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1. 有一个圆柱，高 5 厘米，如果它的高增加 2 厘米，表面积就增加 12.56 平方厘米，原来这个圆柱的体积是(
15.7
)立方厘米。答案
1. 15.7
解析
解：圆柱高增加2厘米，表面积增加的部分为高2厘米的圆柱的侧面积。
圆柱侧面积公式：$S = 2π rh$
已知$\Delta S = 12.56$平方厘米，$\Delta h = 2$厘米，
则$2π r × 2 = 12.56$，
$4π r = 12.56$，
$r = 12.56 ÷ (4 × 3.14) = 1$厘米。
原来圆柱体积：$V = π r^2 h = 3.14 × 1^2 × 5 = 15.7$立方厘米。
15.7
圆柱侧面积公式：$S = 2π rh$
已知$\Delta S = 12.56$平方厘米，$\Delta h = 2$厘米，
则$2π r × 2 = 12.56$，
$4π r = 12.56$，
$r = 12.56 ÷ (4 × 3.14) = 1$厘米。
原来圆柱体积：$V = π r^2 h = 3.14 × 1^2 × 5 = 15.7$立方厘米。
15.7
2. 把一个高是 5 厘米的圆锥从顶点向底面做垂直切割，表面积增加 60 平方厘米，这个圆锥的体积是(
188.4
)立方厘米。答案
2. 188.4
解析
切割后增加两个三角形的面积，每个三角形的底为圆锥底面直径，高为圆锥的高。
一个三角形面积：$60÷2 = 30$（平方厘米）
三角形面积公式：$\frac{1}{2}× 底× 高 = 30$
底（底面直径）：$30×2÷5 = 12$（厘米）
底面半径：$12÷2 = 6$（厘米）
圆锥体积公式：$\frac{1}{3}π r^2h$
体积：$\frac{1}{3}×3.14×6^2×5 = 188.4$（立方厘米）
188.4
一个三角形面积：$60÷2 = 30$（平方厘米）
三角形面积公式：$\frac{1}{2}× 底× 高 = 30$
底（底面直径）：$30×2÷5 = 12$（厘米）
底面半径：$12÷2 = 6$（厘米）
圆锥体积公式：$\frac{1}{3}π r^2h$
体积：$\frac{1}{3}×3.14×6^2×5 = 188.4$（立方厘米）
188.4
3. 如图，把一个底面半径为 6 厘米、高为 8 厘米的圆柱，切拼成一个近似的长方体，表面积比原来增加了(
A.24
B.32
C.48
D.96
D
)平方厘米。A.24
B.32
C.48
D.96
答案
3. D
解析
将圆柱切拼成近似长方体后，表面积增加的部分为两个以圆柱的高为长、底面半径为宽的长方形的面积。
增加的表面积：$2×6×8 = 96$（平方厘米）
D
增加的表面积：$2×6×8 = 96$（平方厘米）
D
4. 把一个圆柱形木块切成四块(如图①)，表面积增加 48 平方厘米；切成三块(如图②)，表面积增加 50.24 平方厘米。削成一个最大的圆锥(如图③)，体积减小(
25.12
)立方厘米。答案
4. 25.12
解析
切成三块（图②），增加4个底面积，$4S=50.24$，$S=12.56\ \mathrm{cm}^2$，由$S=π r^2$得$r=2\ \mathrm{cm}$。
切成四块（图①），增加4个长方形面积，$4× 2r× h=48$，$r=2$代入得$h=1.5\ \mathrm{cm}$。
圆柱体积$V=π r^2h=12.56×1.5=18.84\ \mathrm{cm}^3$，圆锥体积为圆柱的$\frac{1}{3}$，体积减小$\frac{2}{3}V=\frac{2}{3}×18.84=12.56\ \mathrm{cm}^3$。
1
切成四块（图①），增加4个长方形面积，$4× 2r× h=48$，$r=2$代入得$h=1.5\ \mathrm{cm}$。
圆柱体积$V=π r^2h=12.56×1.5=18.84\ \mathrm{cm}^3$，圆锥体积为圆柱的$\frac{1}{3}$，体积减小$\frac{2}{3}V=\frac{2}{3}×18.84=12.56\ \mathrm{cm}^3$。
1
