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1. 一个等腰三角形的底边长为 6,底边上的中线长为 4,则它的腰长为 （
A.7
B.6
C.5
D.4
C
）A.7
B.6
C.5
D.4
答案
C
解析
【分析】
拿到本题首先关注题干的等腰三角形条件，已知底边长和底边上的中线长求腰长，解题思路如下：第一步，回忆等腰三角形“三线合一”的性质，可得底边上的中线同时是底边上的高，此时中线将原等腰三角形分割为两个全等的直角三角形；第二步，确定直角三角形的两条直角边长度：底边的一半为6÷2=3，另一条直角边就是中线长4，斜边就是待求的腰长；第三步，利用勾股定理计算斜边长度即可得到腰长。
【解析】
解：根据等腰三角形“三线合一”的性质可知，底边上的中线垂直于底边，且平分底边。
∴底边被中点分成的每段长度为：$6÷2=3$，底边上的中线即为直角三角形的一条直角边，长度为4。
设腰长为$x$，由勾股定理可得：
$x=\sqrt{3^2 + 4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$
所以腰长为5，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形三线合一；勾股定理
【点评】
本题是几何基础计算类题型，解题的核心是利用等腰三角形的性质将问题转化为直角三角形的边长计算，熟练掌握基础几何性质和定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
拿到本题首先关注题干的等腰三角形条件，已知底边长和底边上的中线长求腰长，解题思路如下：第一步，回忆等腰三角形“三线合一”的性质，可得底边上的中线同时是底边上的高，此时中线将原等腰三角形分割为两个全等的直角三角形；第二步，确定直角三角形的两条直角边长度：底边的一半为6÷2=3，另一条直角边就是中线长4，斜边就是待求的腰长；第三步，利用勾股定理计算斜边长度即可得到腰长。
【解析】
解：根据等腰三角形“三线合一”的性质可知，底边上的中线垂直于底边，且平分底边。
∴底边被中点分成的每段长度为：$6÷2=3$，底边上的中线即为直角三角形的一条直角边，长度为4。
设腰长为$x$，由勾股定理可得：
$x=\sqrt{3^2 + 4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$
所以腰长为5，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形三线合一；勾股定理
【点评】
本题是几何基础计算类题型，解题的核心是利用等腰三角形的性质将问题转化为直角三角形的边长计算，熟练掌握基础几何性质和定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2. 观察下列方格纸中阴影部分所示的图形(每个小方格的边长为 1),如果将它们沿方格的边线或对角线剪开重新拼接,不能拼成正方形的是 (
D
)答案
D
解析
【分析】
要判断阴影图形剪开后能否拼成正方形，首先明确剪拼前后图形面积不变，因此正方形的面积等于阴影部分的面积，正方形边长为面积的算术平方根。我们先计算每个选项阴影的面积，再结合边长的可构造性（沿方格边线或对角线剪，能得到的线段长度为整数或两个整数平方和的算术平方根）判断即可。首先计算各阴影面积：每个小方格面积为1，数得A、B面积都是5，C用割补法算得面积也是5，D的面积是6。面积为5时，正方形边长为√5，√5是直角边为1、2的直角三角形的斜边，可通过剪方格得到，因此A、B、C都能拼成边长为√5的正方形；而面积为6时，正方形边长为√6，无法通过沿方格边线或对角线剪出的线段构造出符合要求的边，因此D不能拼成。
【解析】
解：剪拼前后图形面积不变，因此拼成的正方形面积等于阴影部分面积，已知每个小方格边长为1，因此每个小方格面积为1。
1. 计算各阴影部分面积：
选项A：数阴影小方格，共5个，面积为5；
选项B：数阴影小方格，共5个，面积为5；
选项C：用割补法计算，整格有3个，左右两个直角三角形面积各为1，总面积为$3+1+1=5$；
选项D：数阴影小方格，共6个，面积为6。
2. 判断拼接可行性：
面积为5时，正方形边长为$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$是直角边长为1、2的直角三角形的斜边长，可通过沿方格边线裁剪得到，因此A、B、C都可裁剪拼接为边长为$\sqrt{5}$的正方形。
面积为6时，正方形边长为$\sqrt{6}$，不存在整数$a、b$使得$a^2+b^2=6$，无法通过沿方格边线或对角线裁剪得到长度为$\sqrt{6}$的边，因此D不能拼成正方形。
【答案】
D
【知识点】
