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5.一个长是8 cm、宽是5 cm、高是3 cm的长方体，如果高增加4 cm，体积比原来增加(
160
)$\mathrm{cm}^3$，表面积比原来增加(104
)$\mathrm{cm}^2$。答案
5. 160 104
解析
【分析】
解决本题的思路分为两部分：①计算增加的体积：高增加时，原长方体的长和宽不变，增加的体积就是长8cm、宽5cm、高4cm的长方体的体积，直接用体积公式计算即可。②计算增加的表面积：高增加后，原长方体的上、下底面面积没有发生变化，增加的表面积仅为高4cm部分对应的4个侧面的总面积，计算这4个侧面的面积和即可。
【解析】
1. 计算增加的体积：
长方体体积公式：体积=长×宽×高
增加部分的长为8cm，宽为5cm，高为增加的4cm，代入公式得：
增加的体积=8×5×4=160（$\mathrm{cm}^3$）
2. 计算增加的表面积：
增加的表面积是4个侧面的面积，包含2个长8cm、宽4cm的长方形面，2个长5cm、宽4cm的长方形面，所以：
增加的表面积=2×(8×4 + 5×4)=2×(32+20)=2×52=104（$\mathrm{cm}^2$）
【答案】
160；104
【知识点】
长方体体积计算；长方体表面积计算
【点评】
本题重点考查对长方体体积、表面积变化规律的理解，解题的核心是明确高增加时，只有侧面积和体积发生变化，上下底面面积不变，避免计算表面积时多算上下底面的面积。
【难度系数】
0.7
解决本题的思路分为两部分：①计算增加的体积：高增加时，原长方体的长和宽不变，增加的体积就是长8cm、宽5cm、高4cm的长方体的体积，直接用体积公式计算即可。②计算增加的表面积：高增加后，原长方体的上、下底面面积没有发生变化，增加的表面积仅为高4cm部分对应的4个侧面的总面积，计算这4个侧面的面积和即可。
【解析】
1. 计算增加的体积：
长方体体积公式：体积=长×宽×高
增加部分的长为8cm，宽为5cm，高为增加的4cm，代入公式得：
增加的体积=8×5×4=160（$\mathrm{cm}^3$）
2. 计算增加的表面积：
增加的表面积是4个侧面的面积，包含2个长8cm、宽4cm的长方形面，2个长5cm、宽4cm的长方形面，所以：
增加的表面积=2×(8×4 + 5×4)=2×(32+20)=2×52=104（$\mathrm{cm}^2$）
【答案】
160；104
【知识点】
长方体体积计算；长方体表面积计算
【点评】
本题重点考查对长方体体积、表面积变化规律的理解，解题的核心是明确高增加时，只有侧面积和体积发生变化，上下底面面积不变，避免计算表面积时多算上下底面的面积。
【难度系数】
0.7
二、计算下面图形的表面积和体积。（单位：dm）
答案
386 dm² 420 dm³ 864 dm² 1728 dm³
解析
【分析】
这道题需要分别计算长方体和正方体的表面积与体积，解题思路如下：首先识别两个图形的类型，第一个是长方体，已知长15dm、宽4dm、高7dm；第二个是正方体，棱长为12dm。其次回忆长方体、正方体的表面积和体积计算公式，最后将对应数据代入公式分步计算即可得到结果。
【解析】
1. 计算左侧长方体的表面积和体积
长方体表面积公式：$\boldsymbol{S=(长×宽 + 长×高 + 宽×高)×2}$
代入数据计算：
$S=(15×4 + 15×7 + 4×7)×2$
$=(60 + 105 + 28)×2$
$=193×2$
$=386(\mathrm{dm}^2)$
长方体体积公式：$\boldsymbol{V=长×宽×高}$
代入数据计算：
$V=15×4×7$
