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24.甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙离开A城的距离y(单位:km)与甲车行驶的时间t(单位:h)之间的函数关系如图所示，根据图象信息解答下列问题：
(1)甲车的速度是
(2)乙车用了
(3)乙车出发后多少小时追上甲车?
(4)甲车出发多少小时,两车相距50 km?
(1)甲车的速度是
60
km/h.(2)乙车用了
3
h到达B城.(3)乙车出发后多少小时追上甲车?
(4)甲车出发多少小时,两车相距50 km?
答案
24.(1)60
(2)3
(3)乙车的速度为:$300÷3=100(\mathrm{km/h})$，
设乙车出发后$x$ h追上甲车，根据题意得:
$100x=60(x+1)$，
解得$x=1.5$，
∴乙车出发后1.5 h追上甲车。
(4)设甲车出发$y$ h，两车相距50 km，根据题意得:
$60x=50$ 或 $60x-100(x-1)=50$ 或 $100(x-1)-60x=50$ 或 $60x=300-50$，解得$x=\frac{5}{6}$或1.25或3.75或$\frac{25}{6}$。
∴甲车出发$\frac{5}{6}$ h、1.25 h、3.75 h或$\frac{25}{6}$ h时，甲、乙两车相距50 km。
(2)3
(3)乙车的速度为:$300÷3=100(\mathrm{km/h})$，
设乙车出发后$x$ h追上甲车，根据题意得:
$100x=60(x+1)$，
解得$x=1.5$，
∴乙车出发后1.5 h追上甲车。
(4)设甲车出发$y$ h，两车相距50 km，根据题意得:
$60x=50$ 或 $60x-100(x-1)=50$ 或 $100(x-1)-60x=50$ 或 $60x=300-50$，解得$x=\frac{5}{6}$或1.25或3.75或$\frac{25}{6}$。
∴甲车出发$\frac{5}{6}$ h、1.25 h、3.75 h或$\frac{25}{6}$ h时，甲、乙两车相距50 km。
解析
【分析】
解题思路如下：
1. 求甲车速度：从图像可知甲车5小时行驶300km，根据速度=路程÷时间直接计算即可。
2. 求乙车行驶时间：乙车在甲车出发1小时后出发，甲车出发4小时时乙到达B城，用到达时间减去出发时间即可得到乙的行驶时长。
3. 求乙车追上甲车的时间：先算出乙车的速度，追及问题中两车路程相等时追上，设乙出发x小时追上，分别表示出此时甲乙的路程列方程求解。
4. 求两车相距50km时甲车的行驶时间：需分4种情况讨论：①乙车还未出发，甲单独行驶的路程为50km；②乙车出发后还未追上甲车，甲的路程比乙多50km；③乙车追上甲车后还未到达B城，乙的路程比甲多50km；④乙车到达B城后，甲还未到，距离B城还有50km。分别对每种情况列方程求解，验证解是否符合对应时间段即可。
【解析】
(1) 由图像可知，甲车5h行驶的路程为300km，
甲车的速度为 $ 300÷5=60\,\mathrm{km/h} $。
(2) 乙车在甲车出发1h后出发，甲车出发4h时乙车到达B城，
乙车行驶时间为 $ 4-1=3\,\mathrm{h} $。
(3) 先计算乙车的速度：$ 300÷3=100\,\mathrm{km/h} $，
设乙车出发后$ x $ h追上甲车，此时甲车已行驶$ (x+1)\, \mathrm{h} $，追上时两车路程相等，列方程：
$ 100x=60(x+1) $
展开得 $ 100x=60x+60 $，
移项合并得 $ 40x=60 $，
解得 $ x=1.5 $。
(4) 设甲车出发$ y $ h时，两车相距50km，分4种情况讨论：
① 当$ 0≤ y＜1 $时，乙车未出发，仅甲行驶：
$ 60y=50 $，解得 $ y=\frac{5}{6} $，符合取值范围；
② 当$ 1≤ y＜2.5 $时（2.5h为乙追上甲的时间：1+1.5=2.5），乙已出发但未追上甲，甲路程比乙多50km：
$ 60y - 100(y-1)=50 $，
展开得 $ 60y-100y+100=50 $，
解得 $ y=1.25 $，符合取值范围；
③ 当$ 2.5≤ y＜4 $时，乙追上甲且未到B城，乙路程比甲多50km：
$ 100(y-1)-60y=50 $，
展开得 $ 100y-100-60y=50 $，
解得 $ y=3.75 $，符合取值范围；
④ 当$ 4≤ y≤5 $时，乙已到B城，甲距B城50km：
$ 300-60y=50 $，