5. 如图，一个圆锥形容器装满了 2000 克香油，容器的中间破了一个洞。当香油流到油面与小洞齐平时(如下图)，香油流失了多少克？(容器壁的厚度忽略不计，流失后油面半径为容器底面半径的 $\frac{1}{2}$)
答案
5. 解：设圆锥形容器的底面半径为 $2r$，高为 $2h$，则流失后油面半径为 $r$，油面高度为 $h$。
原来香油的体积：$\frac{1}{3}π(2r)^2×2h=\frac{8}{3}π r^2h$
剩下香油的体积：$\frac{1}{3}π r^2h$
$\frac{1}{3}π r^2h÷(\frac{8}{3}π r^2h)=\frac{1}{8}$
$2000×(1-\frac{1}{8})=1750$（克）
答：香油流失了 1750 克。
原来香油的体积：$\frac{1}{3}π(2r)^2×2h=\frac{8}{3}π r^2h$
剩下香油的体积：$\frac{1}{3}π r^2h$
$\frac{1}{3}π r^2h÷(\frac{8}{3}π r^2h)=\frac{1}{8}$
$2000×(1-\frac{1}{8})=1750$（克）
答：香油流失了 1750 克。
6. 如图，四边形 $ABCD$ 是长方形，$BC = 6$ 厘米，$AB = 10$ 厘米，$AC$、$BD$ 相交于点 $O$。$E$、$F$ 分别是 $AD$ 与 $BC$ 的中点，将长方形 $ABCD$ 以 $EF$ 所在直线为轴旋转一周，则白色部分扫出的立体图形的体积是多少立方厘米？($π$ 取 3)
答案
6. $6÷2 = 3$（厘米） $10÷2 = 5$（厘米）
$3×3^2×10-\frac{1}{3}×3×3^2×5×2 = 180$（立方厘米）
答：白色部分扫出的立体图形的体积是 180 立方厘米。
提示：由于 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$，即三角形 $AOD$ 和三角形 $OBC$ 的面积相等，所以旋转后形成的涂色部分的立体图形是两个等底等高的圆锥，因此白色部分扫出的立体图形体积为大的圆柱的体积减去两个等底等高的圆锥体积。一个圆锥的底面直径是 6 厘米，圆锥的高是 $10÷2 = 5$（厘米），所以圆锥的底面半径是 $6÷2 = 3$（厘米），所以一个圆锥的体积是 $(\frac{1}{3}×3×3^2×5)$ 立方厘米。大的圆柱的底面半径是 $6÷2 = 3$（厘米），高是 10 厘米，所以圆柱的体积是 $(3×3^2×10)$ 立方厘米，因此白色部分扫出的立体图形体积 $=3×3^2×10-\frac{1}{3}×3×3^2×5×2 = 180$（立方厘米）。
方法归纳 巧用转化思想解决不规则立体图形
面旋转成体后的形状，除了常规的圆柱和圆锥外，也有不规则的立体图形。求解不规则立体图形的体积时，需要将该图形拆分成熟悉的立体图形的组合。
$3×3^2×10-\frac{1}{3}×3×3^2×5×2 = 180$（立方厘米）
答：白色部分扫出的立体图形的体积是 180 立方厘米。
提示：由于 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$，即三角形 $AOD$ 和三角形 $OBC$ 的面积相等，所以旋转后形成的涂色部分的立体图形是两个等底等高的圆锥，因此白色部分扫出的立体图形体积为大的圆柱的体积减去两个等底等高的圆锥体积。一个圆锥的底面直径是 6 厘米，圆锥的高是 $10÷2 = 5$（厘米），所以圆锥的底面半径是 $6÷2 = 3$（厘米），所以一个圆锥的体积是 $(\frac{1}{3}×3×3^2×5)$ 立方厘米。大的圆柱的底面半径是 $6÷2 = 3$（厘米），高是 10 厘米，所以圆柱的体积是 $(3×3^2×10)$ 立方厘米，因此白色部分扫出的立体图形体积 $=3×3^2×10-\frac{1}{3}×3×3^2×5×2 = 180$（立方厘米）。
方法归纳 巧用转化思想解决不规则立体图形
面旋转成体后的形状，除了常规的圆柱和圆锥外，也有不规则的立体图形。求解不规则立体图形的体积时，需要将该图形拆分成熟悉的立体图形的组合。
