疑难点拨
已知$\odot O$的直径为20 cm,$AB$、$CD$是$\odot O$的两条弦,$AB// CD$,$AB=16$ cm,$CD=12$ cm,则$AB$与$CD$之间的距离为cm.
点拨 要分两种情形:当点$O$在$AB$与$CD$之间时;当点$O$不在$AB$与$CD$之间时.

2或14

【分析】
要解决AB与CD之间的距离问题，需利用垂径定理计算两条弦到圆心的距离，再结合两弦与圆心的位置关系分类讨论：首先根据圆的直径求出半径，过圆心作两条平行弦的垂线，利用垂径定理得到弦的一半长度，再通过勾股定理算出每条弦到圆心的距离；最后分圆心在两弦之间、圆心在两弦同侧两种情况，计算两弦间的距离。
【解析】
已知$\odot O$的直径为20 cm，则半径$r=OA=OC=10$ cm。
过点$O$作$OE ⊥ AB$于$E$，$OF ⊥ CD$于$F$，因为$AB // CD$，所以$E$、$O$、$F$三点共线，$EF$即为$AB$与$CD$之间的距离。
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，得$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2} × 16=8$ cm，$CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2} × 12=6$ cm。
在$Rt△ AOE$中，由勾股定理得：$OE=\sqrt{OA^2 - AE^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=\sqrt{36}=6$ cm；
在$Rt△ COF$中，由勾股定理得：$OF=\sqrt{OC^2 - CF^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=\sqrt{64}=8$ cm。
分两种情况：
1. 当点$O$在$AB$与$CD$之间时，$AB$与$CD$的距离$EF=OE + OF=6 + 8=14$ cm；
2. 当点$O$不在$AB$与$CD$之间（即$AB$、$CD$在圆心$O$的同侧）时，$AB$与$CD$的距离$EF=|OF - OE|=|8 - 6|=2$ cm。
综上，$AB$与$CD$之间的距离为2 cm或14 cm。
【答案】
2或14
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的弦长计算
【点评】
本题考查垂径定理的应用，核心是通过分类讨论两弦与圆心的位置关系避免漏解，是圆中弦距离计算的典型易错题，需注意全面考虑不同位置情况。
【难度系数】
0.5

1. 如图,$OA$、$OB$、$OC$都是$\odot O$的半径,$AC$、$OB$交于点$D$.若$AD=CD=8$,$OD=6$,则$BD$的长为

A.5
B.4
C.3
D.2

1. B

【分析】首先根据垂径定理，在圆中弦AC的中点为D，圆心O与弦中点D的连线OD垂直于AC，由此确定△ODA是直角三角形；接着利用勾股定理求出圆的半径OA，再根据圆的半径相等得到OB的长度，最后通过OB与OD的差计算BD的长度。
【解析】因为AD=CD，OB是⊙O的半径，根据垂径定理可知：OB⊥AC，即△ODA为直角三角形。在Rt△ODA中，AD=8，OD=6，由勾股定理得：
$OA=\sqrt{AD^2 + OD^2}=\sqrt{8^2 + 6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$
由于OA、OB都是⊙O的半径，所以OB=OA=10。已知OD=6，因此：
$BD=OB - OD=10 - 6=4$
【答案】B
【知识点】垂径定理、勾股定理、圆的半径性质
【点评】本题属于圆的基础应用题，核心是利用垂径定理得到直角三角形，结合勾股定理求出半径，进而计算线段长度，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】0.3

2. $P$是$\odot O$内一点,过点$P$的最长弦的长为10 cm,最短弦的长为6 cm,则$OP$的长为.