图形剪拼，面积计算，勾股定理
【点评】
本题考查图形剪拼的核心原则：剪拼前后面积不变，结合勾股定理判断正方形边长是否可构造即可快速解题，解题关键是准确计算各阴影部分面积。
【难度系数】
0.65
要判断阴影图形剪开后能否拼成正方形，首先明确剪拼前后图形面积不变，因此正方形的面积等于阴影部分的面积，正方形边长为面积的算术平方根。我们先计算每个选项阴影的面积，再结合边长的可构造性（沿方格边线或对角线剪，能得到的线段长度为整数或两个整数平方和的算术平方根）判断即可。首先计算各阴影面积：每个小方格面积为1，数得A、B面积都是5，C用割补法算得面积也是5，D的面积是6。面积为5时，正方形边长为√5，√5是直角边为1、2的直角三角形的斜边，可通过剪方格得到，因此A、B、C都能拼成边长为√5的正方形；而面积为6时，正方形边长为√6，无法通过沿方格边线或对角线剪出的线段构造出符合要求的边，因此D不能拼成。
【解析】
解：剪拼前后图形面积不变，因此拼成的正方形面积等于阴影部分面积，已知每个小方格边长为1，因此每个小方格面积为1。
1. 计算各阴影部分面积：
选项A：数阴影小方格，共5个，面积为5；
选项B：数阴影小方格，共5个，面积为5；
选项C：用割补法计算，整格有3个，左右两个直角三角形面积各为1，总面积为$3+1+1=5$；
选项D：数阴影小方格，共6个，面积为6。
2. 判断拼接可行性：
面积为5时，正方形边长为$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$是直角边长为1、2的直角三角形的斜边长，可通过沿方格边线裁剪得到，因此A、B、C都可裁剪拼接为边长为$\sqrt{5}$的正方形。
面积为6时，正方形边长为$\sqrt{6}$，不存在整数$a、b$使得$a^2+b^2=6$，无法通过沿方格边线或对角线裁剪得到长度为$\sqrt{6}$的边，因此D不能拼成正方形。
【答案】
D
【知识点】
图形剪拼，面积计算，勾股定理
【点评】
本题考查图形剪拼的核心原则：剪拼前后面积不变，结合勾股定理判断正方形边长是否可构造即可快速解题，解题关键是准确计算各阴影部分面积。
【难度系数】
0.65
3. 如图,点 E 在正方形 ABCD 内,满足$∠ AEB=90°,AE=6,BE=8$,则阴影部分的面积是 （
A.48
B.60
C.76
D.80
C
）A.48
B.60
C.76
D.80
答案
C
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，观察图形可知阴影部分是正方形减去内部空白直角三角形得到的不规则图形，因此采用“整体减空白”的思路求解：第一步先在$Rt△ AEB$中利用勾股定理求出斜边$AB$的长度，$AB$就是正方形的边长；第二步分别计算正方形的面积和空白直角三角形的面积；第三步用正方形面积减去空白三角形面积即可得到阴影部分面积。
【解析】
在$Rt△ AEB$中，$∠ AEB=90°$，$AE=6$，$BE=8$，
根据勾股定理得：$AB^2=AE^2+BE^2=6^2+8^2=36+64=100$，
所以正方形$ABCD$的面积为$AB^2=100$，
又$△ AEB$的面积为$\frac{1}{2}× AE× BE=\frac{1}{2}×6×8=24$，
因此阴影部分的面积 = 正方形$ABCD$的面积 - $△ AEB$的面积 = $100-24=76$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，正方形面积计算，三角形面积计算
【点评】
本题考查不规则图形面积的求解，核心是运用割补法将不规则图形面积转化为规则图形面积的差，解题的关键是利用勾股定理求出正方形的边长，属于基础常考题。
【难度系数】
0.7
要求阴影部分的面积，观察图形可知阴影部分是正方形减去内部空白直角三角形得到的不规则图形，因此采用“整体减空白”的思路求解：第一步先在$Rt△ AEB$中利用勾股定理求出斜边$AB$的长度，$AB$就是正方形的边长；第二步分别计算正方形的面积和空白直角三角形的面积；第三步用正方形面积减去空白三角形面积即可得到阴影部分面积。
【解析】
在$Rt△ AEB$中，$∠ AEB=90°$，$AE=6$，$BE=8$，
根据勾股定理得：$AB^2=AE^2+BE^2=6^2+8^2=36+64=100$，
所以正方形$ABCD$的面积为$AB^2=100$，
又$△ AEB$的面积为$\frac{1}{2}× AE× BE=\frac{1}{2}×6×8=24$，
因此阴影部分的面积 = 正方形$ABCD$的面积 - $△ AEB$的面积 = $100-24=76$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，正方形面积计算，三角形面积计算
【点评】
