疑难点拨
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$AC=3$,$BC=4$,则它的外接圆的半径为.
点拨 分$∠ C=90°$和$∠ A=90°$,分别求出斜边长,即可求出外接圆的半径.

【疑难点拨】 $\frac{5}{2}$或2

【分析】
要解决这个问题，需明确直角三角形外接圆的性质：直角三角形外接圆的直径为其斜边，因此外接圆半径等于斜边长度的一半。题目未明确Rt△ABC的直角顶点，故需分类讨论直角的位置，同时结合“直角三角形中斜边为最长边”的性质排除不可能的情况，再利用勾股定理计算斜边长度，进而求出外接圆半径。
【解析】
直角三角形外接圆半径 = 斜边长度 ÷ 2，分情况讨论直角顶点：
1. 当∠C=90°时，斜边为AB，由勾股定理得：
AB = √(AC² + BC²) = √(3² + 4²) = 5，
则外接圆半径 = AB ÷ 2 = $\frac{5}{2}$；
2. 当∠A=90°时，斜边为BC，此时BC=4（AC=3＜4，符合斜边为最长边），
则外接圆半径 = BC ÷ 2 = 4 ÷ 2 = 2；
3. 当∠B=90°时，斜边应为AC=3，但BC=4＞AC，不符合斜边最长的性质，故舍去。
综上，外接圆半径为$\frac{5}{2}$或2。
【答案】
$\frac{5}{2}$或2
【知识点】
直角三角形外接圆性质、勾股定理、分类讨论
【点评】
本题考查直角三角形外接圆半径的计算，核心是利用“直角三角形外接圆直径为斜边”的性质，关键在于题目未明确直角顶点，需分类讨论，同时结合斜边最长的性质排除错误情况，避免漏解，是易出错的基础题。
【难度系数】
0.5

1. 下列说法中,正确的是 ()

A.三点确定一个圆
B.一个圆有且只有一个内接三角形
C.三角形的外心到三角形三边的距离相等
D.三角形有且只有一个外接圆

1. D

【分析】
本题考查圆的相关概念及三角形外接圆的性质，需逐一分析每个选项对应的知识点，明确各说法的正误：先回忆圆的确定条件，再区分圆的内接三角形数量、三角形外心与内心的性质，进而判断选项对错。
【解析】
1. 选项A：根据圆的确定定理，不在同一直线上的三点确定一个圆，若三点共线则无法确定圆，因此A错误；
2. 选项B：圆的内接三角形是三个顶点都在圆上的三角形，一个圆上有无数个点，任意三个不共线的点均可构成内接三角形，故一个圆有无数个内接三角形，B错误；
3. 选项C：三角形的外心是三边垂直平分线的交点，性质是到三角形三个顶点的距离相等；到三角形三边距离相等的是三角形的内心（角平分线交点），因此C错误；
4. 选项D：三角形的三个顶点不共线，根据圆的确定定理，不在同一直线上的三点确定唯一的圆，即三角形有且只有一个外接圆，D正确。
【答案】
D
【知识点】
圆的确定、三角形外接圆、三角形外心
【点评】
本题属于初中数学圆章节的基础概念题，主要考查圆的确定条件、内接三角形、外心与内心的性质，需准确区分易混淆的概念，牢记相关定理即可正确解答。
【难度系数】
0.7

2. 根据尺规作图的痕迹,可以判断点$O$为$△ ABC$外心的是 ()

2. A

【分析】要判断点O是否为△ABC的外心，需明确：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，尺规作垂直平分线的痕迹是“以线段两端为圆心，大于线段一半长度为半径画弧，两弧交点的连线即为垂直平分线”，据此分析各选项的作图痕迹，找到两条垂直平分线的交点即可确定外心。
【解析】根据尺规作图的特征逐一分析：
选项A：图中两条直线分别是△ABC两边的垂直平分线，交点O是三边垂直平分线的交点，符合外心的定义；
选项B：一条是∠B的角平分线，另一条是BC的垂直平分线，交点不是三边垂直平分线的交点，不是外心；
选项C：两条都是角平分线（∠B和∠C的角平分线），交点是三角形的内心，不是外心；
选项D：一条是∠C的角平分线，另一条是AB的垂直平分线，交点不是三边垂直平分线的交点，不是外心。
综上，答案为A。
【答案】A
【知识点】三角形外心、尺规作图（垂直平分线）
【点评】本题考查三角形外心的概念及尺规作图的应用，核心是区分垂直平分线与角平分线的作图痕迹，明确外心是三边垂直平分线的交点，需准确识别各选项的作图类型。
【难度系数】0.5

3. 如图,在平面直角坐标系中,已知点$A(0,-3)$、$B(2,-1)$、$C(2,3)$,则$△ ABC$的外心的坐标为.

