
首先根据总电量=每天用电量×使用天数，得出y与x的函数关系式为$y=\frac{500}{x}$（$x＞0,y＞0$），该式属于反比例函数（$k=500＞0$）。接下来结合反比例函数“$k＞0$时，x与y成反比，x增大则y减小，x减小则y增大”的性质，逐一分析各选项，找出错误说法。
【解析】
根据题意，总电量为500度，因此每天用电量$x$（度）与使用天数$y$（天）满足关系式：$xy=500$，即$y=\frac{500}{x}$（$x＞0,y＞0$）。
对各选项分析如下：
A选项：当$x=5$时，$y=\frac{500}{5}=100$，该说法正确；
B选项：当$y=125$时，$x=\frac{500}{125}=4$，该说法正确；
C选项：因为$y=\frac{500}{x}$中$k=500＞0$，所以x与y成反比例，即x减小，y会增大，而非减小，该说法错误；
D选项：若x减小一半，即变为$\frac{x}{2}$，则此时$y'=\frac{500}{\frac{x}{2}}=\frac{1000}{x}=2×\frac{500}{x}=2y$，即y增大一倍，该说法正确。
综上，错误的说法是C选项。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的应用；反比例函数的性质
【点评】
本题结合实际用电场景考查反比例函数的应用，核心是先建立正确的函数关系式，再利用反比例函数的性质判断变量变化关系，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.7
首先根据总电量=每天用电量×使用天数，得出y与x的函数关系式为$y=\frac{500}{x}$（$x＞0,y＞0$），该式属于反比例函数（$k=500＞0$）。接下来结合反比例函数“$k＞0$时，x与y成反比，x增大则y减小，x减小则y增大”的性质，逐一分析各选项，找出错误说法。
【解析】
根据题意，总电量为500度，因此每天用电量$x$（度）与使用天数$y$（天）满足关系式：$xy=500$，即$y=\frac{500}{x}$（$x＞0,y＞0$）。
对各选项分析如下：
A选项：当$x=5$时，$y=\frac{500}{5}=100$，该说法正确；
B选项：当$y=125$时，$x=\frac{500}{125}=4$，该说法正确；
C选项：因为$y=\frac{500}{x}$中$k=500＞0$，所以x与y成反比例，即x减小，y会增大，而非减小，该说法错误；
D选项：若x减小一半，即变为$\frac{x}{2}$，则此时$y'=\frac{500}{\frac{x}{2}}=\frac{1000}{x}=2×\frac{500}{x}=2y$，即y增大一倍，该说法正确。
综上，错误的说法是C选项。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的应用；反比例函数的性质
【点评】
本题结合实际用电场景考查反比例函数的应用，核心是先建立正确的函数关系式，再利用反比例函数的性质判断变量变化关系，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.7
7. [跨学科融合]如图1,利用秤杆研究杠杆原理.用细绳绑在秤杆上的点$O$处并将其吊起来,在点$O$右侧的秤钩上挂一个物体,在点$O$左侧的秤杆上有一个动点$A$($OA$最大距离为80 cm),在点$A$处用一个弹簧秤向下拉.当秤杆处于水平状态时,分别测得弹簧秤的示数$y$(单位:N)与$OA$的长度$x$(单位:cm)的五组对应值,已在平面直角坐标系中描点如图2.
(1) 请在图2中画出$y$与$x$的函数图象,并判断它是什么函数;
(2) 求$y$关于$x$的函数表达式;
(3) 移动弹簧秤的位置,若秤杆仍处于水平状态,求弹簧秤的示数$y$的最小值.
(1) 请在图2中画出$y$与$x$的函数图象,并判断它是什么函数;
(2) 求$y$关于$x$的函数表达式;
(3) 移动弹簧秤的位置,若秤杆仍处于水平状态,求弹簧秤的示数$y$的最小值.
答案
7. (1) 如图,它是反比例函数.
(2) $y=\dfrac{240}{x}$. (3) 当$x=80$时,$y_{\mathrm{最小}}=3$.
