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【例题】如图①是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块放在其中(圆柱形铁块的下底面完全落在水槽底面上)，现将甲槽中的水匀速注入乙槽中，甲、乙两个水槽中水的深度$y$(厘米)与注水时间$x$(分钟)之间的关系如图②所示。根据图像提供的信息，解答下列问题：
(1)图②中折线$ABC$表示(
(2)注水(
(3)若乙槽底面积为$36$平方厘米(厚度不计)，求乙槽中铁块的体积。
【分析】
解决此类问题的关键在于找到关键的时间节点，如物体完全浸入的时间节点，从而帮助我们求出注水的速度、容器的底面积和浸入水中物体的底面积。
【解答】
(1)图②中折线$ABC$表示(
乙
)槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段$DE$表示(甲
)槽中水的深度与注水时间之间的关系(以上两空均选填“甲”或“乙”)；点$B$的纵坐标表示的实际意义是：乙槽中铁块的高度为 14 厘米
。(2)注水(
2
)分钟时，甲、乙两个水槽中的水的深度相同。(3)若乙槽底面积为$36$平方厘米(厚度不计)，求乙槽中铁块的体积。
【分析】
解决此类问题的关键在于找到关键的时间节点，如物体完全浸入的时间节点，从而帮助我们求出注水的速度、容器的底面积和浸入水中物体的底面积。
【解答】
答案
(1)乙 甲 乙槽中铁块的高度为 14 厘米
(2)2
(3)由图像知,铁块的高为 14 厘米,当乙水槽中水面没有没过铁块时,4 分钟水面上升了 12 厘米,即 1 分钟上升 3 厘米,当水面没过铁块时,2 分钟上升了 5 厘米,即 1 分钟上升 2.5 厘米,
假设铁块的底面积为 b 平方厘米,
则乙水槽中不放铁块时每分钟增加的水的体积为 (2.5×36) 立方厘米,放了铁块时每分钟增加的水的体积为 [3×(36 - b)] 立方厘米,
1×3×(36 - b) = 1×2.5×36 b = 6
6×14 = 84(立方厘米)
答:乙槽中铁块的体积为 84 立方厘米。
(2)2
(3)由图像知,铁块的高为 14 厘米,当乙水槽中水面没有没过铁块时,4 分钟水面上升了 12 厘米,即 1 分钟上升 3 厘米,当水面没过铁块时,2 分钟上升了 5 厘米,即 1 分钟上升 2.5 厘米,
假设铁块的底面积为 b 平方厘米,
则乙水槽中不放铁块时每分钟增加的水的体积为 (2.5×36) 立方厘米,放了铁块时每分钟增加的水的体积为 [3×(36 - b)] 立方厘米,
1×3×(36 - b) = 1×2.5×36 b = 6
6×14 = 84(立方厘米)
答:乙槽中铁块的体积为 84 立方厘米。
1. 如图①，在底面积为 100 平方厘米、高为 20 厘米的长方体水槽内放入一个圆柱形烧杯，以恒定不变的流量速度先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽为止，此过程中，烧杯本身的质量、体积忽略不计，烧杯在水槽中的位置始终不改变。水槽中水面上升的高度 $ h $(厘米)与注水时间 $ t $(秒)之间的关系如图②所示。
(1)图②中点(
(2)烧杯的底面积是(
(3)求注水的速度以及注满水槽所用的时间。
(1)图②中点(
A
)表示烧杯中刚好注满水。(2)烧杯的底面积是(
20
)平方厘米。(3)求注水的速度以及注满水槽所用的时间。
答案
举一反三
1. (1)A (2)20
(3)$18:90=1:5$
$100×10÷5=200$(立方厘米)
$200÷18=\frac {100}{9}$(立方厘米/秒)
$100×20÷\frac {100}{9}=180$(秒)
答:注水的速度是$\frac {100}{9}$立方厘米/秒,注满水槽所用的时间是 180 秒。
1. (1)A (2)20
(3)$18:90=1:5$
$100×10÷5=200$(立方厘米)
$200÷18=\frac {100}{9}$(立方厘米/秒)
$100×20÷\frac {100}{9}=180$(秒)
答:注水的速度是$\frac {100}{9}$立方厘米/秒,注满水槽所用的时间是 180 秒。