2. 4 cm

【分析】
本题考查圆内一点的弦长相关性质，解题思路为：先明确过圆内一点的最长弦是圆的直径，最短弦是垂直于过该点直径的弦；再结合垂径定理和勾股定理计算OP的长度。具体步骤：1. 由最长弦长求出圆的半径；2. 由最短弦长求出其一半长度；3. 利用直角三角形的勾股定理计算OP。
【解析】
1. 过圆内一点的最长弦为⊙O的直径，已知最长弦长为10 cm，因此⊙O的半径OA = 10÷2 = 5 cm；
2. 过点P的最短弦垂直于过P的直径，设该弦为AB，AB⊥OP，根据垂径定理，AP = AB÷2 = 6÷2 = 3 cm；
3. 在Rt△OPA中，OA为斜边，AP和OP为直角边，由勾股定理得：OP = √(OA² - AP²) = √(5² - 3²) = √16 = 4 cm。
【答案】
4 cm
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的弦长性质
【点评】
本题是圆的基础题型，核心是掌握圆内一点的最长弦与最短弦的性质，结合垂径定理和勾股定理即可快速求解，属于学生应掌握的基础知识点应用。
【难度系数】
0.6

3. 如图,将$\odot O$沿弦$AB$折叠,恰好$\overset{\frown}{AB}$经过圆心$O$,若$\odot O$的直径为4,则弦$AB$的长为.

3. $2\sqrt{3}$

【分析】
要解决本题，需结合折叠的性质、圆的垂径定理和勾股定理分析：已知⊙O直径为4，故半径OA=OB=2；将⊙O沿AB折叠后弧AB过圆心O，可推出圆心O到AB的距离为半径的一半；再通过垂径定理找到AB的中点，在直角三角形中用勾股定理计算弦长。
【解析】
连接OA、OB，过O作OC⊥AB于点C，根据垂径定理，C为AB的中点，即AB=2AC。
已知⊙O的直径为4，因此半径OA=OB=2。
因为将⊙O沿弦AB折叠后，$\overset{\frown}{AB}$恰好经过圆心O，所以圆心O到AB的距离OC等于半径的一半，即$OC=\frac{1}{2}×2=1$。
在$Rt△ OAC$中，由勾股定理得：$AC^2 + OC^2 = OA^2$，代入OA=2，OC=1，得$AC^2 +1^2=2^2$，解得$AC=\sqrt{3}$。
因此$AB=2AC=2×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
圆的折叠性质、垂径定理、勾股定理
【点评】
本题结合圆的折叠特性，利用垂径定理转化弦长，再通过勾股定理计算，核心是确定圆心到弦的距离，属于圆的基础计算题型，需掌握折叠前后的等量关系。
【难度系数】
0.5

4. 数学活动课上,同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径,小明的解决方案是:在工件圆弧上任取两点$A$、$B$,连接$AB$,作$AB$的垂直平分线$CD$交$AB$于点$D$,交$\overset{\frown}{AB}$于点$C$,测出$AB=40$ cm,$CD=10$ cm,则圆形工件的半径为

A.50 cm
B.35 cm
C.25 cm
D.20 cm

4. C

【分析】
要计算残缺圆形工件的半径，需结合垂径定理和勾股定理求解。根据垂径定理，弦的垂直平分线经过圆心，因此AB的垂直平分线CD必过圆心。设圆心为O，半径为r，连接OA（OA为半径），先算出AD的长度，再表示出OD的长度，最后在直角三角形ODA中利用勾股定理列方程即可求出半径。
【解析】
设圆形工件的半径为$ r $ cm，连接$ OA $。
∵ CD是AB的垂直平分线，根据垂径定理，圆心O在CD上，
∴ $ AD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×40 = 20 $ cm，
$ OD = OC - CD = r - 10 $ cm。
在$ Rt△ODA $中，由勾股定理：
$ OA^2 = AD^2 + OD^2 $，
代入得：$ r^2 = 20^2 + (r - 10)^2 $，
展开方程：$ r^2 = 400 + r^2 - 20r + 100 $，
化简得：$ 20r = 500 $，
解得：$ r = 25 $ cm。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理、勾股定理
【点评】
本题是垂径定理与勾股定理结合的基础应用题，核心是利用垂径定理构造直角三角形，通过勾股定理建立方程求解半径，属于几何计算的常规题型，难度适中。
【难度系数】
0.6

5. 如图,$AB$是$\odot O$的直径,$D$、$M$分别是弦$AC$、弧$AC$的中点.若$AC=12$,$BC=5$,则$MD$的长是.

