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21. 某市决定在一块面积为$1100\ \mathrm{m}^2$的正方形空地上建一个足球场以供全民健身.已知足球场的面积为$540\ \mathrm{m}^2$,其中长是宽的$\frac{5}{3}$倍,足球场的四周必须留出$1\ \mathrm{m}$宽的空地,这块空地能否成功建一个符合规定的足球场？
答案
解：设足球场的宽为$ x \, \mathrm{m} $，则长为$ \frac{5}{3}x \, \mathrm{m} $。
根据题意列方程：
$x · \frac{5}{3}x = 540$
整理得：
$x^2 = 324$
因为$ x＞0 $，所以$ x = \sqrt{324} = 18 $，
足球场的长为$ \frac{5}{3} × 18 = 30 \, \mathrm{m} $。
足球场四周留出1m宽空地后，横向总长度为$ 30 + 2×1 = 32 \, \mathrm{m} $，纵向总宽度为$ 18 + 2×1 = 20 \, \mathrm{m} $。
面积为$ 1100 \, \mathrm{m}^2 $的正方形空地的边长为$ \sqrt{1100} \, \mathrm{m} $，
由$ 33^2 = 1089 $，$ 34^2 = 1156 $，可得$ 33 ＜ \sqrt{1100} ＜ 34 $，即$ \sqrt{1100} ＞ 32 $。
因此正方形空地的边长大于所需的32m，满足建设要求。
答：这块空地能成功建一个符合规定的足球场。
根据题意列方程：
$x · \frac{5}{3}x = 540$
整理得：
$x^2 = 324$
因为$ x＞0 $，所以$ x = \sqrt{324} = 18 $，
足球场的长为$ \frac{5}{3} × 18 = 30 \, \mathrm{m} $。
足球场四周留出1m宽空地后，横向总长度为$ 30 + 2×1 = 32 \, \mathrm{m} $，纵向总宽度为$ 18 + 2×1 = 20 \, \mathrm{m} $。
面积为$ 1100 \, \mathrm{m}^2 $的正方形空地的边长为$ \sqrt{1100} \, \mathrm{m} $，
由$ 33^2 = 1089 $，$ 34^2 = 1156 $，可得$ 33 ＜ \sqrt{1100} ＜ 34 $，即$ \sqrt{1100} ＞ 32 $。
因此正方形空地的边长大于所需的32m，满足建设要求。
答：这块空地能成功建一个符合规定的足球场。
解析
【分析】
要判断能否建成符合规定的足球场，核心是比较“足球场加四周1m空地后的总长度”与“正方形空地的边长”的大小。解题思路如下：第一步，根据足球场的面积和长宽关系，设未知数列方程求出足球场的长和宽；第二步，计算加上四周1m空地后需要的总长度和总宽度；第三步，求出正方形空地的边长，比较边长和所需的最大总长度的大小，若空地边长更大则可以建成。
【解析】
解：设足球场的宽为$ x \, \mathrm{m} $，则长为$ \frac{5}{3}x \, \mathrm{m} $。
根据足球场面积为$540\ \mathrm{m}^2$，列方程：
$x · \frac{5}{3}x = 540$
整理得：
$x^2 = 324$
因为$ x＞0 $，所以$ x = \sqrt{324} = 18 $，
则足球场的长为$ \frac{5}{3} × 18 = 30 \, \mathrm{m} $。
因为四周要留出1m宽的空地，所以所需的总长度为$ 30 + 2×1 = 32 \, \mathrm{m} $，总宽度为$ 18 + 2×1 = 20 \, \mathrm{m} $。
面积为$ 1100 \, \mathrm{m}^2 $的正方形空地的边长为$ \sqrt{1100} \, \mathrm{m} $，
由$ 33^2 = 1089 $，$ 34^2 = 1156 $，可得$ 33 ＜ \sqrt{1100} ＜ 34 $，即$ \sqrt{1100} ＞ 32 $。