解析
【分析】
首先观察函数图象的形状，判断其为反比例函数；接着利用待定系数法，结合图象上的点求出反比例函数的表达式；最后根据OA的最大距离确定自变量的取值范围，再利用反比例函数的单调性求y的最小值。
【解析】
(1) 连接各描点得到函数图象，该图象为双曲线，因此y与x的函数是反比例函数；
(2) 设y与x的函数表达式为$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$，选取图象上的点$(20,12)$代入表达式，得$k=20×12=240$，故函数表达式为$y=\dfrac{240}{x}$；
(3) 由题意知OA最大距离为80 cm，即$0＜x≤80$，因为$k=240＞0$，反比例函数$y=\dfrac{240}{x}$在$x＞0$时，y随x的增大而减小，所以当$x=80$时，y取得最小值，代入得$y_{\mathrm{最小}}=\dfrac{240}{80}=3$（N）。
【答案】
(1) 如图，它是反比例函数； (2) $y=\dfrac{240}{x}$；(3) 弹簧秤的示数$y$的最小值为3 N。
【知识点】
反比例函数、待定系数法、杠杆原理
【点评】
本题为跨学科融合题，结合物理杠杆原理与数学反比例函数知识，考查识图能力、待定系数法求函数表达式及反比例函数性质的应用，难度适中。
【难度系数】
0.6
首先观察函数图象的形状，判断其为反比例函数；接着利用待定系数法，结合图象上的点求出反比例函数的表达式；最后根据OA的最大距离确定自变量的取值范围，再利用反比例函数的单调性求y的最小值。
【解析】
(1) 连接各描点得到函数图象，该图象为双曲线，因此y与x的函数是反比例函数；
(2) 设y与x的函数表达式为$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$，选取图象上的点$(20,12)$代入表达式，得$k=20×12=240$，故函数表达式为$y=\dfrac{240}{x}$；
(3) 由题意知OA最大距离为80 cm，即$0＜x≤80$，因为$k=240＞0$，反比例函数$y=\dfrac{240}{x}$在$x＞0$时，y随x的增大而减小，所以当$x=80$时，y取得最小值，代入得$y_{\mathrm{最小}}=\dfrac{240}{80}=3$（N）。
【答案】
(1) 如图，它是反比例函数；
(2) $y=\dfrac{240}{x}$；(3) 弹簧秤的示数$y$的最小值为3 N。【知识点】
反比例函数、待定系数法、杠杆原理
【点评】
本题为跨学科融合题，结合物理杠杆原理与数学反比例函数知识，考查识图能力、待定系数法求函数表达式及反比例函数性质的应用，难度适中。
【难度系数】
0.6
8. 喝绿茶前需要烧水和泡茶两个工序,即需要将电热水壶中的水烧到$100\ °\mathrm{C}$,然后停止烧水,等水温降低到适合的温度时再泡茶,烧水时水温$y(°\mathrm{C})$与时间$x(\mathrm{min})$成一次函数关系;停止加热过了1分半钟后,水壶中水的温度$y(°\mathrm{C})$与时间$x(\mathrm{min})$近似成反比例函数关系(如图).已知水壶中水的初始温度是$25\ °\mathrm{C}$,降温过程中水温不低于$25\ °\mathrm{C}$.
(1) 分别求出图中所对应的函数表达式,并且写出自变量$x$的取值范围;
(2) 从水壶中的水烧开($100\ °\mathrm{C}$)降到$80\ °\mathrm{C}$就可以进行泡制绿茶,问从水烧开到泡茶需要等待多长时间?
(1) 分别求出图中所对应的函数表达式,并且写出自变量$x$的取值范围;
(2) 从水壶中的水烧开($100\ °\mathrm{C}$)降到$80\ °\mathrm{C}$就可以进行泡制绿茶,问从水烧开到泡茶需要等待多长时间?
答案
8. (1) 当加热烧水时,$y$与$x$的函数关系式为$y=12.5x+25$
$(0≤ x≤ 6)$;当停止加热时,$y$与$x$的函数关系式为$y=100$
$(6＜ x＜7.5)$;$y=\dfrac{750}{x}(7.5≤ x≤ 30)$.
(2) $3.375\ \mathrm{min}$.
$(0≤ x≤ 6)$;当停止加热时,$y$与$x$的函数关系式为$y=100$
$(6＜ x＜7.5)$;$y=\dfrac{750}{x}(7.5≤ x≤ 30)$.
(2) $3.375\ \mathrm{min}$.