$=60×7$
$=420(\mathrm{dm}^3)$
2. 计算右侧正方体的表面积和体积
正方体表面积公式：$\boldsymbol{S=棱长×棱长×6}$
代入数据计算：
$S=12×12×6$
$=144×6$
$=864(\mathrm{dm}^2)$
正方体体积公式：$\boldsymbol{V=棱长×棱长×棱长}$
代入数据计算：
$V=12×12×12$
$=144×12$
$=1728(\mathrm{dm}^3)$
【答案】
长方体表面积386 $\mathrm{dm}^2$，体积420 $\mathrm{dm}^3$；正方体表面积864 $\mathrm{dm}^2$，体积1728 $\mathrm{dm}^3$
【知识点】
长方体表面积与体积计算，正方体表面积与体积计算
【点评】
本题是立体几何的基础题型，核心考查对长方体、正方体表面积和体积公式的记忆与应用能力，解题时要注意区分两类公式，避免混淆，计算过程中细心运算即可得分。
【难度系数】
0.85
这道题需要分别计算长方体和正方体的表面积与体积，解题思路如下：首先识别两个图形的类型，第一个是长方体，已知长15dm、宽4dm、高7dm；第二个是正方体，棱长为12dm。其次回忆长方体、正方体的表面积和体积计算公式，最后将对应数据代入公式分步计算即可得到结果。
【解析】
1. 计算左侧长方体的表面积和体积
长方体表面积公式：$\boldsymbol{S=(长×宽 + 长×高 + 宽×高)×2}$
代入数据计算：
$S=(15×4 + 15×7 + 4×7)×2$
$=(60 + 105 + 28)×2$
$=193×2$
$=386(\mathrm{dm}^2)$
长方体体积公式：$\boldsymbol{V=长×宽×高}$
代入数据计算：
$V=15×4×7$
$=60×7$
$=420(\mathrm{dm}^3)$
2. 计算右侧正方体的表面积和体积
正方体表面积公式：$\boldsymbol{S=棱长×棱长×6}$
代入数据计算：
$S=12×12×6$
$=144×6$
$=864(\mathrm{dm}^2)$
正方体体积公式：$\boldsymbol{V=棱长×棱长×棱长}$
代入数据计算：
$V=12×12×12$
$=144×12$
$=1728(\mathrm{dm}^3)$
【答案】
长方体表面积386 $\mathrm{dm}^2$，体积420 $\mathrm{dm}^3$；正方体表面积864 $\mathrm{dm}^2$，体积1728 $\mathrm{dm}^3$
【知识点】
长方体表面积与体积计算，正方体表面积与体积计算
【点评】
本题是立体几何的基础题型，核心考查对长方体、正方体表面积和体积公式的记忆与应用能力，解题时要注意区分两类公式，避免混淆，计算过程中细心运算即可得分。
【难度系数】
0.85
三、在方格纸上画出下面左图从前面、左面和上面看到的图形。
从前面看
从左面看
从上面看
从前面看
从左面看
从上面看
答案
从前面看
下排横向并排2个小正方形，上排左侧位置画1个小正方形，与下排左侧正方形上下对齐。
从左面看
下排横向并排2个小正方形，上排左侧位置画1个小正方形，与下排左侧正方形上下对齐。
从上面看
上排横向并排2个小正方形，下排右侧位置画1个小正方形，与上排右侧正方形上下对齐。
下排横向并排2个小正方形，上排左侧位置画1个小正方形，与下排左侧正方形上下对齐。
从左面看
下排横向并排2个小正方形，上排左侧位置画1个小正方形，与下排左侧正方形上下对齐。
从上面看
上排横向并排2个小正方形，下排右侧位置画1个小正方形，与上排右侧正方形上下对齐。
解析
【分析】
