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12. 如图,正方形$ABCD$的四个顶点都在$\odot O$上,$M$为$\overset{\frown}{AD}$的中点,连接$BM$、$CM$.求证:$BM=CM$.
答案
证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$（在同圆中，相等的弦所对的弧相等）。
∵M为$\overset{\frown}{AD}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{DM}$，
∴$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{DM}$，即$\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{CM}$。
∴BM=CM（在同圆中，等弧所对的弦相等）。
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$（在同圆中，相等的弦所对的弧相等）。
∵M为$\overset{\frown}{AD}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{DM}$，
∴$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{DM}$，即$\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{CM}$。
∴BM=CM（在同圆中，等弧所对的弦相等）。
解析
【分析】要证明$BM=CM$，根据同圆中“等弧所对的弦相等”，只需证明$\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{CM}$即可。已知四边形$ABCD$是正方形，正方形的边相等，对应同圆中的弧也相等，即$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$；又因为$M$是$\overset{\frown}{AD}$的中点，所以$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{DM}$，将两个弧的等式相加，就能得到$\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{CM}$，进而推出$BM=CM$。
【解析】证明：
∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$AB=CD$，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$（在同圆中，相等的弦所对的弧相等）。
∵$M$为$\overset{\frown}{AD}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{DM}$，
∴$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{DM}$，即$\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{CM}$。
∴$BM=CM$（在同圆中，等弧所对的弦相等）。
【答案】证明：
∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$AB=CD$，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$（在同圆中，相等的弦所对的弧相等）。
∵$M$为$\overset{\frown}{AD}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{DM}$，
∴$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{DM}$，即$\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{CM}$。
∴$BM=CM$（在同圆中，等弧所对的弦相等）。
【知识点】圆的弧弦关系，正方形的性质
【点评】本题结合正方形的性质与圆的弧弦对应关系，考查“等弧对等弦”的几何证明应用，属于基础几何题，思路清晰，注重对圆的基本性质的运用。
【难度系数】0.6
【解析】证明：
∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$AB=CD$，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$（在同圆中，相等的弦所对的弧相等）。
∵$M$为$\overset{\frown}{AD}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{DM}$，
∴$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{DM}$，即$\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{CM}$。
∴$BM=CM$（在同圆中，等弧所对的弦相等）。
【答案】证明：
∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$AB=CD$，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$（在同圆中，相等的弦所对的弧相等）。
∵$M$为$\overset{\frown}{AD}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{DM}$，
∴$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{DM}$，即$\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{CM}$。
∴$BM=CM$（在同圆中，等弧所对的弦相等）。
【知识点】圆的弧弦关系，正方形的性质
【点评】本题结合正方形的性质与圆的弧弦对应关系，考查“等弧对等弦”的几何证明应用，属于基础几何题，思路清晰，注重对圆的基本性质的运用。
【难度系数】0.6
13. 如图,以$□ ABCD$的顶点$A$为圆心,$AB$长为半径作$\odot A$,分别交$BC$、$AD$于点$E$、$F$,交$BA$的延长线于点$G$.
(1) 求证:$\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{FG}$;
(2) 连接$EG$,若$\overset{\frown}{EG}$所对的圆心角为$140°$,求$∠ GAF$的度数.
(1) 求证:$\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{FG}$;
(2) 连接$EG$,若$\overset{\frown}{EG}$所对的圆心角为$140°$,求$∠ GAF$的度数.
