1. 如图,$AB=AC=AD$,$∠ CBD=2∠ BDC$,$∠ BAC=44°$,则$∠ CAD$的度数为.

(第1题)
(第2题)
(第3题)

1. $88°$

【分析】首先，由AB=AC=AD可知点B、C、D在以A为圆心的同一个圆上，利用圆周角定理，将圆周角∠CBD、∠BDC转化为对应的圆心角∠CAD、∠BAC，再结合已知∠CBD=2∠BDC的关系，建立∠CAD与∠BAC的数量关系，进而求出∠CAD的度数。
【解析】因为AB=AC=AD，所以点B、C、D在以点A为圆心，AB长为半径的圆上。根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得：
∠CBD是弧CD所对的圆周角，对应圆心角为∠CAD，故∠CBD = $\frac{1}{2}$∠CAD；
∠BDC是弧BC所对的圆周角，对应圆心角为∠BAC，故∠BDC = $\frac{1}{2}$∠BAC。
已知∠CBD=2∠BDC，将上述两式代入得：
$\frac{1}{2}$∠CAD = 2×$\frac{1}{2}$∠BAC，化简得$\frac{1}{2}$∠CAD = ∠BAC，即∠CAD=2∠BAC。
又因为∠BAC=44°，所以∠CAD=2×44°=88°。
【答案】88°
【知识点】圆周角定理，圆的基本概念
【点评】本题核心是利用“到定点距离相等的点共圆”确定辅助圆，再结合圆周角定理转化角的关系，是圆周角定理的典型应用，需掌握圆心角与圆周角的对应关系。
【难度系数】0.5

2. 如图,$O$为线段$BC$的中点,点$A$、$C$、$D$到点$O$的距离相等.若$∠ ABC=30°$,则$∠ ADC=$°.

2. 150

【分析】
要解决本题，首先根据题目给出的线段中点和点到点的距离相等的条件，判断出A、B、C、D四点共圆；再利用圆内接四边形的性质（对角互补），结合已知的∠ABC的度数，即可计算出∠ADC的度数。
【解析】
∵ O为线段BC的中点，
∴ OB=OC。
又
∵ 点A、C、D到点O的距离相等，
∴ OA=OB=OC=OD，
∴ A、B、C、D四点在以O为圆心，OA为半径的圆上，即四边形ABCD是圆内接四边形。
根据圆内接四边形的性质：对角互补，可得∠ABC + ∠ADC = 180°。
已知∠ABC=30°，代入计算得：∠ADC = 180° - 30° = 150°。
【答案】
150
【知识点】
圆内接四边形的性质
【点评】
本题通过线段相等关系判断四点共圆，再利用圆内接四边形的性质求解，属于几何基础题，重点考查学生对圆内接四边形性质的应用能力。
【难度系数】
0.5

3. 如图,在等边三角形$ABC$中,$AB=4$,$D$是$AB$的中点,$E$是线段$BC$上的动点,将$△ BDE$沿$DE$所在直线折叠得到$△ B'DE$,连接$B'C$,则$B'C$长的最小值是.

3. $2\sqrt{3}-2$

【分析】
要解决这个问题，首先利用折叠的性质确定点B'的运动轨迹：将△BDE沿DE折叠得到△B'DE，故DB'=DB，结合D是AB中点的条件可确定DB'的长度，进而明确点B'的轨迹是以D为圆心的圆。再将求B'C的最小值转化为圆外一点到圆上点的最短距离问题，即点到圆心的距离减去半径，最后结合等边三角形的性质计算相关线段长度即可。
【解析】
1. 确定点B'的轨迹：由折叠的性质可知，折叠前后对应线段相等，因此DB' = DB。已知AB=4，D是AB中点，故DB = $\frac{1}{2}AB = 2$，即DB' = 2，所以点B'在以D为圆心、2为半径的圆上。
2. 计算CD的长度：在等边△ABC中，AB=AC=4，D是AB中点，故AD=2。CD是等边三角形的高，根据勾股定理：
$CD = \sqrt{AC^2 - AD^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$。
3. 求B'C的最小值：点C在圆D外，圆外一点到圆上点的最短距离为该点到圆心的距离减去半径，因此：
$B'C_{最小} = CD - DB' = 2\sqrt{3} - 2$。
【答案】
$2\sqrt{3} - 2$
【知识点】
等边三角形性质、折叠的性质、圆的最短距离
【点评】
本题将折叠性质与几何最值问题结合，核心是通过折叠确定动点轨迹，再利用圆的最短距离规律求解，需要学生具备转化思想，属于典型的几何最值题型。
【难度系数】
0.5

4. 如图,直尺宽度为2 cm,$A$、$B$两点在直尺一边上,$AB=8$ cm,$C$、$D$两点在直尺另一边上.若$∠ ACB=∠ ADB=90°$,则$C$、$D$两点之间的距离为 cm.