2. 一个底面积为 100 平方厘米，高为 $ a $ 厘米的水槽内原来盛有高为 $ b $ 厘米的水，以如图的方式放入一些底面积为 10 平方厘米，高为 $ c $ 厘米的圆柱，放入的个数 $ n $ 与放入后水面的高度 $ h $ 如下表所示。求 $ a $、$ b $、$ c $ 的和。
答案
2. $10×15×2÷100=3$(厘米)$b=15-3=12$(厘米)
$100×12=1200$(立方厘米)
$22.5-12=10.5$(厘米)
$100×10.5÷5=210$(立方厘米)
$c=210÷10=21$(厘米)
21 厘米＜22.5 厘米$28-12=16$(厘米)
$100×16÷8=200$(立方厘米)
$210×8=1680$(立方厘米)
$100×28=2800$(立方厘米)
$2800-1680=1120$(立方厘米)
$1200-1120=80$(立方厘米)$a=28$厘米
$a+b+c=28+12+21=61$
提示:假设竖直(没有横卧)放入 2 个圆柱,圆柱没有被浸没,设水面上升x厘米,有$10×15×2=100x,x=3$,说明放入2个圆柱,水面上升3厘米。推得原来盛有高为$15-3=12$(厘米)的水,即$b=$12,原来盛有的水的体积为$100×12=1200$(立方厘米)。放入5个圆柱,水面高度为 22.5 厘米,水面上升了$22.5-12=10.5$(厘米),此时可假设圆柱浸没在水中。圆柱体积$=100×10.5÷5=210$(立方厘米),则圆柱高$=210÷10=21$(厘米),21 厘米＜22.5 厘米,即$c=21$,假设成立。放入8个圆柱,水面高度为 28 厘米,水面上升了 28-$12=16$(厘米),验证圆柱体积:圆柱体积为$100×$$16÷8=200$(立方厘米)。但$200≠210$,进一步检验:8 个圆柱体积为$210×8=1680$(立方厘米),假设水槽的高度是 28 厘米,水槽的容积就是$100×28=2800$(立方厘米)。$2800-1680=$$1120$(立方厘米),$1200-1120=80$(立方厘米),少了 80 立方厘米。显然 8 个圆柱放入后有 80 立方厘米的水溢出。水槽的高便是 28 厘米,即$a=28$。综上所述,开始的假设合理。放入2个圆柱,圆柱没有被浸没,放入5个圆柱,圆柱被浸没,水没有溢出,放入8个圆柱,圆柱被浸没,并有水溢出。所以$a+b+c=28+12+21=61$。
$100×12=1200$(立方厘米)
$22.5-12=10.5$(厘米)
$100×10.5÷5=210$(立方厘米)
$c=210÷10=21$(厘米)
21 厘米＜22.5 厘米$28-12=16$(厘米)
$100×16÷8=200$(立方厘米)
$210×8=1680$(立方厘米)
$100×28=2800$(立方厘米)
$2800-1680=1120$(立方厘米)
$1200-1120=80$(立方厘米)$a=28$厘米
$a+b+c=28+12+21=61$
提示:假设竖直(没有横卧)放入 2 个圆柱,圆柱没有被浸没,设水面上升x厘米,有$10×15×2=100x,x=3$,说明放入2个圆柱,水面上升3厘米。推得原来盛有高为$15-3=12$(厘米)的水,即$b=$12,原来盛有的水的体积为$100×12=1200$(立方厘米)。放入5个圆柱,水面高度为 22.5 厘米,水面上升了$22.5-12=10.5$(厘米),此时可假设圆柱浸没在水中。圆柱体积$=100×10.5÷5=210$(立方厘米),则圆柱高$=210÷10=21$(厘米),21 厘米＜22.5 厘米,即$c=21$,假设成立。放入8个圆柱,水面高度为 28 厘米,水面上升了 28-$12=16$(厘米),验证圆柱体积:圆柱体积为$100×$$16÷8=200$(立方厘米)。但$200≠210$,进一步检验:8 个圆柱体积为$210×8=1680$(立方厘米),假设水槽的高度是 28 厘米,水槽的容积就是$100×28=2800$(立方厘米)。$2800-1680=$$1120$(立方厘米),$1200-1120=80$(立方厘米),少了 80 立方厘米。显然 8 个圆柱放入后有 80 立方厘米的水溢出。水槽的高便是 28 厘米,即$a=28$。综上所述,开始的假设合理。放入2个圆柱,圆柱没有被浸没,放入5个圆柱,圆柱被浸没,水没有溢出,放入8个圆柱,圆柱被浸没,并有水溢出。所以$a+b+c=28+12+21=61$。