解得 $ y=\frac{25}{6} $，符合取值范围。
【答案】
(1) 60
(2) 3
(3) 乙车出发后1.5 h追上甲车。
(4) 甲车出发$\frac{5}{6}$ h、1.25 h、3.75 h或$\frac{25}{6}$ h时，两车相距50 km。
【知识点】
一次函数的应用、行程问题、一元一次方程的应用
【点评】
本题结合函数图像考查行程问题，重点在于读懂图像中各拐点的实际含义，解决相距问题时要注意分类讨论不同的行驶阶段，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：
1. 求甲车速度：从图像可知甲车5小时行驶300km，根据速度=路程÷时间直接计算即可。
2. 求乙车行驶时间：乙车在甲车出发1小时后出发，甲车出发4小时时乙到达B城，用到达时间减去出发时间即可得到乙的行驶时长。
3. 求乙车追上甲车的时间：先算出乙车的速度，追及问题中两车路程相等时追上，设乙出发x小时追上，分别表示出此时甲乙的路程列方程求解。
4. 求两车相距50km时甲车的行驶时间：需分4种情况讨论：①乙车还未出发，甲单独行驶的路程为50km；②乙车出发后还未追上甲车，甲的路程比乙多50km；③乙车追上甲车后还未到达B城，乙的路程比甲多50km；④乙车到达B城后，甲还未到，距离B城还有50km。分别对每种情况列方程求解，验证解是否符合对应时间段即可。
【解析】
(1) 由图像可知，甲车5h行驶的路程为300km，
甲车的速度为 $ 300÷5=60\,\mathrm{km/h} $。
(2) 乙车在甲车出发1h后出发，甲车出发4h时乙车到达B城，
乙车行驶时间为 $ 4-1=3\,\mathrm{h} $。
(3) 先计算乙车的速度：$ 300÷3=100\,\mathrm{km/h} $，
设乙车出发后$ x $ h追上甲车，此时甲车已行驶$ (x+1)\, \mathrm{h} $，追上时两车路程相等，列方程：
$ 100x=60(x+1) $
展开得 $ 100x=60x+60 $，
移项合并得 $ 40x=60 $，
解得 $ x=1.5 $。
(4) 设甲车出发$ y $ h时，两车相距50km，分4种情况讨论：
① 当$ 0≤ y＜1 $时，乙车未出发，仅甲行驶：
$ 60y=50 $，解得 $ y=\frac{5}{6} $，符合取值范围；
② 当$ 1≤ y＜2.5 $时（2.5h为乙追上甲的时间：1+1.5=2.5），乙已出发但未追上甲，甲路程比乙多50km：
$ 60y - 100(y-1)=50 $，
展开得 $ 60y-100y+100=50 $，
解得 $ y=1.25 $，符合取值范围；
③ 当$ 2.5≤ y＜4 $时，乙追上甲且未到B城，乙路程比甲多50km：
$ 100(y-1)-60y=50 $，
展开得 $ 100y-100-60y=50 $，
解得 $ y=3.75 $，符合取值范围；
④ 当$ 4≤ y≤5 $时，乙已到B城，甲距B城50km：
$ 300-60y=50 $，
解得 $ y=\frac{25}{6} $，符合取值范围。
【答案】
(1) 60
(2) 3
(3) 乙车出发后1.5 h追上甲车。
(4) 甲车出发$\frac{5}{6}$ h、1.25 h、3.75 h或$\frac{25}{6}$ h时，两车相距50 km。
【知识点】
一次函数的应用、行程问题、一元一次方程的应用
【点评】
本题结合函数图像考查行程问题，重点在于读懂图像中各拐点的实际含义，解决相距问题时要注意分类讨论不同的行驶阶段，避免漏解。
【难度系数】
0.6
25.某商场销售10台A型电脑和20台B型电脑的利润为4 000元，销售20台A型电脑和10台B型电脑的利润为3 500元.
(1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润分别是多少元；
(2)该商场计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍.设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元，求y与x的函数解析式.
(1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润分别是多少元；
(2)该商场计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍.设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元，求y与x的函数解析式.
