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8. 如图,点$A$、$B$、$C$、$D$均在直线$l$上,点$P$在直线$l$外,则经过其中任意三个点,最多可画出圆的个数为 (
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
D
)A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
答案
8. D
解析
【分析】
要解决这个问题，需明确核心规则：不在同一直线上的三个点可以确定一个圆，而三点共线时无法确定圆。我们需要先列出从5个点（A、B、C、D、P）中任选3个点的所有组合，再排除其中三点共线的无效组合，剩余组合数就是最多可画圆的个数。
【解析】
1. 计算总组合数：从5个点中任选3个点，根据组合公式，总组合数为 $ C_{5}^{3} = \frac{5×4×3}{3×2×1} = 10 $ 种。
2. 排除共线组合：直线$ l $上有A、B、C、D四个点，任选3个点的共线组合为ABC、ABD、ACD、BCD，共 $ C_{4}^{3}=4 $ 种，这些三点共线无法确定圆。
3. 计算有效组合数：可确定圆的组合数为总组合数减去共线组合数，即 $ 10 - 4 = 6 $ 种，因此最多可画出6个圆。
【答案】
D
【知识点】
三点确定圆、组合计数
【点评】
本题考查三点确定圆的基础性质，解题关键是准确区分“三点共线”和“三点不共线”的情况，避免漏算或错算组合数，属于几何基础题，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需明确核心规则：不在同一直线上的三个点可以确定一个圆，而三点共线时无法确定圆。我们需要先列出从5个点（A、B、C、D、P）中任选3个点的所有组合，再排除其中三点共线的无效组合，剩余组合数就是最多可画圆的个数。
【解析】
1. 计算总组合数：从5个点中任选3个点，根据组合公式，总组合数为 $ C_{5}^{3} = \frac{5×4×3}{3×2×1} = 10 $ 种。
2. 排除共线组合：直线$ l $上有A、B、C、D四个点，任选3个点的共线组合为ABC、ABD、ACD、BCD，共 $ C_{4}^{3}=4 $ 种，这些三点共线无法确定圆。
3. 计算有效组合数：可确定圆的组合数为总组合数减去共线组合数，即 $ 10 - 4 = 6 $ 种，因此最多可画出6个圆。
【答案】
D
【知识点】
三点确定圆、组合计数
【点评】
本题考查三点确定圆的基础性质，解题关键是准确区分“三点共线”和“三点不共线”的情况，避免漏算或错算组合数，属于几何基础题，难度适中。
【难度系数】
0.6
9. [新考法·综合与实践]数学活动课上,同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径,小明的解决方案如下:在工件圆弧上任取两点$A$、$B$,连接$AB$,作$AB$的垂直平分线$CD$交$AB$于点$D$,交$\overset{\frown}{AB}$于点$C$,测出$AB=40\ \mathrm{cm}$,$CD=10\ \mathrm{cm}$,则圆形工件的半径为
25
$\mathrm{cm}$.答案
9. 25
解析
【分析】
要计算残缺圆形工件的半径，需结合垂径定理和勾股定理求解。首先，根据垂径定理，弦的垂直平分线必过圆心，因此AB的垂直平分线CD经过圆心；设半径为r，连接半径OA，可将问题转化为直角三角形的边长计算，再通过勾股定理列方程求解。
【解析】
设圆形工件的半径为$ r \, \mathrm{cm} $，圆心为$ O $，连接$ OA $。
因为$ CD $是$ AB $的垂直平分线，根据垂径定理，得$ AD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 40 = 20 \, \mathrm{cm} $，且圆心$ O $在$ CD $上，故$ OD = OC - CD = r - 10 \, \mathrm{cm} $（$ OC $为半径，长度为$ r $）。
在$ \mathrm{Rt}△ OAD $中，由勾股定理：$ OA^2 = AD^2 + OD^2 $，代入得：
$ r^2 = 20^2 + (r - 10)^2 $，
展开化简：$ r^2 = 400 + r^2 - 20r + 100 $，
消去$ r^2 $后解得：$ 20r = 500 $，即$ r = 25 $。
【答案】
25
【知识点】
垂径定理、勾股定理
【点评】
本题结合实际场景考查垂径定理与勾股定理的综合应用，核心是利用垂径定理构造直角三角形，通过设未知数列方程求解，体现了数形结合的解题思想，属于基础几何应用题型。
【难度系数】
0.3
要计算残缺圆形工件的半径，需结合垂径定理和勾股定理求解。首先，根据垂径定理，弦的垂直平分线必过圆心，因此AB的垂直平分线CD经过圆心；设半径为r，连接半径OA，可将问题转化为直角三角形的边长计算，再通过勾股定理列方程求解。