因此正方形空地的边长大于所需的最大长度32m，满足建设要求。
【答案】
这块空地能成功建一个符合规定的足球场。
【知识点】
列方程解应用题，算术平方根的应用，实数大小比较
【点评】
本题结合实际建设场景，考查运用方程和平方根知识解决实际问题的能力，解题的易错点是容易忽略四周都留1m空地，长和宽都需要加2m，而不是只加1m，找准比较的两个量是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要判断能否建成符合规定的足球场，核心是比较“足球场加四周1m空地后的总长度”与“正方形空地的边长”的大小。解题思路如下：第一步，根据足球场的面积和长宽关系，设未知数列方程求出足球场的长和宽；第二步，计算加上四周1m空地后需要的总长度和总宽度；第三步，求出正方形空地的边长，比较边长和所需的最大总长度的大小，若空地边长更大则可以建成。
【解析】
解：设足球场的宽为$ x \, \mathrm{m} $，则长为$ \frac{5}{3}x \, \mathrm{m} $。
根据足球场面积为$540\ \mathrm{m}^2$，列方程：
$x · \frac{5}{3}x = 540$
整理得：
$x^2 = 324$
因为$ x＞0 $，所以$ x = \sqrt{324} = 18 $，
则足球场的长为$ \frac{5}{3} × 18 = 30 \, \mathrm{m} $。
因为四周要留出1m宽的空地，所以所需的总长度为$ 30 + 2×1 = 32 \, \mathrm{m} $，总宽度为$ 18 + 2×1 = 20 \, \mathrm{m} $。
面积为$ 1100 \, \mathrm{m}^2 $的正方形空地的边长为$ \sqrt{1100} \, \mathrm{m} $，
由$ 33^2 = 1089 $，$ 34^2 = 1156 $，可得$ 33 ＜ \sqrt{1100} ＜ 34 $，即$ \sqrt{1100} ＞ 32 $。
因此正方形空地的边长大于所需的最大长度32m，满足建设要求。
【答案】
这块空地能成功建一个符合规定的足球场。
【知识点】
列方程解应用题，算术平方根的应用，实数大小比较
【点评】
本题结合实际建设场景，考查运用方程和平方根知识解决实际问题的能力，解题的易错点是容易忽略四周都留1m空地，长和宽都需要加2m，而不是只加1m，找准比较的两个量是解题的关键。
【难度系数】
0.7
22.杨老师给同学们布置了这样一道习题:一个数的算术平方根为2m−6,它的平方根为±(m−2),求这个数.
小孟的解法如下:
杨老师看到后,说小孟的解法是错误的.你知道小孟错在哪里吗?请你予以改正.
小孟的解法如下:
杨老师看到后,说小孟的解法是错误的.你知道小孟错在哪里吗?请你予以改正.
答案
解：
小孟的错误是忽略了算术平方根为非负数这一隐含条件，没有对求出的m的取值进行检验，将算术平方根为负数的不符合题意的情况也保留了。
改正：
由算术平方根的性质可知，$2m-6≥0$，即$m≥3$。
根据题意，$2m-6$是$m-2$或$-(m-2)$中的一个：
1. 当$2m-6 = m-2$时，
解得$m=4$。
$\because 4≥3$，符合条件，
$\therefore 2m-6=2×4-6=2$，
$\therefore$ 这个数为$2^2=4$。
2. 当$2m-6 = -(m-2)$时，
解得$m=\frac{8}{3}$。
$\because \frac{8}{3}＜3$，不满足$2m-6≥0$，此时$2m-6=-\frac{2}{3}$为负数，不可能是算术平方根，该情况舍去。
综上，这个数为4。
小孟的错误是忽略了算术平方根为非负数这一隐含条件，没有对求出的m的取值进行检验，将算术平方根为负数的不符合题意的情况也保留了。
改正：
由算术平方根的性质可知，$2m-6≥0$，即$m≥3$。
根据题意，$2m-6$是$m-2$或$-(m-2)$中的一个：
1. 当$2m-6 = m-2$时，
解得$m=4$。
