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9. 把一根长为10 cm的铁丝弯成一个直角三角形的两条直角边，如果要使直角三角形的面积是9 cm²，那么还要准备一根长为
8
cm的铁丝作为该三角形的斜边。答案
8
解析
【分析】
拿到题目先梳理已知条件：①10cm的铁丝弯成两条直角边，说明两条直角边的长度和为10cm；②直角三角形面积为9cm²。我们要求斜边长度，根据勾股定理，斜边的平方等于两条直角边的平方和，所以核心是求出两条直角边的平方和。我们已知两直角边的和，还可以通过面积公式求出两直角边的乘积，此时结合完全平方公式的变形：a²+b²=(a+b)²-2ab，就可以直接求出两直角边的平方和，无需单独求解每条直角边的长度，进而算出斜边长度。
【解析】
解：设该直角三角形的两条直角边长分别为a cm、b cm，斜边长为c cm。
根据题意可列关系式：
1. 两条直角边总长为10cm：$a + b = 10$
2. 三角形面积为9$cm^2$：$\frac{1}{2}ab = 9$，整理得$ab = 18$
根据勾股定理，斜边满足：$c^2 = a^2 + b^2$
由完全平方公式变形可得：$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$
将$a+b=10$、$ab=18$代入上式：
$a^2 + b^2 = 10^2 - 2×18 = 100 - 36 = 64$
即$c^2 = 64$，因为边长为正数，所以$c = \sqrt{64} = 8$
【答案】
8
【知识点】
勾股定理；完全平方公式；直角三角形面积公式
【点评】
本题是代数公式与几何性质结合的基础题型，解题的关键是灵活运用完全平方公式的变形，避免求解单个直角边的复杂运算，简化计算过程。
【难度系数】
0.7
拿到题目先梳理已知条件：①10cm的铁丝弯成两条直角边，说明两条直角边的长度和为10cm；②直角三角形面积为9cm²。我们要求斜边长度，根据勾股定理，斜边的平方等于两条直角边的平方和，所以核心是求出两条直角边的平方和。我们已知两直角边的和，还可以通过面积公式求出两直角边的乘积，此时结合完全平方公式的变形：a²+b²=(a+b)²-2ab，就可以直接求出两直角边的平方和，无需单独求解每条直角边的长度，进而算出斜边长度。
【解析】
解：设该直角三角形的两条直角边长分别为a cm、b cm，斜边长为c cm。
根据题意可列关系式：
1. 两条直角边总长为10cm：$a + b = 10$
2. 三角形面积为9$cm^2$：$\frac{1}{2}ab = 9$，整理得$ab = 18$
根据勾股定理，斜边满足：$c^2 = a^2 + b^2$
由完全平方公式变形可得：$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$
将$a+b=10$、$ab=18$代入上式：
$a^2 + b^2 = 10^2 - 2×18 = 100 - 36 = 64$
即$c^2 = 64$，因为边长为正数，所以$c = \sqrt{64} = 8$
【答案】
8
【知识点】
勾股定理；完全平方公式；直角三角形面积公式
【点评】
本题是代数公式与几何性质结合的基础题型，解题的关键是灵活运用完全平方公式的变形，避免求解单个直角边的复杂运算，简化计算过程。
【难度系数】
0.7
10. “在直角三角形中，$30°$角所对的直角边等于斜边的一半”的逆命题是
在直角三角形中,如果有一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角为 30°
.答案
在直角三角形中,如果有一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角为 30°
解析
【分析】
要写出一个命题的逆命题，首先需要拆分原命题的结构：命题通常由大前提、题设（条件）、结论三部分组成，逆命题的改写规则是保持大前提不变，将题设和结论的位置互换即可。本题中原命题的大前提是“在直角三角形中”，题设是“三角形内有一个30°的角”，结论是“这个30°角所对的直角边等于斜边的一半”，按规则互换题设和结论就能得到逆命题。
【解析】
第一步：拆解原命题结构，原命题可表述为：在直角三角形中，若一个角为30°，则它所对的直角边等于斜边的一半。其中大前提为“在直角三角形中”，题设为“一个角是30°”，结论为“该角所对的直角边等于斜边的一半”。
