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7. 如图,弦$AC$、$BD$在$\odot O$上,分别连接$OA$、$OB$、$OC$、$OD$,$∠ AOB=∠ COD$,$AC$与$OB$交于点$E$, $\odot O$的半径为6.
(1) 求证:$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$;
(2) 若$BD=10$,$E$为$AC$的中点,求$OE$的长.
(1) 求证:$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$;
(2) 若$BD=10$,$E$为$AC$的中点,求$OE$的长.
答案
7. (1) 证明略 (2) $\sqrt{11}$
解析
【分析】
第(1)问要证明弧相等，利用同圆中相等的圆心角所对的弧相等，通过已知∠AOB=∠COD，两边同时加∠BOC得到相等的圆心角∠AOC和∠BOD，即可证得弧相等；第(2)问，E是AC中点，结合OA=OC，利用等腰三角形三线合一得OE⊥AC，再由弧相等推出弦AC=BD，进而得到AE的长度，最后在直角三角形OAE中用勾股定理计算OE的长。
【解析】
(1) 证明：
∵ ∠AOB=∠COD，
∴ ∠AOB + ∠BOC = ∠COD + ∠BOC，
即 ∠AOC = ∠BOD。
在⊙O中，相等的圆心角所对的弧相等，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。
(2) 解：
∵ E为AC的中点，OA=OC（⊙O的半径），
∴ OE⊥AC（等腰三角形三线合一）。
由(1)知 $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，同圆中相等的弧所对的弦相等，
∴ AC=BD=10，
∴ AE = $\frac{1}{2}$AC = 5。
在Rt△OAE中，OA=6，AE=5，根据勾股定理：
OE = $\sqrt{OA^2 - AE^2}$ = $\sqrt{6^2 - 5^2}$ = $\sqrt{36 -25}$ = $\sqrt{11}$。
【答案】
$\sqrt{11}$
【知识点】
圆心角与弧的关系，等腰三角形性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查圆的基本性质（圆心角、弧、弦的关系）和等腰三角形、勾股定理的应用，解题关键是利用弧相等推得弦相等，结合等腰三角形三线合一构造直角三角形，再用勾股定理计算线段长度，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5
第(1)问要证明弧相等，利用同圆中相等的圆心角所对的弧相等，通过已知∠AOB=∠COD，两边同时加∠BOC得到相等的圆心角∠AOC和∠BOD，即可证得弧相等；第(2)问，E是AC中点，结合OA=OC，利用等腰三角形三线合一得OE⊥AC，再由弧相等推出弦AC=BD，进而得到AE的长度，最后在直角三角形OAE中用勾股定理计算OE的长。
【解析】
(1) 证明：
∵ ∠AOB=∠COD，
∴ ∠AOB + ∠BOC = ∠COD + ∠BOC，
即 ∠AOC = ∠BOD。
在⊙O中，相等的圆心角所对的弧相等，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。
(2) 解：
∵ E为AC的中点，OA=OC（⊙O的半径），
∴ OE⊥AC（等腰三角形三线合一）。
由(1)知 $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，同圆中相等的弧所对的弦相等，
∴ AC=BD=10，
∴ AE = $\frac{1}{2}$AC = 5。
在Rt△OAE中，OA=6，AE=5，根据勾股定理：
OE = $\sqrt{OA^2 - AE^2}$ = $\sqrt{6^2 - 5^2}$ = $\sqrt{36 -25}$ = $\sqrt{11}$。
【答案】
$\sqrt{11}$
【知识点】
圆心角与弧的关系，等腰三角形性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查圆的基本性质（圆心角、弧、弦的关系）和等腰三角形、勾股定理的应用，解题关键是利用弧相等推得弦相等，结合等腰三角形三线合一构造直角三角形，再用勾股定理计算线段长度，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5
8. 如图,在$\odot O$中,$C$为$\overset{\frown}{AB}$的中点,$CD⊥ OA$于点$D$,$CE⊥ OB$于点$E$.
(1) 求证:$CD=CE$;
(2) 若$∠ AOB=120°$,$OA=6$,求四边形$DOEC$的面积.
(1) 求证:$CD=CE$;
(2) 若$∠ AOB=120°$,$OA=6$,求四边形$DOEC$的面积.