解析
【分析】
本题需结合图像分三段确定函数表达式，分别为烧水阶段的一次函数、停止加热后的恒温常数函数、降温阶段的反比例函数。首先利用初始温度和水烧开的温度确定一次函数，根据“停止加热1分半后水温成反比例”及图像上的点C(15,50)求出反比例函数，再确定各段自变量的取值范围；第二问需在反比例函数中令y=80求出对应时间，减去水烧开的时间即可得到等待时间。
【解析】
(1) 分三段求函数表达式：
① 烧水阶段（一次函数）：设该阶段函数为$y=k_1x+b$，由初始温度25℃，得过点$(0,25)$，故$b=25$。
停止加热1分半（即1.5min）后水温成反比例函数，结合图像点$C(15,50)$，设反比例函数为$y=\frac{k_2}{x}$，代入$C(15,50)$得$50=\frac{k_2}{15}$，解得$k_2=750$，即反比例函数为$y=\frac{750}{x}$。
当$y=100$时，代入反比例函数得$100=\frac{750}{x}$，解得$x=7.5$，故水烧开的时间点为$7.5-1.5=6$，即A点为$(6,100)$。
将$(6,100)$代入一次函数$y=12.5x+25$，验证成立，因此烧水阶段函数为$y=12.5x+25$，自变量范围$0≤x≤6$。
② 恒温阶段（AB段）：停止加热后1.5min内水温保持100℃，故函数为$y=100$，自变量范围$6＜x＜7.5$。
③ 降温阶段（反比例函数）：已求得$y=\frac{750}{x}$，当水温降至25℃时，$25=\frac{750}{x}$，解得$x=30$，故自变量范围$7.5≤x≤30$。
(2) 求从水烧开到泡茶的等待时间：
水烧开时$x=6$，令反比例函数中$y=80$，则$80=\frac{750}{x}$，解得$x=\frac{750}{80}=9.375$。
等待时间为$9.375-6=3.375\ \mathrm{min}$。
【答案】
(1) 烧水阶段：$y=12.5x+25(0≤x≤6)$；恒温阶段：$y=100(6＜x＜7.5)$；降温阶段：$y=\frac{750}{x}(7.5≤x≤30)$；(2) $3.375\ \mathrm{min}$
【知识点】
一次函数、反比例函数、分段函数
【点评】
本题是分段函数的实际应用，需结合图像信息和函数性质确定各段函数表达式，关键是找准各段的关键点坐标及自变量范围，考查学生的函数应用能力。
【难度系数】
0.6
本题需结合图像分三段确定函数表达式，分别为烧水阶段的一次函数、停止加热后的恒温常数函数、降温阶段的反比例函数。首先利用初始温度和水烧开的温度确定一次函数，根据“停止加热1分半后水温成反比例”及图像上的点C(15,50)求出反比例函数，再确定各段自变量的取值范围；第二问需在反比例函数中令y=80求出对应时间，减去水烧开的时间即可得到等待时间。
【解析】
(1) 分三段求函数表达式：
① 烧水阶段（一次函数）：设该阶段函数为$y=k_1x+b$，由初始温度25℃，得过点$(0,25)$，故$b=25$。
停止加热1分半（即1.5min）后水温成反比例函数，结合图像点$C(15,50)$，设反比例函数为$y=\frac{k_2}{x}$，代入$C(15,50)$得$50=\frac{k_2}{15}$，解得$k_2=750$，即反比例函数为$y=\frac{750}{x}$。
当$y=100$时，代入反比例函数得$100=\frac{750}{x}$，解得$x=7.5$，故水烧开的时间点为$7.5-1.5=6$，即A点为$(6,100)$。
将$(6,100)$代入一次函数$y=12.5x+25$，验证成立，因此烧水阶段函数为$y=12.5x+25$，自变量范围$0≤x≤6$。
② 恒温阶段（AB段）：停止加热后1.5min内水温保持100℃，故函数为$y=100$，自变量范围$6＜x＜7.5$。
③ 降温阶段（反比例函数）：已求得$y=\frac{750}{x}$，当水温降至25℃时，$25=\frac{750}{x}$，解得$x=30$，故自变量范围$7.5≤x≤30$。
(2) 求从水烧开到泡茶的等待时间：
水烧开时$x=6$，令反比例函数中$y=80$，则$80=\frac{750}{x}$，解得$x=\frac{750}{80}=9.375$。
等待时间为$9.375-6=3.375\ \mathrm{min}$。
【答案】
(1) 烧水阶段：$y=12.5x+25(0≤x≤6)$；恒温阶段：$y=100(6＜x＜7.5)$；降温阶段：$y=\frac{750}{x}(7.5≤x≤30)$；(2) $3.375\ \mathrm{min}$
【知识点】
一次函数、反比例函数、分段函数
【点评】
本题是分段函数的实际应用，需结合图像信息和函数性质确定各段函数表达式，关键是找准各段的关键点坐标及自变量范围，考查学生的函数应用能力。
【难度系数】
0.6