解这道题要分别站在前面、左面、上面三个方向观察立体图形，只记录能看到的小正方形的数量和相对位置，被挡住的部分不用画。首先逐个确定每个视角下的图形结构：
1. 从前面看：正对着立体图形观察，能看到上下2排，下排有2个横向并排的小正方形，上排仅左侧有1个小正方形，和下排左侧的正方形上下对齐；
2. 从左面看：站在立体图形左侧向右观察，同样能看到上下2排，下排2个横向并排，上排左侧1个，和下排左侧正方形对齐；
3. 从上面看：从立体图形上方往下观察，能看到上下2排，上排有2个横向并排的小正方形，下排仅右侧有1个小正方形，和上排右侧的正方形上下对齐。
【解析】
1. 画从前面看到的图形：先画2个横向紧挨着的小正方形作为下排，再在下排左侧的小正方形正上方画1个小正方形；
2. 画从左面看到的图形：先画2个横向紧挨着的小正方形作为下排，再在下排左侧的小正方形正上方画1个小正方形；
3. 画从上面看到的图形：先画2个横向紧挨着的小正方形作为上排，再在上排右侧的小正方形正下方画1个小正方形。
【答案】
从前面看：下排横向并排2个小正方形，上排左侧位置画1个小正方形，与下排左侧正方形上下对齐。
从左面看：下排横向并排2个小正方形，上排左侧位置画1个小正方形，与下排左侧正方形上下对齐。
从上面看：上排横向并排2个小正方形，下排右侧位置画1个小正方形，与上排右侧正方形上下对齐。
【知识点】
1. 观察立体图形
2. 三视图绘制
【点评】
本题考查组合立体图形的观察能力，解题时要明确不同视角的观察范围，准确判断可见小正方形的数量和位置，是几何观察类的基础题型。
【难度系数】
0.8
解这道题要分别站在前面、左面、上面三个方向观察立体图形，只记录能看到的小正方形的数量和相对位置，被挡住的部分不用画。首先逐个确定每个视角下的图形结构：
1. 从前面看：正对着立体图形观察，能看到上下2排，下排有2个横向并排的小正方形，上排仅左侧有1个小正方形，和下排左侧的正方形上下对齐；
2. 从左面看：站在立体图形左侧向右观察，同样能看到上下2排，下排2个横向并排，上排左侧1个，和下排左侧正方形对齐；
3. 从上面看：从立体图形上方往下观察，能看到上下2排，上排有2个横向并排的小正方形，下排仅右侧有1个小正方形，和上排右侧的正方形上下对齐。
【解析】
1. 画从前面看到的图形：先画2个横向紧挨着的小正方形作为下排，再在下排左侧的小正方形正上方画1个小正方形；
2. 画从左面看到的图形：先画2个横向紧挨着的小正方形作为下排，再在下排左侧的小正方形正上方画1个小正方形；
3. 画从上面看到的图形：先画2个横向紧挨着的小正方形作为上排，再在上排右侧的小正方形正下方画1个小正方形。
【答案】
从前面看：下排横向并排2个小正方形，上排左侧位置画1个小正方形，与下排左侧正方形上下对齐。
从左面看：下排横向并排2个小正方形，上排左侧位置画1个小正方形，与下排左侧正方形上下对齐。
从上面看：上排横向并排2个小正方形，下排右侧位置画1个小正方形，与上排右侧正方形上下对齐。
【知识点】
1. 观察立体图形
2. 三视图绘制
【点评】
本题考查组合立体图形的观察能力，解题时要明确不同视角的观察范围，准确判断可见小正方形的数量和位置，是几何观察类的基础题型。
【难度系数】
0.8
四、一个长方体玻璃容器，从里面量，长90 cm，宽70 cm，高40 cm。放入一些石子后水面上升了3 cm，容器里放入的石子有多少立方分米？（石子完全浸入水中，水未溢出）
答案
18.9 dm³
解析
【分析】
解决这道题的核心是用到排水法求不规则物体体积的思路：当石子完全浸入水中且水未溢出时，石子的体积等于水面上升部分的水的体积。上升部分的水形成了一个和容器内底面积相同的长方体，我们只需要先算出这个长方体的体积，再换算成题目要求的单位即可。解题步骤：第一步明确等量关系，第二步用长方体体积公式计算上升水的体积，第三步进行单位换算得到最终结果。