第二步：按照逆命题改写规则，保持大前提不变，互换题设和结论，最终得到逆命题：在直角三角形中,如果有一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角为 30°。
【答案】
在直角三角形中,如果有一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角为 30°
【知识点】
1. 逆命题改写 2. 直角三角形性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是准确区分原命题的大前提、题设和结论，改写时注意大前提不需要随题设结论互换，掌握逆命题的改写规则即可轻松作答。
【难度系数】
0.8
要写出一个命题的逆命题，首先需要拆分原命题的结构：命题通常由大前提、题设（条件）、结论三部分组成，逆命题的改写规则是保持大前提不变，将题设和结论的位置互换即可。本题中原命题的大前提是“在直角三角形中”，题设是“三角形内有一个30°的角”，结论是“这个30°角所对的直角边等于斜边的一半”，按规则互换题设和结论就能得到逆命题。
【解析】
第一步：拆解原命题结构，原命题可表述为：在直角三角形中，若一个角为30°，则它所对的直角边等于斜边的一半。其中大前提为“在直角三角形中”，题设为“一个角是30°”，结论为“该角所对的直角边等于斜边的一半”。
第二步：按照逆命题改写规则，保持大前提不变，互换题设和结论，最终得到逆命题：在直角三角形中,如果有一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角为 30°。
【答案】
在直角三角形中,如果有一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角为 30°
【知识点】
1. 逆命题改写 2. 直角三角形性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是准确区分原命题的大前提、题设和结论，改写时注意大前提不需要随题设结论互换，掌握逆命题的改写规则即可轻松作答。
【难度系数】
0.8
11. 如图，在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$∠ B = 90°$，$AB=3,BC=4$，将$△ ABC$折叠，使点$B$恰好落在边$AC$上的点$B'$处，$AE$为折痕，则$EB'=\_\_\_\_\_\_$。
答案
1.5
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，先利用勾股定理求出$\mathrm{Rt}△ABC$的斜边$AC$的长度；第二步，根据折叠的性质，得到折叠前后对应边相等、对应角相等，即$AB'=AB$，$EB'=EB$，$∠ AB'E=∠ B=90°$，进而求出$B'C$的长度，同时得到$△ EB'C$是直角三角形；第三步，设$EB'$的长度为$x$，用含$x$的式子表示出$EC$的长度，在$\mathrm{Rt}△EB'C$中利用勾股定理列方程，求解即可得到$EB'$的长度。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ B=90°$，$AB=3$，$BC=4$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
根据折叠的性质可知：$AB'=AB=3$，$EB'=EB$，$∠ AB'E=∠ B=90°$，
$\therefore ∠ CB'E=90°$，$B'C=AC-AB'=5-3=2$。
设$EB'=x$，则$EB=x$，$EC=BC-EB=4-x$，
在$\mathrm{Rt}△EB'C$中，由勾股定理得：
$EB'^2 + B'C^2 = EC^2$，
即$x^2 + 2^2 = (4-x)^2$，
展开得$x^2 +4 = 16 -8x +x^2$，
化简得$8x=12$，
解得$x=1.5$。
【答案】
1.5
【知识点】
勾股定理；折叠的性质；方程法解几何
【点评】
