7. 如图,点A、B和点C、D分别在以O为圆心的两个同心圆上,且$∠ AOB=∠ COD$.
(1) $∠ C$与$∠ D$相等吗? 为什么?
(2) 若B、O、D三点在同一直线上,$∠ A=40°$,$∠ C=30°$,求$∠ AOC$的度数.

7. (1) $∠ C=∠ D$,理由略 (2) $40°$

【分析】
本题分为两小问，第(1)问需利用等腰三角形的性质判断角的关系，第(2)问需结合三角形内角和、平角的性质及图形中角的位置关系计算角度。首先，根据同心圆的半径相等，可知△AOB和△COD均为等腰三角形，结合已知顶角相等可推出底角相等；第(2)问先分别求出两个等腰三角形的顶角，再利用三点共线形成的平角关系，结合图形中角的重叠关系计算∠AOC。
【解析】
(1) $∠C=∠D$，理由如下：
∵ OA、OB是小圆的半径，OC、OD是大圆的半径，
∴ $OA=OB$，$OC=OD$，即△AOB和△COD均为等腰三角形。
又
∵ $∠AOB=∠COD$，等腰三角形顶角相等时，底角相等，
∴ $∠OCD=∠ODC$，即$∠C=∠D$。
(2) 在△AOB中，$OA=OB$，$∠A=40°$，
∴ $∠OBA=∠A=40°$，根据三角形内角和为180°，
得$∠AOB=180° - 40° - 40°=100°$。
在△COD中，$OC=OD$，$∠C=30°$，
∴ $∠ODC=∠C=30°$，同理得$∠COD=180° - 30° - 30°=120°$。
∵ B、O、D三点在同一直线上，
∴ $∠BOD=180°$，
观察图形可知$∠AOB + ∠COD - ∠AOC=∠BOD$，
代入数值：$100° + 120° - ∠AOC=180°$，
解得$∠AOC=40°$。
【答案】
(1) $∠C=∠D$，理由见解析；(2) $40°$
【知识点】
等腰三角形性质、三角形内角和、圆心角相关计算
【点评】
本题综合考查等腰三角形的性质及角的计算，需要结合图形中角的位置关系，利用平角性质建立等式求解，属于中等难度的几何基础题。
【难度系数】
0.5

8. 如图,在$\odot O$中,直径$MN=10$,正方形ABCD的四个顶点分别在$\odot O$及半径OM、OP上,且$∠ POM=45°$,则AB的长为.
(第8题)
(第9题)

8. $\sqrt{5}$

【分析】
要解决这个问题，我们可以通过设正方形边长为未知数，利用正方形性质、等腰直角三角形的特点以及圆的半径性质建立方程求解。首先设正方形ABCD的边长AB为x，根据正方形性质得到各边相等、内角为直角；结合∠POM=45°推出△OCD是等腰直角三角形，得到OC与CD的关系；再利用点A在圆上，结合勾股定理建立方程，即可求出AB的长度。
【解析】
设AB的长为x。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=BC=CD=x，∠ABC=∠BCD=90°，
∴ ∠DCO=180°-∠BCD=90°。
又
∵ ∠POM=45°，
∴ △OCD是等腰直角三角形，
∴ OC=CD=x。
由此可得，OB=BC+OC=x+x=2x，
以O为原点，OM为x轴负方向建立坐标系，则点A的坐标为(-2x, x)。
∵ MN是直径，MN=10，
∴ ⊙O的半径为5，即OA=5。
根据勾股定理：OA²=(-2x)²+x²，
代入OA=5得：5²=4x²+x²，
即25=5x²，
解得x²=5，x=√5（边长为正，舍去负根）。
【答案】
√5
【知识点】
正方形性质、圆的半径性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查正方形与圆的性质，关键是利用等腰直角三角形的边长关系梳理线段联系，结合勾股定理建立方程求解，需要具备几何图形的分析能力，属于中等难度的几何计算题。
【难度系数】
0.5

9. 铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素.如图是一个花瓣造型的花窗示意图,由六条等弧连接而成,六条弧所对应的弦构成一个正六边形,中心为点O,$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心C恰好是$△ ABO$的内心,若$AB=2\sqrt{3}$,则花窗的周长(图中实线部分的长度)=.(结果保留$π$)