3. $(-2,1)$

【分析】
要确定△ABC的外心，需利用外心是三角形三边垂直平分线交点的性质，该点到三个顶点距离相等。首先观察B、C两点坐标特征，快速求出BC边的垂直平分线；再求出AB边的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为外心坐标。
【解析】
1. 求BC边的垂直平分线：已知B(2,-1)，C(2,3)，两点横坐标相同，故BC为竖直线段，中点坐标为$(\frac{2+2}{2},\frac{-1+3}{2})=(2,1)$，竖直线段的垂直平分线为平行于x轴的直线，因此BC的垂直平分线方程为$y=1$。
2. 求AB边的垂直平分线：已知A(0,-3)，B(2,-1)，AB的中点坐标为$(\frac{0+2}{2},\frac{-3+(-1)}{2})=(1,-2)$，AB的斜率$k_{AB}=\frac{-1-(-3)}{2-0}=1$，则AB垂直平分线的斜率为$-1$，根据点斜式可得垂直平分线方程为$y - (-2) = -1×(x -1)$，整理得$y=-x-1$。
3. 求外心坐标：外心是两条垂直平分线的交点，联立$\begin{cases}y=1\\y=-x-1\end{cases}$，将$y=1$代入$y=-x-1$，得$1=-x-1$，解得$x=-2$，因此交点坐标为$(-2,1)$，即△ABC的外心坐标为$(-2,1)$。
【答案】
$(-2,1)$
【知识点】
三角形外心、垂直平分线、平面直角坐标系
【点评】
本题考查三角形外心的概念及垂直平分线的性质，解题关键是利用坐标特征简化垂直平分线的求解，通过联立方程得到交点，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.5

4. 如图,点$O$是$△ ABC$的外心,$OD⊥ AB$,$OE⊥ AC$,垂足分别为$D$、$E$,$M$、$N$分别是$OD$、$OE$的中点,连接$MN$.若$BC=6$,则$MN=$.

4. 1.5

【分析】首先明确三角形外心的性质，结合垂径定理确定D、E为AB、AC的中点，得到DE是△ABC的中位线，求出DE长度；再根据M、N是OD、OE中点，得出MN是△ODE的中位线，利用中位线定理计算MN。
【解析】
1. 因为点O是△ABC的外心，OD⊥AB，OE⊥AC，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，所以D是AB中点，E是AC中点。
2. 由此可知DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理，中位线长度等于第三边的一半，因此DE = ½ BC = ½ ×6 = 3。
3. 又因为M、N分别是OD、OE的中点，所以MN是△ODE的中位线，再次利用三角形中位线定理，得MN = ½ DE = ½ ×3 = 1.5。
【答案】1.5
【知识点】三角形中位线定理、垂径定理、三角形外心性质
【点评】本题综合考查三角形外心、垂径定理及中位线定理的应用，关键是通过定理推导得到中位线，属于基础几何综合题，需熟练掌握相关定理。
【难度系数】0.5

5. 下列图形中,各边的中点一定在同一个圆上的是 ()