(第4题)
(第5题)
(第6题)

4. $4\sqrt{3}$

【分析】
首先根据直尺的性质可知，直尺的两边平行，因此AB//CD，且AB与CD间的距离（即直尺宽度）为2cm，AC⊥CD，故AC=2cm；再由∠ACB=∠ADB=90°，依据圆周角定理可判断A、B、C、D四点共圆，且AB为该圆的直径，最后利用圆的弦长公式即可求出CD的长度。
【解析】
1. 由题意得：AB//CD，AB与CD间的距离为2cm，AC⊥CD，AC=2cm，AB=8cm；
2. 因为∠ACB=∠ADB=90°，所以A、B、C、D四点在以AB为直径的圆上，该圆的半径r=AB/2=4cm；
3. 圆心为AB的中点，圆心到CD的距离等于AB与CD间的距离，即d=2cm；
4. 根据圆的弦长公式：弦长=2√(r² - d²)，代入数值计算：
CD=2√(4² - 2²)=2√(16-4)=2√12=4√3 (cm)。
【答案】
4√3
【知识点】
圆周角定理、圆的弦长计算、平行线间距离
【点评】
本题结合直尺的几何特征，通过圆周角定理确定四点共圆，再利用弦长公式求解，需要掌握圆的相关性质，综合性较强，是几何知识的综合应用。
【难度系数】
0.5

5. 如图,在等腰三角形$ABC$中,$∠ ACB=120°$且$AC=BC=4$,在平面内任作$∠ APB=60°$,则$BP$长的最大值为.

5. 8

【分析】
先利用等腰三角形ABC的条件，通过余弦定理计算AB的长度；再根据圆周角定理确定点P的轨迹为圆，结合正弦定理求出该圆的直径，进而得到BP的最大值。
【解析】
1. 计算AB的长度：在等腰△ABC中，AC=BC=4，∠ACB=120°，由余弦定理：
$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2· AC· BC· \cos∠ ACB = 4^2 + 4^2 - 2×4×4×(-\frac{1}{2}) = 32 + 16 = 48$，故$AB=4\sqrt{3}$。
2. 分析点P的轨迹：因为∠APB=60°，AB为定弦，根据圆周角定理，点P在以AB为弦的圆上（该圆中AB所对的圆周角为60°）。
3. 求BP的最大值：在圆中，弦长最大值为直径。对△APB应用正弦定理：$\frac{AB}{\sin∠ APB}=2R$（R为圆的半径），代入$AB=4\sqrt{3}$，$∠ APB=60°$，得$2R=\frac{4\sqrt{3}}{\sin60°}=\frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=8$，即圆的直径为8，因此BP的最大值为8。
【答案】
8
【知识点】
余弦定理、圆周角定理、正弦定理
【点评】
本题结合等腰三角形性质，利用圆的轨迹和正弦定理求解线段最大值，关键是确定点P的轨迹为圆，找到最长弦（直径），考查几何综合分析能力。
【难度系数】
0.5

6. 如图,$AB⊥ BC$,$AB=5$,$E$、$F$分别是线段$AB$、射线$BC$上的动点,以$EF$为斜边向上作等腰直角三角形$DEF$,$∠ EDF=90°$,连接$AD$,则$AD$长的最小值为.

6. $\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$

【分析】要找到AD的最小值，需先确定动点D的运动轨迹。利用等腰直角三角形的性质，通过坐标法推导点D的坐标，发现点D在定直线上，此时AD的最小值转化为点A到该定直线的距离，这是解题的核心思路。
【解析】设B为坐标原点$(0,0)$，$A(-5,0)$，$C(0,5)$，满足$AB⊥BC$。设$E(e,0)$（$e∈[-5,0]$），$F(0,f)$（$f≥0$）。
因为$△ DEF$是等腰直角三角形，$∠ EDF=90°$，根据等腰直角三角形直角顶点的坐标关系，可得：
向量$\overrightarrow{DE}=(e-x_D,0-y_D)$，向量$\overrightarrow{DF}=(0-x_F,f-y_F)$，由$\overrightarrow{DF}$是$\overrightarrow{DE}$旋转90°所得，推导得点D的坐标为：
$x_D=\frac{e-f}{2}$，$y_D=\frac{f-e}{2}$，
因此$y_D=-x_D$，即点D在直线$x+y=0$上。
根据点到直线的距离公式，点$A(-5,0)$到直线$x+y=0$的距离为：
$d=\frac{|-5+0|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{5}{\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$，此即为AD的最小值。
【答案】$\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$
【知识点】等腰直角三角形性质、点到直线的距离、坐标法
【点评】本题通过坐标法确定动点D的轨迹，将线段最小值问题转化为点到直线的距离问题，关键在于利用等腰直角三角形的坐标关系推导轨迹，体现了数形结合的思想，对学生的几何转化能力有一定要求。
【难度系数】0.4

7. 如图,在矩形$ABCD$中,$AB=10$,$AD=12$,$P$为矩形内一点,$∠ APB=90°$,连接$PD$,则$PD$长的最小值为.