9. $8π$

【分析】
要计算花窗的周长，需先明确图形的几何关系：首先，六条弦构成正六边形，可推出△ABO是等边三角形；再利用C是△ABO内心的条件，求出弧所在圆的半径和每条弧的圆心角；最后结合弧长公式计算6条等弧的总长度，即为花窗周长。
步骤：1. 由正六边形性质确定△ABO为等边三角形，得到AB的长度；2. 利用等边三角形内心的性质，求出弧AB所在圆的半径；3. 确定每条弧的圆心角，计算单条弧长后乘6得到总周长。
【解析】
1. 因为六条等弧对应的弦构成正六边形，所以正六边形的中心角∠AOB=360°÷6=60°，又OA=OB，故△ABO是等边三角形，因此AB=OA=OB=2√3。
2. 点C是△ABO的内心，等边三角形的内心是角平分线交点，故∠CAB=∠CBA=30°。取AB中点D，连接CD，则CD⊥AB，AD=AB/2=√3。在Rt△ACD中，cos∠CAD=AD/CA，即cos30°=√3/CA，解得CA=√3÷(√3/2)=2，即弧AB所在圆的半径为2。
3. 在△ABC中，∠ACB=180°-30°-30°=120°，即每条弧对应的圆心角为120°。
4. 根据弧长公式，单条弧长为：$\frac{120°}{360°}×2π×2=\frac{4π}{3}$。
5. 花窗周长为6条等弧的长度和：$6×\frac{4π}{3}=8π$。
【答案】
8π
【知识点】
正六边形性质、弧长计算、三角形内心
【点评】
本题结合正六边形、三角形内心的性质，考查弧长公式的应用，关键是理清图形中线段、角度的关系，属于几何计算类常规题，需熟练掌握相关性质和公式。
【难度系数】
0.4

10. (2025泰州)如图,矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方,线段AB与点E、F都在直线l上,且$AB=7$,$EF=10$,$BC＞5$.点B从点E处出发,沿射线EF的方向运动,矩形ABCD随之运动.在点B运动的过程中,当AD、BC都与半圆O相交时,设这两个交点为G、H,连接OG、OH.若$∠ GOH$为直角,求此时BE的长.

10. 8或9

【分析】
要解决这个问题，我们通过建立平面直角坐标系，结合圆的方程和向量垂直的性质求解。设BE的长为t，确定各点坐标后，利用半圆与矩形边交点满足的圆方程，结合∠GOH为直角时向量垂直的条件列出方程，求解得到BE的长度，同时验证解的合理性。
【解析】
设BE的长为t，以E为原点，直线l为x轴建立平面直角坐标系，则E(0,0)，F(10,0)，半圆O的圆心为O(5,0)，半圆方程为$(x-5)^2 + y^2 =25$（$y≥0$）。
矩形ABCD中，AB=7，BC=7（满足BC＞5），各点坐标为：A(t-7,0)，B(t,0)，C(t,7)，D(t-7,7)。
AD边为直线$x=t-7$，与半圆交于G，故G点满足$(t-7 -5)^2 + y_G^2=25$，即$y_G^2=25-(t-12)^2$；
BC边为直线$x=t$，与半圆交于H，故H点满足$(t-5)^2 + y_H^2=25$，即$y_H^2=25-(t-5)^2$。
因为∠GOH为直角，所以向量$\overrightarrow{OG} ⊥ \overrightarrow{OH}$，其中$\overrightarrow{OG}=(t-12, y_G)$，$\overrightarrow{OH}=(t-5, y_H)$，则点积为0：
$(t-12)(t-5) + y_G y_H =0 \implies y_G y_H = -(t-12)(t-5)$
两边平方得：
$y_G^2 y_H^2 = (t-12)^2(t-5)^2$
代入$y_G^2$和$y_H^2$的表达式，展开化简得方程：
$t^2 -17t +72=0$
解得$t_1=8$，$t_2=9$，均满足BC＞5的条件，故BE的长为8或9。
【答案】
8或9
【知识点】
圆的方程、向量垂直、矩形性质
【点评】
本题将几何问题转化为代数方程求解，关键是利用向量垂直的条件建立等式，计算时需注意向量起点为圆心O，避免坐标错误，是几何与代数结合的典型中等难度题。
【难度系数】
0.5