【解析】
因为石子完全浸入水中且水未溢出，所以石子的体积 = 上升部分水的体积。
上升部分的水是长90cm、宽70cm、高3cm的长方体，根据长方体体积公式：体积=长×宽×高，可得：
上升部分水的体积 = 90×70×3 = 18900（立方厘米）
因为1立方分米 = 1000立方厘米，所以单位换算：
18900立方厘米 = 18900÷1000 = 18.9（立方分米）
【答案】
18.9 dm³
【知识点】
排水法求物体体积、长方体体积计算、体积单位换算
【点评】
本题的解题关键是理解浸没在水中的物体体积等于上升部分水的体积，易错点是计算完成后忽略单位换算，解题时要注意题目最终要求的单位和计算过程中的单位是否统一。
【难度系数】
0.7
解决这道题的核心是用到排水法求不规则物体体积的思路：当石子完全浸入水中且水未溢出时，石子的体积等于水面上升部分的水的体积。上升部分的水形成了一个和容器内底面积相同的长方体，我们只需要先算出这个长方体的体积，再换算成题目要求的单位即可。解题步骤：第一步明确等量关系，第二步用长方体体积公式计算上升水的体积，第三步进行单位换算得到最终结果。
【解析】
因为石子完全浸入水中且水未溢出，所以石子的体积 = 上升部分水的体积。
上升部分的水是长90cm、宽70cm、高3cm的长方体，根据长方体体积公式：体积=长×宽×高，可得：
上升部分水的体积 = 90×70×3 = 18900（立方厘米）
因为1立方分米 = 1000立方厘米，所以单位换算：
18900立方厘米 = 18900÷1000 = 18.9（立方分米）
【答案】
18.9 dm³
【知识点】
排水法求物体体积、长方体体积计算、体积单位换算
【点评】
本题的解题关键是理解浸没在水中的物体体积等于上升部分水的体积，易错点是计算完成后忽略单位换算，解题时要注意题目最终要求的单位和计算过程中的单位是否统一。
【难度系数】
0.7
发挥创意和想象，利用“平移、旋转、轴对称”等知识，设计一个美丽的图案。
答案
设计步骤：
1. 绘制基础单元：画一个圆心角为72°的扇形，在扇形的弧边处绘制一个小半圆装饰，得到基础图形。
2. 旋转操作：将基础图形的圆心固定，绕该点每次顺时针旋转72°，连续旋转4次，得到由5个单元组成的五瓣花朵图案。
3. 平移操作：将得到的五瓣花朵图案沿水平方向向右平移，每次平移的距离等于花朵的直径长度，连续平移3次，得到横向排列的4朵花的图案。
4. 轴对称操作：在横向花朵图案的下方作一条水平直线作为对称轴，画出该组花朵图案关于这条直线的轴对称图形，得到完整的上下对称花边图案。
答：最终得到的对称花边图案符合要求，是利用平移、旋转、轴对称知识设计出的美丽装饰图案。
1. 绘制基础单元：画一个圆心角为72°的扇形，在扇形的弧边处绘制一个小半圆装饰，得到基础图形。
2. 旋转操作：将基础图形的圆心固定，绕该点每次顺时针旋转72°，连续旋转4次，得到由5个单元组成的五瓣花朵图案。
3. 平移操作：将得到的五瓣花朵图案沿水平方向向右平移，每次平移的距离等于花朵的直径长度，连续平移3次，得到横向排列的4朵花的图案。
4. 轴对称操作：在横向花朵图案的下方作一条水平直线作为对称轴，画出该组花朵图案关于这条直线的轴对称图形，得到完整的上下对称花边图案。
答：最终得到的对称花边图案符合要求，是利用平移、旋转、轴对称知识设计出的美丽装饰图案。
解析
【分析】
首先要明确平移、旋转、轴对称三种图形变换的共同特征是不改变图形的形状和大小，仅改变图形的位置或方向。解题时可以遵循从简单到复杂的设计思路：先设计一个简单的基础单元图形，再通过旋转得到独立的美观小图案，接着用平移对小图案进行排列，最后通过轴对称丰富图案的层次，确保设计过程用到三种要求的变换，同时保证图案美观即可。