本题考查不规则图形面积的求解，核心是运用割补法将不规则图形面积转化为规则图形面积的差，解题的关键是利用勾股定理求出正方形的边长，属于基础常考题。
【难度系数】
0.7
4. 如图,在$3×3$的方格纸中,每个小正方形的边长均为1,点$A,B,C$都在格点上.若$BD$是$△ ABC$的高,则$BD$的长为（
D
）答案
D
解析
【分析】
要求△ABC的高BD的长度，可采用等面积法求解：①先通过割补法计算出格点三角形ABC的面积；②利用勾股定理求出底边AC的长度；③结合三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入面积和AC的长度，即可求出BD的长。
【解析】
1. 计算△ABC的面积：
用包含△ABC的$3×3$正方形面积减去周围三个直角三角形的面积：
$S_{△ ABC}=3×3 - \frac{1}{2}×1×2 - \frac{1}{2}×2×3 - \frac{1}{2}×1×3=9 - 1 - 3 - \frac{3}{2}=\frac{7}{2}$
2. 用勾股定理求AC的长度：
观察格点可知，A、C两点横向距离为3，纵向距离为1，因此：
$AC=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$
3. 等面积法求BD：
根据三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BD$，代入已知量得：
$\frac{7}{2}=\frac{1}{2}×\sqrt{10}× BD$
两边同时乘2得：$7=\sqrt{10}× BD$
分母有理化后解得$BD=\frac{7\sqrt{10}}{10}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
割补法求面积，勾股定理，等面积法求线段长
【点评】
本题是格点几何的常见考题，将面积计算、勾股定理结合考查，解题关键是熟练运用等面积法建立未知高与已知量的关系，计算时注意二次根式化简的规范。
【难度系数】
0.7
要求△ABC的高BD的长度，可采用等面积法求解：①先通过割补法计算出格点三角形ABC的面积；②利用勾股定理求出底边AC的长度；③结合三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入面积和AC的长度，即可求出BD的长。
【解析】
1. 计算△ABC的面积：
用包含△ABC的$3×3$正方形面积减去周围三个直角三角形的面积：
$S_{△ ABC}=3×3 - \frac{1}{2}×1×2 - \frac{1}{2}×2×3 - \frac{1}{2}×1×3=9 - 1 - 3 - \frac{3}{2}=\frac{7}{2}$
2. 用勾股定理求AC的长度：
观察格点可知，A、C两点横向距离为3，纵向距离为1，因此：
$AC=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$
3. 等面积法求BD：
根据三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BD$，代入已知量得：
$\frac{7}{2}=\frac{1}{2}×\sqrt{10}× BD$
两边同时乘2得：$7=\sqrt{10}× BD$
分母有理化后解得$BD=\frac{7\sqrt{10}}{10}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
割补法求面积，勾股定理，等面积法求线段长
【点评】
本题是格点几何的常见考题，将面积计算、勾股定理结合考查，解题关键是熟练运用等面积法建立未知高与已知量的关系，计算时注意二次根式化简的规范。
【难度系数】
0.7
5. 如图,矩形ABCD的对角线AC=10,BC=8,则图中五个小矩形的周长之和为
(
A.14
B.16
C.20
D.28
(
D
)A.14
B.16
C.20
D.28
答案
D
解析
【分析】
解题思路可分为两步：①先利用矩形的性质和勾股定理求出大矩形ABCD的长AB的长度；②运用平移法，将所有小矩形的水平边、竖直边分别向大矩形的四边平移，可发现五个小矩形的周长之和恰好等于大矩形ABCD的周长，最后计算大矩形周长即可得到结果。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠B=90°，
在Rt△ABC中，AC=10，BC=8，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$，
将五个小矩形的水平边分别向上、向下平移，竖直边分别向左、向右平移，可得：所有小矩形的水平边长之和为$2BC$，竖直边长之和为$2AB$，