本题是折叠类的基础典型题，解题关键是抓住折叠前后对应边、对应角相等的性质，将已知量和未知量转化到同一个直角三角形中，结合勾股定理列方程求解，较好地考察了数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步，先利用勾股定理求出$\mathrm{Rt}△ABC$的斜边$AC$的长度；第二步，根据折叠的性质，得到折叠前后对应边相等、对应角相等，即$AB'=AB$，$EB'=EB$，$∠ AB'E=∠ B=90°$，进而求出$B'C$的长度，同时得到$△ EB'C$是直角三角形；第三步，设$EB'$的长度为$x$，用含$x$的式子表示出$EC$的长度，在$\mathrm{Rt}△EB'C$中利用勾股定理列方程，求解即可得到$EB'$的长度。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ B=90°$，$AB=3$，$BC=4$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
根据折叠的性质可知：$AB'=AB=3$，$EB'=EB$，$∠ AB'E=∠ B=90°$，
$\therefore ∠ CB'E=90°$，$B'C=AC-AB'=5-3=2$。
设$EB'=x$，则$EB=x$，$EC=BC-EB=4-x$，
在$\mathrm{Rt}△EB'C$中，由勾股定理得：
$EB'^2 + B'C^2 = EC^2$，
即$x^2 + 2^2 = (4-x)^2$，
展开得$x^2 +4 = 16 -8x +x^2$，
化简得$8x=12$，
解得$x=1.5$。
【答案】
1.5
【知识点】
勾股定理；折叠的性质；方程法解几何
【点评】
本题是折叠类的基础典型题，解题关键是抓住折叠前后对应边、对应角相等的性质，将已知量和未知量转化到同一个直角三角形中，结合勾股定理列方程求解，较好地考察了数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.7
12. 如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若$AC=6,BC=5$，将四个直角三角形中长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个“风车”的外围周长是
76
.答案
76
解析
【分析】
解题时首先要明确“数学风车”外围周长的组成：它由4个延长后得到的大直角三角形的斜边，以及4段延长出来的长度为6的边组成。首先根据题意确定延长后大直角三角形的两条直角边长度，再用勾股定理求出斜边长，最后把所有外围边的长度相加即可得到周长。
【解析】
1. 由题意可知，将长为6的直角边向外延长一倍后，得到的大直角三角形的两条直角边长度分别为：$BC=5$，延长后的直角边长为$6×2=12$。
2. 根据勾股定理，计算大直角三角形的斜边长：
$\sqrt{5^2 + 12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$
3. 观察图形可得，风车的外围周长包含4条上述斜边，以及4段长度为6的延长边，因此总周长为：
$4×13 + 4×6=52+24=76$
【答案】
76
【知识点】
勾股定理，周长计算
【点评】
本题结合传统数学文化“赵爽弦图”设计，解题关键是准确分析出外围周长的构成部分，再利用勾股定理计算对应边长，能很好地考查学生的图形观察能力和定理应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确“数学风车”外围周长的组成：它由4个延长后得到的大直角三角形的斜边，以及4段延长出来的长度为6的边组成。首先根据题意确定延长后大直角三角形的两条直角边长度，再用勾股定理求出斜边长，最后把所有外围边的长度相加即可得到周长。
【解析】
1. 由题意可知，将长为6的直角边向外延长一倍后，得到的大直角三角形的两条直角边长度分别为：$BC=5$，延长后的直角边长为$6×2=12$。
2. 根据勾股定理，计算大直角三角形的斜边长：
$\sqrt{5^2 + 12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$
3. 观察图形可得，风车的外围周长包含4条上述斜边，以及4段长度为6的延长边，因此总周长为：
$4×13 + 4×6=52+24=76$
【答案】
76
【知识点】
勾股定理，周长计算
【点评】
本题结合传统数学文化“赵爽弦图”设计，解题关键是准确分析出外围周长的构成部分，再利用勾股定理计算对应边长，能很好地考查学生的图形观察能力和定理应用能力。
【难度系数】