$\because 4≥3$，符合条件，
$\therefore 2m-6=2×4-6=2$，
$\therefore$ 这个数为$2^2=4$。
2. 当$2m-6 = -(m-2)$时，
解得$m=\frac{8}{3}$。
$\because \frac{8}{3}＜3$，不满足$2m-6≥0$，此时$2m-6=-\frac{2}{3}$为负数，不可能是算术平方根，该情况舍去。
综上，这个数为4。
解析
【分析】
解题时首先要明确算术平方根的核心性质：算术平方根一定是非负数，这是本题的隐含约束条件，不能忽略。解题思路为：第一步先根据算术平方根的非负性得出2m-6≥0，确定m的取值范围；第二步再根据“算术平方根是两个平方根中的一个”分两种情况列方程求解m；第三步将求出的m值代入之前的取值范围检验，不符合的情况要舍去；最后根据符合条件的m值计算出这个数。
【解析】
小孟的错误是忽略了算术平方根为非负数的隐含条件，没有对求出的m的取值进行检验，保留了算术平方根为负数的不符合题意的情况。
改正：
由算术平方根的非负性可知，$2m-6≥0$，解得$m≥3$。
根据题意，$2m-6$是$m-2$或$-(m-2)$中的一个，分情况讨论：
1. 当$2m-6 = m-2$时，
移项得：$2m - m = -2 + 6$，解得$m=4$。
$\because 4≥3$，符合算术平方根非负的要求，
$\therefore 2m-6=2×4 -6=2$，
$\therefore$ 这个数为$2^2=4$。
2. 当$2m-6 = -(m-2)$时，
去括号得：$2m-6 = -m +2$，
移项合并得：$3m=8$，解得$m=\frac{8}{3}$。
$\because \frac{8}{3}＜3$，不满足$2m-6≥0$，此时$2m-6=-\frac{2}{3}$为负数，不可能是算术平方根，因此该情况舍去。
综上，这个数为4。
【答案】
4
【知识点】
算术平方根的非负性；平方根的定义；一元一次方程的解法
【点评】
本题的易错点是忽略算术平方根为非负数的隐含限制条件，直接分情况求解后不检验就得出多解结果。解题时要注意挖掘题目中的隐含条件，对求得的结果进行合理性检验，避免出现增解。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确算术平方根的核心性质：算术平方根一定是非负数，这是本题的隐含约束条件，不能忽略。解题思路为：第一步先根据算术平方根的非负性得出2m-6≥0，确定m的取值范围；第二步再根据“算术平方根是两个平方根中的一个”分两种情况列方程求解m；第三步将求出的m值代入之前的取值范围检验，不符合的情况要舍去；最后根据符合条件的m值计算出这个数。
【解析】
小孟的错误是忽略了算术平方根为非负数的隐含条件，没有对求出的m的取值进行检验，保留了算术平方根为负数的不符合题意的情况。
改正：
由算术平方根的非负性可知，$2m-6≥0$，解得$m≥3$。
根据题意，$2m-6$是$m-2$或$-(m-2)$中的一个，分情况讨论：
1. 当$2m-6 = m-2$时，
移项得：$2m - m = -2 + 6$，解得$m=4$。
$\because 4≥3$，符合算术平方根非负的要求，
$\therefore 2m-6=2×4 -6=2$，
$\therefore$ 这个数为$2^2=4$。
2. 当$2m-6 = -(m-2)$时，
去括号得：$2m-6 = -m +2$，
移项合并得：$3m=8$，解得$m=\frac{8}{3}$。
$\because \frac{8}{3}＜3$，不满足$2m-6≥0$，此时$2m-6=-\frac{2}{3}$为负数，不可能是算术平方根，因此该情况舍去。
综上，这个数为4。
【答案】
4
【知识点】
算术平方根的非负性；平方根的定义；一元一次方程的解法
【点评】
本题的易错点是忽略算术平方根为非负数的隐含限制条件，直接分情况求解后不检验就得出多解结果。解题时要注意挖掘题目中的隐含条件，对求得的结果进行合理性检验，避免出现增解。
【难度系数】
0.6