【解析】
设圆形工件的半径为$ r \, \mathrm{cm} $，圆心为$ O $，连接$ OA $。
因为$ CD $是$ AB $的垂直平分线，根据垂径定理，得$ AD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 40 = 20 \, \mathrm{cm} $，且圆心$ O $在$ CD $上，故$ OD = OC - CD = r - 10 \, \mathrm{cm} $（$ OC $为半径，长度为$ r $）。
在$ \mathrm{Rt}△ OAD $中，由勾股定理：$ OA^2 = AD^2 + OD^2 $，代入得：
$ r^2 = 20^2 + (r - 10)^2 $，
展开化简：$ r^2 = 400 + r^2 - 20r + 100 $，
消去$ r^2 $后解得：$ 20r = 500 $，即$ r = 25 $。
【答案】
25
【知识点】
垂径定理、勾股定理
【点评】
本题结合实际场景考查垂径定理与勾股定理的综合应用，核心是利用垂径定理构造直角三角形，通过设未知数列方程求解，体现了数形结合的解题思想，属于基础几何应用题型。
【难度系数】
0.3
10. [原创题]如图所示是由两个矩形组成的工件平面图,单位:mm,直线$l$是它的对称轴,能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是
50
mm.答案
10. 50
解析
【分析】
要找到完全覆盖该平面图形的最小圆，需利用图形的对称性：直线$l$是对称轴，因此最小覆盖圆的圆心必在直线$l$上。通过建立坐标系，设圆心到两矩形中间水平虚线的距离为$a$，分别表示出上方矩形右上角点和下方矩形右下角点的坐标，这两个点都在圆上，故它们到圆心的距离相等，据此列方程求解圆心位置，再用勾股定理计算半径。
【解析】
解：
∵图形关于直线$l$对称，
∴最小覆盖圆的圆心在直线$l$上。
设两矩形中间的水平虚线为$x$轴，直线$l$为$y$轴，圆心坐标为$(0,a)$。
上方矩形右上角点坐标为$(30,50)$，下方矩形右下角点坐标为$(40,-20)$，两点均在圆上，因此到圆心的距离相等，可得：
$30^2 + (50 - a)^2 = 40^2 + (-20 - a)^2$
展开计算：
$900 + 2500 - 100a + a^2 = 1600 + 400 + 40a + a^2$
消去$a^2$，整理得：
$3400 - 100a = 2000 + 40a$
$140a = 1400$
解得$a=10$。
将$a=10$代入半径公式，得：
$R = \sqrt{30^2 + (50 - 10)^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50\ \mathrm{mm}$
【答案】
50
【知识点】
圆的对称性；勾股定理；最小覆盖圆
【点评】
本题利用图形对称性确定圆心位置，结合勾股定理建立方程求解最小覆盖圆半径，关键是找到圆上的两个关键点，属于几何应用的常规题型，难度适中。
【难度系数】
0.5
要找到完全覆盖该平面图形的最小圆，需利用图形的对称性：直线$l$是对称轴，因此最小覆盖圆的圆心必在直线$l$上。通过建立坐标系，设圆心到两矩形中间水平虚线的距离为$a$，分别表示出上方矩形右上角点和下方矩形右下角点的坐标，这两个点都在圆上，故它们到圆心的距离相等，据此列方程求解圆心位置，再用勾股定理计算半径。
【解析】
解：
∵图形关于直线$l$对称，
∴最小覆盖圆的圆心在直线$l$上。
设两矩形中间的水平虚线为$x$轴，直线$l$为$y$轴，圆心坐标为$(0,a)$。
上方矩形右上角点坐标为$(30,50)$，下方矩形右下角点坐标为$(40,-20)$，两点均在圆上，因此到圆心的距离相等，可得：
$30^2 + (50 - a)^2 = 40^2 + (-20 - a)^2$
展开计算：
$900 + 2500 - 100a + a^2 = 1600 + 400 + 40a + a^2$
消去$a^2$，整理得：
$3400 - 100a = 2000 + 40a$
$140a = 1400$
解得$a=10$。
将$a=10$代入半径公式，得：
$R = \sqrt{30^2 + (50 - 10)^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50\ \mathrm{mm}$
【答案】
50
【知识点】
圆的对称性；勾股定理；最小覆盖圆
【点评】
本题利用图形对称性确定圆心位置，结合勾股定理建立方程求解最小覆盖圆半径，关键是找到圆上的两个关键点，属于几何应用的常规题型，难度适中。
【难度系数】
0.5
11. 如图,点$O$是$△ ABD$的外心,$∠ OBC=30°$,连接$DO$并延长,交$AB$于点$C$,连接$OA$.若$∠ AOC=36°$,求$∠ DOB$的度数.