0.7
13. 如图,一架长5 m的梯子靠在一面墙上,梯子的底部距离建筑物2 m,若梯子底部滑开1 m,则梯子顶部下滑的距离是
$\sqrt{21}-4$
m.答案
$\sqrt{21}-4$
解析
【分析】
解题时首先明确隐含条件：梯子滑动过程中长度保持不变，且墙面与地面垂直，因此滑动前后梯子分别与墙、地面构成两个直角三角形，均可使用勾股定理计算边长。解题思路为：①先利用勾股定理计算梯子滑动前顶端距离地面的高度；②再计算滑动后梯子底端到墙的距离，用勾股定理算出此时顶端距离地面的高度；③两个高度的差值就是梯子顶部下滑的距离。
【解析】
由题意可知：$∠ C=90°$，梯子长度$AB=ED=5\ \mathrm{m}$，初始时梯子底部到墙的距离$BC=2\ \mathrm{m}$，滑动后底部向外滑开$BD=1\ \mathrm{m}$。
1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，根据勾股定理$AC^2+BC^2=AB^2$，可得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{5^2-2^2}=\sqrt{25-4}=\sqrt{21}\ \mathrm{m}$
2. 滑动后梯子底部到墙的距离$CD=BC+BD=2+1=3\ \mathrm{m}$，在$\mathrm{Rt}△ ECD$中，根据勾股定理$EC^2+CD^2=ED^2$，可得：
$EC=\sqrt{ED^2-CD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4\ \mathrm{m}$
3. 梯子顶部下滑的距离为$AC-EC=\sqrt{21}-4\ \mathrm{m}$。
【答案】
$\sqrt{21}-4$
【知识点】
勾股定理，实际问题建模
【点评】
本题是勾股定理在实际场景中的基础应用题，解题核心是抓住梯子长度不变的隐含条件，将实际问题转化为直角三角形的边长求解问题，需要注意勾股定理仅适用于直角三角形。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确隐含条件：梯子滑动过程中长度保持不变，且墙面与地面垂直，因此滑动前后梯子分别与墙、地面构成两个直角三角形，均可使用勾股定理计算边长。解题思路为：①先利用勾股定理计算梯子滑动前顶端距离地面的高度；②再计算滑动后梯子底端到墙的距离，用勾股定理算出此时顶端距离地面的高度；③两个高度的差值就是梯子顶部下滑的距离。
【解析】
由题意可知：$∠ C=90°$，梯子长度$AB=ED=5\ \mathrm{m}$，初始时梯子底部到墙的距离$BC=2\ \mathrm{m}$，滑动后底部向外滑开$BD=1\ \mathrm{m}$。
1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，根据勾股定理$AC^2+BC^2=AB^2$，可得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{5^2-2^2}=\sqrt{25-4}=\sqrt{21}\ \mathrm{m}$
2. 滑动后梯子底部到墙的距离$CD=BC+BD=2+1=3\ \mathrm{m}$，在$\mathrm{Rt}△ ECD$中，根据勾股定理$EC^2+CD^2=ED^2$，可得：
$EC=\sqrt{ED^2-CD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4\ \mathrm{m}$
3. 梯子顶部下滑的距离为$AC-EC=\sqrt{21}-4\ \mathrm{m}$。
【答案】
$\sqrt{21}-4$
【知识点】
勾股定理，实际问题建模
【点评】
本题是勾股定理在实际场景中的基础应用题，解题核心是抓住梯子长度不变的隐含条件，将实际问题转化为直角三角形的边长求解问题，需要注意勾股定理仅适用于直角三角形。
【难度系数】
0.7
14. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC = 90°$，$AB = BC$，三角形的顶点在相互平行的三条直线$l_1,l_2,l_3$上，且$l_1,l_2$之间的距离为$2$，$l_2,l_3$之间的距离为$3$，则$AC$的长是$\underline{\hspace{5em}}$.