答案
25.(1)设每台A型电脑和B型电脑的销售利润分别是$m$元，$n$元。
由题意，得$\begin{cases}10m+20n=4000,\\20m+10n=3500,\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=100,\\n=150.\end{cases}$
∴每台A型电脑的销售利润是100元，每台B型电脑的销售利润是150元。
(2)$y=100x+150(100-x)=-50x+15\ 000(34≤ x≤100)$。
由题意，得$\begin{cases}10m+20n=4000,\\20m+10n=3500,\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=100,\\n=150.\end{cases}$
∴每台A型电脑的销售利润是100元，每台B型电脑的销售利润是150元。
(2)$y=100x+150(100-x)=-50x+15\ 000(34≤ x≤100)$。
解析
【分析】
(1) 本题包含两个未知量：每台A型、B型电脑的销售利润，同时对应两个明确的等量关系：①销售10台A型电脑加20台B型电脑的总利润为4000元；②销售20台A型电脑加10台B型电脑的总利润为3500元。我们可以通过设两个未知数，列二元一次方程组求解，即可得到两种电脑的单台销售利润。
(2) 销售总利润等于A型电脑总利润加B型电脑总利润，已知购进A型电脑x台，那么B型电脑的进货量就是(100-x)台，结合第一问求出的单台利润即可写出y与x的关系式；再根据“B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍”列不等式求出x的取值范围，同时注意x代表电脑台数，需为正整数，最终确定函数的自变量取值范围即可。
【解析】
(1) 设每台A型电脑的销售利润为$m$元，每台B型电脑的销售利润为$n$元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}10m+20n=4000\\20m+10n=3500\end{cases}$
化简第一个方程得$m+2n=400$，即$m=400-2n$，将其代入第二个方程：
$20(400-2n)+10n=3500$
解得$n=150$，再代入$m=400-2n$得$m=100$。
即方程组的解为$\begin{cases}m=100\\n=150\end{cases}$。
(2) 购进A型电脑$x$台，则购进B型电脑$(100-x)$台，总利润$y$的表达式为：
$y=100x+150(100-x)$
化简得$y=-50x+15000$。
根据限制条件$100-x≤2x$，解不等式得$x≥\frac{100}{3}\approx33.33$，由于$x$为正整数，且$x≤100$，因此$x$的取值范围为$34≤ x≤100$。
【答案】
(1) 每台A型电脑的销售利润是100元，每台B型电脑的销售利润是150元；
(2) $y=-50x+15000(34≤ x≤100)$
【知识点】
二元一次方程组应用，一次函数解析式求解，一元一次不等式应用
【点评】
本题是常见的销售类实际应用题，解题核心是找准等量关系列方程组求解基础未知量，再结合限制条件确定自变量的取值范围，需注意自变量的取值要符合实际意义，整体逻辑清晰，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
(1) 本题包含两个未知量：每台A型、B型电脑的销售利润，同时对应两个明确的等量关系：①销售10台A型电脑加20台B型电脑的总利润为4000元；②销售20台A型电脑加10台B型电脑的总利润为3500元。我们可以通过设两个未知数，列二元一次方程组求解，即可得到两种电脑的单台销售利润。
(2) 销售总利润等于A型电脑总利润加B型电脑总利润，已知购进A型电脑x台，那么B型电脑的进货量就是(100-x)台，结合第一问求出的单台利润即可写出y与x的关系式；再根据“B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍”列不等式求出x的取值范围，同时注意x代表电脑台数，需为正整数，最终确定函数的自变量取值范围即可。
【解析】
(1) 设每台A型电脑的销售利润为$m$元，每台B型电脑的销售利润为$n$元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}10m+20n=4000\\20m+10n=3500\end{cases}$
化简第一个方程得$m+2n=400$，即$m=400-2n$，将其代入第二个方程：
$20(400-2n)+10n=3500$
解得$n=150$，再代入$m=400-2n$得$m=100$。
即方程组的解为$\begin{cases}m=100\\n=150\end{cases}$。
(2) 购进A型电脑$x$台，则购进B型电脑$(100-x)$台，总利润$y$的表达式为：
$y=100x+150(100-x)$
化简得$y=-50x+15000$。
根据限制条件$100-x≤2x$，解不等式得$x≥\frac{100}{3}\approx33.33$，由于$x$为正整数，且$x≤100$，因此$x$的取值范围为$34≤ x≤100$。
【答案】
(1) 每台A型电脑的销售利润是100元，每台B型电脑的销售利润是150元；
(2) $y=-50x+15000(34≤ x≤100)$
【知识点】
二元一次方程组应用，一次函数解析式求解，一元一次不等式应用
【点评】
本题是常见的销售类实际应用题，解题核心是找准等量关系列方程组求解基础未知量，再结合限制条件确定自变量的取值范围，需注意自变量的取值要符合实际意义，整体逻辑清晰，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