5. 4

【分析】
要计算MD的长，需结合圆的性质和三角形中位线定理：首先，AB是直径，利用直径所对圆周角为直角，得到△ACB是直角三角形，用勾股定理算出AB长度，进而得到圆的半径；再由D是AC中点、O是AB中点，得OD是△ABC的中位线，算出OD长度；最后根据垂径定理，M是弧AC中点，OM垂直AC，结合OD也垂直AC，可知O、D、M共线，用半径减去OD即可得MD。
【解析】
1. 因为AB是⊙O的直径，根据“直径所对的圆周角为直角”，得∠ACB=90°，即△ACB是直角三角形。
2. 在Rt△ACB中，AC=12，BC=5，由勾股定理得：
AB=√(AC²+BC²)=√(12²+5²)=√169=13，
所以⊙O的半径OA=OM=AB/2=13/2=6.5。
3. 因为D是AC的中点，O是AB的中点，所以OD是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理：
OD=BC/2=5/2=2.5，且OD//BC，因此OD⊥AC（因BC⊥AC）。
4. 又因为M是弧AC的中点，根据垂径定理，OM⊥AC，故O、D、M三点共线，因此：
MD=OM - OD=6.5 - 2.5=4。
【答案】
4
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，三角形中位线定理
【点评】
本题综合考查圆的相关性质与三角形中位线定理，解题关键是利用直径的性质、垂径定理确定线段间的位置关系，结合中位线定理计算线段长度，属于基础综合题。
【难度系数】
0.6

6. 如图1,装有水的水槽放置在水平桌面上,其横截面是以$AB$为直径的半圆$O$,$AB=26$ cm,$MN$为水面截线,$MN=24$ cm,$GH$为桌面截线,$MN// GH$.
(1) 作$OC⊥ MN$于点$C$,求$OC$的长;
(2) 将图中的水倒出一部分得到图2,发现水面高度下降了7 cm,则此时水面截线减少了多少?

6. (1) OC的长为5 cm;
(2) 水面截线减少了14 cm.

【分析】
本题利用圆的垂径定理和勾股定理求解弦长与弦心距的关系。第(1)问先确定半圆半径，结合垂径定理得到弦MN的一半长度，通过勾股定理计算OC；第(2)问先求出原水面到圆心的距离，根据水面下降高度得到新水面到圆心的距离，再次用勾股定理求新弦长，最终计算长度差。
【解析】
(1) 连接OM，因为AB是半圆O的直径，AB=26 cm，所以半径OM=13 cm。
由于OC⊥MN，根据垂径定理，C为MN中点，故MC=MN/2=24/2=12 cm。
在Rt△OMC中，由勾股定理得：
OC=√(OM² - MC²)=√(13² -12²)=√25=5 cm。
(2) 半圆O的半径为13 cm，圆心O到桌面GH的距离为13 cm（半圆底部与GH接触）。
原水面MN到GH的距离为：13 - OC=13-5=8 cm。
水面下降7 cm后，新水面EF到GH的距离为8-7=1 cm，因此新水面EF到圆心O的距离为13-1=12 cm。
设新水面截线EF对应的弦心距为12 cm，半径为13 cm，由垂径定理得：
EF=2√(13² -12²)=2×5=10 cm。
水面截线减少的长度为：24 -10=14 cm。
【答案】
(1) OC的长为5 cm；(2) 水面截线减少了14 cm。
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的弦长计算
【点评】
本题核心是利用垂径定理构造直角三角形，结合勾股定理解决圆中弦长与弦心距的问题，属于基础几何应用题，解题思路清晰，步骤明确。
【难度系数】
0.3