答案
$2\sqrt{17}$
解析
【分析】
要求AC的长，已知△ABC是等腰直角三角形，可先求出AB的长，再用勾股定理计算AC。我们可以过点A、C分别作直线$l_3$的垂线，构造两个直角三角形，利用“同角的余角相等”证明这两个直角三角形全等，将平行线间的距离转化为直角三角形的边长，进而求出AB的长度。
【解析】
过点A作$AD⊥ l_3$于点D，过点C作$CE⊥ l_3$于点E。
∵$l_1$、$l_2$之间的距离为2，$l_2$、$l_3$之间的距离为3，
∴$AD=3$，$CE=2+3=5$。
∵$∠ ABC=90°$，
∴$∠ ABD+∠ CBE=90°$，
又
∵$∠ BAD+∠ ABD=90°$，
∴$∠ BAD=∠ CBE$。
在$△ ABD$和$△ BCE$中：
$\{\begin{array}{l}∠ ADB=∠ BEC=90°\\∠ BAD=∠ CBE\\AB=BC\end{array} $
∴$△ ABD≌△ BCE$（AAS），
∴$BD=CE=5$，$BE=AD=3$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$AB^2=AD^2+BD^2=3^2+5^2=34$。
∵在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=BC$，由勾股定理得：
$AC^2=AB^2+BC^2=2AB^2=2×34=68$，
∴$AC=\sqrt{68}=2\sqrt{17}$。
【答案】
$2\sqrt{17}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线间的距离
【点评】
本题是平行线与三角形结合的典型题型，解题的核心是通过作垂线构造全等三角形，将已知的平行线距离转化为三角形的边长，侧重考查辅助线构造能力和勾股定理的应用能力。
【难度系数】
0.6
要求AC的长，已知△ABC是等腰直角三角形，可先求出AB的长，再用勾股定理计算AC。我们可以过点A、C分别作直线$l_3$的垂线，构造两个直角三角形，利用“同角的余角相等”证明这两个直角三角形全等，将平行线间的距离转化为直角三角形的边长，进而求出AB的长度。
【解析】
过点A作$AD⊥ l_3$于点D，过点C作$CE⊥ l_3$于点E。
∵$l_1$、$l_2$之间的距离为2，$l_2$、$l_3$之间的距离为3，
∴$AD=3$，$CE=2+3=5$。
∵$∠ ABC=90°$，
∴$∠ ABD+∠ CBE=90°$，
又
∵$∠ BAD+∠ ABD=90°$，
∴$∠ BAD=∠ CBE$。
在$△ ABD$和$△ BCE$中：
$\{\begin{array}{l}∠ ADB=∠ BEC=90°\\∠ BAD=∠ CBE\\AB=BC\end{array} $
∴$△ ABD≌△ BCE$（AAS），
∴$BD=CE=5$，$BE=AD=3$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$AB^2=AD^2+BD^2=3^2+5^2=34$。
∵在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=BC$，由勾股定理得：
$AC^2=AB^2+BC^2=2AB^2=2×34=68$，
∴$AC=\sqrt{68}=2\sqrt{17}$。
【答案】
$2\sqrt{17}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线间的距离
【点评】
本题是平行线与三角形结合的典型题型，解题的核心是通过作垂线构造全等三角形，将已知的平行线距离转化为三角形的边长，侧重考查辅助线构造能力和勾股定理的应用能力。
【难度系数】
0.6
15. 如图,在正方形 $ABCD$ 中,$E$ 是 $AB$ 上一点,$BE=2$,$AE=3BE$,$P$ 是 $AC$ 上一动点,则 $PB + PE$ 的最小值是________.
答案
10
解析
【分析】
本题属于轴对称最短路径（将军饮马）类问题，解题思路如下：首先利用正方形的对称性，正方形的对角线AC是其对称轴，点B与点D关于AC对称，因此AC上任意一点P到B的距离等于到D的距离，即PB=PD，此时PB+PE可转化为PD+PE；再根据两点之间线段最短，可知当E、P、D三点共线时，PD+PE的和最小，最小值为线段DE的长度，最后结合已知条件计算DE的长度即可。
【解析】