答案
8. (1) 证明略 (2) $9\sqrt{3}$
解析
【分析】
要解决本题，第(1)问需证明CD=CE，已知CD⊥OA、CE⊥OB，根据角平分线的性质，只要证明点C在∠AOB的角平分线上即可；由C是弧AB中点，结合圆中弧与圆心角的关系，可推出OC平分∠AOB，进而得证。第(2)问已知∠AOB=120°，OC平分该角，故∠AOC=60°，结合OC=OA=6，在Rt△OCD中利用三角函数求出OD、CD的长度，再通过两个全等直角三角形的面积和计算四边形DOEC的面积。
【解析】
(1) 证明：连接OC，
∵ C为$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，根据“等弧所对的圆心角相等”，得∠AOC=∠BOC，即OC平分∠AOB。
又
∵ CD⊥OA，CE⊥OB，根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”，
∴ CD=CE。
(2) 解：
∵ ∠AOB=120°，OC平分∠AOB，
∴ ∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=60°。
∵ CD⊥OA，
∴ ∠ODC=90°，即△OCD为直角三角形。
∵ OC=OA=6，
∴ 在Rt△OCD中，OD=OC·cos60°=6×$\frac{1}{2}$=3，CD=OC·sin60°=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
∴ $S_{△ OCD}=\frac{1}{2}×OD×CD=\frac{1}{2}×3×3\sqrt{3}=\frac{9\sqrt{3}}{2}$。
同理，$S_{△ OCE}=\frac{9\sqrt{3}}{2}$，
∴ 四边形DOEC的面积=$S_{△ OCD}+S_{△ OCE}=\frac{9\sqrt{3}}{2}+\frac{9\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $9\sqrt{3}$
【知识点】
圆心角与弧的关系，角平分线的性质，直角三角形的三角函数
【点评】
本题综合考查圆的基本性质、角平分线的性质及直角三角形的相关计算，是圆章节的基础题型，需掌握弧中点与圆心角的关系、角平分线的性质定理，以及直角三角形的边角运算，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决本题，第(1)问需证明CD=CE，已知CD⊥OA、CE⊥OB，根据角平分线的性质，只要证明点C在∠AOB的角平分线上即可；由C是弧AB中点，结合圆中弧与圆心角的关系，可推出OC平分∠AOB，进而得证。第(2)问已知∠AOB=120°，OC平分该角，故∠AOC=60°，结合OC=OA=6，在Rt△OCD中利用三角函数求出OD、CD的长度，再通过两个全等直角三角形的面积和计算四边形DOEC的面积。
【解析】
(1) 证明：连接OC，
∵ C为$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，根据“等弧所对的圆心角相等”，得∠AOC=∠BOC，即OC平分∠AOB。
又
∵ CD⊥OA，CE⊥OB，根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”，
∴ CD=CE。
(2) 解：
∵ ∠AOB=120°，OC平分∠AOB，
∴ ∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=60°。
∵ CD⊥OA，
∴ ∠ODC=90°，即△OCD为直角三角形。
∵ OC=OA=6，
∴ 在Rt△OCD中，OD=OC·cos60°=6×$\frac{1}{2}$=3，CD=OC·sin60°=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
∴ $S_{△ OCD}=\frac{1}{2}×OD×CD=\frac{1}{2}×3×3\sqrt{3}=\frac{9\sqrt{3}}{2}$。
同理，$S_{△ OCE}=\frac{9\sqrt{3}}{2}$，
∴ 四边形DOEC的面积=$S_{△ OCD}+S_{△ OCE}=\frac{9\sqrt{3}}{2}+\frac{9\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $9\sqrt{3}$
【知识点】
圆心角与弧的关系，角平分线的性质，直角三角形的三角函数
【点评】
本题综合考查圆的基本性质、角平分线的性质及直角三角形的相关计算，是圆章节的基础题型，需掌握弧中点与圆心角的关系、角平分线的性质定理，以及直角三角形的边角运算，难度适中。
【难度系数】
0.6
9. 如图,有一把三角尺$ABC$,$∠ C$为直角,$∠ ABC=30°$,将它放置在$\odot O$中,使点$A$、$B$在圆上,此时边$BC$恰好经过圆心$O$,则劣弧$AB$的度数为
$120^{\circ }$
.答案
9. $120^{\circ }$
解析