答案
11. $∠ DOB=96°$.
解析
【分析】
首先明确三角形外心的性质：外心是三角形外接圆的圆心，到三个顶点距离相等，即OA=OB=OD，且圆心角的度数等于同弧所对圆周角的2倍。解题时，先利用DO延长线得到邻补角关系，再结合圆心角与圆周角的关系、等腰三角形性质逐步推导目标角度。
【解析】
1. 因为点O是△ABD的外心，所以OA=OB=OD，且圆心角∠DOA与同弧AD所对的圆周角∠ABD满足：∠DOA = 2∠ABD。
2. 由DO延长交AB于C，可知∠DOA与∠AOC是邻补角，因此∠DOA = 180° - ∠AOC = 180° - 36° = 144°。
3. 根据圆心角与圆周角的关系，∠ABD = ∠DOA ÷ 2 = 144° ÷ 2 = 72°。
4. 已知∠OBC=30°，即∠OBA=30°，所以∠OBD = ∠ABD - ∠OBA = 72° - 30° = 42°。
5. 在△ODB中，OD=OB，故△ODB为等腰三角形，∠ODB=∠OBD=42°，因此∠DOB = 180° - ∠ODB - ∠OBD = 180° - 42°×2 = 96°。
【答案】
96°
【知识点】
三角形外心性质、圆心角与圆周角关系、等腰三角形性质
【点评】
本题综合考查三角形外心的性质、圆心角与圆周角的关系及等腰三角形的性质，解题关键是利用外心的性质建立角度关系，逐步推导即可得出结果，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.4
首先明确三角形外心的性质：外心是三角形外接圆的圆心，到三个顶点距离相等，即OA=OB=OD，且圆心角的度数等于同弧所对圆周角的2倍。解题时，先利用DO延长线得到邻补角关系，再结合圆心角与圆周角的关系、等腰三角形性质逐步推导目标角度。
【解析】
1. 因为点O是△ABD的外心，所以OA=OB=OD，且圆心角∠DOA与同弧AD所对的圆周角∠ABD满足：∠DOA = 2∠ABD。
2. 由DO延长交AB于C，可知∠DOA与∠AOC是邻补角，因此∠DOA = 180° - ∠AOC = 180° - 36° = 144°。
3. 根据圆心角与圆周角的关系，∠ABD = ∠DOA ÷ 2 = 144° ÷ 2 = 72°。
4. 已知∠OBC=30°，即∠OBA=30°，所以∠OBD = ∠ABD - ∠OBA = 72° - 30° = 42°。
5. 在△ODB中，OD=OB，故△ODB为等腰三角形，∠ODB=∠OBD=42°，因此∠DOB = 180° - ∠ODB - ∠OBD = 180° - 42°×2 = 96°。
【答案】
96°
【知识点】
三角形外心性质、圆心角与圆周角关系、等腰三角形性质
【点评】
本题综合考查三角形外心的性质、圆心角与圆周角的关系及等腰三角形的性质，解题关键是利用外心的性质建立角度关系，逐步推导即可得出结果，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.4
12. 如图,$△ ABC$是直角三角形,$∠ ACB=90°$.