解：
1. 计算正方形边长：
已知BE=2，AE=3BE，因此AE=3×2=6，
正方形边长AB=AE+BE=6+2=8，故AD=AB=8，且∠BAD=90°。
2. 利用对称性转化线段：
由正方形的性质可知，对角线AC是正方形的对称轴，点B和点D关于AC对称，因此对AC上任意点P，都有PB=PD，即PB+PE=PD+PE。
3. 求最小值：
根据两点之间线段最短，当E、P、D三点共线时，PD+PE取得最小值，最小值为线段DE的长度。
4. 用勾股定理计算DE：
在Rt△ADE中，AE=6，AD=8，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{AE^2+AD^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$
因此PB+PE的最小值是10。
【答案】
10
【知识点】
轴对称最短路径，正方形的性质，勾股定理
【点评】
本题是最短路径问题的典型考法，核心是通过轴对称将两条折线段的和转化为两点之间的线段长度，解题时要熟练掌握常见轴对称图形的对称特征，结合勾股定理计算即可求解。
【难度系数】
0.6
本题属于轴对称最短路径（将军饮马）类问题，解题思路如下：首先利用正方形的对称性，正方形的对角线AC是其对称轴，点B与点D关于AC对称，因此AC上任意一点P到B的距离等于到D的距离，即PB=PD，此时PB+PE可转化为PD+PE；再根据两点之间线段最短，可知当E、P、D三点共线时，PD+PE的和最小，最小值为线段DE的长度，最后结合已知条件计算DE的长度即可。
【解析】
解：
1. 计算正方形边长：
已知BE=2，AE=3BE，因此AE=3×2=6，
正方形边长AB=AE+BE=6+2=8，故AD=AB=8，且∠BAD=90°。
2. 利用对称性转化线段：
由正方形的性质可知，对角线AC是正方形的对称轴，点B和点D关于AC对称，因此对AC上任意点P，都有PB=PD，即PB+PE=PD+PE。
3. 求最小值：
根据两点之间线段最短，当E、P、D三点共线时，PD+PE取得最小值，最小值为线段DE的长度。
4. 用勾股定理计算DE：
在Rt△ADE中，AE=6，AD=8，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{AE^2+AD^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$
因此PB+PE的最小值是10。
【答案】
10
【知识点】
轴对称最短路径，正方形的性质，勾股定理
【点评】
本题是最短路径问题的典型考法，核心是通过轴对称将两条折线段的和转化为两点之间的线段长度，解题时要熟练掌握常见轴对称图形的对称特征，结合勾股定理计算即可求解。
【难度系数】
0.6
16. 如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH……如此下去，第n个正方形的边长为$\boldsymbol{(\sqrt{2})^{n-1}}$。
答案
$(\sqrt{2})^{n-1}$
解析
【分析】
解题时先从已知的第一个正方形边长入手，利用勾股定理推导正方形对角线和边长的关系，依次计算前2个、第3个正方形的边长，观察边长的变化规律，可发现每一个正方形的边长都是前一个正方形边长的$\sqrt{2}$倍，由此归纳出第n个正方形的边长表达式。
【解析】
解：设第$n$个正方形的边长为$a_n$。
1. 第1个正方形$ABCD$的边长$a_1=1$；
2. 根据勾股定理，正方形对角线长$=\sqrt{边长^2+边长^2}=\sqrt{2}× 边长$，因此第2个正方形$ACEF$的边长是第1个正方形的对角线$AC$，即$a_2=\sqrt{2}× a_1=\sqrt{2}×1=\sqrt{2}=(\sqrt{2})^{2-1}$；
3. 第3个正方形$AEGH$的边长是第2个正方形的对角线$AE$，即$a_3=\sqrt{2}× a_2=\sqrt{2}×\sqrt{2}=(\sqrt{2})^2=(\sqrt{2})^{3-1}$；
4. 以此类推，可得第$n$个正方形的边长$a_n=\sqrt{2}× a_{n-1}=(\sqrt{2})^{n-1}$。
【答案】
$(\sqrt{2})^{n-1}$
【知识点】
正方形的性质，勾股定理，规律探究
【点评】