因此五个小矩形的周长之和 = 大矩形ABCD的周长 = $2×(AB+BC)=2×(6+8)=28$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；平移的应用；矩形周长计算
【点评】
本题解题的核心是利用平移的性质，将分散的多个小矩形的周长转化为已知边长的大矩形的周长，无需逐个计算小矩形的边长，大大简化了运算过程，体现了转化思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为两步：①先利用矩形的性质和勾股定理求出大矩形ABCD的长AB的长度；②运用平移法，将所有小矩形的水平边、竖直边分别向大矩形的四边平移，可发现五个小矩形的周长之和恰好等于大矩形ABCD的周长，最后计算大矩形周长即可得到结果。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠B=90°，
在Rt△ABC中，AC=10，BC=8，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$，
将五个小矩形的水平边分别向上、向下平移，竖直边分别向左、向右平移，可得：所有小矩形的水平边长之和为$2BC$，竖直边长之和为$2AB$，
因此五个小矩形的周长之和 = 大矩形ABCD的周长 = $2×(AB+BC)=2×(6+8)=28$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；平移的应用；矩形周长计算
【点评】
本题解题的核心是利用平移的性质，将分散的多个小矩形的周长转化为已知边长的大矩形的周长，无需逐个计算小矩形的边长，大大简化了运算过程，体现了转化思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
6. 如果一个三角形满足一个内角是另一个内角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”.下列数据中，能作为一个“智慧三角形”三边长的一组是
（
A.$1,2,3$
B.$1,1,\sqrt{2}$
C.$1,1,\sqrt{3}$
D.$1,2,\sqrt{3}$
（
D
）A.$1,2,3$
B.$1,1,\sqrt{2}$
C.$1,1,\sqrt{3}$
D.$1,2,\sqrt{3}$
答案
D
解析
【分析】
解题时首先要明确两个核心判断条件：① 三组边长需能构成三角形（满足两边之和大于第三边）；② 构成的三角形需存在一个内角是另一个内角的3倍。我们先通过三角形三边关系排除不能构成三角形的选项，再对剩余选项用勾股定理逆定理、直角三角形和等腰三角形的角度性质计算内角，验证是否符合“智慧三角形”的定义即可。
【解析】
1. 排除无法构成三角形的选项：
选项A：$1+2=3$，不符合三角形“两边之和大于第三边”的要求，不能构成三角形，直接排除。
2. 验证剩余选项的角度关系：
选项B：三边长为$1,1,\sqrt{2}$，因为$1^2+1^2=(\sqrt{2})^2$，由勾股定理逆定理可知这是等腰直角三角形，三个内角分别为$45°、45°、90°$，不存在3倍的角度关系，不符合要求。
选项C：三边长为$1,1,\sqrt{3}$，是等腰三角形，作底边上的高，将底边分为两段长度为$\frac{\sqrt{3}}{2}$的线段，由勾股定理得高为$\sqrt{1^2-(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}=\frac{1}{2}$，因此底角为$30°$，顶角为$180°-2×30°=120°$，三个内角为$30°、30°、120°$，不存在3倍的角度关系，不符合要求。
选项D：三边长为$1,2,\sqrt{3}$，因为$1^2+(\sqrt{3})^2=2^2$，由勾股定理逆定理可知这是直角三角形，斜边为2，长为1的直角边所对的角为$30°$，因此三个内角为$30°、60°、90°$，其中$90°=3×30°$，符合“智慧三角形”的定义。
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系；勾股定理逆定理；直角三角形的性质
【点评】
本题属于新定义类题型，解题的关键是准确理解“智慧三角形”的定义，先排除无法构成三角形的选项可减少计算量，再结合三角形的角度性质逐一验证即可，解题过程中要注意细心计算角度，避免出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确两个核心判断条件：① 三组边长需能构成三角形（满足两边之和大于第三边）；② 构成的三角形需存在一个内角是另一个内角的3倍。我们先通过三角形三边关系排除不能构成三角形的选项，再对剩余选项用勾股定理逆定理、直角三角形和等腰三角形的角度性质计算内角，验证是否符合“智慧三角形”的定义即可。