(1) 利用尺规按下列要求作图,并在图中标明相应的字母.保留作图痕迹,不写作法
①作$△ ABC$的外接圆$\odot O$;②以线段$AC$为一边,在$AC$的右侧作等边三角形$ACD$;③连接$BD$,交$\odot O$于点$E$,连接$AE$.
(2) 在(1)中所作的图中,若$AB=4$,$BC=2$,则线段$AE$的长为
(1) 利用尺规按下列要求作图,并在图中标明相应的字母.保留作图痕迹,不写作法
①作$△ ABC$的外接圆$\odot O$;②以线段$AC$为一边,在$AC$的右侧作等边三角形$ACD$;③连接$BD$,交$\odot O$于点$E$,连接$AE$.
(2) 在(1)中所作的图中,若$AB=4$,$BC=2$,则线段$AE$的长为
$\frac{4\sqrt{21}}{7}$
.答案
12. (1) 作图如图所示:
(2) $\frac{4\sqrt{21}}{7}$
解析
【分析】
要解决本题，首先利用直角三角形外接圆的性质确定AB为直径；接着通过勾股定理计算AC的长度，结合等边三角形性质得到AD的长度，再推导得出△ABD为直角三角形；最后利用圆周角定理得到AE⊥BD，通过直角三角形面积法计算AE的长度。
【解析】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，BC=2，由勾股定理得：
AC = √(AB² - BC²) = √(4² - 2²) = √12 = 2√3。
因为△ACD是等边三角形，所以AD=AC=2√3，∠CAD=60°。
在Rt△ABC中，cos∠BAC = AC/AB = 2√3/4 = √3/2，故∠BAC=30°，则∠BAD=∠BAC + ∠CAD=30°+60°=90°，即△ABD为直角三角形。
由勾股定理得BD=√(AB² + AD²)=√(4² + (2√3)²)=√(16+12)=√28=2√7。
因为AB是△ABC外接圆⊙O的直径，根据圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，所以∠AEB=90°，即AE⊥BD。
根据直角三角形面积公式，S△ABD = 1/2·AB·AD = 1/2·BD·AE，因此：
AE = (AB·AD)/BD = (4×2√3)/(2√7) = 4√3/√7 = 4√21/7。
【答案】
$\frac{4\sqrt{21}}{7}$
【知识点】
直角三角形外接圆、等边三角形性质、圆周角定理
【点评】
本题结合尺规作图，综合考查直角三角形、等边三角形、圆的相关性质，需要熟练运用勾股定理、圆周角定理及面积法求解线段长度，对几何知识的综合应用能力要求较高。
【难度系数】
0.5
要解决本题，首先利用直角三角形外接圆的性质确定AB为直径；接着通过勾股定理计算AC的长度，结合等边三角形性质得到AD的长度，再推导得出△ABD为直角三角形；最后利用圆周角定理得到AE⊥BD，通过直角三角形面积法计算AE的长度。
【解析】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，BC=2，由勾股定理得：
AC = √(AB² - BC²) = √(4² - 2²) = √12 = 2√3。
因为△ACD是等边三角形，所以AD=AC=2√3，∠CAD=60°。
在Rt△ABC中，cos∠BAC = AC/AB = 2√3/4 = √3/2，故∠BAC=30°，则∠BAD=∠BAC + ∠CAD=30°+60°=90°，即△ABD为直角三角形。
由勾股定理得BD=√(AB² + AD²)=√(4² + (2√3)²)=√(16+12)=√28=2√7。
因为AB是△ABC外接圆⊙O的直径，根据圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，所以∠AEB=90°，即AE⊥BD。
根据直角三角形面积公式，S△ABD = 1/2·AB·AD = 1/2·BD·AE，因此：
AE = (AB·AD)/BD = (4×2√3)/(2√7) = 4√3/√7 = 4√21/7。
【答案】
$\frac{4\sqrt{21}}{7}$
【知识点】
直角三角形外接圆、等边三角形性质、圆周角定理
【点评】
本题结合尺规作图，综合考查直角三角形、等边三角形、圆的相关性质，需要熟练运用勾股定理、圆周角定理及面积法求解线段长度，对几何知识的综合应用能力要求较高。
【难度系数】
0.5