【分析】要解决本题，需利用圆的半径相等的性质构造等腰三角形，结合三角形内角和定理求出圆心角，再根据“劣弧的度数等于其所对圆心角的度数”这一关系得到答案。
【解析】连接OA，
∵ OA、OB都是⊙O的半径，
∴ OA = OB，即△OAB为等腰三角形，
∴ ∠OAB = ∠OBA，
已知∠ABC = 30°，即∠OBA = 30°，
∴ ∠OAB = 30°，
根据三角形内角和为180°，可得：
∠AOB = 180° - ∠OAB - ∠OBA = 180° - 30° - 30° = 120°，
又
∵ 劣弧AB的度数等于它所对圆心角∠AOB的度数，
∴ 劣弧AB的度数为120°。
【答案】120°
【知识点】圆的半径性质、圆心角与弧的度数关系、等腰三角形性质
【点评】本题结合三角尺的角度考查圆的基本性质，核心是通过连接半径构造等腰三角形求圆心角，属于基础几何题，解题思路清晰，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】连接OA，
∵ OA、OB都是⊙O的半径，
∴ OA = OB，即△OAB为等腰三角形，
∴ ∠OAB = ∠OBA，
已知∠ABC = 30°，即∠OBA = 30°，
∴ ∠OAB = 30°，
根据三角形内角和为180°，可得：
∠AOB = 180° - ∠OAB - ∠OBA = 180° - 30° - 30° = 120°，
又
∵ 劣弧AB的度数等于它所对圆心角∠AOB的度数，
∴ 劣弧AB的度数为120°。
【答案】120°
【知识点】圆的半径性质、圆心角与弧的度数关系、等腰三角形性质
【点评】本题结合三角尺的角度考查圆的基本性质，核心是通过连接半径构造等腰三角形求圆心角，属于基础几何题，解题思路清晰，难度适中。
【难度系数】0.5
10. 如图,$C$是$\odot O$的直径$AB$上的一点,过点$C$作弦$DE$,使得$CD=CO$. 若$\overset{\frown}{AD}$的度数为$35°$,则$\overset{\frown}{BE}$的度数是
$105^{\circ }$
.答案
10. $105^{\circ }$
解析
【分析】
要解决本题，需利用“弧的度数等于其所对圆心角的度数”，结合等腰三角形的性质（等边对等角），逐步推导目标圆心角的度数，进而得到弧BE的度数。具体思路：
1. 由弧AD的度数，确定对应的圆心角∠AOD的度数；
2. 根据CD=CO，得到△CDO为等腰三角形，推出∠CDO=∠COD；
3. 利用圆的半径相等（OD=OE），得到△ODE为等腰三角形，推出∠OED=∠ODE；
4. 结合三角形内角和、平角的性质，计算出∠BOE的度数，其即为弧BE的度数。
【解析】
解：连接OD、OE。
∵ 弧$\overset{\frown}{AD}$的度数为$35°$，
∴ 其对应的圆心角$∠ AOD = 35°$。
∵ $CD = CO$，
∴ $△ CDO$是等腰三角形，$∠ CDO = ∠ COD = ∠ AOD = 35°$。
∵ OD、OE是$\odot O$的半径，
∴ $OD = OE$，$△ ODE$是等腰三角形，$∠ OED = ∠ ODE = ∠ CDO = 35°$。
在$△ ODE$中，根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠ DOE = 180° - ∠ ODE - ∠ OED = 180° - 35° - 35° = 110°$。
又
∵ AB是$\odot O$的直径，$∠ AOB = 180°$，
∴ $∠ BOE = 180° - ∠ AOD - ∠ DOE = 180° - 35° - 110° = 35°$？不对，重新调整：
哦，正确推导：$∠ AOE = ∠ DOE - ∠ AOD = 110° - 35° = 75°$，
则$∠ BOE = 180° - ∠ AOE = 180° - 75° = 105°$。
∴ 弧$\overset{\frown}{BE}$的度数等于其对应圆心角$∠ BOE$的度数，即$\overset{\frown}{BE}$的度数为$105°$。
【答案】
$105°$
【知识点】
圆心角与弧的关系；等腰三角形的性质；圆的半径性质
【点评】
本题结合圆的基本性质和等腰三角形的性质，考查弧与圆心角的对应关系，解题关键是利用等腰三角形的等边对等角推导角度，逐步计算目标圆心角，属于基础几何综合题。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需利用“弧的度数等于其所对圆心角的度数”，结合等腰三角形的性质（等边对等角），逐步推导目标圆心角的度数，进而得到弧BE的度数。具体思路：
1. 由弧AD的度数，确定对应的圆心角∠AOD的度数；
2. 根据CD=CO，得到△CDO为等腰三角形，推出∠CDO=∠COD；
3. 利用圆的半径相等（OD=OE），得到△ODE为等腰三角形，推出∠OED=∠ODE；
4. 结合三角形内角和、平角的性质，计算出∠BOE的度数，其即为弧BE的度数。
【解析】
解：连接OD、OE。
∵ 弧$\overset{\frown}{AD}$的度数为$35°$，
∴ 其对应的圆心角$∠ AOD = 35°$。
∵ $CD = CO$，
∴ $△ CDO$是等腰三角形，$∠ CDO = ∠ COD = ∠ AOD = 35°$。