7. 一个长方体容器内装有一部分水，已知容器的内壁底面是长方形，长为 17 厘米，宽为 5 厘米。如图，现把一个圆柱和一个与圆柱等底等高的圆锥放入容器中。结果圆锥完全浸没于水中，圆柱有 $\frac{1}{5}$ 露出水面。容器内的水位比放入前上升了 2 厘米。圆锥的体积是多少立方厘米？
答案
7. $17×5×2 = 170$（立方厘米）
解：设圆锥的体积为 $a$ 立方厘米，所以圆柱的体积为 $3a$ 立方厘米。
$(1-\frac{1}{5})×3a + a = 170$ $a = 50$
答：圆锥的体积为 50 立方厘米。
提示：利用转化的数学思想，那么可以将容器内的水位上升高度 $×$ 容器的底面积转化为浸入水的圆柱部分体积和完全浸入水的圆锥体积之和，即为 $17×5×2 = 170$（立方厘米）。因为圆柱和圆锥等底等高，所以可以设圆锥的体积为 $a$ 立方厘米，那么圆柱的体积为 $3a$ 立方厘米，由于圆柱有 $\frac{1}{5}$ 露出水面，所以圆柱浸入水中的体积为 $[(1-\frac{1}{5})×3a]$ 立方厘米，因此可以得出浸入水中的总体积为 $a+\frac{12}{5}a=\frac{17}{5}a$（立方厘米）。所以 $\frac{17}{5}a = 170$，可得圆锥的体积为 50 立方厘米。
解：设圆锥的体积为 $a$ 立方厘米，所以圆柱的体积为 $3a$ 立方厘米。
$(1-\frac{1}{5})×3a + a = 170$ $a = 50$
答：圆锥的体积为 50 立方厘米。
提示：利用转化的数学思想，那么可以将容器内的水位上升高度 $×$ 容器的底面积转化为浸入水的圆柱部分体积和完全浸入水的圆锥体积之和，即为 $17×5×2 = 170$（立方厘米）。因为圆柱和圆锥等底等高，所以可以设圆锥的体积为 $a$ 立方厘米，那么圆柱的体积为 $3a$ 立方厘米，由于圆柱有 $\frac{1}{5}$ 露出水面，所以圆柱浸入水中的体积为 $[(1-\frac{1}{5})×3a]$ 立方厘米，因此可以得出浸入水中的总体积为 $a+\frac{12}{5}a=\frac{17}{5}a$（立方厘米）。所以 $\frac{17}{5}a = 170$，可得圆锥的体积为 50 立方厘米。
8. 一个底面是正方形的容器里面装着水，从里面量边长是 26 厘米，水的高度是 14 厘米，把一个铁质实心圆锥尖向上直立在容器里以后水的高度上升到 18 厘米，正好是圆锥高的 $\frac{2}{3}$，圆锥的底面积是多少？
答案
8. $26×26×(18 - 14) = 2704$（立方厘米）
$1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$ $\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{1}{27}$
$1-\frac{1}{27}=\frac{26}{27}$ $2704÷\frac{26}{27}=2808$（立方厘米）
$18÷\frac{2}{3}=27$（厘米） $2808×3÷27 = 312$（平方厘米）
答：圆锥的底面积是 312 平方厘米。
提示：利用转化的数学思想，水面上升的高度 $×$ 容器的底面积，可以转化为圆锥的浸水体积，即为 $26×26×(18 - 14) = 2704$（立方厘米）。由于圆锥的浸水高度是高的 $\frac{2}{3}$，所以露出水面的部分为一个小的圆锥，如图所示。小的圆锥高为原来高的 $1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$。小的圆锥的底面半径也为大的圆锥的 $\frac{1}{3}$。如果设小的圆锥高为 $h$，底面半径为 $r$，那么这个大的圆锥高为 $3h$，底面半径为 $3r$，根据圆锥的体积公式可得，小圆锥的体积为大圆锥体积的 $\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{1}{27}$。所以浸水部分的体积是大圆锥体积的 $1-\frac{1}{27}=\frac{26}{27}$，所以可得圆锥的体积为 $2704÷\frac{26}{27}=2808$（立方厘米）。圆锥的高为 $18÷\frac{2}{3}=27$（厘米），那么圆锥的底面积为 $2808×3÷27 = 312$（平方厘米）。