【解析】
1. 排除无法构成三角形的选项：
选项A：$1+2=3$，不符合三角形“两边之和大于第三边”的要求，不能构成三角形，直接排除。
2. 验证剩余选项的角度关系：
选项B：三边长为$1,1,\sqrt{2}$，因为$1^2+1^2=(\sqrt{2})^2$，由勾股定理逆定理可知这是等腰直角三角形，三个内角分别为$45°、45°、90°$，不存在3倍的角度关系，不符合要求。
选项C：三边长为$1,1,\sqrt{3}$，是等腰三角形，作底边上的高，将底边分为两段长度为$\frac{\sqrt{3}}{2}$的线段，由勾股定理得高为$\sqrt{1^2-(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}=\frac{1}{2}$，因此底角为$30°$，顶角为$180°-2×30°=120°$，三个内角为$30°、30°、120°$，不存在3倍的角度关系，不符合要求。
选项D：三边长为$1,2,\sqrt{3}$，因为$1^2+(\sqrt{3})^2=2^2$，由勾股定理逆定理可知这是直角三角形，斜边为2，长为1的直角边所对的角为$30°$，因此三个内角为$30°、60°、90°$，其中$90°=3×30°$，符合“智慧三角形”的定义。
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系；勾股定理逆定理；直角三角形的性质
【点评】
本题属于新定义类题型，解题的关键是准确理解“智慧三角形”的定义，先排除无法构成三角形的选项可减少计算量，再结合三角形的角度性质逐一验证即可，解题过程中要注意细心计算角度，避免出错。
【难度系数】
0.7
7. 如图,将边长为8 cm的正方形ABCD沿MN折叠,使点D落在边BC的中点E处,点A落在点F处,则线段CN的长是
(
A.3 cm
B.4 cm
C.5 cm
D.6 cm
(
A
)A.3 cm
B.4 cm
C.5 cm
D.6 cm
答案
A
解析
【分析】
遇到折叠类几何题，首先利用折叠的性质得到相等的线段和角。本题中正方形ABCD边长已知，E是BC中点，可先求出EC的长度；设CN的长为未知数，结合折叠性质可将Rt△ECN的三条边都用含未知数的式子表示，再利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
设线段CN的长为$ x \, \mathrm{cm} $。
∵ 正方形ABCD的边长为$ 8 \, \mathrm{cm} $，
∴ $ CD = BC = 8 \, \mathrm{cm} $，$ ∠ C = 90° $，
∴ $ DN = CD - CN = (8 - x) \, \mathrm{cm} $。
∵ E是BC的中点，
∴ $ EC = \frac{1}{2}BC = 4 \, \mathrm{cm} $。
由折叠的性质可知：$ EN = DN = (8 - x) \, \mathrm{cm} $。
在$ \mathrm{Rt}△ ECN $中，根据勾股定理得：
$ EN^2 = EC^2 + CN^2 $，
代入得：$ (8 - x)^2 = 4^2 + x^2 $，
展开计算：$ 64 - 16x + x^2 = 16 + x^2 $，
消去$ x^2 $后整理得：$ 16x = 48 $，
解得：$ x = 3 $，即$ CN = 3 \, \mathrm{cm} $。
【答案】
A
【知识点】
折叠的性质；正方形的性质；勾股定理
【点评】
本题是折叠问题的典型考法，解题核心是抓住折叠前后对应边相等的性质，将未知线段和已知线段转化到同一个直角三角形中，利用勾股定理建立方程求解，这种“几何问题代数化”的思路是解决此类题型的常用技巧。
【难度系数】
0.7
遇到折叠类几何题，首先利用折叠的性质得到相等的线段和角。本题中正方形ABCD边长已知，E是BC中点，可先求出EC的长度；设CN的长为未知数，结合折叠性质可将Rt△ECN的三条边都用含未知数的式子表示，再利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
设线段CN的长为$ x \, \mathrm{cm} $。
∵ 正方形ABCD的边长为$ 8 \, \mathrm{cm} $，
∴ $ CD = BC = 8 \, \mathrm{cm} $，$ ∠ C = 90° $，
∴ $ DN = CD - CN = (8 - x) \, \mathrm{cm} $。
∵ E是BC的中点，
∴ $ EC = \frac{1}{2}BC = 4 \, \mathrm{cm} $。
由折叠的性质可知：$ EN = DN = (8 - x) \, \mathrm{cm} $。