答案
13. (1) 证明略 (2) $∠ GAF=70^{\circ }$
解析
【分析】
要证明弧相等，需利用“同圆中相等的圆心角所对的弧相等”，因此需找到弧EF和弧FG对应的圆心角相等。结合平行四边形对边平行的性质，以及圆的半径相等得到的等腰三角形，可推导出两个圆心角相等；第二问求角度，利用弧对应的圆心角与角度的关系，结合第一问的角相等关系即可计算。
【解析】
(1) 证明：连接AE，
∵ A为圆心，AB、AE均为⊙A的半径，
∴ AB = AE，
∴ ∠B = ∠AEB。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，
∴ ∠AEB = ∠EAF（两直线平行，内错角相等），
∠GAF = ∠B（两直线平行，同位角相等），
∴ ∠GAF = ∠EAF，
∴ 在⊙A中，相等的圆心角∠GAF与∠EAF所对的弧相等，即$\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{FG}$。
(2) 解：
∵ $\overset{\frown}{EG}$所对的圆心角为140°，
∴ ∠GAE = 140°，
由(1)知∠GAF = ∠EAF，
∴ ∠GAF = $\frac{1}{2}$∠GAE = $\frac{1}{2}×140° = 70°$。
【答案】
(1) 证明略；(2) ∠GAF=70°
【知识点】
圆的圆心角与弧的关系，平行四边形的性质
【点评】
本题结合平行四边形与圆的基本性质，考查弧相等的证明及角度计算，核心是利用平行线和等腰三角形推导圆心角的关系，属于基础几何题，需掌握圆的弧与圆心角的对应关系。
【难度系数】
0.5
要证明弧相等，需利用“同圆中相等的圆心角所对的弧相等”，因此需找到弧EF和弧FG对应的圆心角相等。结合平行四边形对边平行的性质，以及圆的半径相等得到的等腰三角形，可推导出两个圆心角相等；第二问求角度，利用弧对应的圆心角与角度的关系，结合第一问的角相等关系即可计算。
【解析】
(1) 证明：连接AE，
∵ A为圆心，AB、AE均为⊙A的半径，
∴ AB = AE，
∴ ∠B = ∠AEB。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，
∴ ∠AEB = ∠EAF（两直线平行，内错角相等），
∠GAF = ∠B（两直线平行，同位角相等），
∴ ∠GAF = ∠EAF，
∴ 在⊙A中，相等的圆心角∠GAF与∠EAF所对的弧相等，即$\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{FG}$。
(2) 解：
∵ $\overset{\frown}{EG}$所对的圆心角为140°，
∴ ∠GAE = 140°，
由(1)知∠GAF = ∠EAF，
∴ ∠GAF = $\frac{1}{2}$∠GAE = $\frac{1}{2}×140° = 70°$。
【答案】
(1) 证明略；(2) ∠GAF=70°
【知识点】
圆的圆心角与弧的关系，平行四边形的性质
【点评】
本题结合平行四边形与圆的基本性质，考查弧相等的证明及角度计算，核心是利用平行线和等腰三角形推导圆心角的关系，属于基础几何题，需掌握圆的弧与圆心角的对应关系。
【难度系数】
0.5
14. 如图,$AB$、$AC$是$\odot O$的弦,$AB=AC$,$OD$、$OE$是$\odot O$的半径,且$AB// OD$,$AC// OE$.求证:$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CE}$.
答案
14. 证明略
解析
【分析】要证明弧$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CE}$，根据圆中弧相等的判定规则，可转化为证明它们对应的圆心角$∠ BOD=∠ COE$。结合已知条件，先利用等腰三角形性质得到$∠ OAB=∠ OBA$、$∠ OAC=∠ OCA$，再由平行线的性质得到$∠ OAB=∠ BOD$、$∠ OAC=∠ COE$，最后结合$AB=AC$推出$∠ OAB=∠ OAC$，即可得到$∠ BOD=∠ COE$，从而完成证明。
【解析】证明：
1. 因为$OA=OB$，所以$△ OAB$是等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等，得$∠ OAB=∠ OBA$；
2. 同理，$OA=OC$，所以$△ OAC$是等腰三角形，得$∠ OAC=∠ OCA$；
3. 已知$AB// OD$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ OAB=∠ BOD$；
4. 已知$AC// OE$，同理可得$∠ OAC=∠ COE$；
5. 又因为$AB=AC$，且$OA=OA$，$OB=OC$，所以$△ OAB≌△ OAC$（SSS全等判定），因此$∠ OAB=∠ OAC$；
6. 结合步骤3和4，可得$∠ BOD=∠ COE$；
7. 在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CE}$。
【答案】$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CE}$
【知识点】圆心角弧弦关系，平行线性质，等腰三角形性质
【点评】本题是圆的基础证明题，核心是利用“同圆中相等的圆心角对应相等的弧”这一圆的基本性质，结合平行线、全等三角形的知识推导，考查学生对圆的基础性质的掌握与应用能力。
【难度系数】0.6
【解析】证明：
1. 因为$OA=OB$，所以$△ OAB$是等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等，得$∠ OAB=∠ OBA$；
2. 同理，$OA=OC$，所以$△ OAC$是等腰三角形，得$∠ OAC=∠ OCA$；
3. 已知$AB// OD$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ OAB=∠ BOD$；
4. 已知$AC// OE$，同理可得$∠ OAC=∠ COE$；
5. 又因为$AB=AC$，且$OA=OA$，$OB=OC$，所以$△ OAB≌△ OAC$（SSS全等判定），因此$∠ OAB=∠ OAC$；
6. 结合步骤3和4，可得$∠ BOD=∠ COE$；
7. 在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CE}$。
【答案】$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CE}$
【知识点】圆心角弧弦关系，平行线性质，等腰三角形性质
【点评】本题是圆的基础证明题，核心是利用“同圆中相等的圆心角对应相等的弧”这一圆的基本性质，结合平行线、全等三角形的知识推导，考查学生对圆的基础性质的掌握与应用能力。
【难度系数】0.6
15. [新探究]小明在完成作业“如图1,$∠ AOB=90°$,$C$、$D$是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点,弦$AB$分别交$OC$、$OD$于点$E$、$F$,求证:$AE=BF=CD$”的基础上,做了如下尝试,把“$∠ AOB=90°$”改为“$∠ AOB=120°$”,其他不变,并作出如图2所示的图形,证明成功后,大胆猜想“若$∠ AOB=n°$,$C$、$D$是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点,弦$AB$分别交$OC$、$OD$于点$E$、$F$,$AE=BF=CD$这个结论依然成立”.请写出小明“尝试”和“猜想”的证明过程.