【解析】
1. 绘制基础单元：先画一个圆心角为72°的扇形，在扇形的弧边位置绘制一个小半圆作为装饰，得到基础图形。
2. 旋转操作：将基础图形的圆心固定为旋转中心，绕该点每次顺时针旋转72°，连续旋转4次后，就能得到由5个基础单元组成的五瓣花朵图案。
3. 平移操作：把得到的五瓣花朵图案作为一个整体，沿水平方向向右平移，每次平移的距离等于花朵的直径长度，连续平移3次，得到横向排列的4朵花的图案。
4. 轴对称操作：在横向花朵图案的下方画一条水平直线作为对称轴，画出上方这组花朵图案关于这条对称轴的轴对称图形，最终得到完整的上下对称花边图案。
【答案】
设计步骤：
1. 绘制基础单元：画一个圆心角为72°的扇形，在扇形的弧边处绘制一个小半圆装饰，得到基础图形。
2. 旋转操作：将基础图形的圆心固定，绕该点每次顺时针旋转72°，连续旋转4次，得到由5个单元组成的五瓣花朵图案。
3. 平移操作：将得到的五瓣花朵图案沿水平方向向右平移，每次平移的距离等于花朵的直径长度，连续平移3次，得到横向排列的4朵花的图案。
4. 轴对称操作：在横向花朵图案的下方作一条水平直线作为对称轴，画出该组花朵图案关于这条直线的轴对称图形，得到完整的上下对称花边图案。
答：最终得到的对称花边图案符合要求，是利用平移、旋转、轴对称知识设计出的美丽装饰图案。
【知识点】
平移、旋转、轴对称
【点评】
本题属于开放实践类题型，将图形变换的数学知识与创意设计相结合，既能够巩固对三种图形变换特征的理解，又可以充分发挥想象力，感受数学中的美学价值，体会数学知识在实际生活中的应用。
【难度系数】
0.7
首先要明确平移、旋转、轴对称三种图形变换的共同特征是不改变图形的形状和大小，仅改变图形的位置或方向。解题时可以遵循从简单到复杂的设计思路：先设计一个简单的基础单元图形，再通过旋转得到独立的美观小图案，接着用平移对小图案进行排列，最后通过轴对称丰富图案的层次，确保设计过程用到三种要求的变换，同时保证图案美观即可。
【解析】
1. 绘制基础单元：先画一个圆心角为72°的扇形，在扇形的弧边位置绘制一个小半圆作为装饰，得到基础图形。
2. 旋转操作：将基础图形的圆心固定为旋转中心，绕该点每次顺时针旋转72°，连续旋转4次后，就能得到由5个基础单元组成的五瓣花朵图案。
3. 平移操作：把得到的五瓣花朵图案作为一个整体，沿水平方向向右平移，每次平移的距离等于花朵的直径长度，连续平移3次，得到横向排列的4朵花的图案。
4. 轴对称操作：在横向花朵图案的下方画一条水平直线作为对称轴，画出上方这组花朵图案关于这条对称轴的轴对称图形，最终得到完整的上下对称花边图案。
【答案】
设计步骤：
1. 绘制基础单元：画一个圆心角为72°的扇形，在扇形的弧边处绘制一个小半圆装饰，得到基础图形。
2. 旋转操作：将基础图形的圆心固定，绕该点每次顺时针旋转72°，连续旋转4次，得到由5个单元组成的五瓣花朵图案。
3. 平移操作：将得到的五瓣花朵图案沿水平方向向右平移，每次平移的距离等于花朵的直径长度，连续平移3次，得到横向排列的4朵花的图案。
4. 轴对称操作：在横向花朵图案的下方作一条水平直线作为对称轴，画出该组花朵图案关于这条直线的轴对称图形，得到完整的上下对称花边图案。
答：最终得到的对称花边图案符合要求，是利用平移、旋转、轴对称知识设计出的美丽装饰图案。
【知识点】
平移、旋转、轴对称
【点评】
本题属于开放实践类题型，将图形变换的数学知识与创意设计相结合，既能够巩固对三种图形变换特征的理解，又可以充分发挥想象力，感受数学中的美学价值，体会数学知识在实际生活中的应用。
【难度系数】
0.7