A.矩形
B.平行四边形
C.对角线相等的四边形
D.对角线互相垂直的四边形

5. D

【分析】要判断各边中点是否共圆，需依据圆的定义（点到定点距离相等则共圆），结合四边形中点连线的性质分析选项：四边形各边中点连线构成的中点四边形，其形状由原四边形对角线的关系决定，需逐一验证选项是否满足“各边中点一定共圆”。
【解析】根据三角形中位线定理，四边形各边中点连线构成的中点四边形，其边平行于原四边形的对角线：
1. 若原四边形对角线互相垂直，则中点四边形的邻边互相垂直，即中点四边形为矩形；
2. 矩形的四个顶点必共圆（矩形对角互补，符合四点共圆的判定条件），因此该矩形的四个顶点（即原四边形各边中点）一定在同一个圆上；
3. 其余选项：A矩形的中点四边形是菱形，仅特殊矩形（正方形）的中点共圆；B平行四边形的中点四边形是平行四边形，仅特殊平行四边形（矩形）的中点共圆；C对角线相等的四边形的中点四边形是菱形，仅特殊菱形（正方形）的中点共圆，均不满足“一定共圆”。
【答案】D
【知识点】四边形中点性质、四点共圆判定
【点评】本题考查中点四边形的性质与四点共圆的判定，需掌握中点四边形形状和原四边形对角线的关联，结合特殊四边形的共圆特征分析，属于中等难度的几何题。
【难度系数】0.5

6. 如图,点$O$为锐角三角形$ABC$的外心,四边形$OCDE$为正方形,其中点$E$在$△ ABC$的外部,则点$O$也是 ()

A.$△ AED$的外心
B.$△ AEB$的外心
C.$△ ACD$的外心
D.$△ BCD$的外心

6. B

【分析】要判断点O是哪个三角形的外心，需依据外心的核心性质：外心到三角形三个顶点的距离相等。已知O是△ABC的外心，可得到OA=OB=OC；再结合正方形的边相等性质，能推出OC=OE，进而得到OA=OB=OE，最终判断O到哪个三角形的三个顶点距离相等即可。
【解析】
∵点O为锐角三角形ABC的外心，
∴OA=OB=OC（外心到三角形三个顶点的距离相等）。
∵四边形OCDE为正方形，
∴OC=OE（正方形的四条边相等），
∴OA=OB=OE。
即点O到△AEB的三个顶点A、E、B的距离相等，
∴点O是△AEB的外心。
【答案】B
【知识点】三角形外心性质、正方形性质
【点评】本题结合三角形外心性质与正方形性质解题，关键是利用“外心到三顶点等距”和“正方形边相等”推导OA=OB=OE，从而确定O是△AEB的外心，属于中等难度的几何基础题。
【难度系数】0.5

7. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=10$,$BC=16$.
(1) 用无刻度的直尺和圆规,作$△ ABC$的外接圆$\odot O$.不写作法,保留作图痕迹
(2) 在(1)的条件下,求$\odot O$的半径.

7. (1) 解:如图1,$\odot O$即为所求;

(2) $\odot O$的半径为$\frac{25}{3}$.

【分析】
要解决本题，分为两个部分：(1) 作△ABC的外接圆，需明确三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，因此用尺规作AB、AC的垂直平分线，交点即为圆心O，再以O到顶点的距离为半径画圆即可；(2) 求外接圆半径时，利用等腰三角形三线合一的性质，确定外接圆圆心在BC的垂直平分线上，先计算BC边上的高，再通过勾股定理建立方程求解半径。
【解析】
(1) 作图：分别作AB、AC的垂直平分线，两线交于点O，以O为圆心，OA长为半径作圆，即为△ABC的外接圆$\odot O$，作图痕迹如图1所示。
(2) 解：过点A作$AD ⊥ BC$于点D，
$\because AB=AC$，$\therefore D$为$BC$中点，$BD=\frac{1}{2}BC=8$。
在$Rt△ ABD$中，$AB=10$，$BD=8$，
由勾股定理得：$AD=\sqrt{AB^2 - BD^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=\sqrt{36}=6$。
设$\odot O$的半径为$r$，连接$OC$，
$\because △ ABC$是等腰三角形，外接圆圆心$O$在$BC$的垂直平分线$AD$上，
$\therefore OD=AD - OA=6 - r$（$OA=r$）。
在$Rt△ ODC$中，由勾股定理得：$OC^2=OD^2 + DC^2$，
即$r^2=(6 - r)^2 + 8^2$，
展开得：$r^2=36 -12r + r^2 +64$，
化简得：$12r=100$，解得$r=\frac{25}{3}$。
【答案】
(1) 如图1，$\odot O$即为所求；(2) $\frac{25}{3}$
【知识点】
三角形外接圆、勾股定理、等腰三角形性质
【点评】
本题考查三角形外接圆的尺规作图及利用勾股定理求外接圆半径，关键是利用等腰三角形性质确定圆心位置，结合勾股定理建立方程求解，是中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5