答案
尝试（$\boldsymbol{∠ AOB=120°}$）的证明：
连接$AC$、$BD$，
∵$C$、$D$是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$，
根据圆心角、弧、弦的关系，得$AC=CD=BD$，
且$∠ AOC=∠ COD=∠ DOB=\frac{1}{3}∠ AOB=\frac{1}{3}×120°=40°$。
∵$OA=OB$，$∠ AOB=120°$，
∴$∠ OAB=∠ OBA=\frac{180°-120°}{2}=30°$。
在$△ AOC$中，$OA=OC$，$∠ AOC=40°$，
∴$∠ OAC=\frac{180°-40°}{2}=70°$，
∴$∠ CAE=∠ OAC-∠ OAB=70°-30°=40°$。
∵$∠ AEC$是$△ AOE$的外角，
∴$∠ AEC=∠ OAB+∠ AOC=30°+40°=70°$，
∴$∠ ACE=180°-∠ CAE-∠ AEC=180°-40°-70°=70°$，
∴$∠ ACE=∠ AEC$，故$AE=AC$，
又∵$AC=CD$，∴$AE=CD$。
同理可证$BF=BD=CD$，
∴$AE=BF=CD$。
---
猜想（$\boldsymbol{∠ AOB=n°}$）的证明：
连接$AC$、$BD$，
∵$C$、$D$是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$，
根据圆心角、弧、弦的关系，得$AC=CD=BD$，
且$∠ AOC=∠ COD=∠ DOB=\frac{1}{3}∠ AOB=\frac{n°}{3}$。
∵$OA=OB$，$∠ AOB=n°$，
∴$∠ OAB=∠ OBA=\frac{180°-n°}{2}$。
在$△ AOC$中，$OA=OC$，$∠ AOC=\frac{n°}{3}$，
∴$∠ OAC=\frac{180°-\frac{n°}{3}}{2}=90°-\frac{n°}{6}$，
∴$∠ CAE=∠ OAC-∠ OAB=(90°-\frac{n°}{6})-\frac{180°-n°}{2}=\frac{n°}{3}$。
∵$∠ AEC$是$△ AOE$的外角，
∴$∠ AEC=∠ OAB+∠ AOC=\frac{180°-n°}{2}+\frac{n°}{3}=90°-\frac{n°}{6}$，
∴$∠ ACE=180°-∠ CAE-∠ AEC=180°-\frac{n°}{3}-(90°-\frac{n°}{6})=90°-\frac{n°}{6}$，
∴$∠ ACE=∠ AEC$，故$AE=AC$，
又∵$AC=CD$，∴$AE=CD$。
同理可证$BF=BD=CD$，
∴$AE=BF=CD$。
连接$AC$、$BD$，
∵$C$、$D$是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$，
根据圆心角、弧、弦的关系，得$AC=CD=BD$，
且$∠ AOC=∠ COD=∠ DOB=\frac{1}{3}∠ AOB=\frac{1}{3}×120°=40°$。
∵$OA=OB$，$∠ AOB=120°$，
∴$∠ OAB=∠ OBA=\frac{180°-120°}{2}=30°$。
在$△ AOC$中，$OA=OC$，$∠ AOC=40°$，
∴$∠ OAC=\frac{180°-40°}{2}=70°$，
∴$∠ CAE=∠ OAC-∠ OAB=70°-30°=40°$。
∵$∠ AEC$是$△ AOE$的外角，
∴$∠ AEC=∠ OAB+∠ AOC=30°+40°=70°$，
∴$∠ ACE=180°-∠ CAE-∠ AEC=180°-40°-70°=70°$，
∴$∠ ACE=∠ AEC$，故$AE=AC$，
又∵$AC=CD$，∴$AE=CD$。
同理可证$BF=BD=CD$，
∴$AE=BF=CD$。
---
猜想（$\boldsymbol{∠ AOB=n°}$）的证明：
连接$AC$、$BD$，
∵$C$、$D$是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$，
根据圆心角、弧、弦的关系，得$AC=CD=BD$，
且$∠ AOC=∠ COD=∠ DOB=\frac{1}{3}∠ AOB=\frac{n°}{3}$。