在$ \mathrm{Rt}△ ECN $中，根据勾股定理得：
$ EN^2 = EC^2 + CN^2 $，
代入得：$ (8 - x)^2 = 4^2 + x^2 $，
展开计算：$ 64 - 16x + x^2 = 16 + x^2 $，
消去$ x^2 $后整理得：$ 16x = 48 $，
解得：$ x = 3 $，即$ CN = 3 \, \mathrm{cm} $。
【答案】
A
【知识点】
折叠的性质；正方形的性质；勾股定理
【点评】
本题是折叠问题的典型考法，解题核心是抓住折叠前后对应边相等的性质，将未知线段和已知线段转化到同一个直角三角形中，利用勾股定理建立方程求解，这种“几何问题代数化”的思路是解决此类题型的常用技巧。
【难度系数】
0.7
8. 如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离顶点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从顶点A爬到点B，那么需要爬行的最短距离是（
A.$5\sqrt{29}$
B.25
C.$10\sqrt{5}+5$
D.35
B
）A.$5\sqrt{29}$
B.25
C.$10\sqrt{5}+5$
D.35
答案
B
解析
【分析】
要解决长方体表面的最短爬行路径问题，需用到“化曲为直”的思路：因为蚂蚁是沿长方体表面爬行，所以我们可以将长方体相邻的两个面展开到同一平面内，根据两点之间线段最短，爬行的最短路径就是展开后A、B两点的线段长度。我们需要枚举所有合理的展开方式，用勾股定理分别计算路径长度，再比较得到最小值。
【解析】
我们分三种展开情况计算路径长度：
1. 将A所在的正面（高为20，长为15的面）和B所在的上面（长为15，宽为10的面）展开到同一平面：
此时A、B连线为直角三角形的斜边，两条直角边长度分别为20，$10+5=15$。
由勾股定理得：$AB=\sqrt{15^2+20^2}=\sqrt{225+400}=\sqrt{625}=25$。
2. 将A所在的右侧面（宽为10，高为20的面）和B所在的上面展开到同一平面：
此时两条直角边长度分别为$20+10=30$，5。
由勾股定理得：$AB=\sqrt{30^2+5^2}=\sqrt{925}\approx30.4＞25$。
3. 将A所在的正面和底面展开到同一平面：
此时两条直角边长度分别为$20+10=30$，15。
由勾股定理得：$AB=\sqrt{30^2+15^2}=\sqrt{1125}\approx33.5＞25$。
比较三种情况的路径长度，25是最小值，即最短爬行距离为25。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的应用，长方体展开图，最短路径问题
【点评】
本题是立体图形最短路径的典型题型，核心是掌握将立体表面转化为平面图形的展开思路，解题时要注意枚举所有可能的展开情况，避免遗漏导致错误，同时要熟练运用勾股定理进行计算。
【难度系数】
0.7
要解决长方体表面的最短爬行路径问题，需用到“化曲为直”的思路：因为蚂蚁是沿长方体表面爬行，所以我们可以将长方体相邻的两个面展开到同一平面内，根据两点之间线段最短，爬行的最短路径就是展开后A、B两点的线段长度。我们需要枚举所有合理的展开方式，用勾股定理分别计算路径长度，再比较得到最小值。
【解析】
我们分三种展开情况计算路径长度：
1. 将A所在的正面（高为20，长为15的面）和B所在的上面（长为15，宽为10的面）展开到同一平面：
此时A、B连线为直角三角形的斜边，两条直角边长度分别为20，$10+5=15$。
由勾股定理得：$AB=\sqrt{15^2+20^2}=\sqrt{225+400}=\sqrt{625}=25$。
2. 将A所在的右侧面（宽为10，高为20的面）和B所在的上面展开到同一平面：
此时两条直角边长度分别为$20+10=30$，5。
由勾股定理得：$AB=\sqrt{30^2+5^2}=\sqrt{925}\approx30.4＞25$。
3. 将A所在的正面和底面展开到同一平面：
此时两条直角边长度分别为$20+10=30$，15。
由勾股定理得：$AB=\sqrt{30^2+15^2}=\sqrt{1125}\approx33.5＞25$。
比较三种情况的路径长度，25是最小值，即最短爬行距离为25。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的应用，长方体展开图，最短路径问题
【点评】
本题是立体图形最短路径的典型题型，核心是掌握将立体表面转化为平面图形的展开思路，解题时要注意枚举所有可能的展开情况，避免遗漏导致错误，同时要熟练运用勾股定理进行计算。
【难度系数】
0.7