11. [新定义]在平面直角坐标系中,关于点$M(x_{1},y_{1})$与点$N(x_{2},y_{2})$的“阳光距离”,给出如下定义:若$|x_{1}-x_{2}|≥|y_{1}-y_{2}|$,则点M、N的“阳光距离”为$|x_{1}-x_{2}|$;若$|x_{1}-x_{2}|＜|y_{1}-y_{2}|$,则点M、N的“阳光距离”为$|y_{1}-y_{2}|$.
(1) ①已知点$A(2,3)$、$B(-2,1)$,点A、B的“阳光距离”为;
②已知点$A(2,3)$、$B(-2,m)$,点A、B的“阳光距离”为5,求m的值.
(2) 已知点$P(1,2)$、$Q(n,0)$,当点P、Q的“阳光距离”最小时,求最小“阳光距离”及n的取值范围.
(3) 如图,点E在以$(2,4)$为圆心,1为半径的圆上,点$F(0,1)$,记点E、F的“阳光距离”为s,直接写出s的取值范围.

11. (1) ①4 ②$m=-2$或$m=8$.
(2) $-1≤ n≤ 3$.最小“阳光距离”为2；
(3) $2≤ s≤ 4$.

【分析】
本题为新定义题型，核心是明确“阳光距离”的定义：两点的“阳光距离”是两点横、纵坐标差的绝对值中较大的那个。解题时，需先计算两点横、纵坐标差的绝对值，再根据定义确定阳光距离；对于含参数的问题，利用阳光距离的值列方程或不等式求解；对于最值问题，结合圆上点的坐标范围分析横、纵坐标差的变化，进而确定阳光距离的范围。
【解析】
(1) ① 计算点A(2,3)与B(-2,1)的横、纵坐标差的绝对值：
$|x_1 - x_2| = |2 - (-2)| = 4$，$|y_1 - y_2| = |3 - 1| = 2$。
因为$4 ＞ 2$，根据“阳光距离”定义，得阳光距离为4。
② 点A(2,3)与B(-2,m)的横差绝对值为$|2 - (-2)| = 4$，阳光距离为5，说明纵差绝对值$|3 - m|$需满足$\max(4, |3 - m|) = 5$，因此$|3 - m| = 5$。
解得：$3 - m = 5 ⇒ m = -2$；或$3 - m = -5 ⇒ m = 8$。故m的值为-2或8。
(2) 点P(1,2)与Q(n,0)的横差绝对值为$|1 - n|$，纵差绝对值为$|2 - 0| = 2$，阳光距离为$\max(|1 - n|, 2)$。
要使阳光距离最小，需让$\max(|1 - n|, 2)$尽可能小，当$|1 - n| ≤ 2$时，阳光距离为2（最小值）。
解不等式$|1 - n| ≤ 2$：$-2 ≤ 1 - n ≤ 2 ⇒ -1 ≤ n ≤ 3$。
因此最小“阳光距离”为2，n的取值范围是$-1 ≤ n ≤ 3$。
(3) 设点E(x,y)，因E在以(2,4)为圆心、半径1的圆上，故满足$(x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 1$；点F(0,1)，则“阳光距离”$s = \max(|x - 0|, |y - 1|) = \max(|x|, |y - 1|)$。
由圆的性质，x的范围是$[1,3]$，y的范围是$[3,5]$，故$|x|=x$，$|y - 1|=y - 1 \in [2,4]$。
最小值：当E为(2,3)时，$|x|=2$，$|y -1|=2$，$\max=2$，即s最小为2；
最大值：当E为(2,5)时，$|x|=2$，$|y -1|=4$，$\max=4$，即s最大为4。
因此s的取值范围是$2 ≤ s ≤ 4$。
【答案】
(1) ①4；②$m=-2$或$m=8$；(2)最小“阳光距离”为2，n的取值范围是$-1 ≤ n ≤ 3$；(3)$2 ≤ s ≤ 4$
【知识点】
新定义运算，平面直角坐标系，圆的性质
【点评】
本题是新定义综合题，关键在于准确理解“阳光距离”的定义，将问题转化为比较两个绝对值的大小，结合方程、不等式、圆的坐标性质求解，考查学生的阅读理解能力和逻辑分析能力，属于中等难度题型。
【难度系数】
0.5