∵$OA=OB$，$∠ AOB=n°$，
∴$∠ OAB=∠ OBA=\frac{180°-n°}{2}$。
在$△ AOC$中，$OA=OC$，$∠ AOC=\frac{n°}{3}$，
∴$∠ OAC=\frac{180°-\frac{n°}{3}}{2}=90°-\frac{n°}{6}$，
∴$∠ CAE=∠ OAC-∠ OAB=(90°-\frac{n°}{6})-\frac{180°-n°}{2}=\frac{n°}{3}$。
∵$∠ AEC$是$△ AOE$的外角，
∴$∠ AEC=∠ OAB+∠ AOC=\frac{180°-n°}{2}+\frac{n°}{3}=90°-\frac{n°}{6}$，
∴$∠ ACE=180°-∠ CAE-∠ AEC=180°-\frac{n°}{3}-(90°-\frac{n°}{6})=90°-\frac{n°}{6}$，
∴$∠ ACE=∠ AEC$，故$AE=AC$，
又∵$AC=CD$，∴$AE=CD$。
同理可证$BF=BD=CD$，
∴$AE=BF=CD$。
解析
【分析】
要证明$AE=BF=CD$，首先利用弧的三等分点得到弧相等，进而推出弦$AC=CD=BD$及对应圆心角相等；再结合$OA=OB$求出$△ OAB$的底角，在等腰$△ AOC$中求出$∠ OAC$，通过角的差得到$∠ CAE$，利用三角形外角性质求出$∠ AEC$，证明$△ ACE$为等腰三角形得$AE=AC$，同理证得$BF=BD$，结合$AC=CD$、$BD=CD$即可得结论；对于一般的$∠ AOB=n°$，只需将角度替换为$n°$，按相同推导方法即可完成证明。
【解析】
尝试（$\boldsymbol{∠ AOB=120°}$）的证明：
连接$AC$、$BD$，
∵$C$、$D$是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$，根据圆心角、弧、弦的关系，得$AC=CD=BD$，且$∠ AOC=∠ COD=∠ DOB=\frac{1}{3}∠ AOB=\frac{1}{3}×120°=40°$。
∵$OA=OB$，$∠ AOB=120°$，
∴$∠ OAB=∠ OBA=\frac{180°-120°}{2}=30°$。
在$△ AOC$中，$OA=OC$，$∠ AOC=40°$，
∴$∠ OAC=\frac{180°-40°}{2}=70°$，
∴$∠ CAE=∠ OAC-∠ OAB=70°-30°=40°$。
∵$∠ AEC$是$△ AOE$的外角，
∴$∠ AEC=∠ OAB+∠ AOC=30°+40°=70°$，
∴$∠ ACE=180°-∠ CAE-∠ AEC=180°-40°-70°=70°$，
∴$∠ ACE=∠ AEC$，故$AE=AC$，
又
∵$AC=CD$，
∴$AE=CD$。
同理可证$BF=BD=CD$，
∴$AE=BF=CD$。
猜想（$\boldsymbol{∠ AOB=n°}$）的证明：
连接$AC$、$BD$，
∵$C$、$D$是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$，根据圆心角、弧、弦的关系，得$AC=CD=BD$，且$∠ AOC=∠ COD=∠ DOB=\frac{1}{3}∠ AOB=\frac{n°}{3}$。
∵$OA=OB$，$∠ AOB=n°$，
∴$∠ OAB=∠ OBA=\frac{180°-n°}{2}$。
在$△ AOC$中，$OA=OC$，$∠ AOC=\frac{n°}{3}$，
∴$∠ OAC=\frac{180°-\frac{n°}{3}}{2}=90°-\frac{n°}{6}$，
∴$∠ CAE=∠ OAC-∠ OAB=(90°-\frac{n°}{6})-\frac{180°-n°}{2}=\frac{n°}{3}$。
∵$∠ AEC$是$△ AOE$的外角，
∴$∠ AEC=∠ OAB+∠ AOC=\frac{180°-n°}{2}+\frac{n°}{3}=90°-\frac{n°}{6}$，
∴$∠ ACE=180°-∠ CAE-∠ AEC=180°-\frac{n°}{3}-(90°-\frac{n°}{6})=90°-\frac{n°}{6}$，
∴$∠ ACE=∠ AEC$，故$AE=AC$，
又
∵$AC=CD$，
∴$AE=CD$。
同理可证$BF=BD=CD$，