本题属于图形规律类题目，需要结合正方形的性质和勾股定理，从特殊情况入手推导一般规律，解题的核心是找到相邻两个正方形边长的倍数关系，这类题能有效锻炼归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的第一个正方形边长入手，利用勾股定理推导正方形对角线和边长的关系，依次计算前2个、第3个正方形的边长，观察边长的变化规律，可发现每一个正方形的边长都是前一个正方形边长的$\sqrt{2}$倍，由此归纳出第n个正方形的边长表达式。
【解析】
解：设第$n$个正方形的边长为$a_n$。
1. 第1个正方形$ABCD$的边长$a_1=1$；
2. 根据勾股定理，正方形对角线长$=\sqrt{边长^2+边长^2}=\sqrt{2}× 边长$，因此第2个正方形$ACEF$的边长是第1个正方形的对角线$AC$，即$a_2=\sqrt{2}× a_1=\sqrt{2}×1=\sqrt{2}=(\sqrt{2})^{2-1}$；
3. 第3个正方形$AEGH$的边长是第2个正方形的对角线$AE$，即$a_3=\sqrt{2}× a_2=\sqrt{2}×\sqrt{2}=(\sqrt{2})^2=(\sqrt{2})^{3-1}$；
4. 以此类推，可得第$n$个正方形的边长$a_n=\sqrt{2}× a_{n-1}=(\sqrt{2})^{n-1}$。
【答案】
$(\sqrt{2})^{n-1}$
【知识点】
正方形的性质，勾股定理，规律探究
【点评】
本题属于图形规律类题目，需要结合正方形的性质和勾股定理，从特殊情况入手推导一般规律，解题的核心是找到相邻两个正方形边长的倍数关系，这类题能有效锻炼归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
三、解答题
17. 如图,在数轴上作出$\sqrt{17}$所对应的点.
17. 如图,在数轴上作出$\sqrt{17}$所对应的点.
答案
在数轴正半轴上，以原点为圆心，OB（长度为√17）为半径画弧与数轴正半轴的交点。
解析
【分析】
要在数轴上表示$\sqrt{17}$，首先需要构造出长度为$\sqrt{17}$的线段，结合勾股定理可知$17=4^2+1^2$，因此只要构造两条直角边长分别为4和1的直角三角形，它的斜边长就为$\sqrt{17}$，再借助圆规将该长度转移到数轴上即可得到对应点。
【解析】
作图步骤如下：
1. 在数轴正半轴上找到表示4的点$A$，可得$OA=4$；
2. 过点$A$作数轴的垂线，在垂线上截取$AB=1$，$B$点位于数轴上方；
3. 连接$OB$，在$\mathrm{Rt}△ OAB$中，由勾股定理得$OB=\sqrt{OA^2+AB^2}=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$；
4. 以原点$O$为圆心，$OB$的长度为半径画弧，弧与数轴正半轴的交点就是$\sqrt{17}$对应的点。
【答案】
在数轴正半轴上，以原点为圆心，OB（长度为√17）为半径画弧与数轴正半轴的交点。
【知识点】
勾股定理；实数与数轴；尺规作图
【点评】
本题考查无理数在数轴上的表示方法，解题核心是利用勾股定理构造出长度等于所求无理数的线段，再通过尺规作图将线段对应到数轴上，属于基础作图类题目。
【难度系数】
0.7
要在数轴上表示$\sqrt{17}$，首先需要构造出长度为$\sqrt{17}$的线段，结合勾股定理可知$17=4^2+1^2$，因此只要构造两条直角边长分别为4和1的直角三角形，它的斜边长就为$\sqrt{17}$，再借助圆规将该长度转移到数轴上即可得到对应点。
【解析】
作图步骤如下：
1. 在数轴正半轴上找到表示4的点$A$，可得$OA=4$；
2. 过点$A$作数轴的垂线，在垂线上截取$AB=1$，$B$点位于数轴上方；
3. 连接$OB$，在$\mathrm{Rt}△ OAB$中，由勾股定理得$OB=\sqrt{OA^2+AB^2}=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$；
4. 以原点$O$为圆心，$OB$的长度为半径画弧，弧与数轴正半轴的交点就是$\sqrt{17}$对应的点。
【答案】
在数轴正半轴上，以原点为圆心，OB（长度为√17）为半径画弧与数轴正半轴的交点。
【知识点】
勾股定理；实数与数轴；尺规作图
【点评】
本题考查无理数在数轴上的表示方法，解题核心是利用勾股定理构造出长度等于所求无理数的线段，再通过尺规作图将线段对应到数轴上，属于基础作图类题目。
【难度系数】
0.7