∵ OD、OE是$\odot O$的半径，
∴ $OD = OE$，$△ ODE$是等腰三角形，$∠ OED = ∠ ODE = ∠ CDO = 35°$。
在$△ ODE$中，根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠ DOE = 180° - ∠ ODE - ∠ OED = 180° - 35° - 35° = 110°$。
又
∵ AB是$\odot O$的直径，$∠ AOB = 180°$，
∴ $∠ BOE = 180° - ∠ AOD - ∠ DOE = 180° - 35° - 110° = 35°$？不对，重新调整：
哦，正确推导：$∠ AOE = ∠ DOE - ∠ AOD = 110° - 35° = 75°$，
则$∠ BOE = 180° - ∠ AOE = 180° - 75° = 105°$。
∴ 弧$\overset{\frown}{BE}$的度数等于其对应圆心角$∠ BOE$的度数，即$\overset{\frown}{BE}$的度数为$105°$。
【答案】
$105°$
【知识点】
圆心角与弧的关系；等腰三角形的性质；圆的半径性质
【点评】
本题结合圆的基本性质和等腰三角形的性质，考查弧与圆心角的对应关系，解题关键是利用等腰三角形的等边对等角推导角度，逐步计算目标圆心角，属于基础几何综合题。
【难度系数】
0.5
11. 如图,$CD$是$\odot O$的直径,$A$是半圆上的三等分点,$B$是$\overset{\frown}{AD}$的中点,$P$为直线$CD$上的一个动点.当$CD=4$时,$AP+BP$的最小值为
$2\sqrt{2}$
.答案
11. $2\sqrt{2}$
解析
【分析】
本题属于“将军饮马”型最短路径问题，需利用圆的对称性转化线段，找到AP+BP的最小值。首先根据直径长度确定圆的半径，再结合三等分点、弧中点的性质求出相关圆心角，通过作点A关于CD的对称点，将AP转化为A'P，此时AP+BP的最小值即为线段A'B的长度，最后利用勾股定理计算A'B即可。
【解析】
1. 因为CD是⊙O的直径，CD=4，所以⊙O的半径OA=OB=2。
2. 由于A是半圆上的三等分点，半圆对应的圆心角为180°，故∠AOD=180°÷3=60°。
3. 又B是$\overset{\frown}{AD}$的中点，所以$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BD}$，因此∠BOD=∠AOD÷2=30°。
4. 作点A关于直线CD的对称点A'，根据圆的对称性，点A'在⊙O上，且∠A'OD=∠AOD=60°，则∠A'OB=∠A'OD + ∠BOD=60°+30°=90°。
5. 连接A'B，交CD于点P，根据两点之间线段最短，此时AP+BP=A'P+BP=A'B，即AP+BP的最小值为A'B的长度。
6. 在Rt△A'OB中，OA'=OB=2，由勾股定理得：$A'B=\sqrt{OA'^2 + OB^2}=\sqrt{2^2 + 2^2}=2\sqrt{2}$。
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
圆的对称性、最短路径问题、勾股定理
【点评】
本题结合圆的性质与“将军饮马”模型，核心是利用对称性转化线段，将折线和转化为线段长度，关键在于正确求出相关圆心角，难度适中，需掌握圆的弧与圆心角的关系及勾股定理的应用。
【难度系数】
0.5
本题属于“将军饮马”型最短路径问题，需利用圆的对称性转化线段，找到AP+BP的最小值。首先根据直径长度确定圆的半径，再结合三等分点、弧中点的性质求出相关圆心角，通过作点A关于CD的对称点，将AP转化为A'P，此时AP+BP的最小值即为线段A'B的长度，最后利用勾股定理计算A'B即可。
【解析】
1. 因为CD是⊙O的直径，CD=4，所以⊙O的半径OA=OB=2。
2. 由于A是半圆上的三等分点，半圆对应的圆心角为180°，故∠AOD=180°÷3=60°。
3. 又B是$\overset{\frown}{AD}$的中点，所以$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BD}$，因此∠BOD=∠AOD÷2=30°。
4. 作点A关于直线CD的对称点A'，根据圆的对称性，点A'在⊙O上，且∠A'OD=∠AOD=60°，则∠A'OB=∠A'OD + ∠BOD=60°+30°=90°。
5. 连接A'B，交CD于点P，根据两点之间线段最短，此时AP+BP=A'P+BP=A'B，即AP+BP的最小值为A'B的长度。
6. 在Rt△A'OB中，OA'=OB=2，由勾股定理得：$A'B=\sqrt{OA'^2 + OB^2}=\sqrt{2^2 + 2^2}=2\sqrt{2}$。
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
圆的对称性、最短路径问题、勾股定理
【点评】
本题结合圆的性质与“将军饮马”模型，核心是利用对称性转化线段，将折线和转化为线段长度，关键在于正确求出相关圆心角，难度适中，需掌握圆的弧与圆心角的关系及勾股定理的应用。
【难度系数】
0.5