(第7题)
(第8题)
(第9题)

7. 8

【分析】
要找到PD的最小值，首先根据∠APB=90°，利用“直角所对的弦为直径”确定点P的轨迹：以AB为直径的圆；再将PD的最小值转化为点D到该圆上点的最短距离，即点D到圆心的距离减去圆的半径。
【解析】
设AB的中点为O，因为∠APB=90°，所以点P在以AB为直径的圆上，该圆的圆心为O，半径r=AB/2=10/2=5。
建立平面直角坐标系，令A(0,0)，B(10,0)，D(0,12)，则AB中点O的坐标为(5,0)。
计算点D到圆心O的距离：$OD=\sqrt{(5-0)^2+(0-12)^2}=\sqrt{25+144}=13$。
根据圆外一点到圆上点的最短距离公式，PD的最小值为$OD - r=13-5=8$。
【答案】
8
【知识点】
矩形性质、圆的性质、最短距离
【点评】
本题结合矩形与圆的性质，核心是利用直角确定点P的轨迹，再通过点到圆的最短距离求解，是几何最值的典型题型，需掌握轨迹判断的方法。
【难度系数】
0.5

8. 如图,在矩形$ABCD$中,$AB=8$,$AD=4$,$E$是矩形$ABCD$内部一动点,且$∠ BEC=90°$,$P$是$AB$边上一动点,连接$PD$、$PE$,则$PD+PE$的最小值为.

8. 8

【分析】
要解决$PD+PE$的最小值问题，需分两步分析：①确定动点$E$的轨迹：因$∠ BEC=90°$，根据圆周角定理，$E$在以$BC$为直径的圆上，圆心为$BC$中点$O$，半径为$BC/2$；②转化$PD+PE$：$PE$的最小值为点$P$到圆心$O$的距离减去圆的半径，因此$PD+PE$可转化为$PD + PO - r$，只需最小化$PD+PO$即可。利用对称法，作$D$关于$AB$的对称点$D'$，则$PD=PD'$，$PD+PO$的最小值为$D'$到$O$的线段长度，代入计算后减去半径即为所求。
【解析】
建立平面直角坐标系，设$D(0,0)$，$A(0,4)$，$B(8,4)$，$C(8,0)$，则$BC$中点$O(8,2)$，圆$O$半径$r=\frac{BC}{2}=2$。
1. 作$D$关于直线$AB$（$y=4$）的对称点$D'(0,8)$，由对称性质得：对$AB$上任意点$P$，$PD=PD'$，故$PD+PO=PD'+PO$。
2. 根据“两点之间线段最短”，$PD'+PO$的最小值为线段$D'O$的长度，计算得：
$D'O=\sqrt{(8-0)^2+(2-8)^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$。
3. 因$PE$的最小值为$PO - r$，故$PD+PE$的最小值为$10 - 2=8$。
【答案】
8
【知识点】
矩形性质、圆的轨迹、最短路径（对称法）
【点评】
本题结合矩形与圆的性质，通过对称法将动态线段和转化为两点间的距离，是几何最值问题的典型题型，需掌握动点轨迹判断和对称转化的技巧。
【难度系数】
0.5

9. 如图,正方形$ABCD$的边长为4,$E$为正方形外一动点,$∠ AED=45°$,$AP=1$,则线段$PE$的最大值为.

9. $\sqrt{13}+2\sqrt{2}$

【分析】要解决本题，需先确定动点E的轨迹：已知∠AED=45°，AD为定长线段，根据圆周角定理，定弦定角的动点轨迹是圆，据此求出E所在圆的圆心和半径；再利用圆上一点到定点的最大距离等于该定点到圆心的距离加半径，计算PE的最大值。
【解析】设正方形ABCD的坐标为：A(0,4)，B(0,0)，C(4,0)，D(4,4)。由AP=1，得P点坐标为(0,3)。
因为∠AED=45°，根据圆周角定理：定弦AD对应的圆周角为45°，则其对应的圆心角为90°，故点E的轨迹是圆，圆心O在AD的垂直平分线（直线x=2）上。设圆心O(2,y₀)，半径为r，由OA=OD=r，且∠AOD=90°，得：
OA² + OD² = AD² → 2r²=4²=16 → r=2√2；
又OA=√[(2-0)² + (y₀-4)²]=2√2，代入得：4 + (y₀-4)²=8 → (y₀-4)²=4 → y₀=6或y₀=2。
因E是正方形外的动点，故取y₀=6，即圆心O(2,6)，半径r=2√2。
计算P(0,3)到O(2,6)的距离：PO=√[(2-0)² + (6-3)²]=√(4+9)=√13。
圆上一点E到P的最大距离为PO + r=√13 + 2√2，即PE的最大值为√13 + 2√2。
【答案】√13 + 2√2
【知识点】圆周角定理，圆的轨迹，正方形性质
【点评】本题结合正方形与圆的轨迹，利用定弦定角确定动点位置，核心是掌握圆上点到定点的最大距离的求法，需具备几何建模能力。
【难度系数】0.4