∴$AE=BF=CD$。
【答案】
尝试（$∠ AOB=120°$）和猜想（$∠ AOB=n°$）的证明过程如上，结论均成立，即$AE=BF=CD$。
【知识点】
圆心角、弧、弦的关系；等腰三角形性质；三角形外角性质
【点评】
本题是圆的性质探究题，从特殊角度推广到一般角度，体现了从特殊到一般的数学思想，需结合圆的基本性质和三角形相关定理推导，考查学生的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.5
要证明$AE=BF=CD$，首先利用弧的三等分点得到弧相等，进而推出弦$AC=CD=BD$及对应圆心角相等；再结合$OA=OB$求出$△ OAB$的底角，在等腰$△ AOC$中求出$∠ OAC$，通过角的差得到$∠ CAE$，利用三角形外角性质求出$∠ AEC$，证明$△ ACE$为等腰三角形得$AE=AC$，同理证得$BF=BD$，结合$AC=CD$、$BD=CD$即可得结论；对于一般的$∠ AOB=n°$，只需将角度替换为$n°$，按相同推导方法即可完成证明。
【解析】
尝试（$\boldsymbol{∠ AOB=120°}$）的证明：
连接$AC$、$BD$，
∵$C$、$D$是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$，根据圆心角、弧、弦的关系，得$AC=CD=BD$，且$∠ AOC=∠ COD=∠ DOB=\frac{1}{3}∠ AOB=\frac{1}{3}×120°=40°$。
∵$OA=OB$，$∠ AOB=120°$，
∴$∠ OAB=∠ OBA=\frac{180°-120°}{2}=30°$。
在$△ AOC$中，$OA=OC$，$∠ AOC=40°$，
∴$∠ OAC=\frac{180°-40°}{2}=70°$，
∴$∠ CAE=∠ OAC-∠ OAB=70°-30°=40°$。
∵$∠ AEC$是$△ AOE$的外角，
∴$∠ AEC=∠ OAB+∠ AOC=30°+40°=70°$，
∴$∠ ACE=180°-∠ CAE-∠ AEC=180°-40°-70°=70°$，
∴$∠ ACE=∠ AEC$，故$AE=AC$，
又
∵$AC=CD$，
∴$AE=CD$。
同理可证$BF=BD=CD$，
∴$AE=BF=CD$。
猜想（$\boldsymbol{∠ AOB=n°}$）的证明：
连接$AC$、$BD$，
∵$C$、$D$是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$，根据圆心角、弧、弦的关系，得$AC=CD=BD$，且$∠ AOC=∠ COD=∠ DOB=\frac{1}{3}∠ AOB=\frac{n°}{3}$。
∵$OA=OB$，$∠ AOB=n°$，
∴$∠ OAB=∠ OBA=\frac{180°-n°}{2}$。
在$△ AOC$中，$OA=OC$，$∠ AOC=\frac{n°}{3}$，
∴$∠ OAC=\frac{180°-\frac{n°}{3}}{2}=90°-\frac{n°}{6}$，
∴$∠ CAE=∠ OAC-∠ OAB=(90°-\frac{n°}{6})-\frac{180°-n°}{2}=\frac{n°}{3}$。
∵$∠ AEC$是$△ AOE$的外角，
∴$∠ AEC=∠ OAB+∠ AOC=\frac{180°-n°}{2}+\frac{n°}{3}=90°-\frac{n°}{6}$，
∴$∠ ACE=180°-∠ CAE-∠ AEC=180°-\frac{n°}{3}-(90°-\frac{n°}{6})=90°-\frac{n°}{6}$，
∴$∠ ACE=∠ AEC$，故$AE=AC$，
又
∵$AC=CD$，
∴$AE=CD$。
同理可证$BF=BD=CD$，
∴$AE=BF=CD$。
【答案】
尝试（$∠ AOB=120°$）和猜想（$∠ AOB=n°$）的证明过程如上，结论均成立，即$AE=BF=CD$。
【知识点】
圆心角、弧、弦的关系；等腰三角形性质；三角形外角性质
【点评】
本题是圆的性质探究题，从特殊角度推广到一般角度，体现了从特殊到一般的数学思想，需结合圆的基本性质和三角形相关定理推导，考查学生的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.5
